SKKN Phuong phap dien tich trong chung minh hinh hoc

Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa [r]

Đặt vấn đề

Đối với học sinh THCS, có tốn mà khơng biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh việc giải tốn gặp nhiều khó khăn Bởi dạy phần diện tích đa giác, quan tâm đến vấn đề này, có điều kiện để nêu cho học sinh , không bỏ qua Đặc biệt năm học 2004 – 2005, có u cầu dạy mơn Tự chọn cho học sinh lớp mà phân cơng dạy chủ đề “ Phương pháp diện tích chứng minh hình học “ ý định tập hợp kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp , đồng thời tìm tịi bổ sung thêm dạng tập có liên quan tới phương pháp lại thúc giục

Học sinh THCS biết sử dụng cơng thức diện tích để tính tốn em làm quen từ Tiểu học Nhưng làm để HS biết sử dụng chúng để chứng minh khơng đơn giản chút Sau tơi xin trình bày số kinh nghiệm kết hợp với vấn đề tìm tịi học hỏi để “ Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “

1 -Trước tiên phải cho học sinh hiểu phương pháp diện tích ích lợi phương pháp

Ở tiểu học, học sinh học diện tích hình chữ nhật, hình vng, hình tam giác … Các cơng thức diện tích hình nói chủ yếu em ứng dụng việc giải tập tính tốn có liên quan đến diện tích Lên đến THCS, HS lớp lại tiếp tục học diện tích hình diện rộng sâu Tới đây, ta cần cho học sinh thấy ứng dụng tính tốn, cơng thức tính diện tích cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng, chúng có ích số tốn chứng minh đại số hình học Chẳng hạn :

Sách giáo khoa cũ có toán đề cập đến vấn đề Ví dụ :

Sau học đẳng thức bình phương tổng hay hiệu , có tốn u cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 và (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

a b b

b

a a

Ví dụ : Cho tam giác vng cân Chứng minh tổng diện tích hai hình vng dựng hai cạnh góc vng diện tích hình vng dựng cạnh huyền

ab b2 ab

b(a-b) b2

(a – b)2

a2 b(a-b)

Bài tốn minh hoạ hình học cho định lí Pytago trường hợp tam giác vuông cân

Do đổi phương pháp dạy học mà sách giáo khoa đề cập đến vấn đề Nhưng khơng có nghĩa vấn đề không phù hợp với yêu cầu , đưa vào nội dung môn học tự chọn Vậy phần kiến thức mà học sinh cần tham khảo để bổ sung , hỗ trợ cho việc học tập em tốt

Vì , sau học sinh học tính chất diện tích đa giác , cơng thức tính diện tích hình chữ nhật hình vng , ngồi tập SGK , đưa tập cho HS tham khảo thêm

Bài : Trên hình vẽ, tứ giác ABCD, IOKD, MNPQ, IGHQ hình vng Bằng cơng thức tính diện tích hình vng hình chữ nhật, em chứng minh đẳng thức (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 a b b

a

Bài tập không bắt buộc tất học sinh phải làm Những học sinh làm tính điểm vào cột điểm mơn học Tự chọn Sau giới thiệu thêm cho học sinh biết : Từ thời cổ, nhờ cơng thức diện tích mà người ta khám phá cơng thức bình phương tổng hay hiệu nói Phương pháp

C

A B M N

E O I G

P

dùng cơng thức diện tích để chứng minh gọi phương pháp diện tích Đây phương pháp góp phần thúc đẩy phát triển tốn học thời cổ

Như , học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích Để củng cố thêm , sau dạy song “ Diện tích tam giác “ tơi chọn tập số 17 SGK lớp tập I trang 121:

Bài toán : Cho tam giác AOB vuông O với đường cao OM Hãy giải thích ta có đẳng thức : AB OM = OA OB

A

M

O B

GV gợi ý cho học sinh : Viết cơng thức tính diện tích tam giác AOB theo hai cách

Học sinh trình bày lời giải :

SAOB = 12 OA OB = 12 OM AB ⇒ AB OM = OA OB

GV giới thiệu : Để chứng minh hệ thức AB OM = OA OB ,

ta sử dụng phương pháp diện tích

2 - Sau cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích nêu ở trên , đưa số tập cho học sinh tham khảo luyện tập với yêu cầu cao Nhưng thời gian giảng dạy khố lớp khơng có nhiều để giành cho cơng việc này, nên phải hướng dẫn cho học sinh tự học chủ yếu cách phát cho nhóm học sinh phiếu học tập có ghi sẵn nội dung tập hệ thống câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự tổ chức thảo luận nhóm nhà Sau hồn chỉnh giải cách điền khuyết

a - Phiếu học tập số 1

Bài 3: Bài 51 trang 132 SBT Toán tập I

Cho tam giác BAC với ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác Chứng minh :

HA'

AA'+

HB'

BB' +

HC'

CC' =1

Phân tích : AA’, BB’,CC’đều đường cao tam giác ABC HA’,HB’, HC’ ba đường cao tam giác HBC , HAC, HAB Như ta phải tìm mối quan hệ độ dài chúng thông qua công thức tính diện tích tam giác

C A

C’ B’ H

B C

Hệ thống câu hỏi dẫn dắt

1)Viết cơng thức tính diện tích tam giác HBC; HAC ; HAB, ABC

SHAC = ; SHBC =

SHAB = ; SABC =

2)Tìm mối quan hệ tỉ số

HA'

AA' ;

HB'

BB' ;

HC'

CC' với công thức diện

tích tam giác nói Các tỉ số HAAA'' ;HB'

BB' ;

HC'

CC'

bằng tỉ số diện tích hai tam giác ?

3) Viết hệ thức biểu thị mối quan hệ diện tích tam giác nói

4) Biến đổi tổng

SHAC SABC

+SHAC SABC

+SHBC SABC

=¿ ? dẫn đến điều

phải chứng minh

SHAC = ; SHBC =

SHAB = ; SABC =

SHAC SABC = SHAB SABC = SHBC SABC =

SHAC … SHBC … SHAB …SABC

SHAC SABC

+SHAB SABC

+SHBC SABC

=¿ ………

Bài : Cho tam giác ABC M điểm thuộc miền tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ M đên cạnh tam giác không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Phân tích : Các khoảng cách MH,

A

h I K

MI,MK đến cạnh tam giác đường cao tam giác MBC , MAB, MAC Như ta phải tìm mối quan hệ độ dài chúng thơng qua cơng thức tính diên tích tam giác

Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ -Viết cơng thức tính diện tích tam ABC với đường cao h độ dài cạnh a : SABC =

- Viết cơng thức tính diện tích tam giác MBC; MAC ; MAB với AB = AC = BC = a đường cao MH , MK , MI

- Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ diện tích ba tam giác nói diện tích tam giác ABC

- Suy MH + MI + MK đại lượng không đổi ?

* Nếu điểm M thuộc cạnh BC tam giác ABC cân A ta chứng minh tương tự

C B H C

Tam giác ABC tam giác cho trước Gọi độ dài cạnh a ( AB = AC = BC = a) đường cao h không đổi

* SABC = (2)

SMAC = ; SMBC =

SMAB =

* SABC … SMAC … SMBC … SMAB

= ………… (1) Từ (1) (2) suy :

MH + MI + MK = không đổi Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác

b- Phiếu học tập số : Trong phiếu , HS đọc kĩ phần nội dung tập gợi ý cách giải tự hoàn chỉnh giải GV chấm điểm hai mà HS chọn cho vào cột điểm Tự chọn để khuyến khích học sinh tham gia

Nội dung tập gợi ý cách giải Bài giải hoàn chỉnh

Bài 5: Cho tam giác cân ABC M điểm thuộc BC Từ M , kẻ ME MF vng góc với AB AC ( E thuộc AB , F thuộc AC ) Chứng minh tổng ME + MF không phụ thuộc vào vị trí điểm M BC

Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ -Viết cơng thức tính diện tích tam ABC với đường cao ứng với cạnh bên CK = h độ dài cạnh

A K E

bên AB = AC a SABC =

- Viết cơng thức tính diện tích tam giác MAC ; MAB với đường cao MF, ME

- Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ diện tích hai tam giác nói diện tích tam giác ABC

- Suy MF+ ME đại lượng không đổi ?

F

B C M

HS tự trình bày

Ví dụ : Các điểm E , F nằm cạnh AB , BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I giao điểm AF CE Chứng minh ID tia phân giác góc AIC

Hệ thống câu hỏi dẫn dắt

1) Khi ID tia phân giác góc AIC?

- Có hai phương án trả lời :

1) A^I D=CI D^ và tia ID nằm hai

tia IA, IC Hoặc :

2) Điểm D … hai cạnh IA IC - Chứng minh theo phương án khó khăn Ta thử chọn phương án thứ hai để chứng minh

Vẽ thêm DH DK vng góc

với IA IC Ta phải chứng minh

DK = DH

2) Làm để chứng minh DK = DH ?

- Việc chứng minh khó khăn nếu khơng biết sử dụng phương pháp diện tích

ở ta ý DK DH đường cao tương ứng với hai cạnh hai tam giác ? - Dẫn đến việc cần thiết phải chứng minh SADF = SCDE

- Để có kết , ta phải so sánh diện tích hai tam giác nói với diện tích hình bình hành ABCD - Tới , HS tự trình bày lời giải

A B H I

K F

D C

Vẽ DH DK vng góc với IA IC (H , K thuộc FA , CE ) SADF = …… SCDE = …… (1) Tam

giác ADF hình bình hành ABCD có chung đáy … có chiều cao tương ứng

bằng ⇒ SADF = ….SABCD (2)

Tam giác DCE hình bình hành ABCD có chung đáy … có chiều cao tương

ứng ⇒ SCDE = …….SABCD

(3)

Từ (3) (2) suy ……….( 4) Lại có AF = CE ( gt) (5)

Kết hợp ( …),(…) (…) ta có DK = DH Suy điểm D … hai tia IAvà IC Do ID ………… góc AIC

3) Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý Ta lét tam giác.

Sách giáo khoa Toán cho HS thừa nhận , khơng u cầu chứng minh định lí Talét Đối với HS giỏi có nhu cầu tìm hiểu , nâng cao thêm kiến thức, tơi phát cho nhóm học sinh phiếu học tập số để học sinh nhà tự thảo luận theo nhóm hồn chỉnh giải

c- Phiếu học tập số

Đề nội dung cần thảo luận Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn chỉnh

Cho tam giác ABC D E thuộc cạnh AB AC Chứng minh DE // BC

AD

AB=

AE AC

- Viết cơng thức tính SDBE SCED - Khi DE // BC, so sánh BH CK ; SDBE SCED ; SAEB SADC

- Từ so sánh tỉ số SSAEB

ABC tỉ số

SADC SABC

- Tìm mối liên hệ tỉ số với tỉ số AEAC ADAB

Vẽ BH CK vng góc với DE SDBE = …

SCED = …

DE // BC ⇒ BH … CK ( Bằng khoảng cách hai đường thẳng song song DE BC )

⇒ SDBE ….SCED

⇒ SDBE +… = SCED+…

⇒ SAEB = SADC

⇒ SABE

SABC

=SADC

SABC (1)

Δ AEB Δ ABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh B nên

SAEB SABC

= (2)

Δ ADC Δ ABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh C nên

SADC

SABC

= (3)

Kết hợp ( ),(…) … suy

AD

AB =

AE AC

A

E D

H K

4) Khuyến khích HS nhà tự tìm tốn sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh

Cũng dạng tập khác nữa, tơi dừng lại ví dụ nêu Tôi nghĩ tạm đủ để HS tiếp cận biết cách giải Nếu HS có khả tìm tịi thêm tơi khuyến khích

Kết thúc vấn đề

1 - Hiệu : Sau thấy các cơng thức diện tích khơng phải để tính diện tích mà chúng cịn có ích để giải nhiều toán chứng minh khác , học sinh thích thú, em tự giải tập theo phương pháp nói Qua đó, giúp học sinh vững tin vận dụng kiến thức cách sáng tạo để giải tập theo nhiều phương pháp khác Nó góp phần đáp ứng yêu cầu nay, giúp cho HS học tập cách động hơn, khả ứng dụng phong phú Nó góp phần làm cho số lượng học sinh u thích mơn Tốn ngày tăng lên Sự u thích mơn giúp em thêm tích cực học tập tiến Kết thể (điểm Tự chọn ) :

Năm học Số HS tham gia Giỏi Khá TB Yếu

SL % SL % SL % SL %

2004 - 2005 83/426 55 66,3 23 27,7

2005 - 2006 21 / 84 21 100 0

2 - Bài học kinh nghiệm

kĩ phương pháp Bởi không tổ chức hình thức học tập thích hợp khơng thể khuyến khich HS tích cực tự giác tham gia tự học , tự rèn bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu lớp tốt

Trên số kinh nghiệm nhỏ bé mà tối rút trình giảng dạy Nó góp phần giúp tơi hồn thành nhiệm vụ giảng dạy lớp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm qua có kết tốt đẹp Tơi xin mạn phép trình bày kính mong quan tâm thầy cô giáo hội đồng giám khảo bạn đồng nghiệp Chắc chắn viết tơi cịn nhiều thiếu sót Rất mong q thầy góp ý , bổ sung để thân tơi học hỏi nhiều hồn thiện công tác giảng dạy Xin chân thành cám ơn

Ý KIẾN NHẬN XÉT , ĐÁNH GIÁ CỦA SỞ GIÁO DỤC VAÌ ĐAÌO TẠO