SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG

Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng A.Tên đề tài : SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG. B.Đặt vấn đề: Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầm giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học . Là giáo viên giảng dạy nhiều năm ở bộ môn toán trung học phổ thông, chúng tôi đã gặp nhiều trắc trở trong công tác giảng dạy nhiều dạng toán ở bậc phổ thông trung học. Vì mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học. Trong đề tài này, chúng tôi giải một số bài toán bằng “con mắt” của lượng giác . Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa. Do đó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân và việc học tập nghiên cứu khoa học, thử nghiệm trực tiếp nhiều năm trong công tác giảng dạy, chúng tôi mạnh dạn trao đổi cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân. C. Cơ sở lí luận: Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hóa, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hóa? Những kiến thức liên quan a) Các hàm số cơ bản, miền giá trị: + y = sinx , y = cosx : Miền xác định R : Miền giá trị [ ] 1;1 − : Chu kì 2 π + y = tanx : Miền xác định là : Rx ∈∀ : x Zkk ∈+≠ , 2 π π : Miền giá trị R : Chu kì π Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 1 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng + y = cotx : Miền xác định là : ZkkxRx ∈≠∈∀ ,: π : Miền giá trị R : Chu kì π b) Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị: + A = sinx + cosx = ) 4 cos(2 π − x = ) 4 sin(2 π + x , - 22 ≤≤ A + B = cosx – sinx = ) 4 cos(2 π + x = ) 4 sin(2 x − π , - 22 ≤≤ B + C = xx cossin βα + , - ≤≤+ C 22 βα 22 βα + + D = cos xx nn sin + , -1 1 ≤≤ D c) Phép đổi biến số: - Hệ tọa độ cực: M );( 2 yxMR ⇒∈ Nếu M ∈ C(O;R) thì x 222 Ry =+ phép đổi biến là    = = ϕ ϕ sin cos Ry Rx Nếu M ∈ hình tròn C(O;R) suy ra x 222 Ry =+ , phép đổi biến là    = = ϕ ϕ sin cos sy rx Với r 222 Rs ≤+ - Hệ tọa độ trụ: M );;( 3 zyxMR ⇒∈ Nếu M ∈ hình trụ (H) :    = =+ zz Ryx 222 phép đổi biến là      = = = zz Ry Rx ϕ ϕ sin cos Nêú M nằm trong hình trụ (H) :    = =+ zz Ryx 222 phép đổi biến là      = = = zz sy rx ϕ ϕ sin cos với r 222 Rs ≤+ - Hệ tọa độ cầu: Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 2 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài tốn bất đẳng thức và hướng mở rộng M );;( 3 zyxMR ⇒∈ Nếu M ∈ C(O;R) : x 2222 Rzy =++ phép đổi biến là      = = = ϕ γϕ γϕ sin sincos coscos Rz Ry Rx D. Cơ sở thực tiễn : Trong trường trung học phổ thơng hiện nay có nhiều đối tượng học sinh, do đó cơng việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải tốn khơng phải là cơng việc đơn giản của mỗi giáo viên . Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, chúng tơi đã thực hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó khơng thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học logic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học người thầy đã gieo. Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà chúng tơi đang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng qt dành cho học sinh giỏi, nó khơng phải là đề dạy và học ở một lớp học có nhiều đối tượng học sinh. Tùy thuộc vào u cầu rèn luyện, ơn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết, rất mong q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý thêm để đề tài ngày một hồn thiện. E. Nội dung nghiên cứu: CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: Nếu .1,1 22 =+≤ BAA Đặt A = cos ϕϕϕϕ cossin,sin === B Ví dụ 1 : Cho 4 số x , y , u , v thỏa : u 1 2222 =+=+ yxv . Chứng minh rằng : 2)()( ≤++− yxvyxu Vì u 1 2222 =+=+ yxv . Đặt x = cos α , y = sin α , u = cos ϕ , v = sin ϕ . Ta có : 2)()( ≤++− yxvyxu ⇔ 2)sin(cossin)sin(coscos ≤++− ααϕααϕ 2)sin.coscos.(sin)sin.sincos.(cos ≤−++⇔ αϕαϕαϕαϕ 2)sin()cos( ≤−+−⇔ αϕαϕ 2) 4 cos(2 ≤−−⇔ π αϕ 1) 4 cos( ≤−−⇔ π αϕ ( ln đúng ) Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : Với mọi n ,2, ≥∈ nN với mọi a .Ta có Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 3 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng -(1+a nnnn aaa )1()1()2() 222 +≤−+≤ Ta có -1 1) 1 1 () 1 2 ( 2 2 2 ≤ + − + + ≤ nn a a a a Vì 1) 1 1 ( )1( 214 ) 1 1 () 1 2 ( 2 2 2 22 242 2 2 2 2 2 = + + = + −++ = + − + + a a a aaa a a a a . Đặt αα sin 1 1 ,cos 1 2 2 2 2 = + − = + a a a a Khi đó ta cần chứng minh : -1 1sincos ≤+≤ αα nn . ( luôn đúng ) Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : Nếu ≤− 1 x ,1 ≤ với mọi n 2 ≥ thì (1-x) nnn x 2)1( ≤++ . Đặt x = cos α . Khi đó (1) nnn 2) 2 cos2() 2 sin2()cos1()cos1( 2222 ≤+=++−⇔ αα αα 1) 2 (cos) 2 (sin 22 ≤+⇔ nn αα . ( luôn đúng ) . Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : với mọi a, b . Ta có 2 1 )1)(1( )1)(( 22 ≤ ++ −+ ba abba (1) Ta có ( 1) )1)(1( 1 () )1)(1( 2 22 2 22 = ++ − + ++ + ba ab ba ba . Đặt αα cos )1)(1( 1 ,sin )1)(1( 2222 = ++ − = ++ + ba ab ba ba . Khi đó (1) 2 1 )1)(1( 1 )1)(1( 2222 ≤ ++ − ++ + ⇔ ba ab ba ba 12sin 2 1 2sin 2 1 2 1 cos.sin ≤⇔≤⇔≤⇔ αααα ( luôn đúng ) . Ví dụ 5 : Chứng minh rằng : với mọi x , y ta có : 1 )1)(1( )1(2)1(2 22 22 ≤ ++ −+− yx xyyx Ta có : ( 1) 1 1 () 1 2 2 2 2 2 2 = + − + + x x x x , ( 1) 1 1 () 1 2 2 2 2 2 2 = + − + + y y y y . Đặt cos 2 2 2 1 1 sin, 1 2 x x x x + − = + = αα Đặt cos 2 2 2 1 1 sin, 1 2 y y y y + − = + = ββ . Khi đó ta chứng minh : 1sin.cossin.cos ≤+ αββα 1)sin( ≤+⇔ βα (luôn đúng ) Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 4 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Ví dụ 6 : Cho 1;1 ≥≥ ba . Chứng minh rằng : 1 1111 222222 ≤−+− baabab (1) Ta có (1) 1 11 22 ≤ −+− ⇔ ab ba 1 1111 22 ≤ − + − ⇔ ab b ba a . Nhận xét : ( 1) 1 () 1 22 2 =+ − aa a , ( 1) 1 () 1 22 2 =+ − bb b . Đặt cos aa a 1 sin, 1 2 = − = αα , cos bb b 1 sin, 1 2 = − = ββ Khi đó ta cần chứng minh : 1cos.sinsin.cos ≤+ βαβα 1)sin( ≤+⇔ βα . (luôn đúng). Ví dụ 7 : Chứng minh rằng với mọi a, b , x , y . Ta có 1 ))(( )(2)(2 2222 2222 ≤ ++ −+− ybax xaybybxa . Nhận xét ( 1)() 2 2 22 22 2 22 = + − + + ax xa ax ax và ( 1)() 2 2 22 22 2 22 = + − + + by yb by by . Đặt : cos 22 2 22 2 sin, 2 ax xa ax ax + − = + = αα cos 22 22 22 sin, 2 yb yb by by + − = + = ββ Như vậy ta cần chứng minh : 1cossinsincos ≤+ βαβα 1)sin( ≤+⇔ βα ( luôn đúng ). Ví dụ 8: Cho 0 >≥ ax , 0 >≥ by . Chứng minh rằng : xybaayabxb ≤−+− 22222222 (1) Ta có (1) xybyaaxb ≤−+−⇔ 2222 1 2222 ≤ −+− ⇔ xy byaaxb (2) Nhận xét : ( 1)() 22 22 =+ − x a x ax và ( 1)() 22 22 =+ − y b y by Do đó đặt : cos x a x ax = − = αα sin, 22 cos y b y by = − = ββ sin, 22 Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 5 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Khi đó (2) 1cos.sinsin.cos ≤+⇔ βαβα 1)sin( ≤+⇔ βα . (luôn đúng). Ví dụ 9 : Chứng minh rằng 4 1 )()( ))(( 222222 22222222 ≤ ++ −− byax yxbayaxb . Như cách nhận xét như ở ví dụ trên .Ta đặt cos ))(( sin, ))(( 22222222 byax xyab byax aybx ++ + = ++ − = αα cos ))(( sin, ))(( 22222222 byax xyab byax aybx ++ − = ++ + = ββ . Như vậy ta phải chứng minh : 4 1 sin.sin.cos.cos ≤ βαβα hay 4 1 2sin.2sin 4 1 ≤ βα (luôn đúng) Ví dụ 10 : Chứng minh rằng với mọi a , b mà 1,1 ≤≤ ba .Ta có 2))1)(1((311 2222 ≤−−−+−+− baababba . (1) Vì 11 ≤≤ bvàa nên đặt a= sin βα sin, = b với       − ∈ 2 ; 2 , ππ βα . Khi đó (1) 2)cos.cossin.(sin3cos.sincos.sin ≤−++⇔ βαβααββα 2)sin()cos(3 ≤+++⇔ βαβα (luôn đúng ) Ví dụ 11 : Chứng minh rằng : 2222222 ))1)(1(()11( khbaabkabbah +≤−−−+−+− Với cách đặt như ví dụ 10 thì ta cần chứng minh 22 )cos.cossin.(sin)cos.sincos.(sin khkh +≤−++ βαβααββα 22 )cos(.)(sin( khkh +≤−+−⇔ βαβα (luôn đúng ) Ví dụ 12 : Chứng minh rằng : -1 9816 22 ≤+−≤ aaa (1) Vì 1 ≤ a nên đặt : a = cos α với 0 πα ≤≤ . Khi đó (1) 5)12(4165 22 ≤−+−≤−⇔ aaa 5)1cos2(4cos1cos6 22 ≤−+−⇔ ααα 52cos42sin3 ≤+⇔ αα (luôn đúng ) Ví dụ 13 : Chứng minh rằng : 2222 )12(12 khakaha +≤−+− Với cách đặt như ví dụ 12 ta có Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 6 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng 222 2cos.2sin.)1cos2(sincos2 khkhkh +≤+=−+ ααααα Ví dụ 14 : Cho a > c , b > c > 0 . Chứng minh rằng : abcbccac ≤−+− )()( (1) Cách 1: Từ giả thuyết ta có : 0 < 1, < b c a c . Suy ra tồn tại       ∈ 2 ;0, π βα sao cho βα 22 sin;sin == b c a c . Khi đó )sin.(sin.)sin)(sin.()()( 2222 βαβα bbabaacbccac −+−=−+− = )cos.sincos.(sin βααβ + ab = abab ≤+ )sin( βα (luôn đúng ) Cách 2: Từ (1) 1 )()( ≤ −+− ⇔ ab cbccac (2) Vì 1)()( 22 =+ − a c a ca và 1)()( 22 =+ − b c b cb Nên đặt : α cos = − a ca ; α sin = a c β sin = − b cb ; β cos = b c với       ∈ 2 ;0; π βα Khi đó (2) 1cos.sinsin.cos ≤+⇔ αβαβ 1)sin( ≤+⇔ βα (luôn đúng ) Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : Nếu 11 ≤≤ yvàx thì 1)12)(12()1)(1(4 2222 ≤−−+−− yxyxxy Đặt x= cos βα cos, = y với [ ] πβα ;0, ∈ Khi đó (1) 12cos.2cossin.sin.cos.cos4 ≤+⇔ βαβαβα 12cos.2cos2sin.2sin ≤+⇔ βαβα 1)22cos( ≤−⇔ βα (luôn đúng) DẠNG 2 : RA ≤ , A 222 RB =+ , ĐẶT : A = R COS ϕ , B = R SIN ϕ Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : 15493 2 ≤+− aa (1) Giả thuyết ⇒≤⇒ 3a đặt a = 3sin α với       − ∈ 2 ; 2 ππ α Khi đó (1) 15sin.3.4sin993 2 ≤+−⇔ αα 15sin12cos9 ≤+⇔ αα (luôn đúng ) Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : 2222 khakxxah +≤−− với a >0. (1) Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 7 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Giả thuyết ⇒≤⇒ ax đặt = a sin α với       − ∈ 2 ; 2 ππ α Khi đó (1) 22222 sinsin khakaaah +≤+−⇔ αα 22 sincos khakha +≤+⇔ αα 22 sincos khkh +≤+⇔ αα (luôn đúng) Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 2222222 )2(2 khaaxkxahx +≤−+− với a> 0 (1) Giả thuyết ax ≤⇒ , đặt x = acost với t [ ] π ;0 ∈ Khi đó (1) 2222222 )1cos2()cos1(.cos.2 khatkatatha +≤−+−⇔ 2222 2cossin.cos.2 khatkttha +≤+⇔ 22 2cos2sin khtkth +≤+⇔ (1) Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : với a > 0 . Ta có 22222222222 ))((()( khayaxaxykxayyxxh +≤−−−+−+− (1) Giả thuyết ayax ≤≤⇒ , .Đặt x = a sin α , y = a sin β với       − ∈ 2 ; 2 , ππ βα Khi đó (1) 22222 )cos.cossin.(sin)cos.sincos.(sin khakaha +≤−++⇔ βαβααββα 2222 )cos()sin(. khakha +≤+−+⇔ βαβα 22 )cos(.)sin(. khkh +≤+−+⇔ βαβα (luôn đúng ) Ví dụ 5 : Cho a 4 22 =+ b . Chứng minh rằng 20382 22 ≤−+ baba Giả thuyết ⇒ đặt a=2cost , b= 2sint Khi đó (1) 20sin12cos.sin32cos12 22 ≤−+⇔ tttt 20cos.sin2.16)sin(cos12 22 ≤+−⇔ tttt 202sin162cos12 ≤+⇔ tt (luôn đúng) Ví dụ 6 : Cho a 222 Rb =+ . Chứng minh rằng 22222 2 khRhbkabha +≤−+ Giả thuyết ⇒ Đặt a = R cost , b = R sint Khi đó (1) 2222222 cos.sin2)sin(cos khRttkRtthR +≤+−⇔ 2222 2sin2cos khRtkthR +≤+⇔ 22 2sin2cos khtkth +≤+⇔ (luôn đúng) Ví dụ 7 : Cho a .4 22 =+ b Chứng minh rằng : 2233 33 ≤−+− bbaa Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 8 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Giả thuyết : ⇒ đặt a = 2cost , b = 2sint Khi đó (1) 22sin8sin6cos6cos8 33 ≤−+−⇔ tttt 22)sin4sin3(2)cos3cos4(2 33 ≤−+−⇔ tttt 223sin23cos2 ≤+⇔ tt (luôn đúng) Ví dụ 8 : Cho a 222 Rb =+ .Chứng minh rằng : 3323 434 RkbahRha ≤−− 22 kh + (1) Giả thuyết ⇒ Đặt a = Rcost , b = Rsint Khi đó (1) 223333333 sin4sin3cos3cos4 khRtkRtkRthRthR +≤−+−⇔ ⇔ 223333 )sin4sin3()cos3cos4( khRttktthR +≤−+− 22 3sin3cos khtkth +≤+⇔ Dạng 3: Nếu (ax) 2 + (by) 2 = 1 . Đặt ax = cost , by = sint Ví dụ 1 : Cho 4x 2 + 9y 2 = 25 . Chứng minh rằng : 25126 ≤+ yx (1) Giả thuyết 1) 5 3 () 5 2 ( 22 =+⇒ yx . Đặt 5 2x = sint , 5 3y = cost Khi đó (1) trở thành 25cos 3 5 12sin 2 5 6 ≤+ tt 25cos20sin15 ≤+⇔ tt Ví dụ 2 : Cho 1 2 2 2 2 =+ βα yx . Chứng minh rằng : 2222 βα babyax +≤+ (1) Từ giả thuyết suy ra : đặt x = tsin α , y = tcos β Khi đó (1) 2222 cossin βαβα batbta +≤−⇔ (luôn đúng ) Ví dụ 3 : Cho 4x 19 22 =+ y . Chứng minh rằng : 121294 22 ≤+− xyyx (1) Giả thuyết ⇒ đặt 2x = cost , 3y = sint Khi đó (1) 2cos.sin2sincos 22 ≤+−⇔ tttt 22sin2cos ≤+⇔ tt (luôn đúng ) Ví dụ 4 : Cho a 1 2222 =+ ybx . Chứng minh rằng : 222222 2)( khabxykybxah +≤+− (1) Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 9 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Giả thuyết : ⇒ đặt ax = cost , by = sint Khi đó (1) 2222 cos.sin2.)sin(cos khttktth +≤+−⇔ 22 2sin2cos khtkth +≤+⇔ ( luôn đúng ) Dạng 4: Nếu 0 >≥ kA thì đặt A = ϕ cos k , biến đổi : A ϕ ϕ 22 2 222 tan)1 cos 1 ( kkk =−=− Ví dụ 1 : Cho 1 ≥ a . Chứng minh rằng : 2 31 2 ≤ −− a a Có thể lượng giác hóa như ví dụ 6 ở dạng (1) Ở đây ta lượng giác hóa ở dạng 4 Vì 1 ≥ a nên đặt a =       ∪       ∈ π ππ ; 22 ;0, cos 1 t t Ta có A = a a 31 2 +− = t t cos 1 31 cos 1 2 +− = cost(tant + 3 ) = tt sincos3 + 2 ≤⇒ A Ví dụ 2 . Cho 1 ≥ a . Chứng minh rằng 1 1 2 +≤ +− α α a a Với cách đặt như ví dụ 1 ta có 1sincos.(tancos +≤+=+= ααα ttttA Ví dụ 3 : Cho 0 >≥ α a . Chứng minh rằng : α βαβα 22222 + ≤ +− a a Vì .0 >≥ α a Nên đặt a =       ∪       ∈ π ππα ; 22 ;0, cos t t Ta có t t A cos tan 2 α βα + = = α βα α βα α βα 2222 cossin)tan(cos + ≤ + = + tttt Ví dụ 4 : Cho 1;1 ≥≥ ba . Chứng minh rằng : abba ≤−+− 11 22 (1) Ta có (1) 1 11 22 ≤ −+− =⇔ ab ba A Có thể lượng giác hóa như dạng 1 .Ở đây ta lượng giác hóa dạng 4 : Đặt a = , cos 1 ; cos 1 βα = b với       ∪       ∈ π ππ βα ; 22 ;0; Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 10 [...]... thành công trong việc hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh khá ,giỏi Tuy nhiên, để giải các bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa thì các em học sinh phải nắm các công thức lượng giác và miền giá trị H.Đề nghị: Trong thời gian tới ,nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tiếp tục mở rộng nghiên cứu đề tài này Trên đây là một phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác hóa trong việc bồi... Đẳng thức xảy ra khi   cos ϕ = 4  5   4 x= 3z  hay  y= 4z  3  Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 15 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng F.Kết quả nghiên cứu: Qua quá trình giảng dạy, chúng tôi nhận thấy rằng các em học sinh đã giải quyết các bài toán thuộc các dạng trên một cách nhanh hơn, linh hoạt hơn bằng phương pháp lượng. ..Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Khi đó : A = Ví dụ 5: Cho tan α+tan β 1 cos α cos β = cos α cos β(tan α +tan β) =sin(α +β) ≤1 x ≥a ; y ≥a >0 Chứng minh rằng: A = x 2 −a 2 b + xy y 2 −b 2 a ≤1 Có thể lượng giác hóa như dạng 1 Ta lượng giác hóa như dạng 4 Ta có : A = ab(tan α+tan β ) ab cos α... Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 13 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng * Hướng mở rộng vấn đề : Ví dụ 1: Không sử dụng COSI , hãy chứng minh : ax+by +cz ≤ a + b + c x + y + z (1) - Nếu (a,b,c) hoặc (x,y,z) đồng thời bằng không thì ta có (1) trở thành 0 = 0 (đúng ) - Nếu (a,b,c) và (x,y,z) không đồng thời bằng 0 Ta có a 2 +b2 + c 2... khá, giỏi Tuy nhiên, phương pháp trên không thể không tránh khỏi những thiếu sót cần Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 16 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng bổ sung Tôi rất mong được sự góp ý của quý cấp lãnh đạo và các bạn đồng nghiệp để SKKN của tôi hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn ! I.Tài liệu tham khảo: 1 .Giải tích hiện đại... cos 2t −bc sin 2t ≤ a 2 +b 2 c 2 nên 1 a a 2 + b2 c 2 1 a a 2 + b2c 2 ( − )≤ A≤ 2 ( + ) c2 2 2 c 2 2 Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 11 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Dạng 5: A bất kì , Đặt A = tant Ví dụ 1: Chứng minh rằng : Với mọi n ∈N , n ≥ 2 thì -( 1 + a 2 )n ≤ (2a )n + (1 − a 2 )n ≤ (1 + a 2 )n (1) Ta có (1) ⇔ −1 ≤ ( x Đặt... trên, HĐKH Trường Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 18 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng thống nhất xếp loại : Những người thẩm định : (Ký, ghi rõ họ tên) Chủ tịch HĐKH (Ký , đóng dấu, ghi rõ họ tên) Đánh giá , xếp loại của HĐKH Sở GD và ĐT Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 19 ... v sin α2 sin β2 sin γ 2 y = v sin α2 sin β2 cos γ 1 z = v sin α2 cos β2 t = v cos α2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 14 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng Khi đó (1) tương đương : uv(sin α1 sin β1 sin α2 sin β2 (sin γ 1 sin γ 2 + cos γ 1 cos γ 2 ) + sin α1 cos β1 sin α2 cos β2 + cos α1 cos α2 ) ≤ uv ⇔ sin α1... = tanv với u , v ∈  −1 ( x + y )(1 − xy ) 1 Ví dụ 4: Chứng minh rằng : 2 ≤ (1 + x 2 )(1 + y 2 ) ≤ 2 (1) Người thực hiện: GV Trương Quang Thành 12 Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng  −π π  ;   2 2 Đặt x = tanu , y = tanv với u , v ∈  −1 Khi đó (1) ⇔ 2 ≤ (tan u + tan v )(1 − tan u tan v ) 1 ≤ (1 + tan 2 u )(1 + tan 2 v ) 2 sin(u +... lượng giác Thực tế, trong nhiều năm liền tôi may mắn nhận được sự tin tưởng của nhà trường phân công giảng dạy ở những lớp nâng cao có đối tượng học sinh giỏi chiếm đa số Vào những tiết luyện tập, chúng tôi đã đem vấn đề này hướng dẫn lồng ghép phương pháp lượng giác hóa để giải các bài tập nâng cao nhằm cho các em thu thập thêm kiến thức và kinh nghiệm để áp dụng vào kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng . Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng A.Tên đề tài : SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI. đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng * Hướng mở rộng vấn đề : Ví dụ 1 : Không sử dụng COSI