SKKN_Rèn luyện tư duy cho học sinh THPT trong việc giải một số bài toán Đại số

Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo.. Phương pháp thuyết trình của

LỜI NÓI ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

1.Cơ sở lý luận

Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng và phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng

lí thuyết mà còn có trong bài tập tương ứng Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán

2 Cơ sở thực tại

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông cho thấy năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phương pháp dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trình dạy học, trong đó giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri thức của học sinh mang tính thụ động cao Phương pháp thuyết trình của giáo viên được sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực của học sinh, việc sử dụng các phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thực tiễn chưa được chú trọng Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệ trẻ được đào tạo trong trường phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả năng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình huống thực tiễn cuộc sống

Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh mà

phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh,

Rèn luyện thao tác tư duy trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy học sinh Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích đáng xứng với vị trí của nó Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên chưa chú ý được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực giải Toán cho học sinh

Chương trình Đại số ở trường trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng thực hiện một số thao tác tư duy Bài tập Đại số có nhiều nhiều dạng thuộc về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau Khi giải các bài tập Đại số đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiến thức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau Hệ thống bài tập Đại số khá phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đối tượng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển tư duy và bồi dưỡng năng lực giải toán Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học

Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán Đại số”.

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, sách báo

2 Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập SGK

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

Xin trân trọng cảm ơn!

Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013.

Người viết

Nguyễn Ngọc Đô

NỘI DUNG

I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa

đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

Giáo viên dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?.

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?.

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?.

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình

MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT

TRONG GIẢI TOÁN

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình

thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng

và kinh nghiệm giải Toán

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa

ra lời giải của bài tập

II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA GIẢI TOÁN.

1.Phân tích và tổng hợp.

Do vậy việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có

một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những quá

trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này

nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên

cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng Dưới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:

cosA + cosB + cosC

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức

cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:

Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy ra

nó lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ Do đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:

a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) = (a+b)[(a - b)2 + ab]

= (a+b)(a - b)2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a2b +ab2 (ĐPCM)

2 Khái quát hoá và trừu tượng hoá.

Trở lại ví dụ 1, từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam

giác thì: cosA + cosB + cosC

2

3

≤ ” Bây giờ nếu thay A, B, C bởi các số dương

x, y, z sao cho: x+ y+ z= π thì cosx + cosy + cosz ≤ ? Từ đó, ta có thể phát biểu bài toán tổng quát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:

≤ ” với m, n là các số nguyên dương.

Việc chứng minh hết sức đơn giản, ta đặt mA nB

m n

+ + =x,

mB nC

m n

+ + =y,

mC nA

m n

+ + =z

Thì x, y, z cũng là 3 góc của tam giác nào đó, suy ra điều phải chứng minh

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết

là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

2

3

≤ ” Đặc biệt hoá nếu A, B,

C là 3 góc của một tam giác đều thì cosA + cosB + cosC 3

1.1

1.1

Nguyên nhân sai lầm

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2 trái với giả thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ

Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh sẽ có định hướng tốt

Khi tiếp nhận bài tập này, ngay cả những học sinh khá, giỏi ở lớp 10 cũng

khó “định hướng” được việc phân tích để tìm lời giải của bài toán Vấn đề là học sinh phải huy động vốn kiến thức đã có của mình như thế nào để “định hướng” cho việc tìm lời giải Ta có thể gợi cho các em:

+) Nếu sử dụng công cụ bất đẳng thức thì cái đích là việc tìm ra số không đổi m sao cho y m, x 3≥ ∀ > và phải chỉ ra được x0>3 để y(x0)=m Với việc “gợi” như

vậy thì học sinh nhận thấy ngay rằng việc áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số

dương: x a

x 3=

− và x2 −6x 18 b+ = theo kiểu a b 2 ab+ ≥ sẽ không được

gì! Quan sát biểu thức của hàm số ta nhận thấy x-3 và x2-6x+18 có “sự liên quan gần” bởi vì: x2-6x+18=(x-3)2+9, từ đây ta gợi dần cho học sinh quá trình phân tích như sau (với x>3):

1) x2−6x 18+ = (x 3)− 2 +9, áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương (x-3)2 và 9 thì được:

(x 3)− + ≥9 2 (x 3) 9− = 6(x 3)− 2) Ghép với biểu thức của hàm số thì được:

Ví dụ 6 (Bài 25 ôn tập cuối năm-Đại số 10 nâng cao)

Tìm các số C và β sao cho: sinα+cosα = Csin(α+β) với mọi α

Đây là bài tập cuối cùng của (SGK-Đại số 10 nâng cao) xuất bản năm

2006 Bài tập này không khó nhưng việc làm cho học sinh hiểu “rõ ràng, mạch lạc” lời giải của bài toán lại là không dễ.

Đa số học sinh khi giải bài tập này, thường giải như sau:

sinα+cosα = Csin(α+β) (1)

giáo viên gợi cho các em: “khi 3

Đến đây học sinh thấy được (*) chỉ là một trong các kết quả phải tìm Giáo viên

phân tích cho các em biết rằng: bằng “trực giác” đối với (2) thì các em mới tìm

thấy (*) là một điều kiện đủ đối với C và β để (1) nghiệm đúng ∀α chứ chưa tìm được điều kiện cần và đủ đối với C và β để (1) nghiệm đúng ∀α Dựa vào (2), gợi cho học sinh phân tích để tìm lời giải của bài toán như sau:

1) điều kiện cần: Nếu (2) nghiệm đúng ∀α thì C và β phải là bao nhiêu?

+) (2) nghiệm đúng ∀α nên (2) nghiệm đúng khi

0 Csin

C 24

2) điều kiện đủ: Dễ dàng hướng dẫn học sinh chứng minh được với (**)

thì (2) nghiệm đúng ∀α Việc giải bài toán cơ bản hoàn thành

Ví dụ 7 CMR với a, b là 2 số không âm ta luôn có:

3a + 7b3 3≥ 9ab2 (1)

Giáo viên đưa ra cách giải:

Đặt M = 33a + 7b , biến đổi M =3 3a +3b + 4b rồi áp dụng bất đẳng 3 3 3thức cô-si cho 3 số dương ta có:

M = 3a +3b + 4b3 3 3≥3 3a 3b 4b = 3 36ab3 3 3 3 3 2

Do 336 >327 ⇒ 3 36 93 > ⇒ ≥ M 9ab2dấu “=” xảy ra khi a=b=0

Việc đưa ra lời giải một cách đột ngột như vậy là không tốt về mặt sư phạm Học sinh không hiểu rằng, căn cứ vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất

đẳng thức cô-si trong khi đó có rất nhiều bất đẳng thức khác? Tại sao lại phân tích 7b 3 thành tổng của 2 số hạng? có thể tách số hạng thứ nhất thành 2 số hạng?

Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ là sự ghi nhớ một cách máy móc Để dạy cho học sinh bài toán trên, giáo viên cần làm sáng tỏ những thắc mắc của học sinh bằng hệ thống các câu hỏi:

Điều kiện a 0,b 0 gợi cho ta biết nên dùng bất đẳng thức nào? (dùng ≥ ≥

bất đẳng thức cô-si)

Dùng bất đẳng thức cô-si theo chiều nào? vì sao? (căn cứ vào chiều của

bất đẳng thức (1), VT≥VP và 2 chiều của bất đẳng thức cô-si ta chọn chiều: TB cộng ≥TB nhân; đặt M = 33a + 7b )3

Chỉ rõ các phương án có thể áp dụng bất đẳng thức cô-si? Học sinh sẽ

nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số không âm, tuy nhiên kết quả

thu được không như ta mong đợi Đến đây thầy có thể hỏi tiếp: Có thể dùng phương án khác hay không? (có thể xem M là tổng của nhiều hơn 2 số hạng, mà

trước hết ta hãy xem M là tổng của 3 số hạng không âm)

Phân tích số hạng nào trong 2 số hạng đó?

(Xem M = m1+m2+m3, khi đó áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được

≥ 3

M 3 m m m1 2 3 mà ta đang mong muốn 3 m m m = 9ab3 1 2 3 2 Như vậy, dưới

căn bậc 3 bắt buộc phải có biểu thức a3b6 mà a3b6 = a3b3b3; trên cơ sở đó ta đi đến khẳng định: giữ nguyên 3a3, tách 7b3 thành tổng của 2 số hạng).

Hình thức của bài toán dễ tạo ra những sự “ngợp”, nên gây cho học sinh

khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán Giáo viên gợi học sinh phân tích tìm mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán để tìm tòi lời giải

Xác định điều kiện của phương trình? (1 - x2≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1)

Quan sát bài toán em nhận ra mối liên hệ nào không?(1 - x2 = (1 + x)(1 - x))

Các hạng tử 90(1 x) , − 2 901 x , − 2 90(1 x) , có thể có mối liên hệ nào + 2

thông qua việc phân tích đó không?

Mong muốn học sinh lập luận: với x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 1 Ta có:

Em có nhận xét gì về phương trình (2)? Hãy đề xuất phương pháp giải?

Mong muốn học sinh trả lời:

Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2 Phương pháp giải có thể kiểm tra

Y = 0 có là nghiệm hay không? Rồi sau đó xét Y ≠ 0 và chia cả 2 vế cho Y2, đặt:

+) Kiểm tra 90(1 x) = 0 + 2 ⇔ x = - 1 có là nghiệm hay không?

+) Chia cả hai vế phương trình cho 90(1 x) , được:+ 2

Sau khi hoàn thành ví dụ trên, giáo viên có thể khắc sâu cho học sinh trong việc nhận dạng phương trình dạng: aX2 + bXY + cY2 = 0

Qua ví dụ trên ta thấy rằng nếu không phân tích, phát hiện được mối quan

hệ đặc biệt trên thì bài toán rất khó khăn; học sinh cảm thấy lúng túng Thực tế

có rất nhiều bài toán như vậy nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng này là rất cần thiết

Trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán nào đó, học sinh không chỉ nhìn bài toán từ một góc độ mà phải xem xét bài toán đó theo quan điểm toàn diện, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất

Ví dụ 9 Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:

Giải: Cách giải 1(Cho lớp 10 chương trình nâng cao)

+) (2) và (3) có tính chất: “x, y,z có vai trò như nhau” gợi cho ta: “có khả

năng T nhỏ nhất khi x=y=z=1” ta thử khai thác theo hướng này xem sao!

+) Gắn giả thiết và kết luận ta có:

Phân tích 2 lời giải trên ta nhận thấy: Cách 2 là hay nhưng đòi hỏi quá trình phân

tích phải công phu Cách 1là cách “tốt” để có thể khái quát được bài toán.

⇒ f x ≥ ,đẳng thức xảy ra khi x=0 Và minf(x)=f(0)=2 (ĐPCM)

Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển ta có lời giải 2

Liên tưởng các biểu thức x2+ +x 1; x2− +x 1 là các độ dài đoạn

phẳng tọa độ Oxy thì khi đó f(x) =MA+MB

Chuyển hoá nội dung bài toán ta phát biểu như sau:

“CMR: MA+MB có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi M trùng O”