chuyên đề phương pháp tam giác trong chứng minh hình học lớp 8

Chuyên đề:Phơng pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng Cụm trờng thị trấn Diêm Điền Phơng pháp “ Tam giác đồng dạng” là phơng pháp ứng dụng tính chất đồng dạng của tam gi

Chuyên đề:

Phơng pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng

Cụm trờng thị trấn Diêm Điền

Phơng pháp “ Tam giác đồng dạng” là phơng pháp ứng dụng tính chất đồng dạng của

tam giác, tỷ lệ các đoạn thẳng, trên cơ sở đó tìm ra hớng giải các dạng toán hình học

Trên thực tế, việc áp dụng phơng pháp “Tam giác đồng dạng” trong giải toán có

các thuận lợi và khó khăn chứng nh sau:

Dạng 4:

Chứng minh

đồng dạng

Dạng 5: Chứng minh

đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau

Dạng 6:

Toán ứng dục thực tế

+ Một là: Phơng pháp “ Tam giác đồng dạng” là công cụ chính giúp ta tính toán

nhanh chóng các dạng toán đặc trng về tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, các bài tậpứng dụng các định lý sau Thales

+ Hai là: Với một số dạng toán quen thuộc nh chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc

bằng nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phơng pháp “ Tam giác đồng

dạng” có thể cho ta những cách giải quyết gọn gàng, ngắn hơn các phơng pháp truyền thống

khác nhau sử dụng tính chất tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt

+ Ba là: Phơng pháp “ Tam giác đồng dạng” giúp rèn luyện tốt khả năng t duy logic

của học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu quả

* Khó khăn:

+ Thứ nhất: Phơng pháp “ Tam giác đồng dạng” còn lạ lẫm với học sinh Các em

cha quen với việc sử dụng một phơng pháp mới để giải toán thay cho các cách chứngminh truyền thống, đặc biệt là với các học sinh lớp 8 mới

+ Thứ hai: Việc sử dụng các tỷ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trongtính toán, biến đổi vòng quanh luẩn quẩn, không rút ra ngay đợc các tỷ số cần thiết,không có kỹ năng chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hớng giải bài toán

Từ những nhận định trên, chuyên đề này giải quyết giúp cho giáo viên dạy lớp 8

và các em học sinh một số vấn đề cụ thể là :

- Hệ thống lại các kiến thức thờng áp dụng trong phơng pháp

- Hệ thống các dạng toán hình học thờng áp dụng phơng pháp “ Tam giác đồng dạng”.

- Định hớng giải quyết các dạng toán này bằng Phơng pháp “ Tam giác đồng dạng”

- Hệ thống một số bài tập luyện tập

- Minh họa một số tiết dạy luyện tập

Trong chuyên đề này tập thể tác giả đã có rất nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm một sốphơng pháp hình học đặc trng, tuy nhiên do hạn chế về kiến thức về thực tế giảng dạy chắcchắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót Kính mong các thầy giáo, cô giáo có nhiều năm kinhnghiệm trong giảng dạy, các bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho chuyên đềtrở nên hoàn chỉnh hơn Chúng tôi xin chân thành cảm ơn./

1 Đinh lý Talet trong tam giác.

Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cnahj cònlại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ

2 Khái niệm tam giác đồng dạng.

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

d) Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông.

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kiathì hai tam giác đó đồng dạng

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông củatam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng

+ Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền vàcạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Phần III Các dạng toán cụ thể

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích

Loại 1: Tính độ dài đoạn thẳng

 

12

18 8

= 12(cm)Bài tập 3:

a) Tam giác ABC có B = 2C; AB = 4cm; BC = 5cm

Tính độ dài AC?

b) Tính độ dài các cạnh của ABC có B = 2C biết rằng số đo các cạnh là 3 số tựnhiên liên tiếp

a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC

B ACD và ABC có A chung; C = D =   ACD P ABC (g.g)

Theo câu (a) ta có

AC2 = AB AD = AB(AB+BC)  b2 = c(c+a) = c2 + ac (1)

Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là:

+ Bài 1: Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực của

BC cắt BC , BA, CA lần lợt ở M, E, D Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD

+ Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E  AB; D  AC; F  AC)

a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm Tổng quát với BC = a, BC = c.b) Chứng minh rằng BD <

c a

Ví dụ minh họa:

+ Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối của HBlấy điểm C sao cho AC =



AH

BH AC

AB

 (chứng minh trên)

 ABH P CAH (CH cạnh gv)  CAH = ABH

Lại có BAH + ABH = 900 nên BAH + CAH = 900

Do đó : BAC = 900

Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600 Một đờng thẳng bất kỳ đi qua Ccắt tia đối của các tia BA, DA tơng ứng ở M, N Gọi K là giao điểm của BN và DM.Tính BKD? M

Hình thoi ABCD; A = 600 ;

MB

 (cm trên) 

DN

BD BD

MB

 ; MBD = DBN

a) Chøng minh AEF P ABC

b) BiÕt A = 1050; D = 450 TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña mçi 

Lo¹i 3: TÝnh tû sè ®o¹n th¼ng, tû sè chu vi, tû sè diÖn tÝch

VÝ dô minh häa:

+ Bµi 1: Cho ABC, D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC sao cho BDC ABC

BiÕt AD = 7cm; DC = 9cm TÝnh tû sè

BA BD

C A AB

B A

b) A’B’C’ P A+B+C+ (c©u a)  A AB'B' A AC'C' B BC'C' = A AB B A AC C B BC C







 ' ' ' ' '

'

=

27

18 12 9 6

8 6 4







ABC Chuvi

C B A Chuvi

+ Bµi 3: Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi E vµ F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña Ab,

BC, CE c¾t DF ë M TÝnh tû sè

ABCD

CMB S

S

?

D C H×nh vu«ng ABCD; AE = EB ;

64

6

M GT BF = CF; CE  DF tại M

ABCD

CMB S

S

=

5 1

Bài tập đề nghị:

Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD

a) BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng củ P qua M Chứng minh rằng PA = P’D.Tính tỷ số

PC

PA

và

AC AP

c) Chứng minh rằng diện tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau.Tính tỷ số diện tích MAP và ABC

Loại 4: Tính chu vi các hình

+ Bài 1(bài 33 – 72 – SBT)

ABC; O nằm trong ABC;

GT P, Q, R là trung điểm của OA, OB, OC

QR AB PQ

A

Vậy chu vi của PQR = 271,5(cm).

+ Bài 2: Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC saocho DE // BC

Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi ABE =

5

2

chu vi ABC

Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tổng 2 chu vi = 63cm

5

2

C.vi ABC

GT C.vi ADE + C.viADE = 63cm

D E KL Tính C.vi ABC và C.vi ADE



2 5

ADE Chuvi ABC

+ Bài 1: A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = 52

Tính chu vi của mỗi tam giác, biết hiệu chu vi của 2 tamgiasc đó là 51dm

+ Bài 2: Tính chu vi ABC vuông ở A biết rằng đờng cao ứng với cạnh huyềnchia tam giác thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm

Loại 5: Tính diện tích các hình

+ Bài 1(Bài 10 – 63 – SGK):

A ABC; đờng cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH

GT theo thứ tự tại B’, C’, H’ B’ H’ C’ KL a)

BC

C B AH

C H H B



 ' ' '

b) Tõ

BC

C B AH

C B AH

.

' ' '.

=

ABC

C AB

S

S



 2

2 ' '

=

ABC

C AB

 SAB’C’ =

9

5 , 67

= 7,5(cm2)+ Bµi 2(bµi 50 – 75 – SBT)

+ Bµi 3: Cho ABC vµ h×nh b×nh hµnh AEDF cã E  AB; D  BC, F  AC.TÝnh diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh biÕt r»ng : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2;

 E1 = F 1 (2)

+ Bài 1:Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của AD, DC Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD

Tính diện tích tứ giác EIHD

+Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích ABC là 11cm2.Qua B kẻ đờng thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N Tính diện tích MND

+ Bài 3: Cho ABC có các B và C nhọn, BC = a, đờng cao AH = h Xét hình chữnhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; PQ  BC

a) Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông

* Tìm hiểu bài toán : Cho gì?

? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào

TL: Chứng minh tam giác đồng dạng



D

B H

O A

OK

OH

=

CD AB

2 Ví dụ 2:

Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùngmột nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD Đ ờng thẳngqua P vuông góc với AB tại I

- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)

 AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB)

- Việc chứng minh bài toán trên đa về việc chứng minh các hệ thức

AB.AI = AC.APAB.IB = BP.PD

- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P)

AB

AP =

AC AI

 

AB IB + AB AI = BP PD + AC AP 

AB (IB + IA) = BP PD + AC AP



AB2 = BP PD + AC AP

3 Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đa ra bài toán sau:

Cho  nhọn ABC, các đờng cao BD và CE cắt nhau tại H A

CMR: BC2 = BH BD + CH.CE D

Định hớng: Trên cơ sở bài tập 2 E

Học sinh đa ra hớng giải quyết bài tập này H

 Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K  BC)

Sử dụng P chứng minh tơng tự ví dụ 2 B C

4 Ví dụ 4: Cho  ABC, I là giao điểm của 3 đờng phân giác, đờng thẳng vuông

góc với CI tại I cắt AC và BC lần lợt ở M và N Chứng minh rằng

( AMI P AIB)Sơ đồ:

 

 

 

= 2 2

(Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 = AM AB BI2 = BN AB

22

AI

BI =

AM BN

2

AI BI

 

 

 

= AM BN

I Mục tiêu chung :

- Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, các trờng hợp đồng dạng củatam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải quyết các bài toán về chứng minh quan hệsong song

- Thông bao các bài tập khắc sâu các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lý Ta– lét đảo

- Rèn kỹ năng t duy, suy luận lô gic, sáng tạo khi giải bài tập

II Kiến thức áp dụng.

- Định nghĩa tam giác đồng dạng

- Các trờng hợp đồng dạng của tam giác

- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song

* Ví dụ minh họa:

+ Ví dụ 1:

Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M là trung điểm của CD, E là giao

điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC

- Sử dụng trờng hợp đồng dạng của tam giác

- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta lét đảo)

 ME

EA =

MF FB



EF // AB (Định lý Ta lét đảo)+ Ví dụ 2:

Cho  ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đờng cao Kẻ EM, FN là hai đờngcao của AEF

CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo

tỉ số 1 : 2 Chứng minh rằng IK // BC

Gọi M là trung điểm của AF

Gọi N là giao điểm của DM và EF A

Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng đi qua A song song với BC cắt BD Đờng thẳng

đi qua B và song song với AD cắt AC ở G Chứng mi9nh rằng EG // DC

I Các ví dụ và định h ớng giải:

+ Ví dụ:

Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm

Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm, trên AC

lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F

D

A E

3,6

C

2,4

FBD P FEC (g.g)c) Từ câu a, b hớng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB.+ Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC Lấy các

điểm D và E trên AB; AC sao cho DME = B

a) CMR : BDM P CME

c) BD CE không đổi

? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều gì

? Từ gt  nghĩ đến 2 có thể P theo trờng hợp nào (g.g)

? Gt đã cho yếu tố nào về góc (B = C)

? Cần chứng minh thêm yếu tố nào (

1

D = 

2

M )a) Hớng dẫn sơ đồ

  B = 

16

A

E

C M

E

của BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F.

Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao

cho BM = MN = NC Gọi P là

giao điểm của AM và BE;

Q là giao điểm của CF và AN

+ Bài 1: Cho ABC, AD là phân giác A; AB < AC Trên tia đối của DA lấy

điểm I sao cho ACI BDA Chứng minh rằng

a) ADB P ACI; ADB P CDI

+ Bài 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M là trung

điểm BC Qua M kẻ đờng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lợt ở D, E

a) Chứng minh: OBM P NCO

b) Chứng minh : OBM P NOM

c) Chứng minh : MO và NO là phân giác của BMN và CNM

Đ-Chứng minh rằng : OE = Oì

Định hớng

H:Bài cho đờng thẳng EF // AB (và CD)

TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn

  

AEC BOF AOB

P P P

ADC BDC COD  

EF // DC AB // CD

gtH: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đa về chứng minh

H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì?

TL: AO

AC =

BO BD

H: Đây là tỷ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào?

O E

x

yD

IC

Định hớng giải: Đây là bài tập mở rộng hơn so với ví dụ 1

Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh đợc:

MN

AB =

DM DA PQ

AB =

CQ CB DM

b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC có cácgóc bằng nhau từng đôi một

c) IAB và ICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau Do đó để chứng minh chúng

có các góc bằng nhau từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng

Vì OBC P ODA nên OBC = ODA (1)

Mặt khác ta có AIB CID (đối đỉnh)

 BAI P DCI (g.g)

 BAI DCI

Ví dụ 4: Bài 36 – T72 – SGK

Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm

Chứng minh : Ta chỉ xét chứng minh BAD DBC 

L B

K E

C P

BC, F thuộc AB) các trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N

Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau

LO

CL  (2) ( ta có trung tuyến

1 3

Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán Khi ứng dụng

để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phơng pháp thờng dùng

ở đây là :

* Đa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu

* Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó

* Đa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tơng ứng của 2 tam giác đồngdạng

* Chứng minh 2 tỷ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau suy ra 2 đoạnthẳng ở mẫu bằng nhau

Dạng 6 : toán ứng dụng thực tế

I Mục tiêu chung:

- Học sinh biết vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để xác định đợc cácchiều cao, các khoảng cách mà không cần đo trực tiếp

- Rèn kỹ năng nhận biết hình (đọc hình) kỹ năng vẽ hình, kỹ năng t duy và óc ởng tợng

t-III Các kiến thức áp dụng:

- Các trờng hợp đồng dạng của tam giác

- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

* Ví dụ minh họa: M

+ Ví dụ 1:

Để đo khoảng cách giữa 2 điểm A và M,

trong đó M không tới đợc, ngời ta tiến hành

đo và tính khoảng cách (nh hình vẽ)

AB  BM; BH  AM Biết Ah = 15m; AB = 35m B H

Giải : Xét  AMB và  ABH có ;

ABM = AHB = 900 (gt) ; A chung A

+ Ví dụ 2: A

Một ngọn đèn đặt trên cao ở vị trí A,

hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H

Ngời ta đặt một chiếc cọc dài 1,6m,

Gọi BD, CE là bóng của cọc và B’ ; C’ là tơng ứng của đỉnh cao Đặt BB’ = CC’

= a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; Ah = x Gọi I là giao điểm của AH và B’C’

0, 4 0,6  ) = 3,84(m) Vậy độ cao AH bằng 3,84 mét A

Bài tập đề nghị: B C Một giếng nớc có đờng kính DE = 0,8m (nh hình vẽ)

Để xác định độ sâu BD của giếng, ngời ta đặt

một chiếc gậy ở vị trí AC, A chạm miệng giếng,

AC nhìn thẳng tới vị trí E ở góc của đáy giếng

Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m Tính độ sâu BD của giếng D E

Phần IV Tiết dạy minh họa

Tiết 47: Luyện tập

A Mục tiêu :

- Củng cố các định lý vẽ 3 trờng hợp đồng dạng của hai tam giác, so sánh với cáctrờng hợp bằng nhau của hai tam giác

- Vận dụng các định lý đó để chơng trình các tam giác đồng dạng, để tính các

đoạn thẳng hoặc chứng minh các tỷ lệ thức, đẳng thức trong các bài tập

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò

của 2 tam giác có gì giống và khác nhau

GV nhận xét chữa bài cho điểm HS

GV đặt vấn đề: Nh các em đã biết các trờng

hợp = nhau của 2 tam giác có rất nhiều ứng

dụng trong giải toán Vậy các trờng hợp

đồng dạng của 2 tam giác có ứng dụng nh

thế nào trong giải toán Chúng ta cùng

nghiên cứu bài học hôm nay

GV chỉ vào bài kiểm tra của HS Qua bài

làm của bạn hãy cho biết:

? Để nhận biết có bao nhiêu cặp  đồng

? Muốn chứng minh 2 đoạn thẳng bằng

nhau ở **** thông thờng ta làm nh thế nào

? Để tính độ dài đoạn thẳng EF & BF ta nên

làm nh thế nào

GT ABCD là hình bình hành E AB; DE  CB = F

- Khác nhau:

+ 2 đd: các cạnh tơng ứng tỷ lệ + 2  bằng nhau các cạnh tơng ứng = nhau

- HS nhận xét chữa bài của bạn

- Tìm số  trên hình vẽ

- Xét các cặp tam giác tơng ứng

- Đối chiếu với các trờng hợp đồng dạngcủa 2 rồi kết luận

- CM 2 chia hai đoạn thẳng đó = nhau

- CM 2 chứa hai đoạn thẳng đó đồng dạngvới nhau

F

B

C D

H

K