Bài giảng số 2: Ứng dụng véc tơ trong các bài toán hệ thức lượng trong tam giác

Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, hai đường trung tuyến qua trung điểm hai cạnh góc.. vuông cắt nhau theo một góc nhọn  mà cos 4 5[r]

(1)

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP Hotline: 0989189380

Bài giảng số 2: ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Một số hệ thức véc tơ cần nắm vững phần này:  a IA b IB c IC.   0

 GA GB    GCO (G trọng tâm tam giác ABC)  Qui tắc trung điểm, qui tắc hình bình hành

 Một số hệ thức lượng tam giác  Định lý hàm số cosin, sin

 Công thức độ dài đường trung tuyến, đường phân giác B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Chứng minh ABC với I tâm đường trịn nội tiếp ABC ta ln có:

a IA b IB c IC   

Từ tốn ta có số tốn sau

Ví dụ 2: Chứng minh ABC với I tâm đường tròn nội tiếp ABC có bán kính r , O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC có bán kính R, G trọng tâm ABC H trực tâm ABC, ta có các đẳng thức sau:

a)

2 2

1 IA IB IC

bc  ca  ab  b) OI2 R22Rr

Hệ thức gồm a) b) gọi hệ thức Ơle

c) 13 3 2 2

GI  ab bc caa b c  Rr

d) IH2 4R28Rra2b2c2ab bc ca  

Giải:

a) Từ a IA b IB c IC   0a IA2 2b IB2 2c IC2 22ab IA IB . 2 bc IB IC  2ca IC IA.  0

     

2 2 2 2 2 2 2 2

a IA b IB c IC ab IA IB AB bc IB IC BC ca IA IC AC

            

     

2 2 2 2 2

0 IA a ab ac IB b ab bc IC c ca bc abc bca cab

            

 2 2   

a IA b IB c IC a b c abc a b c

        

2 2

a IA b IB c IC abc

     đpcm

b) Ta có: a IA b IB c IC   0

a b c OI a OA b OB c OC       

 2 2  2 2 2 2  2 2  2 2  2 2

2

a b c OI a b c R ab R AB bc R BC ca R AC

           

 2 2 2  

a b c OI R a b c abc a b c

        

2 2

2

abc SR

OI R R R Rr

a b c p

      

(2)

c) Từ a IA b IB c IC   0, ta có: a IG GA b IG GB c IG GC0 a b c GI a GA b GB c GC

      

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b c GI a GA b GB c GC ab GA GB AB

bc GB GC BC ca GA GC AC

        

     

 2        

a b c GI a a b c GA b a b c GB c a b c GC abc a b c

              

2 2

2

4 4

9a ma 9b mb 9c mc abc GI

a b c

  

 

 

2 2 2 2 2

2

9 4

b c a a c b b a c

a b c abc

GI

a b c

         

     

      

     

 

 

 

     

 

2 2 2 3 3 3

2

9

a b c b a c c b a a b c abc

GI

a b c a b c a b c

      

   

     

       

 

2 2 2 3

2

9

a b c b a c c b a a b c abc abc

GI

a b c a b c

         

 

  

   

Ta có: 2a b 2c2 b a2c2 c b2a26abc2ab2bc2caa b c

 

Và 3abca3b3c3  ab bc ca a   2b2c2a b c   Do

2 2

2 3

4

ab bc ca a b c

GI        Rr

d) Ta có:  IHHA a  IH HB b   IHHC c 0

2 2

2 a HA b HB c HC abc IH

a b c a b c

 

  

   

Ta lại có: HA2 4R2a2, HB2 4R2b2, HC2 4R2c2 (tự chứng minh)

 2  2  2

2 a 4R a b 4R b c 4R c abc

IH

a b c a b c

    

  

   

3 3

2

4R a b c abc abc

a b c a b c

  

  

   

  2 2

2

4R 8Rr a b c ab bc ca a b c

a b c

      

  

 

 

2 2

4R 8Rr ab bc ca a b c

        (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh ABC ta ln có:

a) 3  5

2

a b c

m m m

(3)

b)  5

a b c

m m m  

Giải:

Trước hết ta chứng minh toán tống quát sau: Với M điểm ABC, ta ln có:  

3 *

MA MB MC

a  b  c 

Thật vậy, ta có:  *

MA GA MB GB MC GC

VT

a GA b GB c GC

  

2 2

3 a b c

MA GA MB GB MC GC

a m b m c m

  

     

     

4 4

2 2

3 a 3 b 3 c

MA GA GA MB GB GB MC GC GC

a m b m c m

  

  

        

 2  2  2

2 2 2 2 2

3 MG GA GA 3 MG GB GB 3 MG GC GC

a b c a b c a b c

  

  

     

     

 

2 2

3 GA GB GC MG GA GB GC

a b c

      

 



 

   

 2 2  2 2

2 2 2

4

3 3

9 ma mb mc a b c 3

a b c a b c

   

  

   

Dấu “=” xảy

3 3

, ,

2 a b c

MA GA MA GA

MB GB MB GB

MC GC MC GC

a m b m c m

 



 

 

  

 

   

 

       

    M G a b c

   

  

Áp dụng:

a) Bất đẳng thức  5 chứng minh thay điểm M  * G, ta có: GA GB GC

a  b  c 

2

3

a b c

m m m

a b c

 

    

   5



b) Bất đẳng thức  5 chứng minh cách áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cơsi Ta có:

2 2

2 a

a b c

a m   

2

2 2

3

2

b

b m

a b c

b m

 



 

 

 

(4)

2

2 2

3

2

c

c m

a b c

c m

 



 

 

 

 

 

2 2

3 3

2 2

5

3 3

2 2

a b c

VT

m m m

a m b m c m



        

2 2

3

4

2

a b c

 

 

 

Dấu “=” xảy abc

*Chú ý:  5 chứng minh trực tiếp cách áp dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 4: Chứng minh ABC nhọn ta ln có: 4Rma mbmc  r 4R

Giải: +) Chứng minh: ma mbmc  r 4R

Xét AMO, ta có: ma OA OM RRcosA cos

b

m RR B, mc RRcosC

 

3 cos cos cos

a b c

m m m R R A B C

      

4 sin sin sin

2 2

a b c

A B C

m m m R R R r

      

+) Chứng minh: mambmc 4R Ta có:

 

2 2

a b c

R m m m  OA GA OB GB OC GC

 

3

2 OA GA OB GB OC GC

       

     

3

2 OA GO OA OB GO OB OC GO OC

 

     

 

        

 

2

3

2 R GO OA OB OC

 

   

 

   

 2

3

2 R OG

 

2 2 2

2

3

2

a b c a b c

R R

     

    

 

Ta chứng minh:

2 2

a b c

R  

 2

sin A sin B sin C

   

2 cosAcosBcosC

   (đúng với ABC nhọn)

 

4

a b c

R m m m R

    mambmc 4R Ví dụ5: Cho ABC Tìm điểm M cho: 2 cos

2

A

MA MB MC

nhỏ

Giải:

C B

A

O

M

I

F E

C B

(5)

Ta có: cos

A

MA MB MC cos

2

A MB AB MC AC

MA

AB AC

  

2 cos

A MB AB MC AC

MA

AB AC

  

   

   

2 cos

MA AB AB MA AC AC

A MA AB AC           

2 cos

A AB AC

MA MA AB AC

AB AC             

Đặt AB AE AB 



, AC AF AC  



, AE  AF 1

 

AB AC

MA MA ME MF

AB AC                 

.2 cos cos ,

2

A

MA AI MA MA AI

   

 

2 cos cos ,

A

VT MA MA AI AB AC AB AC

        

Vậy VTmin ABAC

 

, 180 MA AI MA AB MC AC              

  M A

Ví dụ 6: Cho ABC Gọi G I r trọng tâm, tâm đường trịn nội tiếp bán kính đường tròn , , nội tiếp ABC Giả sử ha, h h , b, c ma, mb, m chiều cao trung tuyến c ABC kẻ từ các đỉnh ,A B C Chứng minh rằng: , max ; ;

2

a b c

m m m GI

h h h r

       Giải:

Ta có: 1 1

a b c

r  h h h (tự chứng minh) Và a IA b IB c IC   0

Ta có: max ; ;

a b c a b c

m m m m m m

h h h h h h

   

  

   

   

1

2 a b c

GA GB GC

h h h

             

2 a b c

GA GB GC

h h h

  

  

1 1

2 a b c a b c

IA IB IC GI

h h h h h h

                

1 1

2 r GI 2S aIA bIB cIC     

2

GI

r

 

max ; ;

2

a b c

m m m GI

h h h r

 

  

 

(6)

1 cos cos cos

A B C

2 sin2 sin2 sin2

A B C

3 a b  c 3R

4 cos cos cos

A B C

5 sin sin sin

2 2

A B C

  

6 x2y2z2 2xycosB2yzcosC2zxcosA Giải:

Chọn e e1, 2, e3

  

vectơ đơn vị cạnh AB BC CA , , xe1 ye2 ze3

     2

1 2 3

2

x y z xye e yze e zxe e

         

2 2

2 cos cos cos

x y z xy B yz C zx A

      

 Bất đẳng thức

Thay xyz  bất đẳng thức 1 Bất đẳng thức suy từ

Ta chứng minh bất đẳng thức Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: cos cos cos

2

A B C 

Chọn vectơ đơn vị e e  1, 2, e3 nằm cạnh OA OB OC , , (hoặc không cần chọn)

Ta xét: OA OB OC    2 0

2 2

2

OA OB OC OA OB OB OC OC OA

         

2 2

2R cos 2C 2R cos 2A 2R cos 2B 3R

    

3 cos cos cos

2

A B C

    

Từ suy bất đẳng thức

Bất đẳng thức chứng minh tương tự

Bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho trọng tâm G ABC Chứng minh với điểm M ta ln có:

2 2 2

MA MB MC MA GA MB GB MC GCGA GB GC

Bài 2: Cho ABC Tìm điểm M cho: MA MB MC đạt giá trị nhỏ

C B

A

e1

e2

e3

C B

A

O e1

(7)

Bài 3: Cho tứ giác ABCD đường thẳng d Tìm d, điểm M cho MA2 MB2MC2MD2 nhỏ

Bài 4: Chứng minh tam giác vuông, hai đường trung tuyến qua trung điểm hai cạnh góc

vng cắt theo góc nhọn  mà cos

 

Bài 5: Cho đa giác A A1 2 A Tìm điểm n M cho: MA1MA2 MAn nhỏ Bài 6: Cho ABC Chứng minh với điểm M , ta có:

2 2

2 2 2

2 2 3a b c a MA b MB c MC

a b c

  

  Bài 7: M điểm Chứng minh ABC ta ln có:

 

2 2 2

3

OG  MG  MA MB MC Từ suy ra:

2 2 2

9

a b c

OG R   

Ta có: OH3OGOH2 9OG2 9R2a2b2c2

GH  OG  

 

2 2 2

4

9

GH OG R a b c

     

Từ đẳng thức chứng minh:

a) 2IOHI b) IOOG

c) 2.IOGI d) 3IOOH

e) 2IOGH

Bài 8: Cho đường tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC CA , ,

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	299,28 KB