Chính vì những lí do trên nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề: Diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông”,
Trang 1Phần I: LỜI NÓI ĐẦU
I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Tư duy không tựnhiên có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn phát triển tư duy thì cần đượcrèn luyện thường xuyên, tất cả các môn học điều phát triển tư duy cho học sinhnhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả Lứa tuổi của học sinh THCS đangphát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn
đề này đặc biệt là giáo viên toán Qua một bài toán hình học có thể có thể pháttriển tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy lí luận …của học sinh Điều quantrọng là là giáo viên truyền thụ tri thức như thế nào để phát triển tư duy cho họcsinh một cách tốt nhất
Trong chương trình toán THCS đặc biệt là toán hình học, do tính chất trừutượng, đòi hỏi khả năng tư duy tích cực cho nên học sinh thường thụ động tiếpthu kiến thức, gặp khó khăn trong việc tìm đường lối giải bài toán hình học, làmbài tập một cách máy móc và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả của bài toán Nếu bàitoán đó được biến thành bài toán khác thì đa số học sinh không nhận ra, lúngtúng và không làm được Đây là cách học hết sức nguy hiểm và không phát triển
tư duy Đối với toán hình học các bài tập hết sức phức tạp và đa dạng, học sinhkhông thể làm hết các bài tập mà chỉ cần nắm được dạng bài tập nên học sinh cầnhiểu được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau
đó ra bài toán mới, dạng mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển tư duy
Chính vì những lí do trên nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề: Diện tích tam giác và
hệ thức lượng trong tam giác vuông”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài
toán, thay đổi cách học, hình thành được kĩ năng suy luận, bước đầu giúp học sinh
tự phân tích và tìm ra đường lối giải một bài toán, phát huy năng lực tư duy logic,
tư duy sáng tạo đem lại hiệu quả cao trong công tác giáo dục đào tạo và đổi mớiphương pháp dạy học ở trường THCS
II MỤC ĐÍCH ĐỀ TÀI:
Trang 2Trên cơ sở yêu cầu phát triển tư duy, tìm ra biện pháp nhằm rèn luyện và pháttriển tư duy toán học cho học sinh thông qua việc hướng dẫn học sinh tư duy tìmđường lối giải các bài toán hình học qua dạy học chủ đề: “Diện tích tam giác và hệthức lượng trong tam giác vuông”, qua đó giúp học sinh tích cực học tập, tìm rađường đi ngắn ngọn và hợp lí nhất, nắm vững tri thức phương pháp để vận dụnggiải các bài toán tương tự hay phát triển thành bài toán tổng quát.
III LỊCH SỬ ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy trong năm học 2014 – 2015 tôi thấy học sinh lớp 9gặp khó khăn về năng lực tư duy để tìm phương pháp giải các bài toán liên quanđến diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông Từ đó tôi đã đưa racác giải pháp để giúp học sinh giải đúng các dạng toán đó trong năm học 2015 –
2016 đối với học sinh lớp 9 mà tôi giảng dạy thông qua đề tài: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề: Diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông”.
IV PHẠM VI ĐỀ TÀI:
Đề tài chủ yếu nghiên cứu phần hình học :
- Diện tích tam giác - Chương II Đa giác Diện tích đa giác ở lớp 8 tập 1
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Chương I Hệ thức lượng trong tamgiác vuông ở lớp 9 tập 1
- Sách tham khảo, sách nâng cao, sách chuyên đề hình học có liên quan đếnchủ đề: “Diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông” Được tiếnhành trong trường THCS đang công tác giảng dạy
Trang 3Phần II: NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP
I THỰC TRẠNG ĐỀ TÀI
Qua kiểm tra 15 phút của 35 học sinh lớp 9 tại trường THCS Hưng Hà, tỉ lệhọc sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và hệ thức lượng trongtam giác vuông của 35 học sinh lớp 9 trong năm học 2014 – 2015 là 17/35 emchiếm tỉ lệ 48,57%
Trong bài kiểm tra 45 phút chương I –Đại số 9 của 35 học sinh lớp 9 trong nămhọc 2014 – 2015 thì số học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác
và hệ thức lượng trong tam giác vuông là 19/35 em chiếm tỉ lệ 54,29%
Trong bài kiểm tra HKI của 35 học sinh lớp 9 trong năm học 2014 – 2015 thì sốhọc sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và hệ thức lượng trongtam giác vuông là 23/35 em chiếm tỉ lệ 65,71%
Như vậy số lượng học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và
hệ thức lượng trong tam giác vuông là tương đối cao, việc phát triển năng lực tưduy của học sinh để các em tìm ra phương pháp giải các bài toán liên quan đến diệntích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông trong những năm học tiếp theo
là một việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ởtrường THCS, nhất là học sinh khối lớp 9
Kết quả nghiên cứu được thể hiện cụ thể qua bảng số liệu sau đây:
Năm học Lớp Sĩ
số
Hình thứckiểm tra
Số học sinh mắc sai lầm
Số học sinh khôngmắc sai lầm
Trang 4Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy, số lượng học sinh không giải được các dạngtoán liên quan đến tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông là rất cao sovới học sinh giải được các dạng toán trên Lý do, năng lực tư duy của các em chưađược chú ý phát triển nên gặp rất nhiều khó khăn khi giải một số bài toán hình họcphức tạp.
II NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT:
Mỗi bài tập giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi và đưa ra bài toán tương tự giúphình thành và phát triển kỹ năng tìm ra đường lối giải bài toán hình học cho họcsinh, sẽ phát huy được năng lực tư duy độc lập, tích cực, sáng tạo, rèn cho các em
kỹ năng tiến hành các họat động phân tích, tổng hợp, thực hiện các hoạt độngtương tự, khái quát hoá, trừu tượng hoá, đồng thời giúp học sinh khắc sâu, nhớ lâukiến thức, nâng cao năng lực tự học, khắc phục trình trạng áp đặt kiến thức đối vớihọc sinh, phù hợp với thực tiễn đổi mới giáo dục hiện nay, do đó sẽ nâng cao chấtlượng giảng dạy và giáo dục
III GIẢI PHÁP:
1 Những nội dung có thể phát triển tư duy toán học cho học sinh khi dạy học chủ đề: “Diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông”.
1.2 Diện tích tam giác
1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
§1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
§2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn
§3 Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông
2 Phát triển tư duy toán học thông qua hệ thống bài tập.
2.1 DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Trên cơ sở giúp học sinh nắm vững công thức tính diện tích tam giác
và một số công thức tính diện tích của đa giác như công thức tính diện tích hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, diện tích tứ giác đặc biệt là diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc … giáo
Trang 5viên đưa ra hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao: Từ việc sử dụng trực tiếp công thức diện tích tam giác, sau đó nâng dần trình độ nhận thức, khả năng suy luận và phát triển tư duy cho học sinh bằng những bài tập mang tính chất vận dụng các công thức tính diện tích của một số hình để giải một bài toán hình học
A Kiến thức cần nhớ
1 Diện tích tam giác
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng của nó
h a
2
1
- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
- Hai tam giác có cùng chiều cao và hai đáy tương ứng bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
- Hai tam giác có cùng một đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
1 Diện tích hình thang bằng nửa tích của nửa tổng của hai đáy với
chiếu cao:
h b a
2 Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó
3 Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó.
H h
a
C B
Trang 64 Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao
tương ướng với cạnh đó:
ah
S
5 Diện tích tứ giác:
ADC ABC
Bài 1: (Bài 18, SGK Toán 8 tập 1, trang 121)
Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM Chứng minh:
AMC
AMB S
Câu hỏi
1 Em hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán
2 Xác định dạng của bài toán ?
Dạng chứng minh
3 Để chứng minh hai tam giác có diện tích bằng nhau ta chứng minh gì?
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Chứng minh hai tam giác có cùng chiều cao và hai đáy tương ứng bằngnhau
- Chứng minh hai tam giác có cùng một đáy và chiều cao tương ứng bằngnhau
4 Nếu từ A ta kẻ đường cao AH thì diện tích các tam giác AMB và AMCứng với chiều cao AH là bao nhiêu?
a h
D
C B A
Trang 7AH CM S
AH BM S
AMC
AMB
2 1
2 1
AH BM S
AMC
AMB
2 1
2 1
Mà MB = MC (gt)
Vậy S AMB S AMC
Đề xuất bài toán mới:
1.1 Cho tam giác ABC Trên cạnh đáy BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho đoạn thẳng BN bằng đoạn thẳng CN Chứng minh rằng:
Trang 8Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác ADE.
Câu hỏi:
1 Đọc bài toán và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2 Theo đề bài ta có được điều gì?
ADE ABCD S
S ABCD 5 (cm2 )
5 Ta tính được diện tích tam giác ADE chưa?
) ( 5 5 2 2
1
2
cm AD
Ta có: S ABCD AB.BC 5x (cm2 )
2
1
2
cm AD
EH
Theo đề bài ta có:
cm x x
S
3 5
3 5
S 3 , AH AD
BC = 5cm, EH = 2cm
AB = x cm
Tính x
Trang 9Đề xuất bài toán mới:
2.1 Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhất gấp 2 lần diện tích tam giác ABE.
H
4cm x
B A
Bài 3: (Bài 24, SGK Toán 8 tập 1, trang 123)
Tính diện tích của tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b Câu hỏi:
1 Đọc bài toán và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2 Theo đề bài ta có được điều gì?
3 Để tính được diện tích tam giác ABC ta cần thêm dữ kiện nào nữa?
4 Từ a kẻ đường cao AH Khi đó AH được tính bằng công thức nào?
5 Để tính AH ta cần tính cạnh nào?
6 Vậy diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?
Giải
Trang 10GT
C B
A
a H b
Kẻ đường cao AH
Khi đó ta có: BH HC BC a
2
1 2
1
(ABC là tam giác cân)
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông AHB ta có:
2 2 2
2
2 2 2 2 2
4 2
1 4
4
a b
a b AH
a b BH AB AH
4
1 4
2
1 2
1 2
1
a b a a a b BC
AH
Đề xuất bài toán mới:
3.1 Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.
3.2 Tính diện tích của một tam giác vuông cân có đáy bằng a.
Bài 4: (Bài 30, SBT Toán 8 tập 1, trang 129)
Cho tam giác ABC, biết AB = 3AC Tính tỉ số đường cao xuất phát từ các đỉnh B và C
Câu hỏi:
1 Giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2 Gọi K, H lần lượt là chân các đường cao hạ từ B và C Để tính được tỉ sốđường cao BH và CK ta dựa vào dữ kiện nào?
3 Làm thế nào để biểu thị tỉ số hai đường cao theo dữ kiện đã biết?
4 AB và CK; AC và BH liên hệ với nhau qua công thức nào?
Trang 11
ABC, AB = 3AC
BH AC, CK AB KL
Ta có:
3
.
2
1
2 1
BH AC CK AB
BH AC CK
AB
S ABC
Vậy đường cao BH dài gấp 3 lần đường cao CK
Đề xuất bài toán mới:
4.1 Cho tam giác ABC, gọi H, K lần lượt là chân các đường cao hạ từ
đỉnh B, C Tìm tỉ số AC AB Biết 5
AC
AH
4.2 Cho tam giác ABC có hai đường cao AH và BK, độ dài cạnh BC và
BK lần lượt là 6 và 4 Tính tỉ số
AC
AH
Bài 5: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho tam giác ABC ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm H Chứng
1 '
' '
' '
HB AA
HA
Câu hỏi:
1 Đọc bài toán và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2 Dạng của bài toán là gì?
Trang 124 Hãy tính diện tích của tam giác ABC theo ba đường cao của tam giác.Từ
công thức đó em hãy tính các cạnh của tam giác
5 Em có nhận xét gì về diện tích của tam giác ABC và diện tích của các
tam giác HBC, HCA và ABH?
6 Ta tính được diện tích các tam giác HBC, HCA và ABH chưa?
7 Từ (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh chưa?
2
1 '.
2
CC
S AB BB
S AC AA
'.
' 2 1
2 '
'.
' 2 1
1 '
'.
' 2 1
CC
S HC HC BB S
BB
S HB HB AC S
AA
S HA HA BC S
' '
' ' '
'
' '
' ' '
HB AA
HA
CC
HC BB
HB AA
HA S S
Đề xuất bài toán mới:
' '
' '
HB AA
HA
Trang 13Cho tam giác ABC đều, ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm H.
3 1 '
' '
' '
B B HB AA
HA
]
2.2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Trên cơ sở các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lí Py-ta-go giáo
viên cho học sinh tiếp cận các kiến thức về:
- Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Hệ thức giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông.
Sau đó giáo viên cho học sinh vận dụng các kiến thức này vào việc giải
các bài tập từ dễ đến khó nhằm rèn cho học kỹ năng vẽ hình, khả năng tư
duy logic, phân tích giả thiết và kết luận của bài toán để đi đến kết quả,
trong đó giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, giúp đỡ học sinh phát
hiện và giải quyết vấn đề, qua đó phát triển tư duy cho học sinh.
§1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông
bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh
huyền.
'
; '
a c'
c h
B
A
Trang 14 Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với
cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
' '.
2 b c
h
Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích
của cạnh huyền và đường cao tương ứng
bc = ah
Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương
đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
2 2
2
1 1
1
c b
h
3 Định lí Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền
bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông
2 2
2 b c
a
B Hệ thống bài tập.
Bài 1: ( Bài 5, SGK Toán 9 Tập 1, trang 69)
Trong tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4.
Kẻ đuờng cao AH ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Câu hỏi:
1 Em hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2 Em hãy nhắc lại một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giácvuông?
3 Để tính được độ dài đường cao và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ratrên cạnh huyền thì ta cần tính gì?
(Ta cần tính BC)
4 Ta tính BC chưa? Tính bằng công thức nào?
Trang 155 Như vậy theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông tatính được AH; BH và CH chưa? Tính bằng cách nào?
Giải
KL GT
Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3; AC = 4
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
5
25 16 9
2 2 2
Mặt khác, AB2 BH.BC, suy ra
8 , 1 5
3 2 2
CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2
Ta có AH.BC = AB.AC, suy ra
4 , 2 5
4 3
Đề xuất bài toán mới:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao
5
3a
AH và BC = 2a Tìm các cạnh góc vuông theo a.
Bài 2 : (Bài 7, SGK Toán 9 Tập 1, trang 70)
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn a, b (tức là x 2 = a.b) như trong hai hình sau:
Hãy dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
4 3
Trang 16Câu hỏi:
1 Yêu cầu học sinh vẽ hình để hiểu rõ bài toán
2 Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
3 Căn cứ vào đâu có x2 a.b
DEF có đường trung tuyến DO = 21 EF DEF vuông tại D
Do đó DE2 = EI.EF hay x2 =a.b
Bài 3 : (Bài 9, SGK Toán 9 Tập 1, trang 70)
Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia CB cắt nhau ở K Kẻ đường thẳng d vuông góc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L Chứng minh rằng :
a Tam giác DLI là một tam giác cân.
b Tổng 2 2
1 1
Trang 172 Dạng của bài toán là gì?
(dạng chứng minh)
a Chứng minh tam giác DLI là một tam giác cân
- Để chứng minh tam giác DIL cân ta cần chứng minh điều gì?
DK
DI không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
b1 Để chứng minh 2 2
1 1
DK
DI không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh
AB nên ta cần biến đổi tỉ số này về một tỉ số không phụ thuộc vào vị trícủa điẻm I và có giá trị không đổi
- Em có nhận xét gì về tam giác DKL?
- DL và DK liên hệ với nhau qua biểu thức nào?
- DL và DI có quan hệ như thế nào? Vì sao?
- Ta được điều phải chứng minh chưa?
K
I A
a Tam giác DLI là một tam giác cân
Xét hai tam giác vuông DAI và DCL có:
AD = DC (ABCD là hình vuông) (1)
ADIˆ 900 IDCˆ
Hình vuông ABCD;I AB
K CB
DI ; d DI
L BC
khi I thay đổi trên AB
Trang 18) 2 ( ˆ
ˆ
ˆ 90
L D C I D
A
C D I L
DK
DI không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
Ta có: 12 12 12
DK DL
DC (DC là đường cao của DKL)
Mà DL = DI (chứng minh trên)
2 2
2
1 1 1
DK DI
( không đổi vì CD không đổi) (đpcm)
Bài 4: (Bài 10 SBT Toán 9 Tập 1, trang 91)
Cho một tam giác vuông Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3:4 và hai cạnh huyền 12,5cm Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên góc vuông trên cạnh huyền.
Câu hỏi:
1 Bài toán cho gì và yêu cầu gì?
2 Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông 3: 4 có nghĩa là gì?
Giả sử tam giác vuông này có độ dài một cạnh là 3a thì cạnh góc vuôngcòn lại có độ dài bằng bao nhiêu?
3 Để tính độ dài hai cạnh góc vuông ta cần tính gì?
4 Ta tính được a chưa? Tính như thế nào?
5 Vậy hai cạnh của tam giác vuông có độ dài là bao nhiêu?
6 Độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên BC tức là ta cần tính gì?
7 Ta tính được BH, CH chưa? Tính bằng công thức nào?
Giải
Vì tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 3: 4 nên nếu mộ cạnh góc vuông có độdài là 3a thì cạnh kia có độ dài là 4a
Theo định lí Pitago ta có:
Trang 19
25
125 25
125 4
3
2 2
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 75 cm và 100 cm
Hình chiếu của hai cạnh góc vuông ta có:
cm BC
AC CH
cm BC
AB BH
80 125 100
45 125 75
2 2
2 2
Đề xuất bài toán mới:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết BC = 8 Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của chúng định ra trên cạnh huyền.
Bài 5 : (Những Bài Toán cơ bản và Nâng Cao 9 Tập 1-NXB ĐHSP)
Cho tam giác ABC, góc A nhọn Kẻ đường cao CH, H BC Chứng minh BC2 AB2 AC2 2AB.AH
Câu hỏi:
1 Vẽ hình và cho biết giả thiết, kết luận của bài toán là gì?
2 Điều phải chứng minh liên quan đến các cạnh của tam giác và đường cao
CH nên ta phải xét sự liên hệ giữa các cạnh này với đường cao CH
3 Em có nhận xét gì về hai tam giác HBC ?
4 Hãy thiết lập hệ thức liện hệ giữa cạnh BC với CH và BH? (1)
5 Tương tự hãy thiết lập hệ thức liên hệ giữa HC với AC và AH? (2)
6 Em có nhận xét gì về vị trí của điểm H so với hai điểm A, B? Vì sao? (3)
7 Từ (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh chưa?
ABC, góc A nhọn
AB
CH ; H BC
AH AB AC
Trang 20Trong tam giác vuông BCH ta có:
2 2
2 CH HB
Trong tam giác vuông ACH ta có:
2 2
AB
BC
AH AB AH
AC
BC
2
2 2 2
2 2
2 2
Đề xuất bài toán mới:
5.1 Cho tam giác ABC, góc A là góc tù Kẻ đường cao CH, H AB Chứng minh BC2 AB2 AC2 2AB.AH
2
AM AC
Bài 6: (Những Bài Toán cơ bản và Nâng Cao 9 Tập 1-NXB ĐHSP)
Cho hình vuông ABCD Qua A kẻ đường thẳng cắt BC, cắt đường thẳng DC lần lượt tại E và F Đường thẳng Ax vuông góc với AF cắt đường thẳng DC tại G Chứng minh :
a ADG ABE
1 1
1
AD AF
Câu hỏi :
1 Vẽ hình, cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
a Chứng minh: ADG ABE
a1 Để chứng minh hai tam giác bằng nhau ta có bao nhiêu trường hợp?a2 Đối với bài toán này ta nên chứng minh theo trường hợp nào?
a3 Em hãy so sánh hai đoạn thẳng AD và AB?
a4 Điều phải chứng minh tiếp theo là gì?
Trang 21a5 Em hãy chứng minh góc DAG bằng góc BAE?
ˆ
ˆ
.
ˆ ˆ G D A do E A B do E A D G A D a6 Vậy ta đuợc điều phải chứng minh chưa? b Chứng minh: 12 12 12 AD AF AE b1 Em hãy cho biết tam giác AGF là tam giác gì? b2 Hai đoạn thẳng AD và GF có quan hệ như thế nào? b3 Hệ thức liên hệ giữa các cạnh AG, FA với đường cao AD là gì? b4 Em hãy so sánh hai cạnh AG và AE? b5 Ta được điều phải chứng minh chưa? Giải KL GT E F G C B D A a Cm: ADG ABE. 1 ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 0 0 E B G D A AB AD do D A E B AH AG do E D G A D Ta có: AD = AB (ABCD là hình vuông) 2
Từ (1) và (2) suy ra ADG ABE (g.c.g)
b Chứng minh: 2 2 2
1 1
1
AD AF
Trong tam giác GAF thì 1 2 1 2 12
AD AF
Mặt khác ta có: AG = AE (vì ADG ABE)
Hình vuông ABCD, qua A kẻ đường
thẳng cắt BC và DC tại E và F;
G DC Ax AF
a ADG ABE
1 1
1
AD AF
Trang 22Nên suy ra 2 2 2
1 1
1
AD AF
Đề xuất bài toán mới:
Cho hình thoi ABCD với Aˆ 120 0 Tia Ax tạo với tia AB góc Bax bằng 15 0 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N Chứng minh rằng : 2 2 3 2
4 1
1
AB AN
Bài 7: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường cao BH = 4cm, đường chéo
BD = 5cm Hai đường chéo AB và BD vuông góc với nhau Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu hỏi:
1 Hãy vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận của bài toán?
2 Có mấy công thức diện tích của hình thang ABCD?
3 Ta cần tính độ dài của cạnh nào?
4 Nếu từ B kẻ đường thẳng BE song song với AC cắt DC tại E Khí đó
em có nhận xét gì về tứ giác ABEC?
5 Hai cạnh AC và BE có mối quan hệ như thế nào?
6 Tam giác DBE là tam giác gì? Vì sao?
7 Em hãy viết hệ thức liên hệ giữa BD và BE với BH?
8 Ta tính được BE bằng bao nhiêu?
9 Vậy diện tích hình thang ABCD bằng bao nhiêu?
H D
B A
Hình thang ABCD(AB//CD)
cm BD
cm BH
BD AC DC BH
5
; 4
Trang 23Kẻ đường thẳng BE song song với AC cắt DC tại E.
5 4
.
.
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
BD BH BE
BH BD
BD BH BE
BD BH
BH BD BD
BH BE
BE BD BH
Mà BE = AC =203
2
3
50 3
20 5 2
1
2
1
cm AC
BD
Đề xuất bài toán mới:
Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường cao BH, DH = 3 cm , đường chéo BD = 5 cm Hai đường chéo AB và BD vuông góc với nhau Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 8: (Bài 20, SBT Toán 9 Tập 1 , trang 92)
Cho tam giác ABC Từ một điểm M bất kì trong tam giác Kẻ MD,
ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB (h.8) Chứng minh rằng: BD2 CE2 AF2 DC2 EA2 FB2
Câu hỏi:
1 Giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2 Điều phải chứng liên quan đến độ dài các đoạn thẳng nên ta cần thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng này
3 Nối MA thì các tam giác AFM và AME là tam giác gì?
4 Em có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng MA với các đoạn thẳng MFvà AF, với đoạn thẳng ME và AE?
Trang 245 Tương tự em hãy biểu diễn dộ dài các đoạn MB và MC?
6 Từ các điều trên ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải
Ta có:
) 1 (
2 2 2 2
2 BD MD BF MF
) 3 (
2 2 2 2
2 CE ME CD MD
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
Bài 9: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A Từ trung điểm D của cạnh AB kẻ
DE vuông góc BC Chứng minh hệ thức AC2 EC2 EB2
Câu hỏi:
1 Hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán?
2 Điều phải chứng minh liên quan đến độ dài các đoạn thẳng nên ta cầnthiết lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng với nhau
3 Nối CD thì tam giác EDC là tam giác gì?
4 Trong tam giác vuông EDC thì ba cạnh liên hệ với nhau qua công thứcnào? Khi đó ta có EC2 bằng bao nhiêu?
AB MF CA ME BC
2 2 2
2 2 2
FB EA DC
AF CE BD