SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG
Trang 1A.Tên đề tài : SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG.
B.Đặt vấn đề:
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầm giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học
Là giáo viên giảng dạy nhiều năm ở bộ môn toán trung học phổ thông, chúng tôi đã gặp nhiều trắc trở trong công tác giảng dạy nhiều dạng toán ở bậc phổ thông trung học Vì mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện khái niệm toán học của nó Trong các cách giải khác nhau
đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học Trong đề tài này, chúng tôi giải một số bài toán bằng
“con mắt” của lượng giác
Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa Do đó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân và việc học tập nghiên cứu khoa học, thử nghiệm trực tiếp nhiều năm trong công tác giảng dạy, chúng tôi mạnh dạn trao đổi cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân
C Cơ sở lí luận:
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hóa, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hóa?
Những kiến thức liên quan
a) Các hàm số cơ bản, miền giá trị:
+ y = sinx , y = cosx : Miền xác định R
: Miền giá trị 1 ; 1
: Chu kì 2
+ y = tanx : Miền xác định là : x R : x k ,kZ
2
: Miền giá trị R
: Chu kì
Trang 2+ y = cotx : Miền xác định là : xR:xk ,kZ
: Miền giá trị R
: Chu kì
b) Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:
4 cos(
4 sin(
4 cos(
4 sin(
2 x
, - 2 B 2
+ C = sinx cosx , - 2 2 C 2 2
+ D = cosn x sinn x , -1D 1
c) Phép đổi biến số:
- Hệ tọa độ cực:
MR 2 M(x;y)
Nếu M C(O;R) thì x2 y 2 R2 phép đổi biến là
sin cos
R y R x
Nếu M hình tròn C(O;R) suy ra x2 y 2 R2 , phép đổi biến là
sin
cos
s
y
r
x
Với r2 s 2 R2
- Hệ tọa độ trụ:
M R 3 M(x;y;z)
Nếu M hình trụ (H) :
z z
R y
phép đổi biến là
z z
R y
R x
s in cos
Nêú M nằm trong hình trụ (H) :
z z
R y
phép đổi biến là
z z
s y
r x
sin
co s
với r
2
2
2 s R
- Hệ tọa độ cầu:
z y x M
R
Nếu M C(O;R) : x2 y2 z2 R2 phép đổi biến là
sin
sin cos
cos cos
R z
R y
R x
D Cơ sở thực tiễn :
Trong trường trung học phổ thông hiện nay có nhiều đối tượng học sinh,
do đó công việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là công việc đơn giản của mỗi giáo viên
Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, chúng tôi đã thực hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học logic, tạo động lực để học sinh say
mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học người thầy đã gieo Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà chúng tôi đang trình bày
Trang 3và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi,
nó không phải là đề dạy và học ở một lớp học có nhiều đối tượng học sinh Tùy thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết, rất mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý thêm để đề tài ngày một hoàn thiện
E Nội dung nghiên cứu: CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1 : Cho 4 số x , y , u , v thỏa : u2 2 2 2 1
u(x y) v(xy) 2
v x y Đặt x = cos , y = sin , u = cos, v = sin
Ta có : u(x y) v(xy) 2
cos (cos sin ) sin (cos sin ) 2
(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin ) 2
cos( ) sin( ) 2
4 cos(
4
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : Với mọi n N, n 2 ,với mọi a Ta có
-(1+a2 )n ( 2a)n ( 1 a2 )n ( 1 a2 )n
1
1 ( ) 1
2
2
a
a a
a
1
1 ( )
1 (
2 1
4 ) 1
1 ( )
1
2
2
2 2
2
2 4 2
2 2
2 2
a a
a a a
a
a a
a
1
1 , cos 1
2
2
2
a a
a
Khi đó ta cần chứng minh : -1 cosn sinn 1 ( luôn đúng )
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
Nếu 1 x 1 ,với mọi n 2 thì (1-x)n ( 1 x)n 2n
2 cos 2 ( ) 2 sin 2 ( ) cos 1 ( ) cos 1
1 ) 2 (cos )
2
(sin 2 2
Trang 4Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : với mọi a, b Ta có ((1 2)()(11 2)) 21
b a
ab b
a
(1)
) 1 )(
1 (
1 ( ) ) 1 )(
1 (
2 2 2
2 2
b a
ab b
a
b a
) 1 )(
1 (
1 , sin ) 1 )(
1
b a
ab b
a
b a
Khi đó (1) (1 2)(1 2) (1 12)(1 2) 21
b a
ab b
a
b a
1 2 sin 2
1 2 sin 2
1 2
1 cos
.
) 1 )(
1 (
) 1 ( 2 ) 1 ( 2
2 2
2 2
y x
x y y
x
1
1 ( ) 1
2
2 2
x x
x
1
1 ( ) 1
2
2 2
y y
y
1
1 sin , 1
2
x
x x
x
2
1 sin , 1
2
y
y y
y
Khi đó ta chứng minh : cos sin cos sin 1 sin( ) 1 (luôn đúng )
Ví dụ 6 : Cho a 1 ;b 1 Chứng minh rằng : 12 212 12 212 1
b a a b a
2 2
ab b a
2 2
a b
b b a
a
Nhận xét : ( 2 1) 2 (1) 2 1
a a
b b
Đặt cos
a a
sin , 1 2
cos
b b
sin , 1 2
Khi đó ta cần chứng minh : cos sin sin cos 1
sin( ) 1 (luôn đúng)
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng với mọi a, b , x , y
Trang 5Ta có 1
) )(
(
) (
2 ) (
2
2 2 2 2
2 2 2
2
y b a x
x a yb y
b xa
2 2
2 2 2 2
x a a
x
2 2
2 2 2 2
y b b
y
by
2 sin
,
2
a x
x a a
x
ax
2 2 2
22 , sin
y b
y b b
y
by
Như vậy ta cần chứng minh : cos sin sin cos 1
sin( ) 1 ( luôn đúng )
Ví dụ 8: Cho x a 0 , y b 0
Chứng minh rằng : b2x2 b2a2 y2a2 a2b2 xy (1)
Ta có (1) b x2 a2 a y2 b2 xy
2 2 2
2
xy
b y a a x b
(2)
x
a x
a
y
b y
b y
Do đó đặt : cos
x
a x
a x
2 2
cos
y
b y
b y
2 2 Khi đó (2) cos sin sin cos 1 sin( ) 1 (luôn đúng)
Ví dụ 9 : Chứng minh rằng ( ( 2 2)2)(( 2 2)2 ) 41
2 2 2 2 2 2 2 2
b y a x
y x b a y a x b
Như cách nhận xét như ở ví dụ trên Ta đặt
) )(
xy ab b
y a x
ay bx
) )(
xy ab b
y a x
ay bx
Như vậy ta phải chứng minh :
cos cos sin sin 41 hay sin 2 sin 2 41
4
1
đúng)
Ví dụ 10 : Chứng minh rằng với mọi a , b mà a 1 ,b 1.Ta có
Trang 61 2 1 2 3 ( ( 1 2 )( 1 2 ) 2
Vì a 1và b 1nên đặt a= sin , b sin với
2
; 2 ,
(1) sin cos sin cos 3 (sin sin cos cos ) 2
2 ) sin(
) cos(
Ví dụ 11 : Chứng minh rằng :
h(a 1 b2 b 1 a2 ) 2 k(ab ( 1 a2 )( 1 b2 ) h2 k2
Với cách đặt như ví dụ 10 thì ta cần chứng minh
2 2
) cos cos sin
(sin )
cos sin cos
.
2 2
) cos(
)
Vì a 1 nên đặt : a = cos với 0
6 cos 1 cos 2 4 ( 2 cos 2 1 ) 5
3 sin 2 4 cos 2 5 (luôn đúng )
Ví dụ 13 : Chứng minh rằng : 2ha 1 a2 k( 2a2 1 ) h2 k2
Với cách đặt như ví dụ 12 ta có
2 2
2 1 ) sin 2 cos 2 cos
2 ( sin
cos
2h k h k h k
Ví dụ 14 : Cho a > c , b > c > 0
Chứng minh rằng : c(a c) c(b c) ab (1)
Cách 1: Từ giả thuyết ta có : 0 < , 1
b
c a
c
2
; 0
sao cho sin2 ; sin2
b
c a
c
Khi đó
) sin ( sin ) sin )(
sin ( ) ( )
a a c
b c c
a
= ab(sin cos sin cos )
= absin( ) ab (luôn đúng )
ab
c b c c a c
(2)
a
c a
c
a
b
c b
c b
Trang 7Nên đặt : cos
a
c a
; sin
a c
sin
b
c b
; cos
b
c
với
2
; 0
Khi đó (2) cos sin sin cos 1 sin( ) 1 (luôn đúng )
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : Nếu x 1và y 1
thì 4 ( 1 2 )( 1 2 ) ( 2 2 1 )( 2 2 1 ) 1
xy
Đặt x= cos ,y cos với , 0 ;
Khi đó (1) 4 cos cos sin sin cos 2 cos 2 1
1 2 cos 2 cos 2
sin
.
2
1 ) 2
2
cos(
DẠNG 2 : A R , A2 B 2 R2 , ĐẶT : A = R COS , B = R SIN
Giả thuyết a 3 đặt a = 3sin với
2
; 2
9 cos 12 sin 15 (luôn đúng )
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : h a2 x2 kx a h2 k2 với a >0 (1)
Giả thuyết x a đặt = a sin với
2
; 2
Khi đó (1) h a2 a2 sin 2 kasin a h2 k2
2 2
sin
h
2 2
sin
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 2hx a2 x2 k( 2x2 a2 ) a2 h2 k2 với a> 0 (1)
Giả thuyết x a, đặt x = acost với t 0 ;
Khi đó (1) 2ha cost. a2 ( 1 cos 2t) ka2 ( 2 cos 2t 1 ) a2 h2 k2
2 2 2
2 2h cost sint kcos 2t a h k
2 2
2 cos 2
sin t k t h k
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : với a > 0 Ta có
h(x x2 y2 y a2 x2 ) k(xy (a2 x2 )(a2 y2 ) a2 h2 k2 (1)
Trang 8Giả thuyết x a, y a Đặt x = a sin , y = a sin với
2
; 2 ,
Khi đó (1)
2 2 2 2
2 (sin cos sin cos ) ka (sin sin cos cos ) a h k
2 2 2
2h sin( ) kcos( ) a h k
2 2
) cos(
) sin(
Ví dụ 5 : Cho a2 2 4
ab b a
Giả thuyết đặt a=2cost , b= 2sint
12 (cos 2 sin 2 ) 16 2 sin cos 20
12 cos 2t 16 sin 2t 20 (luôn đúng)
Ví dụ 6 : Cho a2 b 2 R2 Chứng minh rằng ha2 2kab hb2 R2 h2 k2
Giả thuyết Đặt a = R cost , b = R sint
Khi đó (1) hR2 (cos 2t sin 2t) kR2 2 sint cost R2 h2 k2
2 2 2
2hcos 2t ksin 2t R h k
2 2
2 sin 2
cos t k t h k
Ví dụ 7 : Cho a2 2 4
a b b a
Giả thuyết : đặt a = 2cost , b = 2sint
2 ( 4 cos 3 3 cos ) 2 ( 3 sin 4 sin 3 ) 2 2
2 cos 3t 2 sin 3t 2 2 (luôn đúng)
Ví dụ 8 : Cho a2 b 2 R2.Chứng minh rằng : 4ha3 3hR2a 4kb3 R3 h 2 k2 (1)
Giả thuyết Đặt a = Rcost , b = Rsint
Khi đó (1) 4R3hcos 3t 3R3hcostkR3 3 sint 4R3ksin 3t R3 h2 k2
R3h( 4 cos 3t 3 cost) k( 3 sint 4 sin 3t) R3 h2 k2
hcos 3tksin 3t h2 k2
Dạng 3: Nếu (ax)2 + (by)2 = 1 Đặt ax = cost , by = sint
Trang 9Ví dụ 1 : Cho 4x2+ 9y2 = 25 Chứng minh rằng : 6x 12y 25 (1)
5
3 ( ) 5
2 ( 2 2
Đặt 2x5 = sint , 3y5 = cost
3
5 12 sin 2
5
6 t t 15 sint 20 cost 25
2 2
2
y x
a by
Từ giả thuyết suy ra : đặt x = sint, y = cost
Khi đó (1) a sint b cost a2 2 b2 2 (luôn đúng )
Ví dụ 3 : Cho 4x2 9 2 1
y xy
Giả thuyết đặt 2x = cost , 3y = sint
t t t t
cos 2t sin 2t 2 (luôn đúng )
Ví dụ 4 : Cho a2 2 2 2 1
b y
h(a2x2 b2y2 ) k2abxy h2 k2 (1)
Giả thuyết : đặt ax = cost , by = sint
Khi đó (1) h(cos 2t sin 2t) k 2 sint cost h2 k2
hcos 2tksin 2t h2 k2 ( luôn đúng )
Dạng 4: Nếu A k 0 thì đặt A = cosk ,
2 2 2
2 2
cos
1
k
2
a a
Có thể lượng giác hóa như ví dụ 6 ở dạng (1)
Ở đây ta lượng giác hóa ở dạng 4
2 2
; 0 , cos
1 t
t
Trang 10Ta có A =
a
a2 1 3
t
t
cos 1
3 1 cos
1
2
= cost(tant + 3) = 3 cost sint
2
A
Ví dụ 2 Cho a 1 Chứng minh rằng 21 1
a a
Với cách đặt như ví dụ 1 ta có
A cost(tant cost sint 1
Ví dụ 3 : Cho a 0 Chứng minh rằng : 2 2 2 22
a a
; 2 2
; 0 , cost t
Ta có
t
t A
cos
= cost(tant 2) sint2cost 22
Ví dụ 4 : Cho a 1 ;b 1 Chứng minh rằng : a2 1 b2 1 ab (1)
ab b a
A
Có thể lượng giác hóa như dạng 1 Ở đây ta lượng giác hóa dạng 4 :
cos
1
; cos
1
2 2
; 0
;
Khi đó :
cos cos 1 tan tan
A = cos cos (tan tan ) sin( ) 1
Ví dụ 5 : Cho x a; y a 0
2 2 2
2
xy
a b y b a x A
Có thể lượng giác hóa như dạng 1
Ta lượng giác hóa như dạng 4
Ta có :
cos cos
) tan (tan
ab
ab
A = cos cos (tan tan ) sin( ) 1
Nhận xét : từ ví dụ 1 đến ví dụ 5 đều có thể dùng Bunhiacopxki Nhưng ở đây ta xem xét lượng giác trên khía cạnh công cụ
Ví dụ 6 : Cho a 1 Chứng minh rằng : -4 5 12 2 1 9
2
a a
Trang 11Giả thuyết đặt a =
2 2
; 0 , cos
1
t t
2 1 12
5
a
a (5-12tant)cos2t 5 cos 2t 12 sint cost
25(1+cos2t)-6sin2t = 2525cos2t-6sin2t
2
5 ( 2 sin 6 2
cos
2
5
Nên 25 132 A25132 hay -4A 9
Ví dụ 7 : Cho x c 0 Chứng minh rằng
2 2
(
1 )
2 2
(
2 2
2 2 2
2 2 2
c b a a c x
c x b a c b a a
c
2 2
; 0
x
c x b
a = c a bc t t
t c
t bc
2 2
2 1 ( tan ) cos cos
tan
2 2
2
1 ) cos tan cos
(
1
c t t bc t a
c ( ( 1 cos 2 ) sin cos )
a
2
1 2 (
1
2 a a t bc t
2 2
(
1 )
2 2
(
2
2 2 2 2
c b a a c A c b a a c
Dạng 5: A bất kì , Đặt A = tant
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : Với mọi n N, n 2 thì
-(1 a2 )n ( 2a)n ( 1 a2 )n ( 1 a2 )n
1
1 ( ) 1
2 (
2
a
a a
a
Đặt a = tan 2x với - x
2 tan 1
2 tan 1 ( ) 2 tan 1 2 tan 2 (
2
2
2
x x
x
1 cos sin
(đúng )
Ví dụ 2 : Với mọi nN, n 2 thì – (a2 k2 )n ( 2ak)n (k2 a2 )n (k2 a2 )n
Trang 12Ta có (1) 1 ( 2 ) ( 2 2) 1
2 2 2
a k
a k a
k ak
Đặt a = k tant , t k
) tan 1 (
) tan 1 ( 2 ( ) ) tan 1 (
tan 2
2 2
2 2
2
t k
t k
t k
t k
1 sinn t cosn t 1
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi x,y ta có :
4
1 ) 1 ( ) 1 (
) 1
)(
( 4
1
2 2 2 2
2 2 2
2
y x
y x y
x
Ta có 41 (1 2)2(1 2)2 41
2 2 4 2 4 2
y x
y x y y x x
4
1 )
1 ( ) 1 (
) 2
1 ( ) 2
1
(
4
1
2 2 2 2
4 2 2
4 2 2
y x
x x y
y y x
4
1 ) 1 ( ) 1 ( 4
1
2 2
2 2
2
2
y
y x
x
2
; 2
4
1 2 sin 4
1 4
v u
4
1 2 sin 4
1 2 sin 4
1 2 sin 4
1 2 sin
4
1
4
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 21 ((1 2)()(11 2)) 21
y x
xy y
x
(1)
2
; 2
Khi đó (1) 21 (tan(1 tantan2 )()(11 tantan2tan) )21
v u
v u v
u
2 1
cos cos
1cos .cos
sin sin cos cos cos cos
) sin(
2 1
2 2
v u
v u
v u v u v u
v u
2
1 ) cos(
) sin(
2
1
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng với mọi x, y ta có : 2x(a(a2 y y)2)(a22y(a x2)x ) a1
2 2 2
2
Với a>0
Trang 13Đặt x = atanu , y = atanv , u, v
2
; 2
Khi đó ta có : 2a tanu a(14(1tantanv2)u)(21a tantanv2v(1) tan v) a1
2 3
2 3
a u v
v u
a
1 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin
1
sin( 2u 2v) 1 (luôn đúng )
x x
1
24 ) 1 ( 5
2
2
x
x x
Đặt x = tanu , u k
13 2 sin 12 2 cos 5 1
tan
tan 2 12 )
1
(tan
5
2
2
u u
u
u u
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng : Với mọi x ta có:
ax2 2kbx k2a a2 b2 (x2 k2 )
2 2
2
(
b a k
x
kbx k
x a
Đặt x = k tanu , với u
2
+m
2 2
2 2
2
2 sin 2
cos )
1 (tan
tan 2 ) 1 (tan
b a u b u a u
k
u b k u
ak
* Hướng mở rộng vấn đề :
Ví dụ 1 : Không sử dụng COSI , hãy chứng minh :
ax+by +cz a2 b2 c2 x2 y2 z2 (1)
- Nếu (a,b,c) hoặc (x,y,z) đồng thời bằng không thì ta có
(1) trở thành 0 = 0 (đúng )
- Nếu (a,b,c) và (x,y,z) không đồng thời bằng 0
Ta có a2 b2 c2 ( a2 b2 c2 ) 2 u2
v z y x z
Đặt a = u.sin 1 sin 1 ,bu sin 1 cos 1 ,cucos 1
x= v.sin 2 sin 2 ,yvsin 2 cos 2 ,zvcos 2
Với 1, 20 ;
Khi đó (1) uv(sin 1sin 1sin 2sin 2 sin 1sin 2cos 1cos 2 cos 1cos 2 uv