Tích vô hướng và hệ thức lượng trong tam giác - Hình học 10

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành... Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung).[r]

HÌNH HỌC 10

TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM:

Phần 1: Tỷ số lượng giác góc từ 00 đến 1800.

1 Nửa đường tròn đơn vị.

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho nửa đường trịn tâm O, bán kính R = nằm phía trục hồnh Ta gọi nửa đường trịn đơn vị

 Với góc α 0  α 1800 ta ln xác định điểm M nằm nửa đường tròn đơn vị cho xOMα

2 Giá trị lượng giác góc α 0  α 1800.

 Trong mặt phẳng tọa độ cho nửa đường trịn đơn vị, góc α 0  α 1800 Với góc α tương ứng điểm M(x;y) nửa đường trịn đơn vị Khi đó:

sinα y cosα x tanα y x 0 

x

  cotα x y 0  y

 

 Hệ quả:

 Nếu

0

0

α cosα

cotα= sinα α 180

  

 

  

 Nếu α 90 tanα sinα cosα

  

 Nếu 0α 1800   cosα

0 sinα

  

 

 

3 Các công thức lượng giác bản:

 2

sinα cos α 1 

 Nếu

0

0

0 α

α 90 tan α.cot α α 180          

 Nếu α 90 tan α2 12 cosα      Nếu 2

α

1 cotα sinα α 180          

4 Hệ thức liên hệ hai góc bù nhau, hai góc phụ nhau.

a) Hai góc bù nhau:

   

       

0

0 0 0

sinα sin 180 α ; cos α cos 180 α ;

tanα tan 180 α α 90 ;cot α cot 180 α α 180

   

      

b) Hai góc phụ nhau:

     

     

0 0

0 0

sinα cos 90 α ;cos α sin 90 α α 90

tanα cot 90 α ;cot α tan 90 α α 90

     

     

5 Giá trị lượng giác góc đặc biệt:

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

sin

2 2 3 2 2

cos

2 2 2  2   -1

tan

3 kxđ  -1

3



cot kxđ 3

3

3

 -1  kxđ

Phần 2: Tích vơ hướng hai vecto.

1 Góc hai vecto:

Cho hai vecto a b khác vecto khơng Từ điểm O đó, ta vẽ vecto

OA a,OB b                                                         

Khi số đo góc AOB gọi số đo góc hai vecto a

và b, ký hiệu  a; b 

Đặc biệt:    

 

0

0

0

0 a

a;bα α 180 b

a;b 90 a b  

   

 

   

  

 

 

   

   

2 Định nghĩa tích vơ hướng hai vecto:

Tích vơ hướng hai vecto a b số, ký hiệu a.b , xác định biểu thức : a.b a b cos a.;b   .

Đặc biệt: Với mọt vecto a, tích vơ hướng a.a kí hiệu a2 a a cos 0 0 a2

 

   

3 Tính chất tích vơ hướng:

Với ba vecto a, b,c   tùy ý số thực k, ta có:

 a.b b.a  

 a.b 0   ab

  ka b a kb   k a.b  

 a b c    a.b a.c   

4 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng:

Cho hai vecto ax; y bx ; y  Khi đó:

 a.b xx  yy

 a  x2y2

 cos a, b  2 xx2 yy2 2 a 0, b 0  x y x y

 

  

 

 

     

5 Khoảng cách hai điểm M x ; y M M N x ; y N N:

 N M2  N M2 MN x  x  y  y

Phần 3: Hệ thức lượng tam giác

Cho ΔABC có:

 Độ dài cạnh BC = a, AC = b, AB = c

 Độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: m , m , ma b c

 Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: h , h , b c

 Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

 Nửa chu vi tam giác: p

 Diện tích tam giác: S

1 Định lý cosin tam giác:

 a2 b2 c2 2bc.cos A

  

 b2 c2 a2 2ca.cos B

  

 c2 a2 b2 2ab.cos C

  

2 Định lý sin tam giác: a b c 2R sin A sin B sin C  .

3 Độ dài trung tuyến tam giác:

  

2 2

2 a

2 b c a m

4  



  

2 2

2 b

2 c a b m

4  



  

2 2

2 c

2 a b c m

4  



4 Diện tích tam giác:

 S 1a.ha 1b.hb 1c.hc

2 2

  

 S 1bcsin A 1absin C 1ca sin B

2 2

  

 S abc 4R



 S pr

 S p p a p b p c         (công thức Hê – rơng)

Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết yếu tố cho trước.

5 Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại).

Cho ΔABC vuông A, AH đường cao

 BC2 AB2 AC2

  (định lý Pi – ta – go)

 AB2 BC.BH ; AC2 BC.CH

 AH2 BH.CH ; 12 12 12

AH AB AC

  

 AH.BC AB.AC

 b a.sin B a.cos C c tan B c cot C ; c a.sin C a.cos B b.tan C b.cot C       

6 Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O;R) điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD:

 

2

M/ O

P      MA.MB MC.MD MO                            R

 Nếu M ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT:

 

2 2

M/ O

P MT MO  R .

B HỆ THỐNG BÀI TẬP

Phần 1: Tỷ số lượng giác góc từ 00 đến 1800.

Bài 1: Tính giá trị cảu biểu thức sau:

a) 2

A sin 164 cos 16

b) B cos 1522 cos 622

 

c) 2 2

d) D sin 212 sin 692 sin 132 sin 772

   

e) 2

E sin 1 sin  sin 89

f) F cos 00 cos 200 cos 400 cos1600 cos1800

     

g) 0 0

G tan tan10 tan15 tan 80 tan 85

Bài 2:

a) Cho sinα

 90α 1800   Tính cosα tanα

b) Cho cosα

 Tính sinα tanα

c) Cho tanα 2 Tính sinα cosα

d) Cho cotα 4 Tính sinα cosα

Bài 3:

a) Cho tan x 2 Tính giá trị biểu thức sau:

4

4 2

3sin x 5sin x cos x S

5sin x 3sin x cos x 3cos x 



  

b) Cho cotα

 Tính giá trị biểu thức sau:

i) 2

2 M

5sinα 7sin α cos α 3cos α 

 

ii)

3

5cosα 2sin α cos α 4sin α N

7sinα 3cos α

 





Bài 4: Rút gọn biểu thức sau:

a) A 2sin 180α cot α cos 180   0α tan α cot 180  0α 

     với 0α 900

 

b) B sinα cos α   3 sin α cos α  

c) C sinα 4cos α4 cos α 4sin α4

   

Phần 2: Tích vơ hướng vecto.

Dạng 1: Tính tích vơ hướng vecto, tính độ dài vecto góc vecto.

Bài 5:

a) Cho hai vecto a b biết a 2; b 6 a;b  450 Đặt u a b   v a b  

Tính a.b ; u.v ; u ; v ; u; v       

b) Cho hai vecto a b biết a 1; b   2 a; b 300 Đặt u 4a b  

 

v 2x a 3b   Tìm x để uv

Bài 6: Cho ΔABC có AB = 4, AC = A 120



a) Tính tích vơ hướng:                         AB.AC;AB.BC                  

b) Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác ABC

Bài 7: Cho ΔABC vng A có hai cạnh AB = AC =

a) Tính cosin góc: AB; AC ; AB;BC ; AB;CB        

b) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Tính tích vơ hướng         HB.HC      

Bài 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c.

a) Tính tích vơ hướng AB.BC 

b) Chứng minh AB.AC 1b2 c2 a2

  

                           

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2; AD = góc A 450 Tính độ dài hai đường chéo AC BD

Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a = 3; b = 4; c = Kẻ đường trung tuyến BD.

a) Tính tích vơ hướng: BD.BA ; BD.BC ; BD.AC     

b) Tính độ dài đường trung tuyến BD

Bài 11: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi I J hai điểm cho 2IB 3IC 0 

  

JA 3JC 0 

  

a) Hãy vẽ điểm I J biểu diễn vecto AI;BJ; IJ   theo vecto AB; AC 

b) Tính tích vô hướng sau: AI.BJ ; IJ.AB ; IJ.BC     

c) Tính độ dài IJ theo a

Bài 12: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c Lấy điểm M thuộc đường thẳng BC Đặt 4BM BC

 

Bài 13: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC = 5; AC = 6; AB = Kẻ đường phân giác AE

a) Hãy biểu diễn AE theo vecto AB.AC 

b) Hãy tính độ dài đường phân giác AE

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức liên quan đến tích vơ hướng.

Bài 14: Cho tam giác ABC với trọng tâm G, ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh:

a) GA.GB GB.GC GC.GA 1AB2 BC2 CA2

    

     

b) GA.GB GB.GC GC.GA 1GA2 GB2 GC2

    

                                                                                   

c) BC.AD CA.BE AB.CF 0        

Bài 15:

a) Chứng minh tứ giác ABCD, ta có hệ thức sau:

2 2

AB  BC CD  DA 2AC.DB  

b) Từ câu a suy điều kiện cần đủ để hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD vng góc với AB2 BC2 CD2 DA2 0

   

c) A, B, C, D điểm Chứng minh rằng: DA.BC DB.CA DC.AB 0        

Bài 16:

a) Cho tam giác ABC cố định có trọng tâm G M điểm di động tùy ý Chứng minh

rằng 2 2

T MA MB MC  3MG không phụ thuộc vào M

b) Cho tam giác ABC cố định có trọng tâm G Vẽ đường trịn tâm G, bán kính R M điểm di động đường trịn Chứng minh T MA2 MB2 MC2

   không đổi

khi M thay đổi

Bài 17:

a) Cho ba điểm A, B, C cố định cho 5AB 3BC

 

M điểm di động tùy ý mặt phẳng Chứng minh rằng: 5MA2 3MC2 8MB2

  có giá trị khơng đổi

b) Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC cho MC = MB Chứng minh

rằng AM2 2AB2 1AC2 2BC2

3

  

Bài 18:

a) Cho AB dây cung đường tròn tâm O M điểm thuộc dây cung Chứng minh rằng: 2.MA.MO MA MA MB                  

b) Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:     AB.AD BA.BC CB.CD DC.DA 0                                                         

điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành

Bài 19: Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M Gọi E là trung điểm AD Chứng minh rằng: MEBC MA.MC MB.MD

   

Dạng 3: Ứng dụng tích vơ hướng

Bài 20:

a) Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH Kẻ HDAC với D thuộc đường

thẳng AC Gọi M trung điểm HD Chứng minh rằng: AMBD

Bài 21: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ACD Biểu diễn vecto         OE,CD       theo vecto

OA,OB,OC   

Từ chứng minh OECD

Bài 22: Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, A 120

 Gọi M trung điểm AC

a) Tính BC BM theo a

b) Gọi N điểm BC cho BN = x Tính AN theo BC, AC  Tìm giá trị x để ANBM

Bài 23:

a) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = A 60

 Kẻ đường trung tuyến AM lấy

một điểm E thuộc tia AC Đặt AE kAC

 

Tìm tỉ số k để BEAM

b) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a = 6, b = 4, c = Kẻ đường cao AH Tính tỷ

số CH BC

Bài 24:

a) Cho tam giác ABC vng cân A có đường trung tuyến BD Kẻ AEBD với

điểm E thuộc BC Tính tỷ số BE BC

b) Cho tam giác ABC Gọi E điểm cho BE 1BC                             

Kẻ CF AE với

điểm F thuộc AB Tính tỷ số AF AB

Dạng 4: Tìm tập hợp điểm.

Bài 25: Cho tam giác ABC cố định Tìm tập hợp điểm M cho:

a) MA MB MA MC      0.

b) MA MA 2MB MC    0

   

c) MA.AB AB.CA    

Bài 26:

a) Cho hai điểm A B cố định có AB = a Tìm tập hợp điểm N cho

AN.AB 2a  

b) Cho tam giác ABC cố định có cạnh BC = a Tìm tập hợp điểm M cho

a AM.BC

2   

Bài 27: Cho hai điểm A B cho AB = a.

a) Tìm tập hợp điểm M cho 2

MA MB 3a

b) Tìm tập hợp điểm N cho 2NA2 NB2 5a2

 

Bài 28: Cho tam giác ABC có cạnh a.

a) Tìm tập hợp điểm M cho: MA2 MB2 MC2 7a2

  

b) Xác định vị trí điểm I cho 2IA IB IC 0  

   

Từ tính IA , IB , IC2 2 theo a.

c) Tìm tập hợp điểm M cho 2MA2 MB2 MC2 2a2

  

Bài 29: Cho tam giác ABC có AB = 4a, BC = 2a, AC = 3a.

a) Xác định điểm I cho 2IA 3IB 4IC 0  

   

b) Tính IA , IB , IC2 2 theo a.

c) Tìm tập hợp điểm M cho

2

2 2 17a

2AM 3MB 4MC

36

  

Dạng 5: Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức hình học.

Bài 30: Cho tam giác ABC cố định.

a) Tìm vị trí điểm M cho MA2 MB2

 đạt gí trị nhỏ

b) Tìm vị trí điểm N cho 3NA2 2NB2

 đạt giá trị nhỏ

c) Hãy tìm vị trí điểm M cho: MA2 MB2 MC2

  đạt giá trị nhỏ

Bài 31: Cho tam giác ABC cố định.

a) Xác định điểm I cho: 2IA 3IB 4IC 0  

   

b) Hãy tìm vị trí điểm M cho 2MA2 3MA2 4MC2

  đạt giá trị nhỏ

Bài 32: Cho tam giác ABC vuông cân A có AB = AC = x.

a) Hãy tìm vị trí điểm I cho: IA 3IB 4IC 0     Tính IA , IB , IC2 2 theo x

b) Tìm vị trí điểm M cho: MA2 3MB2 4MC2

  đạt giá trị nhỏ

Bài 33:

a) Cho a2x 5; ;b   3x 1;5  Tìm x để ab

b) Cho b1; ;c 3;5 Hãy tìm tọa độ a biết ab a.c 1

c) Cho a1;5 ; b 2;3 ;u a b; v a b       Tính u; v

 

Bài 34: Cho điểm A(-1;1), B(3;1), C(2;4).

a) Tính cho vi diện tích tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh ba điểm G, H, I thẳng hàng

Bài 35:

a) Cho điểm A(1;0), B(0;3), C(-3;-5) Chứng minh tam giác ABC tù

b) Cho điểm A(-1;1), B(1;3), C(1;-1) Chứng minh tam giác ABC vuông cân

Bài 36: Cho điểm A(-8;0), B(0;4), C(2;0) D(-3;-5) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài 37: Cho hai điểm A(-3;2), B(4;3).

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox để tam giác MAB vuông M

b) Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Oy cho NA = NB

Bài 38: Cho A(1;-1) B(3;0) Tìm tọa độ đỉnh C D cho tứ giác ABCD hình vng

PHẦN 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.

Dạng 1: Tính yếu tố tam giác.

Bài 39: Cho tam giác ABC có  

B 60 ;C 45 ;BC a  

a) Tính độ dài hai cạnh AB AC a

b) Chứng minh rằng: cos750 



Bài 40: Cho tam giác ABC có b = 20, c = 35 

A 60

a) Tính chiều cao tam giác ABC

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 41: Cho tam giác ABC có a 3; b 2;c   6

a) Tính góc A B tam giác ABC

b) Tính đường cao bán kính R, r tam giác ABC

Bài 42:

a) Cho tam giác ABC có A 60 ,a 10, r0 3

   bán kính đường trịn nội tiếp tam

giác ABC Tính R, b, c

b) Cho tam giác ABC có A 90 , b 4, c 3

   SΔABC 3 Tính A a Bài 43: Cho tam giác ABC có độ dài trung tuyến AI = 15; BE = 18; CF =27.

a) Tính diện tích ΔABC

b) Tính độ dài cạnh ΔABC

Bài 44: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN cắt G Biết BM = 6; CN = BGC 120

 Tính độ dài cạnh tam giác ABC

Dạng 2: Chứng minh hệ thức cạnh góc tam giác

Bài 45: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) b2 c cos A a c cos C b cos B2  

  

b) sin C sin A cos B sin Bcos A 

c)      

2 2 2

b c cos A c a cos B a b cos C

a b c

  

  

d)

2 2

cos A cos B cos C a b c

b cos C c cos B a cos C c cos A a cos B b cos A 2abc  

  

  

e)

2 2

b c a cot A

4S  



f)

2 2

a b c cot A cot B cot C

4S  

  

Bài 46: Cho tam giác ABC có diện tích S Chứng minh rằng:

a) S Rr sin A sin B sin C    .

b) A 2R sin A sin Bsin C2

c) S 1a sin Bcos B b sin A cos A2 

 

d) S p p a tan  A

 

Bài 47:

a) Cho tam giác ABC có ma = c Chứng minh rằng: b cos C 3c cos B

b) Cho tam giác ABC có a c

m c

1

m   Chứng minh rằng: b cot B cot C cot A 

c) Chứng minh tam giác ABC vuông cân A 2

a b c

5m m m

d) Cho ΔABC có a2 b2 2c2

  Chứng minh rằng; ma mb mc 3a b c

2

    

Dạng 3: Nhận dạng tam giác

Bài 48:

a) Cho tam giác ABC có

3 3

2 b c a

a b c a

  

  Chứng minh



A 60

b) Cho tam giác ABC có sin B 2cos A

sin C Chứng minh tam giác ABC cân

c) Tìm C tam giác ABC, biết a b c a b c       3ab

d) Hãy tìm hình dạng tam giác ABC biết: 3

a 2b cos C b c a a

b c a 

 

  

 

  

e) Cho tam giác ABC có sin A cos C

sin C cos B Hỏi tam giác ABC tam giác gì?

Bài 49: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c diện tích S Hãy tìm hình dạng tam giác ABC, biết:

a) S 1a b c a c b  

    

b) S p p a   

c) SΔABC 3a b c2 36

  

Bài 50: Cho ΔABC nội tiếp đường trịn có bán kính R = Biết cot A cot B 3cot C 

a) Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn

b) Tính cot A,cot B, cot C