SKKN: PHUONG PHAP DIEN TICH TRONG CHUNG MINH HINH HOC

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Bối cảnh của đề tài

Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những ngời yêu thích toán học Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.

II Lí do chọn đề tài SKKN

Đối với học sinh THCS, cú những bài toỏn mà nếu khụng biết sử dụngphương phỏp diện tớch để chứng minh thỡ việc giải bài toỏn đú sẽ gặp nhiềukhú khăn Bởi vậy khi dạy phần diện tớch đa giỏc, tụi cũng rất quan tõmđến vấn đề này, mỗi khi cú điều kiện để nờu ra cho học sinh , tụi đều khụngbỏ qua Đặc biệt là năm học 2006 – 2007, khi cú yờu cầu luyện thi học sinhgiỏi huyện (Giồng Trụm) cho học sinh lớp 8 mà tụi được phõn cụng dạychủ đề “ Phương phỏp diện tớch trong chứng minh hỡnh học “ thỡ ý định tậphợp cỏc kinh nghiệm giảng dạy của mỡnh và của cỏc đồng nghiệp , đồngthời tỡm tũi bổ sung thờm những dạng bài tập cú liờn quan tới phương phỏptrờn lại càng thỳc giục tụi

Học sinh THCS đó biết sử dụng cụng thức diện tớch để tớnh toỏn vỡcỏc em đó được làm quen từ Tiểu học Nhưng làm thế nào để HS biết sửdụng chỳng để chứng minh thỡ khụng đơn giản chỳt nào Sau đõy tụi xinđược trỡnh bày một số kinh nghiệm của mỡnh kết hợp với những vấn đềmỡnh tỡm tũi học hỏi được để “ Giỳp học sinh biết sử dụng phương phỏp

diện tớch trong chứng minh hỡnh học “ III Lịch sử của SKKN này.

Trong nhiều năm tôi đợc phân công làm nhiệm vụ bồi dỡng học sinh giỏi

tôi đã tích lũy đợc nhiều kiến thức về dạng toán “ phơng pháp diện tích

A.Đặt vấn đềA PHẦN MỞ ĐẦUI Bối cảnh của đề tài:

TRƯỜNG THCS TÂN LỢI THẠNH

Hiện nay, đất nước ta đang phát triển và đổi mới ngày càng mạnh mẽ vềmọi mặt Bộ GD&ĐT đã đặt vấn đề đổi mới phương pháp dạy học Toán ởbậc THCS Việc vận dụng đổi mới phương pháp dạy họcToán trong gầnmười năm qua của giáo viên ở mỗi trường có những thành công và hạn chếkhác nhau Nhất là việc dạy học phân môn hình học có nhiều vấn đề cònnhiều trừu tượng và mắc mứu Chính vì thế, hơn 1 năm học qua tôi đã tìmhiểu thực trạng, nguyên nhân khiến cho nhiều học sinh học yếu và khôngđam mê phân môn hình học và giải pháp khắc phục Từng bước tôi đã vậndụng các giải pháp mà mình tim được và thấy hiệu quả học tập của học sinhcó nâng dần hơn

II Lí do chọn đề tài

Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mêcủa những người yêu thích toán học Đối với học sinh để có một vốn kiếnthức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều và bền bỉ.Đối với giáo viên làm thế nào để trang bị cho các em đủ kiến thức? Đó làcâu hỏi mà giáo viên nào cũng đặt ra cho bản thân.

Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụngphương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiềukhó khăn Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đếnvấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏqua Đặc biệt là năm học 2009 – 2010, khi có yêu cầu dạy môn Tự chọncho học sinh lớp 8 mà tôi được phân công dạy chủ đề “ Phương pháp diệntích trong chứng minh hình học “ thì ý định tập hợp các kinh nghiệm giảngdạy của mình và của các đồng nghiệp, đồng thời tìm tòi bổ sung thêmnhững dạng bài tập có liên quan tới phương pháp trên lại càng thúc giục tôiHọc sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vìcác em đã được làm quen từ Tiểu học Nhưng làm thế nào để HS biết sửdụng chúng để chứng minh thì không đơn giản chút nào Sau đây tôi xinđược trình bày một số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề

mình tìm tòi học hỏi được để “Giúp học sinh biết sử dụng phương phápdiện tích trong chứng minh hình học".

III Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu "Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học vàcác bài tập vận dụng".

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS

IV Mục đích nghiên cứu:

Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài "Phương pháp diện tích trongchứng minh hình học"

Đôi mới phương pháp dạy học.

Nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất lượng học sinh giỏi là mũinhọn

V Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

Nhờ sự nghiên cứu, tìm hiểu và áp dụng đổi mới phương pháp dạyhọc môn toán nói chung và môn hình hình học nói riêng, tôi đã nhận thấynhững ưu điểm cần phát huy, những hạn chế cần khắc phục Bản thân từngbước tìm ra các giải pháp để khắc phục những tồn tại, nhằm nâng dần chấtlượng bộ môn và giúp học sinh có hứng thú học tập môn Toán nói chungvà phân môn Hình học nói riêng và đạt hiệu quả cao hơn.

B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ "Phương pháp diệntích trong chứng minh hình học" là gì và ngoài giải các bài tập vê diện tíchtrong chứng minh hình học thì những dạng bài tập nào được vận dụng nóvà vận dụng nó như thế nào?

I Cơ sở lý luận.

Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hìnhvuông, hình tam giác … Các công thức về diện tích các hình nói trên chủyếu được các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán cóliên quan đến diện tích Lên đến THCS, HS lớp 8 lại tiếp tục được học về

diện tích của các hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn Tới đây, tacũng cần cho học sinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán, các công thứctính diện tích còn cho ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúngrất có ích trong một số bài toán chứng minh về đại số cũng như hình học

II Thực trạng của vấn đề:

1 Thuận lợi:

1.1- Về phía người dạy:

- Giáo viên được đào tạo có trình độ chuyên môn nghiệp vụ đạtchuẩn và chuyên tu trên chuẩn, kiến thức khá phong phú đủ năng lực soạndạy Trong thời gian giảng dạy, giáo viên đúc kết nhiều kinh nghiệm vàtruyền đạt kinh nghiệm cho nhau Đa số giáo viên có phẩm chất đạo đứctốt, tác phong sư phạm chuẩn mực, có tinh thần trách nhiệm cao, có tâmhuyết và giàu lòng yêu nghề mến trẻ.

- Đa số giáo viên có tinh thần tự học, tự rèn cao; tìm hiểu, nghiên cứucác tài liệu có liên quan bộ môn Tham gia các phong trào thao giảng, dựgiờ, thi giảng,… để nâng dần trình độ chuyên môn nghiệp vụ.

- Từng bước nắm bắt sự thay đổi về mọi mặt của đất nước, nhạy béntrước thay đổi của khoa học kĩ thuật hiện đại Giáo viên đã tìm hiểu và vậndụng, đổi mới phương pháp dạy học Đặc biệt là có nhiều giáo viên tiếpxúc, làm quen, thậm chí ứng dụng công nghệ thông tin vào soạn dạy.

- Giáo viện dạy toán nhận thấy rõ mối quan hệ giữa Hình học và cácmôn khoa học tư nhiên khác Ngoài ra, dạy môn Hình học phải gắn vớithực tế đời sống, và phải phù hợp với đặc điểm tâm lí của học sinh.

1.2- Về phía học sinh:

- Đa số các em chăm ngoan, tích cực học tập Các em thấy được vịtrí, vai trò vô cùng quan trong của môn toán Từ đó, các em xác định đượcmục tiêu, phương pháp để học tốt môn này.

- Đa số các em có tinh thần tự học cao Tính chủ động tìm hiểu kiếnthức qua sách báo, trên mạng Internet… ở nhiều HS càng được phát huy.

- Cũng có nhiều học sinhthật sự yêu thích môn Toán học, có niềm saimê và hứng thú sáng tạo Số HS đạt điểm giỏi môn Toán học ngày càngnhiều hơn, học sinh giỏi huyện dần dần xuất hiện tuy ít nhưng cũng nhennhóm niềm hi vọng cho thầy-trò của trường.

2 Hạn chế:

2.1 Về phía người dạy:

- Về mặt tâm lí, nhiều giáo viên cho rằng dạy hình học thật khó Vìkiến thức lí thuyết khô khan, thậm chí có nhiều khái niệm từu tượng khônggây hứng thú học tập cho học sinh Do vậy mà họ rất e ngại khi phải dạythao giảng, dự giờ phân môn này Đồng thời thầy cô lo lắng vì học sinhkhông thích học, lớp thụ động, dẫn đến tiết dạy không thành công.

2.2 Về phía học sinh:

- Phân môn hình học cũng được xem là một môn học năng khiếu.Nếu học sinh không có năng khiếu phân tích, óc quan sát, trí tưởng tượngthì không thể tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.

- Đa số học sinh học yếu môn Toán và Hình học nói riêng là do cácem hỏng kiến thức từ lớp dưới vì đặc trưng của môn Toán là môn hệthống kiến thức được xây dựng đi lên như xây một búc tường.

- Có những học sinh lười học dẫn đến học yếu Mà nguyên nhân chủyếu do các em không nghe giảng bài, ghi chép không đầy đủ, không làmbài tập,… Có những em lười học trốn tiết liên tục dẫn đến kiến thức bị hụthỏng không làm được bài tập dẫn đến chán học.

III Nội dung và biện pháp giải quyết vấn đề của đề tài:

1 Các tính chất cơ bản về diện tích đa giác.

- Mỗi đa giác có một diện tích xác định diện tích đa giác là một số dương.- Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.- Hình vuông có cạnh có độ dài bằng 1 (đơn vị đo chiều dài) thì có diện tíchbằng 1 (đơn vị đo diện tích) Hình vuông này gọi là hình vuông đơn vị.

2 Các công thức diện tích của đa giác

 Học sinh xem lại công thức tính diện tích của tam giác và các loại hình của tứ giác.

 Các công thức suy ra từ diện tích :

- Đướng trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau

- Những tam giác có chung đáy còn đỉnh thứ ba nằm trên đường thẳng song song với đáy chung thì có diện tích bằng nhau, và ngược lại

- Các tỉ số diện tích :+ =

+ =

3 Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh một số quan

hệ về độ dài của các đoạn thẳng.

3.1 Một số ví dụ áp dụng diện tích trong chứng minh

Ví dụ 1:

Sau khi học về hằng đẳng thức bình phương của tổng hay hiệu , cóbài toán yêu cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b)2 = a2 + 2ab+ b2 và (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Ví dụ 2 : Minh hoạ định lí Pi tago bằng diện tích :

SAMB = SAMC

AA' // BC  SABC = SA’BC

a) Đặt 4 tam giác vuông bằng nhau lên tấm bìa hình vuông như hình a).Phần bìa không bị che lấp là hình vuông có cạnh bằng c, diện tích của nó làc2

b) Đặt 4 tam giác vuông bằng nhau đó lên tấm bìa hình vuông như hình b).Phần bìa không che lấp là 2 hình vuông có diện tích lần lượt là a2, b2

AB AC =

AH BC  BC.AH = AB.AC

GV giới thiệu : Để chứng minh được hệ thức BC.AH = AB.AC, ta

đã sử dụng phương pháp diện tích

3.2 Sau khi cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích như nêu ở trên , tôi đưa ra một số bài tập cho học sinh tham khảo và luyện tập với yêu cầu dần dần cao hơn

Nhưng thời gian giảng dạy chính khoá ở trên lớp không có nhiều để giành cho công việc này, nên tôi phải đưa ra hai hướng : Một là hướng dẫn cho học sinh tự học bằng cách phát cho các nhóm học sinh phiếu học tập trong đó có ghi sẵn nội dung bài tập và hệ thống câu hỏi dẫn dắt dễ , hai là cho nôi dung bài tập và GV sẽ cùng HS giải quyết hoàn chỉnh bài giải sau 1 tuần học sinh tự thảo luận nhóm hoặc nghiên cứu trước ở nhà

3.2.1 Các phiếu học tập

a - Phi u h c t p s 1ếu học tập số 1ọc tập số 1 ập số 1ố 1

Nội dung bài tập và gợi ýĐiền vào để hoàn chỉnh

Bài toán 1: Chứng minh

rằng trong một tam giác đường cao ứng với cạnh lớn hơn có độ dài nhỏ hơn đường cao ứng với cạnh có độ dài nhỏ hơn

H ư ớng d ẫn

Gỉa sử ta có tam giác ABC, trong đó AC > AB, các đường cao tương ứng là CH,BK Ta phải chứng minh CH> BK.

Hãy viết công thức tính dtích ABC theo cạnh AB vàAC

DO AC > AB nên …… > …… đpcm

Bài 2 (Định lí TaLet) Cho

tam giác ABC D và E lầnlượt thuộc các cạnh AB vàAC Chứng minh rằng nếuDE // BC thì ADAB ACAE

- Viết công thức tính SDBE

và SCED

- Khi DE // BC, hãy so sánhBH và CK ; SDBE và SCED ;SAEB và SADC

- Từ đó so sánh tỉ số

và tỉsố

- Tìm mối liên hệ của các tỉ

số trên với các tỉ số ACAE và

Vẽ BH và CK vuông góc với DESDBE = …

SCED = …

DE // BC  BH … CK ( Bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song DE và BC )

(2)

ADC vàABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh C nên

(3)

Kết hợp ( ),(…) và … suy ra

b Phiếu học tập số 2

Đề bài và hướng dẫnNội dung điền khuyết

Bài Toán 2: Cho ABC ,

AD la đường phân giác (DBC) Chưng minh rằng =

Hướng dẫn giải:

Kẻ DEAB, DF  AC

Hướng dẫn giải:

Kẻ DEAB, DF  AC Em có NX gì DE □ DF

Đường p/g AD chia hình ABC thành 2 tam giác Em hãy viết công thức tính diện tích 2 tam giác đó theo 2 cách.

Ta có:

SABD = …… SACD = ……

 = (1) vế phải

Mặt khác: ABD, ACD có cùng…… xuất pháttừ A nên:

= (2) vế tráiTừ (1) và (2) ta suy ra:

= đpcm

Bài toán 4: Cho hình thang

ABCD.Qua điểm I nằm trên đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đáy ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đáy Đường thẳng này cắt cạnh bên AD tại E và cạnh bên CB tại điểm F Chứng minh rằng: IE = IF.

Gọi M,N la các trung điểm của các cạnh đáy

hình thang Ta dễ dàng chứng minh SMEN = SMFN.

Thật vậy: Gọi H, K là chân đường vuông góc từ E, F đến MN , ta có:

SAMND SBMNC

SEAM SFBM (cùg ch.cao , đáy bằg nhau)SEDN SFCN (cùg ch.cao , đáy bằg nhau)

Em có nhận xét gì về diện tích 2 tam giác EHI và FKI

SAMND– (SEAM + SEDN) SBMNC - (SFBM + SFCN) SMEN SMFN

 EH FK

 EHI FKI EI FI

3.2.2 Các bài tập tự luận

a> Áp dung chứng minh đẳng thức (bất đ t) của đoạn thẳng.

Bài Toán1: Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H là

trực tâm của tam giác đó Chứng minh rằng : 1'''

Bài Toán 2: Cho ABC , Điểm M thuộc miền trong tam giác, AM, BM,

CM cắt cạnh BC, AC, AB lần lượt tại D,E,F CMR: + + = 1

Bài toan 3: Cho hình bình hành ABCD Lấy một điểm M trên cạnh BC và

một điểm N trên cạnh AB sao cho AM = CN Chứng minh rằng đỉnh D củahình bình hành cách đêu hai đường thẳng AM, CN

HBC, ABC có cùng cạnh đáy BC nên:= ; = ; =

+ + = + + = = 1

Kẻ DICN và DKAM Ta có:

SCDN = SCAD

SADM = SCAD

 SCDN = SADM  DK = DI

Bài Toán 4: Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm của AB Trên cạnh

AC lấy E sao cho AE = 2EC Gọi O là giao điểm của CD và BE, CMR: a SBOC = SAOC

b BO = 3OE

a Ta có: SBCD = SACD

SBOD = SAOD

 SBCD - SBOD = SACD - SAOD

hay SBOC = SAOC

b Ta có SOEC =.SAOC (vì EC = AC)SOEC =SBOC

Hai tam giác: BOC và OEC có chung đường cao CH nên: OE = OB hay OB = 3OE.

Bài Toán 5: Cho tam giác ABC

Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM=1/3.AB Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN=1/3.AC Gọi O là giao điểm của BN và CM.

a Chứng minh rằng SBOC =2SBOA

b Từ C và B hạ CE và BD vuông góc với OA Chứng minh rằng:BD = CE.

c Giả sử SABC = a (đơn vị diện tích) Tính SAMON

Bài Toán 6: Cho tam giác có ba góc nhọn ABC với ba đường cao AA',

BB', CC' cắt nhau tại H A1, B1, C1 là các điểm đối xứng của H qua BC,AC, và AB Chứng minh rằng tổng: ++ = 4

Giải: Xét tỉ số

Ta có : = = 1 + = 1 + = 1+ Mà =

Do đó : = 1 +

Tương tự = 1 + , = 1 +  + + = 3 + + +

+ + = 3 + = 3 + 3 + 1=4

Bài Toán 7:Trong một tam giác, gọi

ha là đường cao ứng với cạnh a và bh là đường cao ứng với cạnh b Chứngminh rằng nếu a > b thì: a + ha > b + hb Hãy xác định khi nào thì dấuđẳng thức xẩy ra.

b> Áp dung c/m các điểm thẳng hàng và đường đồng quy

Bài Toán 8: Cho ABC nhọn Về phía ngoài dựng các hình chữ nhật

BCDE, ACFG có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng tâm đường trònngoại tiếp của ABC trung điểm của DF và điểm C thẳng hàng

Suy ra DI = FN => DM =FM đpcm

Bài Toán 9: (Định lí CEVA)

Cho ABC, Gọi D,E,F là các điểm nằm trên các cạnh BC, AC, AB Chứngminh rằng AD, BE và CF đồng quy khi và chỉ khi = 1

Giải:

Giả sử AD, BE, CF cắt nhau tại điểm O

Ta có: = = = Tương tự ta c/m = ;

= Do đó: = = 1