SKKN PHÁT TRIỂN NĂNG lực tư DUY SÁNG tạo của học SINH THÔNG QUA GIẢNG dạy một số bài TOÁN HÌNH học 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THÔNG QUA GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC 11 NGƯỜI THỰC HIỆN: VÕ ANH TÚ Tổ Toán – Tin Trường THPT Bắc Yên Thành NGHỆ AN – 2021 Mục lục Nội dung Trang Phần 1: Đặt vấn đề Phần 2: Nội dung I.MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT KIẾN TẠO II KHAI THÁC, MỞ RỘNG VÀ VẬN DỤNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC CƠ BẢN TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO III XÂY DỰNG MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG CƠ BẢN NHẰM 13 HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN BẰNG PHÉP BIẾN HÌNH TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO Bài tập rèn luyện định hướng 14 Bài tập rèn luyện định hướng 22 Bài tập rèn luyện định hướng 26 Bài tập rèn luyện định hướng 33 Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Nhiệm vụ người thầy người mở rộng, đặt móng cho việc phát triển trí tuệ học sinh khơng phải lấp đầy trí tuệ em cách truyền thụ nhồi nhét tri thức có Việc địi hỏi thầy giáo phải biết cách dạy cho học sinh suy nghĩ để giải vấn đề mà học sinh gặp phải trình học sống Thông qua dạy học nêu vấn đề giải vấn đề giáo viên dạy học sinh suy luận Đây nhiệm vụ khó khăn với giáo viên, đặc biệt giáo viên dạy toán Mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo "Phương pháp dạy học tích cực" (PPDHTC) nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo; kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, hứng thú cho học sinh học tập Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu vấn đề PPDHTC lý thuyết kiến tạo nhằm phát triển lực tự sáng tạo cho học sinh THPT, qua giúp em trau dồi kỹ năng, phát huy tư sáng tạo hoàn thiện lực toán học Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu đề xuất toán rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh THPT nội dung hình học lớp 11 Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài tập trung làm rõ số vấn đề sau: - Làm sáng tỏ số vấn đề tư duy, tư sáng tạo lực tư sáng tạo lý thuyết kiến tạo - Nghiên cứu đề xuất số định hướng rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học tìm tịi lời giải tốn hình học lớp 11 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích tổng hợp tài liệu giáo dục học, tâm lý học, sách giáo khoa, sách tập, tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới logic toán học, tư sáng tạo, lực tư sáng tạo, phương pháp tư toán học, phương pháp nhằm rèn luyện lực tư sáng tạo tốn học cho học sinh phổ thơng + Điều tra quan sát: - Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh trình dạy học nội dung hình học lớp 11 + Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu đề tài Phần II: NỘI DUNG I.MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT KIẾN TẠO: a) Nguyên tắc xây dựng lý thuyết kiến tạo: Theo Tiến sĩ Nguyễn Chánh Tú lý thuyết kiến tạo trình bày dựa hai nguyên tắc sau: “Tri thức kiến tạo cách tích cực chủ thể nhận thức tiếp thu thụ động từ mơi trường bên ngồi Nhận thức trình điều ứng tổ chức lại giới quan người Nhận thức khơng phải khám phá giới độc lập tồn bên ý thức chủ thể” Hai giả thuyết bác bỏ việc áp đặt, truyền thụ chiều đến người học Giả thuyết thứ nhấn mạnh việc học mang tính chủ động Giả thuyết thứ hai cho việc học mang tính cá nhân b) Những định hướng chủ yếu dạy học theo lý thuyết kiến tạo: Những nghiên cứu quan điểm kiến tạo kiến thức dạy học toán nước ta nhiều nhà khoa học nghiên cứu như: Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu, Nguyễn Chánh Tú … đề xuất bốn định hướng chủ yếu sau dạy học: Khai thác triệt để kiến thức kinh nghiệm có học sinh liên quan đến vấn đề cần dạy làm sở cho kiến tạo kiến thức Tạo môi trường hợp tác dạy học Sử dụng quy trình kiến tạo tri thức để thiết kế hoạt động dạy học Sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học phù hợp với quan điểm kiến tạo việc tổ chức học (Trong viết đề cập đến vận dụng định hướng thứ thứ ba) c Một số đặc điểm lí thuyêt kiến tạo: Theo Tiến sĩ Nguyễn Văn Cường lý thuyết kiến tạo có số đặc điểm sau: - Trí thức lĩnh hội trình học tập trình sản phẩm kiến tạo theo cá nhân thông qua tương tác học sinh nội dung học tập - Về mặt nội dung, dạy học phải định hướng theo vấn đề phức hợp gắn với sống khảo sát tổng thể - Việc học tập thực trình tích cực từ kinh nghiệm kiến thức thân thay đổi cá nhân hóa kiến thức khả có - Nội dụng học tập cần định hướng vào hứng thú học sinh, học dễ từ nội dung mà người ta thấy hứng thú có tính thách thức - Học nhóm có ý nghĩa quan trọng, thơng qua tương tác xã hội nhóm góp phần cho người học tự điều chỉnh học tập thân - Học qua sai lầm - Thuyết kiến tạo khơng giới hạn khía cạnh việc dạy học Sự học tập địi hỏi khuyến khích phát triển khơng có lý trí mà tình cảm giao tiếp - Mục đích học tập xây dựng kiến thức thân nên đánh giá kết học tập không định hướng theo sản phẩm học tập mà cần kiểm tra tiến trình học tập d) Những quan điểm lý thuyết kiến tạo vận dụng chúng: Từ đặc điểm lý thuyết kiến tạo có quan điểm vận dụng học tập sau: Theo Tiến sĩ Nguyễn Sĩ Nam - HS phải chủ thể tích cực kiến tạo nên kiên thức cho thân, dựa tri thức kinh nghiệm có từ trước, tạo nên mối quan hệ hữu kiến thức cũ, xếp kiến thức vào cấu trúc có thay đổi cho phù hợp trình học tập có ý nghĩa; - Học tập cá nhân hoạt động thụ động mà hoạt động tích cực, tức là, cá nhân hành động mơi trường đê xây dựng kiến thức; Q trình xây dựng kiến thức trình phát triển tiến hóa, khơng phải q trình tĩnh mà q trình động; - Kiến thức hình thành thơng qua q trình liên tưởng việc học tập trước liên quan với việc học tập Trong q trình học tập, HS sáng tạo kiến thức cách tự tích cực sử dụng kinh nghiệm có để giải mâu thuẫn phát sinh, từ đạt hiểu biết chung với thông tin mới; - HS đạt kiến thức theo trình: Tri thức có  dự đốn  kiểm nghiệm  (thất bại)  thích nghi  tri thức Trong q trình HS thơng qua trải nghiệm từ kiến thức có, HS có nhũng dự đoán về tri thức mới, dự đốn kiểm nghiệm Nếu kiểm nghiệm thành cơng củng cố niềm tin vào tri thức Nếu kiểm nghiệm thất bại HS phải điều chỉnh lại việc dự đốn vả q trình lại tiếp tục kiểm nghiệm thành cơng thu trì thức II KHAI THÁC, MỞ RỘNG VÀ VẬN DỤNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC CƠ BẢN TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO Trong trình dạy học, phải luôn ý tạo môi trưởng thích hợp cho hoạt động nhận thức tích cực học sinh, tránh áp đặt, gò ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động Chúng ta cần tạo nhịp nhàng hoạt động dạy thầy vào hoạt động học trò, tạo điều kiện để học sinh khám phá hình thành kiến thức Chính mà vấn đề (bài toán) mà đưa phải tương ứng với nhận thức học sinh theo nguyên tắc từ đơn giản đến phức tạp, cài đặt kiến thức cần giảng dạy vào tình thích hợp, học sinh có khả huy động kiến thức sẵn có để tiếp nhận, khám phá kiến thức Theo giáo sư - TSKH - Hà Huy Khối dạy cho học sinh tốn khơng để ý đến tốn cũ hay mà điều cần quan tâm dạy điều tốn khai thác điều từ tốn Chính khơng dừng lại việc trình bày lời giải mà cần có nhận xét phân tích, đánh giá để học sinh tìm lời giải tốn qua hướng dẫn em nắm chất, định dạng phát triển tốn Có tạo niềm tin, lịng say mê u thích mơn tốn Bài tốn 1: Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB đường thẳng a gọi  góc đường thẳng AB a A’B’ hình chiếu vng góc AB lên a Chứng minh A’B’ = AB cos Hướng dẫn giải: TH1:  = 00  A’B’  AB  A’B’ = AB cos00 TH2:  = 900  A’  B  A’B’ = AB cos900 B A M TH3:   (00; 900) a Kẻ A’M phương với AB cắt BB’ M B’ A’ Trong A’MB’ ta có A’B’ = A’M cos = AB cos (đpcm) Nhận xét: Có hai nội dung tốn là: - Góc hai yếu tố - Hình chiếu vng góc Chúng ta hướng dẫn học sinh mở rộng toán cho đoạn thẳng AB đường thẳng a khơng gian Bài tốn 2: Trong không gian cho đoạn thẳng AB đường thẳng a, gọi A’B’ hình chiếu vng góc AB lên a, góc AB a  Chứng minh A’B’ = AB cos  Hướng dẫn giải + Hướng dẫn học sinh tìm cách vận dụng kết toán cách chuyển toán toán mặt phẳng B + TH1: A a  AB a thuộc mặt phẳng  đpcm + TH 2: AB  a  hiển nhiên A’  B’ B1 A + TH3: A  a  - Gọi A’ hình chiếu A lên a - Trong (A’AB) lấy B1 cho A’B1 // AB; BB1 // AA’ A’ Do BB’  a  B1B’  a  hình chiếu A’B1 lên a A’B’ - Góc AB a góc A’B1 a a B’ - AB = A’B1  A’B’ = A’B1 cos = AB cos (đpcm) Chúng ta xét toán cách thay “yếu tố đường thẳng a” mặt phẳng P Bài toán 3: Cho đoạn AB mặt phẳng (P); gọi A’B’ hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên P góc AB (P)  Chứng minh A’B’ = AB cos Hướng dẫn giải - TH1: AB  (P)  Hiển nhiên - TH2: AB khơng vng góc với (P) góc AB (P) góc AB A’B’ nên ta có A’B’ = AB cos (đpcm) Bây thay yếu tố đường thẳng AB ABC kết Bài tốn 4: Gọi 'B'C’ hình chiếu vng góc ABC lên mặt phẳng (P) là góc (ABC) (P) Chứng minh SA’B’C’ = SABC cos Hướng dẫn giải A TH1: (ABC) X (P) theo giao tuyến BC Gọi AH đường cao ABC; A’H’ B H C hình chiếu AH lên (P) AHA'   theo kết ta có: A’H = AH cos S 'BC  P A’ A'H.BC AH.BC.cos    SC cos  (đpcm) 2 TH2: B thuộc giao tuyến (ABC) cắt P a đường AC // a A C Khi hình chiếu ABC lên (P) A1BC1 mà AC = A1C1 đường cao BB1 C B có hình chiếu lên (P) BB’1 thỏa mãn P BB cos   S BC  SC cos  (đpcm) ' 1 TH3: B  a AC cắt a M Gọi hình chiếu vng góc A, C lên (P) A1; C1 a Khi theo TH1 A  S BM  S cos    SC BM  SC cos  S BC  SABC cos  C a B 1 M P TH4: Với ABC Lấy B’  a dựng A’B’C’ có cạnh tương ứng song song (hoặc trùng) với cạnh ABC nên ABC = A’B’C’ Gọi hình chiếu vng góc ABC A’B’C’ lên mp(P) A1B1C1 1' B1' C1' Khi A1B1C1 = 1' B1' C1' (vì có cạnh tương ứng song song trùng nhau) Mà theo TH3 ta có S ' B' C'  S 'B'C' cos  S B C  SC cos  (đpcm) 1 1 1 Ta mở rộng toán cách thay ABC đa giác tùy ý: ' ' ' Bài tốn 5: Cho đa giác A1A2… An có hình chiếu lên mặt phẳng (P) A1A A n góc (A1A2… An) (P)  Chứng minh S B A  SA A A cos  ' ' ' n n Đây nội dung định lý – SGK hình học nâng cao – trang 105 Việc chứng minh cách chia đa giác thành tam giác sử dụng kết toán Bài toán 6: Gọi  góc mp(P) mp(Q), hình giới nội (H)  (P) có hình chiếu vng góc lên (Q) H S’ = S cos (với S diện tích hình H) (với S’ diện tích hình H’) Như từ tốn đơn giản (Bài tốn 1) qua phân tích để giúp học sinh nắm rõ nội dung toán, từ hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng toán để kết tốt mặt phẳng khơng gian Vì qua Đ(O): A A '  do(AO  OC') tương tự: D' B C A' D B' Cách 3: Gọi P mặt phẳng qua tâm O vng góc với AA’ ta có (P) cắt vng góc AA’, BB’, CC’, DD’ A1; B1; C1; D1 trung điểm AA’, BB’, CC’, DD’ A ' AA1  A1A ' Vậy qua Đ(P): A Tương tự: B B' C C' D D' Vậy Đ(p): ABCD A 'B'C'D' Cách 4: Gọi d qua O song song với AD d cắt vng góc mặt ABB’A’ DCC’D tâm mặt I, J Qua Đ(IJ): A’ A’B  IJ BI  IA' B A B' Tương tự: D C C' D' Vậy Đ(d): ABCD AB Đ(d1): ABCD B'A 'D'C' Tương tự qua Đ(d1) với d1 qua O song song với D'C'B'A' Cách 5: Sử dụng phép quay quanh trục d d’ góc quay 180 biến thành ABCD thành A’B’C’D’ Nhận xét: Nếu sử dụng tích phép biến hình ta có vơ số phép biến hình biến ABCD thành A’B’C’D’ 25 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN ĐỊNH HƯỚNG Việc nắm hình có tâm đối xứng, mặt phẳng đối xứng, phép quay biến hình thành giúp cho học sinh có khả xem xét tồn hình học khơng gian cách tốt hơn, từ giúp cho em tìm phép biến hình thích hợp để giải tồn hình học Bài tốn 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, tìm phép đối xứng tâm, đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng biến hình lập phương thành B C A2 A4 I’ D A I O A5 A3 C’ B’ A1 A’ D’ Hướng dẫn giải: a) Tìm phép đối xứng tâm biến hình lp thành Gọi O giao điểm đường chéo theo ví dụ (2-b) Đ(O)) biến ABCDA’B’C’D’ C’D’A’B’CDAB, Vậy O tâm đối xứng hình lập phương ta gọi hình lập phương hình có tâm đối xứng Tâm đối xứng hình lp giải sử hình lp có hai tâm đối xứng I I’ Lấy A1  hình lập phương qua Đ(I): A1 qua Đ(I): A3 A4; qua Đ(I): A4 A5 VẬy A1A3 = 2II’ A3A5 = 2II’  A1A5 = 4II’ Tương tự lấy ảnh Ai liên tiếp qua I I’ ta có A1A2n+1 = 2n – II’ 26 A2; qua Đ(I’): A2 A3; Khi n + A1A2n+1 có độ dài vơ lớn (khơng bị chặn) mà A1A2n+1 thuộc hình lập phương  vơ lý Vậy hình lp có I tâm đối xứng b) Xác định trục đối xứng hình lập phương Gọi M, N tâm mặt đáy Chứng minh tương tự (2-a) ta có qua Đ(MN) biến hình lp thành Ta gọi hình lp hình có trục đối xứng Chứng minh tương tự ta thấy hình lp có trục đối xứng đường nối tâm mặt đối diện; đường nối trung điểm cạnh đối diện c) Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (ABC’D’) Qua Đ(ABC’D’) điểm A, B, C’, D’ bất biến thuộc mp đối xứng điểm A’ D D A’ (vì A’D  (ABC’D) A’D x (ABC’D’) trung điểm A’D) Tương tự ta có điểm B’ C C Vậy qua Đ(ABC’D’): ABCDA’B’C’D’ B’ ABB’A’DCC’D’ Tương tự ta có qua phép đối xứng mặt phẳng qua cặp cạnh đối; mặt phẳng qua đường chéo mặt đối diện; mp qua trung điểm cạnh song song Ta nói hình lập phương hình có mặt phẳng đối xứng Bài tốn 7: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ tìm phép quay quanh trục biến hình lp thành B Hướng dẫn giải: O Xét phép quay Q(OO’,90 ) với O, O’ tâm đáy o Qua phép Q(OO’,90o) : A C D A B Vì AOB  1v OA = OB; (AOB)  OO’ C’ B’ Góc tam diện (OA, OB, OO’) góc tam diện thuận O’ A’ D’ Một hình H qua phép quay quanh trục với góc quay 2/n biến H thành ta gọi hình H có trục quay bậc n Vậy hình lp có trục quay bậc 4,với trục quay đường thẳng nối tâm mặt đối diện 27 Có trục quay bậc 3, với trục quay đường chéo hình Ip Có trục quay bậc với trục quay đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện Bài tốn 8: Cho tứ diện ABCD, tìm phép đối xứng trục, đối xứng mặt; phép quay biến ABCD thành Hướng dẫn giải: Gọi I, J trung điểm AB CD ACD BCD 2 nên AJ = BJ  AJB cân  JI  AB Vậy qua Đ(IJ): B A A B Tương tự qua Đ(IJ): C D D C VẬy D(IJ): ABCD BADC Ta gọi IJ trục đối xứng ABCD tương tự chứng minh ta có đường nối trung điểm cặp cạnh đối xứng lại trục đối xứng tứ diện (tứ diện có trục đối xứng) Ta có CD  IJ CD  AB  CD  (ABJ) mà CJ = JD  Đ(ABJ): A A; B ABCD B; C A C Vậy qua Đ(ABJ): D; D ABDC Ta gọi (ABJ) mặt phẳng đối xứng tứ diện chứng I minh tương tự ta có mp qua cạnh trung điểm cạnh đối diện mp đối xứng tứ diện (tứ diện có mp đối xứng) D B H Xét phép quay trục IJ góc quay  = 900 0: Q(IJ, 90 ) D C, C Nên Q(IJ,900): ABCD D; A B; B C A BADC Vậy tứ diện ABCD có trục quay bậc Kẻ đường cao AH  H tâm đáy BCD Xét phép quay trục AH, góc quay  = 1200 28 J Ta có Q (AH, 1200): Nên Q(AH, 1200): C B A A ABCD D C ACDB Tương tự tứ diện ABCD có trục quay bậc đường cao tứ diện Nhận xét: Hình chóp đa giác ( đều) có trục đối xứng đường cao mp qua đường cao cạnh bên mp đối xứng Qua phép quay trục đường cao, góc quay 2/n.k (với n cạnh đa giác đáy k ± 1, ± 2… hình chóp biến thành Nếu n = 2t (t  N) hình chóp có thêm mp đối xứng mp qua đường cao vng góc với cạnh đáy B Bài tốn 9: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’: M C D A a) Tìm ảnh hình lập phương qua phép đối xứng tâm, đối xứng mặt mà biến A thành trung điểm CC’ b) Tìm phép Đ(d) biến A C1 B1 trung điểmBC, B’ trung điểm A’D’ A’ Tìm ảnh hình lp qua phép Đ(d) C’ B’ N D’ c) Gọi C1, B’1 điểm BC’ AD’ choBC1 = AB’1 = AB Tìm phép Q(d) biến C ' C1 ; B1 A' Tìm ảnh hình lập phương qua phép Q Hướng dẫn giải: a) Giả sử Đ(O): A I  tâm đối xứng O trung điểm AI xác định ảnh đỉnh cịn lại hình lp (tương tự cho phép Đ(p)) b) Gọi M, N trung điểm BC A’D’ Vì qua Đ(d): A B’ M N  d trung trực AM B’N  gọi EF trung điểm AM B’N, dễ thấy EF//AA’  EF  AM EF  B’N  phép đối xứng trục cần tìm có trục EF  tìm ảnh đỉnh cịn lại hình lp  ảnh hình lp qua Đ(EF) c) Vì C C1 29 B’1 biến C A’  giao mp trung trực đoạn CC1 B’B1 trục quay phép quay C1; B’1 A’ (Nếu phép Q tồn tại) Vì AB  CC1; BC = BC1  mp trung trực CC1 qua AB Tương tự mp trung trực B’1A’ qua AB  đường thẳng cần tìm AB Vì CBC1  45 CBC1  AB  Q AB,450 : C Vì C1 B1' AA '  450 B1' AA '  AB  Q  AB,450  : B1' A' Phép Q[AB, 450] phép quay cần tìm Để tìm ảnh hình lp ta cần tìm ảnh đỉnh hình lp qua Q Nhận xét: Khi cho đoạn thẳng AB = A1B1 khơng song song chưa kết luận tồn hay không phép quay quanh trục biến A A1; B B1 giả sử mp trung trực AA1 BB1 cắt theo giao tuyến d chưa thể kết luận góc phẳng nhị diện (góc định hướng) nhị diện (A, d, B) (A1, d, B1) Bài toán 10:Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N trung điểm cạnh AB DC Tìm ảnh ABCD qua phép quay quanh trục NM góc 90 Tìm thể tích phần chung ABCD ảnh chứa tâm tứ diện, phần thể tích chung hình gì, V S hình B’ B M A’ A Q P E F C’ D N 30 D’ C Hướng dẫn giải ABCD tứ diện nên ta đặt vào hình lập phương mà cạnh tứ diện đường chéo mặt hình lập phương Ta có qua Q(NM, 900): A Vậy ABCD A’; B B’, D D’; C C’ A’B’C’D’ Gọi E, F, P, Q tâm mặt AB’DD’; AA’CD’; A’BC’C; BB’C’D ta có tứ diện A’B’C’D’ bị mặt tứ diện ABCD cắt theo thiết diện sau: Mặt (ABC) cắt theo MFP Mặt (BCD) cắt theo QPN Mặt (ACD) cắt theo EFN M Mặt (ABD) cắt theo MEQ Tương tự tứ diện ABCD bị mặt tứ diện A’B’C’D’ cắt theo thiết diện sau: Q P Mặt A’B’C’ cắt theo MQP Mặt A’C’D’ cắt theo NFP F E Mặt B’C’D’ cắt theo EQN Mặt A’B’D’ cắt theo EMF Vậy phần chung hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ là: MEFPQN N Vì M, N, E, F, P, Q tâm mặt hình lập phương nên dễ thấy mặt MEFPQ   MEFPQN hình bát diện có cạnh ½ cạnh tứ diện ABCD  cạnh MEFPQN M N B 1 3 VMEFPQN  MN.SEFPQ   3 C O A P D (Vì EFPQ hình vng có cạnh 1) SMEFPQN  8SSMEF M’   N’ C’ O’ A’ 31 D’ P’ Bài toán 11: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ gọi O, O’ tâm đáy ABCD A’B’C’D’ Một hình lập phương (L) hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh có OO’ quay quanh OO’ Tìm hình bé lớn giới hạn ABCDA’B’C’D’ có cạnh có OO’ quay quanh OO’ Tìm hình bé lớn giới hạn ABCDA’B’C’D’ hình lập phương nói CM hình tích khơng đổi (L) quay quanh OO’ Hướng dẫn giải: Khi quay (L) quanh OO’ mp (ABCD) (OMNP); (A’B’C’D’) (O’M’N’P’) trùng (cùng vng góc OO’) A Giả sử OM x BC = I B J O O’M’ x B’C’ = I’ OP x CD = J; O’P’ x C’D’ = J’ D I C  hình bé giao hình lp hình lăng trụ đứng OICJOIC’J’ Ta có VOICJO’I’C’J’ = SOICJ OO’ mà OO’ không đổi ta cần chứng minh SOICJ không đổi Do ABCD hình vng có tâm O; IOJ  1v  BOI  COJ  SIOJC  SBOC  / SABCD không đổi  đpCM 32 D – BÀI TẬP RÈN LUYỆN ĐỊNH HƯỚNG Như trình bày, việc chuyển dịch ngơn ngữ từ hình học tổng hợp, hình học véc tơ, hình học tạo độ sang biến hình giúp cho học sinh nắm nội dung tốn qua ngơn ngữ biến hình, từ có định hướng tìm phép biến hình thích hợp để giải Bài tốn 12: Cho hình chóp SABCD Gọi A1, B1; C1 S C1 điểm cạnh SA, SB, SC cho SA1 /A1A = SB1/B1B = A1 SC1/C1C = ½ chứng minh: D1 a) (A1B1C1)//(ABC) C B Ngơn ngữ hình học tổng hợp Ngơn ngữ biến hình Giả thiết: Giả thiết: A A1 A SA1/A1A = SB1/B1B = SC1/C1C = ½  V(S, 1/3): B B1 SA1/SA =SB1/SB = SC1/SC = 1/3 C Kết luận: (A1B1C1)//(ABC) Kết luận: Tìm phép V, T, Đ0, D C1 Đp biến mặt phẳng (ABC) thành mặt phẳng (A1B1C1) Chứng minh: SA1/AA1 = SB1/BB1  Chứng minh: A1B1//AB Do SA1/A1A = ½  SA1/A = (*) 1/3 Tương tự: V(S, 1/3): A A1 SB1/B1B = SC1/C1C  B1C1 //BC (**) Từ (*) (**) ta có: Tương tự: (ABC)//(A1B1C1) SB1/SB = 1/3  V(S,1/3): B B1 SC1/SC = 1/3  V(S,1/3): C Vậy V(S, 1C1) 33 1/3):(ABC) C1 (A1B- Mà S (ABC)  (ABC)//(A1B1C1) Bài toán 13: Cho A (1,2, k); B(t, 1, -1); C(3, m, 1) Tìm k, t, m để B trung điểm AC Hãy diễn đạt tốn qua ngơn ngữ hình học tổng hợp, véc tơ, tọa độ, biến hình giải phương pháp biến hình Kết luận phiên dịch theo ngơn ngữ hình học tổng hợp, ngơn ngữ véc tơ, ngơn ngữ tọa độ, ngơn ngữ biến hình Ngơn ngữ hình học tổng hợp: Tìm m, k, t để AB = BC A, B, C thẳng hàng Ngơn ngữ véc tơ: Tìm m, k, t để AB  BC (hoặc đẳng thức tương đương) Ngơn ngữ tọa độ: xA + xC = 2xB Tìm m,k, t để yA + yB = 2yC ZA + zB = 2zC Ngơn ngữ biến hình: Tìm m, k, t để a) Qua Đ(B): A C b) Phép Tv : A B;B C c) Phép Đ(P) với (P) qua B: A d) Phép Đ(d) với d qua B: A e) Q(d, 1800): B g) V(I, K): A1 B; A A; B1 C C C B; C1 C Mà B1 trung điểm A1C1 Giải: + = 2t  t = 2+m=2m=0 k + = -2  k = -3 34 Bài toán 14: Cho hình tứ giác ABCD, S điểm nằm mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trọng tâm SAB SBC Chứng minh: a) MN//(ABC); b) MN//(SAC) Phiên dịch giả thiết kết luận theo ngôn ngữ biến hình: Giải thiết: Ngơn ngữ hình học tổng hợp Ngơn ngữ biến hình + M trọng tâm SBC + V(S, 3/2): M Đ(I): A + N tâm SBC Kết luận: a) MN//(ABC) J C tồn phép biến hình: V; Đ(O); Đ(P) a) MN Tv biến: b) MN//(SAC) B V(S, 3/2): N Đ(J): B I b) MN M1N1 (ABC) M2N2  (SAC) S Giải: I (vì SI  / 2SM ) a) V(S, 3/2): M N J (Vì SJ  / 2SN ) Vậy V(S, 3/2): MN H IJ  MN//IJ  (ABC) M N A D  MN//(ABC) b) V(B,2): I A  (vì I trung điểm AB) J C  (Vì J trung điểm BC) Nên V(B, 2): IJ I B J C AC Vậy: V(B, 2) V(S, 3/2): MN AC  MN//AC  MN// (SAC) Nhận xét 1: Do tích phép vị tự V(B,2) V(S, 3/2) phép vị tự V(H, 3) với H  đường thẳng BS nên thay tích phép vị tự phép V(H, 3) với H trung điểm SB 35 Nhận xét 2: ta sử dụng V(B, 3/2): M M1 ; N N1 (Vì M, N trọng tâm SAB  SBC)  M1N1  (SAC)  MN//M1N1  MN//(SAC) Nhận xét 3: Ta dụng phép biến hình Đ(O); Đ(P): Tv phép biến hình để chứng minh tích O Bài toán 15: Trong mặt phẳng (P) cho điểm I  cố K định, I   điểm O mp (P) Gọi M thay đổi , d1 J trung điểm IM: N trung điểm OJ Tìm tạp hợp N N M thay đổi I d Phiên dịch tốn sang ngơn ngữ biến hình J A Ngơn ngữ hình học tổng hợp Ngơn ngữ biến hình Giải thiết: + JM = JI M  D(J) : I ()   V(I,1 / 2) : M + NO = NJ + V(0,1/2): J Kết luận: Tìm tập N M J N Tìm hình H cố định mà qua phép biến hình f: H H’ mà H’ chứa N + Tìm hình H cố định mà qua phép biến hình f: H H’ mà H’ chứa N Hướng dẫn giải: Theo phân tích để tìm tập hợp N ta tìm tập hợp J trước Theo giả thiết: V(I, ½): M V(0,1/2): J J  J thuộc đường thẳng ảnh  qua V(I,1/2) N  N thuộc đường thẳng ảnh d qua V(0, ½) Kết luận: Tập hợp điểm N ảnh  qua V(0,1/2).V(I,1/2) Nhận xét: Do V(0,1/2).V(I,1/2) = V(K.1/4) Với K  OI thỏa mãn KO  / 2IK Nên N nằm ảnh A qua V(K, 1/4) Bài toán 16: Cho nửa đường thẳng Ax chéo By gọi M  Ax; N  By cho AM = BN Tìm tập hợp trung điểm MN M, N thay đổi 36 Ngơn ngữ hình học tổng hợp Ngơn ngữ biến hình Giả thiết: + AM = BN + Tồn : AM + JM = JN + D(J): M + Ax chéo By (?) + Tìm H f: mà f(H) chứa J BN N Kết luận: Tìm tập hợp J Hướng dẫn giải: Qua TAB : M E thỏa mãn ME  AB  AM  BE  BE  BN M A Qua TAB / : J K J I x’ thỏa mãn JK  / 2AB E Vì ME  AB  N,K,E thẳng hàng K B N  NE  2NK nên K trung điểm NE  BE  BN Vì  nên BK trục đối xứng Bx’ By  KE  KN (Bx ảnh Ax qua TAB ) VẬy nửa đường thẳng BK cố định  tập hợp J ảnh nửa đường thẳng BK qua TBA / 37 KẾT LUẬN Lý thuyết kiến tạo sở lý thuyết cách dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học sinh Do việc học tập học sinh trung tâm trình dạy học, việc dạy học đạt hiệu cao học sinh hoạt động cách tích cực, chủ động tham gia tìm tòi, phát vận dụng kiến thức Việc xây dựng hệ thống tập từ toán đến toán nâng cao hay vận dụng tốn đó, việc xây dựng số định hướng để giải tốn phép biến hình giúp học sinh tiếp cận với kiến thức cách phù hợp với khả nhận thức em từ nhận biết, thơng hiểu đến vận dụng sở giúp em chủ động, sáng tạo học tập Với cách làm thu kết tốt từ việc phụ đạo cho học sinh yếu, trung bình đến cơng tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Mặc dầu thân cố gắng sáng kiến kinh nghiệm tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp để hoàn thiện thêm viết 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán học tuổi trẻ Dạy học phương pháp dạy học nhà trường, Phan Trọng Ngọ Giải toán nào, GPolya Một số xu hướng đổi PPDH mơn Tốn, Trần Vui (chủ biên) Những vấn đề chương trình trình dạy học, Nguyễn Hữu Châu Sách giáo khoa hình 11, 12, NXB Giáo dục Sách tập hình học lớp 11, 12, NXB Giáo dục Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nguyễn Bá Kim 39 ... liên quan tới logic toán học, tư sáng tạo, lực tư sáng tạo, phương pháp tư toán học, phương pháp nhằm rèn luyện lực tư sáng tạo toán học cho học sinh phổ thông + Điều tra quan sát: - Dự giờ, quan... làm rõ số vấn đề sau: - Làm sáng tỏ số vấn đề tư duy, tư sáng tạo lực tư sáng tạo lý thuyết kiến tạo - Nghiên cứu đề xuất số định hướng rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông. .. trau dồi kỹ năng, phát huy tư sáng tạo hoàn thiện lực toán học Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu đề xuất toán rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh THPT nội dung hình học lớp 11 Nhiệm