Chuyên đề Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC I-MUÏC TIEÂU: -Cung gấp cho HS phương pháp sử dụng công thức diện tích các hìnhtam giác ,tứ giác ,đa giác để chứng minh các quan hệ về cá[r]

http://violet.vn/nguyenthanh1981 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC I-MUÏC TIEÂU: -Cung gấp cho HS phương pháp sử dụng công thức diện tích các hình(tam giác ,tứ giác ,đa giác ) để chứng minh các quan hệ các độ dài các đoạn thẳng -Rèn luyện cho HS kỉ biểu thị độ dài đoạn thẳng ,tỉ số độ dài các đoạn thẳng,tích các độ dài các đoạn thẳng …theo đoạn thẳng để giải yêu cầu bài toán -Rèn luyện cho HS phương pháp vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải phù hợp với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo giải toán II-THỜI LƯỢNG: tiết III-PHAÀN THÖC HIEÄN: Hoạt động 1: Tieát I-CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ TA LET VAØ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIAÙC BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DIEÄN TÍCH : A Ví duï: Chứng minh định lý Ta –Let : AD AE  Cho tam giaùc ABC ,neáu DE //BC thì : E D AB AC Có thể chứng minh định lý trên cách sử dụng công thức diện tích B cuûa tam giaùc Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Hình Nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng tỉ số diện tích hai tam giaùc Chứng minh: Gọi S1và S2 là diện tích hai tam giác có chiều cao h và có độ dài hai cạnh đáy tương ứng là a1,a2 a1 h S1 a 1 S  a h Neân Ta coù: S1  a1 h;   2 S2 a2 a2 h Bây ta chứng minh định lý ta let: Các tam gáic AED và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề trên ta có AD S ADE  (1) AB S ABE Các tam gáic AED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề trên ta A coù : AE S ADE  ( 2) AC S ACD E D Ta lại có SBEC = SBDC (Chung đáy BC,các đường cao tương ứng nhau) neân ; B SABC –SBEC = SABC - SBDC Lop7.net C C http://violet.vn/nguyenthanh1981 Hình =.> SADE = SACD (3) Từ (1);(2) và (3) suy AD AE  (ñpcm) AB AC A Hoạt động 2: DB AB  DC AC Chứng minh:Các tam giác ABD và ADC có chung đường cao kẽ từ A đến DB S ABD B BC nên theo bổ đề trên ta có (1)  DC S ADC Ví dụ 2: Cho ABC có AD là phân giác BAC chứng minh : D C Hình Keõ DH  AB vaø DK  AC thì DH = DK ta coù SADB = … A SADC = … S AB K Neân ABD   (2) H S ADC AC DB AB  Từ (1) và (2) => DC AC B D C Tieát 2: Hình Hoạt động 3: Ví du3: Cho tam gáic ABC cân A Gọi M là điểm thuộc đáy BC Gọi MH , MK theo thứ tự là các đường vuông góc kẽ từ M đến AB , AC Gọi BI là đường cao tam giác A ABC Chứng minh :MH+MK = BI  Cách giải không dùng diện tích (tự giải)  Caùch giaûi duøng dieän tích: I S AMB S AMB Ñaët AB = a Ta coù MH =  H AB a K S AMC S AMC B MK =  C AC a M S ABC S AMB S AMC Hình Do đó : MH +MK =     BI a a a Ghi nhớ : 2S Đường cao h tam giác có diện tích S biểu thị :h = (với a là cạnh a đáy tương ứng) Cách giải trên ta còn diễn đạt khác : Ta coù :SAMB + SAMC = SABC 1 1 1 => AB.MH  AC.MK  AC.BI => a.MH  a.MK  a.BI 2 2 2 1 => aMH  MK   a.BI  MH  MK  BI 2 Hoạt động 4: Đọc tiếp mục III và trả lời các câu hỏi nêu mục III Lop7.net http://violet.vn/nguyenthanh1981 III-PHÖÔNG PHAÙP DIEÄN TÍCH Các công thức diện tích cho ta quan hệ độ dài các đoạn thẳng Do đó để chứng minh các quan hệ các độ dài các đoạn thẳng ,ta có thể sử dụng công thức diện tích các hình Đó là nội dung phương pháp chứng minh  Hãy xem lại các công thức diện tích tam giác và diện tích tứ giác chương II  Ta thường gặp các bổ đề sau: Bổ đề 1:Nếu hai tam giác có hai đường cao thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc Bổ đề 2: hai tam giác có hai cạnh đáy thì tỉ số hai cạnh đường cao tương ứng baèng tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ?1 -Ñieàn vaøo choã troùng caùc caâu sau: a)Tam giác có diện tích S ,cạnh đáy a ,đường cao tương ứng h thì S =… a=… h=… b)Hình chữ nhật có diện tích S, các kích thước a và b thì :S =… a=… b=… c)Hình bình hành có diện tích S ,cạnh đáy a ,đường cao tương úng h thì : S=… a= … h=… d) Hình thang có diện tích S ,các cạnh đáy a ,b ,chiều cao h thì : S = … a =… b=… h=… e) Hình thoi có các đường chéo m, n thì S =… f) Hình vuoâng coù dieän tích S caïnh a thì : S = … a =… Tieát 3,4,5,6,7 LUYEÄN TAÄP Bài 1:Chứng minh tổng các khoảng cách điểm M tam giác ABC đến cạnh tam giác chiều cao tam giác đó Bài 2: Cho tam giác ABC cân A điểm M thuộc tia đối tia BC Chứng minh hiệu các khoảng cách từ M đến các đường thẳng AC và AB đường cao úng với cạnh bên tam giaùc ABC Bài 3:Cho tam giác ABC (AC > AB ),đường cao BI Gọi D là điểm nằm B và c Gọi BH và CK theo thứ tự là các đường vuông góc kẽ từ B và C đường thẳng AD Chứng minh rằng: a)AD < AC b)BH + CK > BI Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB ,BC cho AN = CM Gọi K là giao điểm AN và CM Chứng minh KD là tia phân giác AKC Baøi 5:Goïi O laø moät ñieåm baát kyø naèm tam giaùc ABC caùc tia AO ,BO,CO caét caùc caïnh BC,AC ,AB theo thứ tự A’B’C’ Chứng minh : OA' OB' OC '   1 AA' BB' CC ' Baøi 6: Goïi O laø moät ñieåm baát kyø naèm tam giaùc ABC caùc tia AO ,BO,CO caét caùc caïnh BC,AC ,AB theo thứ tự A’,B’,C’ Chứng minh rằng: AC ' BA' CB ' 1 C ' B A' C B' C Lop7.net http://violet.vn/nguyenthanh1981 Bài 7:Cho tam giác ABC có các đường cao AA’,BB’,CC’ cắt H Cho biết AH BH CH   ,Chứng minh tam giác ABC là tam giác AA' BB' CC ' Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) ,các đường chéo cắt O Qua O vẽ đường thẳng // hai đáy , cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự E và F Chứng minh OE = OF Baøi 9: Cho hình thang ABCD (AB //CD,AB < CD).caùc ñöông thaúng AB vaø CD caét taïi O Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD ,E laø giao ñieåm cuûa OF vaø AB a) Hãy chứng minh AE = EB b) Từ kết trên có nhận xét gì các trung điểm hai đáy và giao điểm cảu các đường thẳng chứa hai cạnh bên hình thang Baøi 10:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A ,caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc B vaø C caét taïi I keõ IK vuông góc với BC Chứng minh : KB.KC = AB.AC Baøi 11: Goïi O laø moät ñieåm baát kyø naèm tam giaùc ABC caùc tia AO ,BO,CO caét caùc caïnh BC,AC ,AB theo thứ tự M,N,P.Chứng minh : OM ON OP    T Toång Tkhoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm O a) AM BN CP b)Chứng minh ba tỉ số : OA OB OC ; vaø Coù ít nhaát moät tæ soá khoâng nhoû hôn vaø coù ít nhaát moät tæ soá khoâng OM ON OB lớn A H K M B HD:Gọi a là độ dài cạnh tam giác ABC h là độ dài đường cao Ta có : a a a a SMBC +SMAC +SMAB =SABC <=> MD  ME  MF  h <=>…<=> MD+ME+MF = h 2 2 Lop7.net C