skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY HS LỚP 6 THÔNG QUA TỔNG QUÁT HOÁ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

PHẦN A: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trường trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục Dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy ln đặt cho Thực tế q trình dạy học tốn cụ thể sáng kiến số học có nhiều tốn mang tính điển hình, từ tốn ta phát triển thêm tốn khác mang thuộc tính tổng qt Những thường chứa đựng nhiều nội dung, nhiều mối liên kết lơgíc coi phần tử đại diện cho lớp tốn có tính chất chung Vì trình dạy theo tơi người dạy phải tốn mấu chốt, đâu toán đại diện vấn đề toán vấn đề Từ học sinh dễ dàng nắm tốn cách tổng qt Chính theo tơi “Tổng qt hố tốn dạy học toán” việc cần thiết việc phát triển lực tư cho học sinh dạy học đặc biệt lực tư học sinh lớp đầu cấp học II Mục đích nghiên cứu: “Tổng qt hố tốn dạy học toán” giúp học sinh hiểu tổng quát hoá chuyển từ trường hợp đặc biệt sang trường hợp tổng quát Nhờ tổng quát hoá mà ta đến cơng thức tổng qt, sáng tạo tốn mới, từ vận dụng để thực toán liên quan Qua học sinh rèn luyện phương pháp, thói quen tìm lời giải cho tốn cụ thể xét tốn trường hợp tổng qt từ rèn luyện cho học sinh phương pháp suy luận, tư để chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng đến tập hợp đối tượng lớn chứa tập hợp ban đầu III Đối tượng phương pháp nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Trước viết sáng kiến kiểm tra khảo sát việc giải tốn tính tổng, việc tổng qt hố tốn tính tổng, khả vận dụng học sinh lớp trường THCS Ái Thượng với phân môn số học - Phương pháp nghiên cứu: Thông qua khảo sát việc giải tốn tính tổng, việc em tư để tìm cách tổng quát hoá toán với kinh nghiệm thân q trình dạy học, ơn thi học sinh giỏi, nghiên cứu sách giáo khoa, loại sách nâng cao với giúp đỡ đồng nghiệp viết thành sáng kiến kinh nghiệm PHẦN B: NỘI DUNG I: Cơ sở lý luận : Tư thuộc tính tâm lý, tư hình thành phát triến theo giai đoạn, trình trưởng thành người Tư đặc biệt phát triến mạnh giai đoạn thiếu niên Việc thực phương pháp giảng dạy để phát triển lực tư cách tốt cho học sinh việc mà giáo viên cần quan tâm Trong toán học, dạy học tốn theo chương trình đổi việc dạy học theo phương pháp tích cực hố hoạt động học tập học sinh, học sinh tiếp cận kiến thức cách chủ động sáng tạo, từ hình ảnh, mơ hình, ví dụ để hình thành khái niệm trừu tượng, tổng quát từ lực tư học sinh phát triển không mơn tốn mà mơn học khác Là người giáo viên, cần biết gây hứng thú học tập em thông qua lời giải đằng sau lời giải tốn ln ẩn chứa nhiều bất ngờ dành cho em say sưa tìm tịi II Thực trạng vấn đề : - Học sinh: Trong trình dạy học nhận thấy đa phần học sinh trọng việc giải để đến kết quả, tốn có lời giải ngắn gọn Thực tế, việc làm cần thiết học sinh, nhiên dừng lại học sinh khơng thể phát huy tính sáng tạo qua tốn, khơng mở rộng tốn, từ tốn ta phát triển thêm từ tốn dễ đến tốn khác khó hơn, mang thuộc tính tổng quát - Giáo viên: Vì thời gian lớp hạn chế số yếu tố khác nên giáo viên thường giải mẫu sẵn tốn từ dễ đến khó cho học sinh đa phần chưa tổng quát hoá lên, chưa phát triển toán, chưa cho học sinh liên quan tốn từ chưa sâu chuỗi kiến thức từ chưa phát huy hết khả tư tốn học em Để góp phần giải thực trạng mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tư học sinh lớp thơng qua tổng qt hố tốn tính tổng số học” III Một số giải pháp tiến hành hướng dẫn học sinh tư dạy học tốn tính tổng phần số học lớp 1.Hướng dẫn học sinh phân loại toán: Phân loại để định hướng lập kế hoạch giải toán khâu quan trọng Do q trình giảng dạy mơn số học lớp hướng dẫn học sinh phân loại tốn tính tổng số tự nhiên toán liên quan thành dạng sau: 1.1 Dạng tốn liên quan đến tính tổng số tự nhiên 1.2 Dạng tốn liên quan đến tính tổng luỹ thừa với số số mũ số tự nhiên: 1.3 Dạng toán liên quan đến tính tổng phân số với tử số mấu số số tự nhiên Hướng dẫn học sinh tóm tắt kiến thức cần vận dụng Trong q trình hướng dẫn học sinh, tơi cho học sinh nhắc lại yêu cầu học sinh ghi nhớ tính chất sau: 2.1 Tinh chất phép cộng phép nhân số tự nhiên (a;b;c∈ N) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac 2.2 Tính chất phép cộng phân số (a;c∈ N; b;d;q∈ N*) a c c a + = + b d d b a c  p a  c p  +  + = +  +  b d  q b d q  2.3 Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng a c p a c a p  + = + b  d q  b d b q 2.4 Quan hệ chia hết a + m; b+ m ⇒ (a± b)+ m ; a + m; b + m (a± b) + m 2.5 Một số tính chất khác Với (n∈ N*) 1 = − n(n + 1) n n + Để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng cơng thức: Số số hạng = ( số cuối – số đầu) : ( khoảng cách ) + Hướng dẫn học sinh giải dạng toán: 3.1.Dạng 1: Dạng toán liên quan đến tính tổng số tư nhiên Ở số học lớp việc làm tốn thực phép tính tổng thân quen với em, nhiên thơng thường em dừng lại việc tính tốn mà tư để khái qt tốn đó, đưa tốn dạng tổng qt, vận dụng kết tốn Chính dạy giáo viên cần hướng em từ ví dụ nhỏ, quen thuộc để từ hình thành cách tính tổng qt, vận dụng cách hiệu dạng toán liên quan Ví dụ Tính nhanh (Bài tập 31c trang 17 SGK toán tập 1) 20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30 Tuy toán quen thuộc học sinh hay bị vướng mắc cách giải như: Nhóm cặp số khơng logic, nhầm lẫn số lượng hạng tử, lạm dụng máy tính bỏ túi cách máy móc khơng khoa học thực ví dụ giáo viên định hướng cho học sinh cách giải sau: Đặt S = 20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30 (1) S = 30 + 29 + + 21 + 20 (2) Từ (1) (2) 2S= (30+20)+(29 + 21)+ + (21 + 29)+ (20 +30) 2S = 50 + 50 + + 50; Có (30 – 20):1 + = 11 số 50 ⇒ 2S = 50.11 = 550 S = 275 Thay số hạng dãy số tự nhiên giáo viên cho học sinh phát triển thành tốn tính tổng số tự nhiên liên tiếp Từ hướng dẫn học sinh hình thành tốn tổng qt Bài tốn tổng qt 1: Tính tổng S = m + (m +1) + (m + 2) + + (m + k) (m;k ∈ N) Với cách thực tương tự ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành cách giải toán 2S = (2m + k) + (2m + k) + + (2m + k) Có: (m + k - m):1 +1 = k +1 cặp hạng tử (2m + k) ⇒ 2S = (2m + k)(k + 1) ⇒ S= (2m + k )(k + 1) * Hướng phát triển tư cho học sinh Từ cách giải, kết ta cho học sinh vận dụng thực toán liên quan chẳng hạn: Bài 1: Tính tổng S = 15 +16 + + 99 +100 Trước hết giáo viên hướng dẫn học sinh phát tìm số hạng m = 15, khoảng cách số hạng số hạng cuối k=85 từ hướng dẫn học sinh sử dụng kết tốn tổng qt ta tính tổng S = (2.15 + 85)(85 + 1) = 105.43 = 4945 Từ việc tính tổng giáo viên hướng dẫn cho học sinh tự tư để khai thác toán câu hỏi liên quan khác Ví dụ: Chứng minh S + 43, sử dụng máy tính bỏ túi tính S , tìm S + 55 ước lớn 40 S, so sánh S 5000; Ngồi việc vận dụng tính tổng trực tiếp giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết toán tổng quát thực toán liên quan khác đến dãy số cách dễ dàng, chẳng hạn: Bài 2: Tìm x biết 15 +16 + + 99 + x = 5000 Để thực toán trước hết giáo viên hưóng dẫn cho học sinh tính tổng 15+16+ +98+99 = (2.15 + 84)(84 + 1) = 4845 Lúc việc tìm x cơng việc đơn giản với học sinh: 4845 + x = 5000 ⇒ x = 5000 - 4845 = 155 Bài Tìm số tự nhiên x biết x +(x +1) +(x + 2) + + (x + 48) +(x+49) = 1275 Theo toán tổng quát giáo viên cho học sinh tìm m =x; k=49 từ hướng dẫn học sinh sử dụng kết toán tổng quát tính (2 x + 49).50 =1275 ⇒ x = Tiếp tục khai thác kết toán tổng quát giáo viên cho học sinh thực dạng tốn chứng minh mà khơng sử dụng kết toán tổng quát tốn khó em chẳng hạn: Bài Cho S= 1+2+3+ + 99+100 Chứng minh 2S tích số tự nhiên tiên tiếp Giáo viên hướng dẫn học sinh tính tổng S việc áp dụng trực tiếp kết tốn tổng qt học sinh tính S = 100.101 Lúc học sinh nhận 2S = 100.101 kết luận toán Qua tốn học sinh tính tổng 100 số tự nhiên liên tiếp (Bài toán gau-xơ trang 19 SGK toán tập 1) Vấn đề nảy sinh lúc cách tính tổng n số tự nhiên liên tiếp, từ giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành trường hợp đặc biệt tốn tổng qt Tính tổng: S = + +3 + + (n-1) + n (n∈ N) Với cách giải ví dụ học sinh dễ dàng thực Tuy nhiên ngồi cách giải giáo viên hướng dẫn học sinh giải cách khác chẳng hạn: S = + +3 + + (n-1) + n ⇒ 2S = 1.2 + 2.2 +3.2 + + n.2 ⇔ 2S = 1.2 + 2.(3 – 1) +3.(4 – 2) + + n.[(n+1) – (n – 1)] ⇔ 2S = 1.2 – 1.2 + 2.3 – 2.3 + 3.4 - … - (n – 1)n + n (n + 1) ⇔ 2S = n ( n + 1) ⇒ S = n( n + 1) Nếu khoảng cách số liên tiếp dãy số m (m ∈ N) cách thực tốn Từ vấn đề giáo viên hướng dẫn học sinh tìm tốn tổng quát toán lên Bài toán tổng quát 2: Tính tổng S = m+(m+k)+(m + 2k)+ +{m +(n-1)k}+(m + nk) (m;n;k∈ N) Với cách thực tương tự cách giải ví dụ giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính 2S = (m + nk + m) + {(m + k) + m + (n-1)k} + + (nk + m + m) ⇔ 2S = (2m + nk) + (2m + nk) + + (2m + nk) Có: {(m + nk - m) : k} + = n + cặp hạng tử (2m + nk) ⇒ S= (2m + nk )(n + 1) * Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngoài việc cho học sinh vận dụng thực toán liên quan định hướng tổng quát Giáo viên hướng dẫn cho học sinh vận dụng thực dạng liên quan khác chẳng hạn: Cho dãy số S = 5+9+13+ 17+ Tìm số hạng thứ 15 dãy thực tính tổng S Học sinh lúng túng cách tìm lời giải, thay cho việc mị mẫn liệt kê hạng tử học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng tốn tổng qt việc tìm số hạng đầu m = 5, khoảng cách k = 4, n = (15-1) số hạng thứ 15 xẽ m+(15-1)k = 5+(15-1).4 = 61 Lúc việc tính tổng dãy số xẽ trở nên đơn giản học sinh Bằng việc áp dụng kết toán tổng quát học sinh tính được: S= (2.5 + 14.4)(14 + 1) = 495 Với cách thực tốn liên quan đến tính tổng dãy số tự nhiên với khoảng cách số liên tiếp dãy số m bất kỳ, tìm số hạng thứ k dãy số trở nên đơn giản em Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh tư theo hướng thay đổi hạng tử dãy thành tích số tự nhiên liên tiếp để học sinh tìm tốn từ hình thành tổng qt Ví dụ 2: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 Vấn đề đặt cho học sinh lúc hướng giải toán Với cách giải trường hợp đặc biệt toán tổng quát ta nhân vế với (số số hạng +1) Với ví dụ số số hạng tổng từ giáo viên hướng dẫn học sinh nhân vế với 3(số số hạng +1) thực tương tự ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + 98.99.3 ⇔ 3A = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + +98.99.(100 – 97) ⇔ 3A = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 + - 97.98.99 + 98.99.100 ⇔ 3A = 98.99.100 ⇒ A = 98.99.100 = 323400 Từ ví dụ học sinh dễ dàng tổng quát toán Bài toán tổng quát 3: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4 + + n.(n+1) (n∈ N) Với cách giải hoàn tồn tương tự học sinh tính được: 3S = n.(n+1)(n + 2) ⇒ S = n.(n + 1)(n + 2) Với cách giải tương tự giáo viên tiếp tục phát triển tốn cách tăng thừa số tổng tích 3; 4; …m số tự nhiên liên tiếp ta xẽ có tốn tính tổng với tính tổng qt mạnh Tính tổng: S = 1.2 m+2.3.4…(m+1)+ + n.(n+1).(n+2)…(n+m – 1); (m ∈ N ; n ∈ N ) Với cách thực nhân vế với (m+1) thực cách tách tương tự ta xẽ có S= n( n + 1)(n + 2) (n + m) m +1 * Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngoài việc cho học sinh sử dụng kết để thực toán liên quan tương tự phần vận dụng cho tốn tổng qt giáo viên định hướng thêm cho học sinh vận dụng kết toán tổng quát để thực số toán liên quan khác chẳng hạn: Bài Cho S = 1.2 + 2.3 +3.4 + + n.(n+1) (n∈ N) Chứng minh 3S tích số tự nhiên liên tiếp Để thực toán giáo viên hướng dẫn cho học sinh áp dụng trực tiếp kết tốn tổng qt có được: S= n.( n + 1)(n + 2) từ học sinh nhận 3S = n(n+1)(n+2) Từ kết giáo viên hướng dẫn cho học sinh khai thác tìm câu hỏi liên quan từ tìm hướng vận dụng cho tốn cụ thể khác Ví dụ: Với n < So sánh S (n+1)(n+2); chứng minh S < (n+1)(n+2) Bài Cho A =5.6+6.7+7.8+ +19.20+20.21; C= A+21.22; Tính giá trị C Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận C = 5.6+6.7+7.8+ +19.20+20.21+21.22 Vấn đề đặt dãy số không 1.2 mà từ 5.6 giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực bước theo cách giải ví dụ 3C = 5.6.3+6.7.3+ +20.21.3+21.22.3 Tách biến đổi tương tự ví dụ học sinh tính 3C = 5.6.7-4.5.6+6.7.8-5.6.7+ +20.21.22-19.20.21+21.22.23-20.21.22 ⇒C = 21.22.23 − 4.5.6 = 3502 Từ toán giáo viên tiếp tục tổng quát lên cho học sinh: Tính tổng: S = m(m+1)+(m+1)(m+2)+ +(m+k-1)(m+k) Thực tự có S = (m;k∈ N) (m + k − 1)(m + k )(m + k + 1) − (m − 1) m(m + 1) Thay đổi thừa số tổng theo quy luật khác giáo viên hướng dẫn cho học sinh hình thành tốn tự tổng qt tốn lên Ví dụ : Tính tổng S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1 Dựa vào cách tách trường hợp đặc biệt toán tổng quát giáo viên hướng dẫn học sinh thực tách cách hợp lý S = 1.99 + 2(99 - 1) + 3(99 - 2) + + 98(99 - 97) + 99(99 - 98) ⇔ S =(1.99 + 2.99+ +98.99 + 99.99)–(1.2 + 2.3 + + 97.98 + 98.99) ⇔ S = 99(1 + + + 97 + 98 + 99) - (1.2 + 2.3 + + 97.98 + 98.99) 10 Lúc toán trở nên quen thuộc học sinh Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết toán tổng quát kết ví dụ dễ dàng thực S = 99 99.100 98.99.100 99.100.101 − = = 166650 Từ cho học sinh tự tư để tổng quát hoá toán Bài tốn tổng qt 4: Tính tổng: S = 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + + (n – 1)2 + n.1 (n∈ N) Với cách thực ví dụ học sinh dễ dàng thực S = (1.n + 2.n + 3.n + + n.n) – [1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n -1)n] ⇔ S = n(1 + +3 + + n) - [1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n -1)n] Sử dụng kết toán tổng quát 1, tổng quát ta S= n n( n + 1) (n − 1)n(n + 1) n( n + 1)( n + 2) ⇒S = * Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngoài dạng tốn vận dụng nêu ta hướng dẫn cho học sinh vận dụng kết thực dạng liên quan phức tạp Chẳng hạn: Bài Tìm số tự nhiên x biết: 1.20 + 2.19 + + 19.2 + 20.2 − x( x + 1)( x + 2) =0 Bước giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính tổng S = 1.20+2.19+ +19.2+20.1 Áp dụng kết toán tổng quát cho học sinh tìm được: S= 20.21.22 ; Từ giáo viên hướng dẫn cho học sinh nhân thấy 20.21.22 x( x + 1)( x + 2) = ; Lúc học sinh dễ dàng tìm x = 20 6 Bài Chứng minh A = (1.2+2.3+ +8.9+9.10) - (1+2+ +8+9) viết dạng tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Nhóm cách hợp lý giáo viên hướng dẫn học sinh thực 11 A = (1.2-1)+(2.3-2)+ +(8.9-8)+(9.10-9) ⇔ A = 1(2-1)+2(3-1)+ +8(9-1)+9(10-1) = 12+22+32+ +82+92 Từ kết tập giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển thêm với nhiều số hạng từ hình thành dạng tốn 3.2 Dạng 2: Dạng tốn liên quan đến tính tổng l thừa với số số mũ số tự nhiên: Ví dụ 1: Tính tổng S = 12 + 22 + 32 + +972 + 982 Giáo viên hướng dẫn học sinh thực bước giải theo chiều ngược lại với toán vừa nêu để đưa toán xuất dạng quen thuộc S = 1(2 -1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + + 97(98 - 1) + 98(99 - 1) ⇔ S = (1.2 + 2.3 + + 97.98 + 98.99) - (1 + + + 97 + 98) Lúc toán trở nên quen thuộc học sinh Sử dụng kết ví dụ dạng toán tổng quát trường hợp đặc biệt boặctongr quát học sinh tự thực S= 98.99.100 98.99 − = 323400 – 4851 = 318549 Từ ví dụ học sinh dễ dàng tổng qt tốn Bài tốn tổng qt 1: Tính tổng S = 12 + 22 + 32 + + n2 (n ∈ N ) Thực tương tự ví dụ học sinh tính S= n(n +1)(2n +1) n( n + 1)( n + 2) n( n + 1) − = * Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngoài vận dụng nêu ta cho học sinh thực số toán việc vận dụng nhiều kết trước từ tiếp tục tổng quát tốn thêm bước chẳng hạn: Tính tổng S = 52+62+72+ +192+202 12 Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào cách thực ví dụ dựa vào kết vận dụng tổng quát kết toán tổng quát học sinh xẽ tính S = (5.6+6.7+7.8+ +20.21)- (5+6+7+ +19+20) ⇔S= 20.21.22 − 4.5.6 (2.5 + 15)(15 + 1) − =2840 Sau học sinh thực song tốn giáo viên hướng dẫn học sinh tổng quát toán lên nêu rõ tốn tổng qt tổng quát Tiếp tục hướng dẫn học sinh tư theo hướng khác việc hốn đổi vị trí luỹ thừa số tốn từ giáo viên hình thành cho học sinh toán tổng quát toán lên Ví dụ 2: Tính tổng S = + 22 + 23+ 24 Học sinh có nhiều lựa chọn cho lời giải Để thực nhanh hiệu cách giải khơng bó hẹp ví dụ giáo viên hướng cho thực lập tổng 2S tương tự ví dụ dạng Ta có 2S = 22 + 23+ 24+ 25 ⇔ 2S – S = 25 – = 30 ⇒ S = 30 Từ học sinh dễ dàng tổng qt tốn Bài tốn tổng qt 2: Tính tổng S = + 22 + 23+…+ 2n (n∈ N*) Với cách thực tương tự học sinh dễ dàng tính 2S = 22 + 23+…+ 2n + 2n+1 ⇔ 2S – S = 2n+ 1- ⇒ S = 2n+ 1- * Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngoài dạng giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết toán tổng quát thực vài dạng toán liên khác quan chẳng hạn: Bài 1: Tính tổng: S = 24+25+ +29+210 Điểm khác với toán tổng quát toán luỹ thừa không 13 mũ Vẫn cách thự giáo viên cho học sinh tự thực toán 2S = 25+26+ +210+211 ⇒ S = 2S -S = 211-24 Qua toán giáo viên tiếp tục cho học sinh tự tổng qt tốn lên, Bài Tính tổng S = 2m + 2m+ + …+ 2n-1 + 2n (m;n∈ N*) Với cách thực hoàn toàn tương tự học sinh tự thực tìm kết S = 2n+1-2m Cần lưu ý với học sinh tổng quát tổng quát với hạng tử số số mũ số tự nhiên Theo hướng giáo viên tiếp tục cho học sinh tổng quát hoá lên thêm bước việc thay số số tự nhiên khác, Bài 3: Tính tổng S = km + km+ + …+ kn-1 + kn (k ; m; n ∈ N ; k ≠ 1) Với cách thực tương tự giáo viên cho học sinh lập tích kS kS = km+ +km+2 …+ kn +kn+1 ⇒ S(k-1) = kn+1-km ⇒ S = k n+1 − k m k −1 Bài tốn giáo viên khơng u cầu học sinh giải mà cho học sinh xem cách giải, sử dụng kết cho dạng toán liên quan Giáo viên nhấn mạnh thêm cho học sinh kết toán với số dương k ( (k ≠ 1) ) Bài Tính tổng: a A = + 99 + 999 + 9999 + + b B = + 11 + 111 + 1111 + + Đây dạng tốn khó học sinh học sinh sử dụng máy tính trực tiếp khó khăn, dễ nhầm lẫn Vì giáo 14 viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi để đưa tốn dạng quen thuộc từ học sinh tư tính A = 101–1+102 – + 03 – 1+ +1010 –1 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + + 1010 ) – 10 Áp dụng kết 1010+1 − 101 học sinh dễ dàng thực hiên A = − 10 10 − Bằng việc sử dụng máy tính tính tốn thơng thường toán lúc trở nên đơn giản em A= – 10 = 00 Trước thực câu b giáo viên cho học sinh thấy mối liên hệ câu a câu b từ hướng dẫn cho học sinh thực bước sau: 9B = 9.(1+11+111+1111+ + 9B = ) = 9+ 99 + 999 + + 00 ( Theo kết câu a) Vậy B = = 1234567900 Từ hai kết giáo viên cho học sinh tự tư thực câu tính tổng tương tự khác chẳng hạn: Tính tổng sau : C = + 22 + 222 + 2222 + + D = + 33 + 333 + 3333 + + Nếu học sinh chưa tìm cách thực giáo viên cần hướng dẫn + 22 + 222 + 2222 + = 2(1+11+111+1111+ ) + 33 + 333 + 3333 + =3(1+11+111+1111+ ) Kết hợp với vận dụng học sinh hoàn toàn dễ dàng thực mở rộng cho nhiều toán tượng tự khác 15 Khi dạy giáo viên cần biết cách hướng dẫn học sinh tự khái quát toán, từ toán hay từ cách giải ta phát triển thành nhiều tốn khác xây dựng toán tổng quát dựa tốn tổng qt khác có em khắc sâu kiến thức vận dụng kiến thức để thực tốn liên quan cách dễ dàng hiệu 3.3 Dạng 3: Các tốn liên quan đến tính tổng phân số với tử số mẫu số số tự nhiện Ví dụ 1: Tính tổng : B= 1 1 + + + + 99.100 (Câu 2b đề 13 trang 51 kiểm tra đánh giá thường xuyên định kỳ toán 6) Giáo viên hướng dẫn học sinh tư nhận thấy : 1 1 1 = = ; = ; Từ giáo viên hướng dẫn học sinh 2 2 3 tổng quát lên được: Với n ∈ N ; n ≠ Thì 1 = − Từ giáo viên n(n + 1) n n + 1 1 yêu cầu học sinh áp dụng phân tích tiếp = - ; 1 = Lúc học sinh dễ dàng lập 99.100 99 1000 B = 1 1 1 1 - + - + - + + ; Thực đơn giản học 3 2 19 20 sinh tính B = 1 99 = 100 100 Từ học sinh dễ dàng tổng quát toán Bài toán tổng quát 1: 1 Tính tổng : S = + 2.3 + + n(n + 1) (n ∈ N * ) Với cách thực tương tự ví dụ học sinh xẽ tính 16 1 n S= − = n +1 n +1 * Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngồi việc vận dụng kết vào dạng tốn liên quan nêu ta hướng dẫn học sinh sử dụng kết thực số tốn khác chẳng hạn Tính tổng S = 1 1 + + + + 6 48.49 49.50 Với cách thực ví dụ học sinh dễ tính được: S= 1 1 1 1 1 ⇒S= − − + − + + − + − = 50 50 6 48 49 49 50 Trong toán số hạng nên học sinh tính n = 49 áp dụng kết tốn tổng qt kết xẽ sai lệch Vì giáo viên cần lưu ý cho học sinh tổng quát toán lên cho học sinh mức cao mà hạng tử S= ; (m ∈ N * ) m( m + 1) 1 + + + m.(m + 1) (m + 1)(m + 2) (m + k )(m + k + 1) (m∈ N*; k∈ N) Giáo viên thực toán tương tự cách giải tính kết cho học sinh S = k +1 1 − = m(m + k + 1) m m + k +1 Vấn đề nảy sinh lúc tích hai thừa số mẫu số hạng tử số tự nhiên liên tiếp hướng giải Từ vấn đề học sinh tự tư đặt ví dụ Ví dụ Tính nhanh (Bài tập 95 trang 19 SBT tốn tập 2) M = 2 + + + 3.5 5.7 97.99 Giáo viên hướng dẫn học sinh tư tìm mối liên hệ 1 1 1 = − ; = + ; = − 3.5 5.7 97.99 97 99 17 Từ học sinh tự lập M = 1 1 1 1 32 ⇒M = − − + − + + − = 5 97 99 99 99 Qua ví dụ 1; 2; giáo viên hướng dẫn cho học sinh thấy mối liên hệ khoảng cách thừa số mẫu số tử số từ tìm quy luật chung cho toán tổng quát lên Bài toán tổng quát 2: Tính tổng S= k k k + + + ; (m ∈ N * ; n ∈ N * ; k ∈ N * ) m.(m + k ) (m + k )(m + 2k ) [m + nk ][m + (n + 1)k ] k 1 k 1 Ta có: m.(m + k ) = − ; = m m + k (m + k )(m + 2k ) m + k m + 2k k 1 = − [m + nk ][m + (n + 1)k ] m + nk m + (n + 1)k S= 1 (n + 1)k − = m m + (n + 1)k m[m + (n + 1)k ] *Hướng phát triển tư cho học sinh: Ngồi dạng tốn nêu ta hướng cho học sinh thực thêm dạng liên quan khác chẳng hạn: Tính tổng S = 3 + + + 5.9 9.13 21.25 Yêu cầu học sinh k = 4; n =4; m = Để tử số giáo viên hướng dẫn học sinh thực bước sau 4.S = 3( 4 + + + ) 5.9 9.13 21.25 Cho học sinh áp dụng kết tốn tổng qt có 4S = (4 + 1)4 = ⇒S= ⇒ 4S = 5[5 + (4 + 1)4] 25 25 Từ toán ta tổng quát lên cho học sinh với tử số số bất kỳ: Tính tổng: S = a a a + + + m.( m + k ) (m + k )(m + 2k ) [m + nk ][m + ( n + 1) k ] (m ∈ N * ; n ∈ N * ; k ∈ N * ; a ≠ 0) 18 Với cách thực tốn ta có kS = a{ k k k + + + } m.(m + k ) (m + k )(m + 2k ) [m + nk ][m + (n + 1)k ] Áp dụng kết toán tổng quát ta có kS = a ( n + 1) k (n + 1) S=a ⇒ m[m + (n + 1)k ] m[m + (n + 1)k ] Cần lưu ý với học sinh tốn tổng quát tổng quát Qua ba dạng toán học sinh thấy mối liên hệ toán, cách phát triển toán, vận dụng kết toán cho tập liên quan cụ thể từ hình thành cho học sinh cách tư logic, cách nhìn nhận tốn dạng tổng qt Vận dụng cách tính tổng để thực dạng tốn khác có liên quan từ phát triển thêm lực tư cho học sinh Kết đạt được: Trong trình tìm hiểu áp dụng chuyên đề vào thực tế dạy học thân trang bị thêm phương pháp dạy học, có thêm kĩ dẫn dắt, hướng dẫn học sinh phát triển tư học tập, tự chiếm lĩnh kiến thức, em hứng thú học tập hơn, tính tích cực, tính chủ động sáng tạo học tập nâng lên đáng kể Nhìn chung qua chuyên đề em học sinh phần biết tự tư duy, tìm cách tổng qt hố tốn trình bày lời giải tốt Các em biết cách vận dụng phương pháp học để làm tập liên quan phát triển tốn tính tư logic khơng tốn liên quan đến tính tổng mà toán dạng khác cải thiện rõ rệt Năm học 2009- 2010 trước sau áp dụng chun đề tơi có khảo sát học lực học sinh khối phần số học Kết thu sau: 19 Học lực Giỏi Khá TB Yếu Trước vận dụng SKKN 0% 18% 74% 8% Sau vận dụng SKKN 6% 26% 64% 4% 20 PHẦN C KẾT LUẬN: I Bài học kinh nghiệm Với hỗ trợ tài liệu từ vài kinh nghiệm nhỏ rút qua trình giảng dạy giúp đỡ bạn đồng nghiệp, thân nhận thấy: - Khi dạy cần cho học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt nhận dạng toán, tổng hợp khái quát toán, sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự, học sinh tự liên hệ hình thành tốn đặc trưng từ đến toán tổng quát cho dạng bài, xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu khơng có quy tắc giải tổng quát Qua rèn luyện cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng tốn thật phong phú khơng đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học môn II Ý kiến đề xuất Trong khn khổ có hạn sáng kiến đưa số ví dụ, lời giải dạng tổng quát vận dụng chúng, nhiên ta phát triển đề tài rộng hơn, khai thác toán khó hơn, đưa dạng tổng quát ví dụ, từ tổng quát phát triển thành tốn mang tính tổng qt nữa, khơng bó hẹp với tập số tự nhiên mà mở rộng tập hợp số với dạng tốn cụ thể Bản thân tơi mong quan tâm đóng góp, ủng đồng nghiệp để ý tưởng sáng kiến mở rộng đào sâu, phát triển hồn thiện hơn, áp dụng có hiệu trình dạy học ngày 02 tháng 03 năm 2011 Người thực 21