BÀI GIẢNG SỐ 07: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I... Cho biết đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng ở phần trên Ox giới hạn bởi đồ thị bằng diện tích hình phẳng ở phần
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 07: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức
Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b, y f(x), y g(x)
với ab là ( ) ( )
b
a
S f x g x dx
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y3 ,x y2x1
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
3x 2x1 0
1
x x
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S x dx x dx dx xdxdx
1 2 0
x
x x
Ví dụ 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y(e1) ,x y(1e x x)
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
(e1)x(1e x x) (e x e x) 0
0 1
x x
Diện tích hình phẳng cận tìm là:
S xe dx xe d dxxe dx
Ta có:
1
ex
e
e xdx
1
xe xe e dx e e
Trang 2Vậy 1
2
e
S (đvdt)
Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) 2
yx x y x
yx x y x x
c) y 12x ,y e x,x 1
e
d) y ln ,x y 0 và xe
e) Parabol 2
6 8,
y x x tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung
ĐS: a) 9
2 b) 11
24 c) 1 2 1 3
2e e2 d) 1 e) 9
Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
y x x yx
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là
2
x x x (1)
TH1: 1 < x < 3
(1) x 4x 3 x 3
2
3 6 0
( vô nghiệm )
1
x
x
5
x
x
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên, ta luôn có:
S x x x dx x x x dx x x x dx
=
( x 5 )x dx (x 3x 6)dx ( x 5 )x dx
=
6
x
= 257 6
Trang 3Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
8
x
y x y y
x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
+)
2
8
x
x x x x
+) 2 8 3
x
+)
4 8
x
x
x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi 3 đồ thị
2
8
x
x
Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
y x y x
b) 2
y x y x
c) 2
yx y x y
y x y x x
e)
3 2
3
x
y x y
4
y xx ( C) và tiếp tuyến của đường cong (C) qua 5; 6
2
M
ĐS: a) 73
3
S b) 20
3
S c) 5
6 d) 38
3
S e)
2 0
3
x
S x dx
f) HD: Tiếp tuyến của (C) qua M là: ( ) :d1 y 2x 1 , (d2) :y 4x 16
vẽ đồ thị 9
4
S
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số yx21 luôn cắt đường thẳng
2
ymx tại hai điểm phân biệt Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
đường trên là nhỏ nhất ĐS: m = 0, S 4
Trang 4Bài 4: Xét hàm số 2
yx trên đoạn 0;1 Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc 0;1 Gọi
S1 là diện tích giới hạn bởi các đường x 0, 2
ym và 2
yx , S2 là diện tích giới hạn bởi các đường yx2,ym2và x 1 CMR với mọi giá trị của m 0;1 ta đều có
4S S 3
Bài 5: Cho hàm số yx44x2m Cho biết đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng ở phần trên Ox giới hạn bởi đồ thị bằng diện tích hình phẳng ở phần
dưới Ox ĐS: 20
9
m
II Thể tích tròn xoay
Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox
Phương pháp: 1) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b, y 0, y f(x) với
.
ab Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể
tích là 2
( )
b
a
V f x dx
2) Nếu D là miền giới hạn bởi 2 đường
( ) ( )
y f x
y g x
a x b
V V V
2
( )
b
a
y f x
a x b
2
( )
b
a
y g x
a x b
Nhận xét: Nếu bài toán không cho a, b thì ta xét phương trình hoành độ giao điểm
Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox
( 2) 1.
x y
Giải:
Hoành độ giao điểm của (D) và Ox là nghiệm của hệ:
Trang 5 2
1 0
x y
Ta có:
2
2
1
2 1
x
2
2
1
2 1
x
1 2
1
8 1
Đặt x costdx sintdt
Đổi cận: x 1 t
x 1 t 0
0
1 os2
2
c t
1
2
Ví dụ 6: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:
y x , y = x và x = 5
Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
xx x x 0
0
1
x x
Ta có:
1
y x
x
x
1
2
y x
x
x
Trang 6Vậy 5 2
1
88 59
Bài 6: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x
a) y xlnx, y 0,x 1,xe
b) yxsinx, 0, 0,
2
c) sin 4 os 4 , 0, ,
2
yx x x y
y x x yx x
ĐS: a)
3
(5 2)
27
e
48
V
2
3 sin os
8
d) 2 ln 2
e)
4
1
1
978
5
4
2 1
393 ( 4 8)
5
Bài 7: Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox
ĐS: (d): y = 4x – 4
2
4
1
0
32 5
1
2 2
0
32 (4 4)
3
32 32
Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy
Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với
.
ab Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể
tích là ( )2
b
a
V g y dy
Ví dụ 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường 2
y x x y khi quay quanh Oy
Giải:
Ta có: y x22xx22x 1 1 y
x 12 1 y đk : 1 y 0 y 1)
Trang 71 1 1 1
Gọi (D1) là miền giới hạn bởi các đường
1
2 1
0
1 1
y
Gọi (D2) là miền giới hạn bởi các đường
1
2 2
0
1 1
y
1
0
Đặt 1 y t 1 yt2 dy 2tdt
Đổi cận: Với y0 t 1, y 1 t 0
1
2
4
t
Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh 0y
a) yx2 ;x y2;
b) y x y; 2 x y; 0;
c) x22y21
ĐS: a) 3
10
V
b) V 18
c) HD:
2
1
0
y
,
2
2
2 1 0
y
V 4