Các bài toán hệ thức lượng

HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 1 Trong các kì thì tốt nghiệp, thi tuyển vào lớp 10 hoặc các kì thi học sinh giỏi, bài toán hình luôn là bài toán khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn nhất. Để làm một bài toán hình đôi khi phải qua nhiều giai đoạn nên đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận tốt. Ngoài ra, học sinh còn cần phải biết các bài toán cơ bản, bài toán gốc mà từ bài toán đó cho ta ý tưởng để giải các bài toán khác. Sau đây tôi xin giới thiệu vài bài toán quen thuộc như thế để giúp học sinh có m ột sự liên kết tốt hơn. PHẦN 1 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊNH LƯỢNG. Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) Nếu n 60 o BAC = thì 222 .BC AB AC AB AC=+− . b) Nếu n 120 o BAC = thì 222 .BC AB AC AB AC=++ Qua cách chứng minh bài toán 1, ta có nhận xét sau: 1) Nếu ta biết số đo của một góc trong tam giác, ta có thể tính cạnh đối diện của góc đó theo hai cạnh còn lại. Chúng ta có các công thức cụ thể đối với các trường hợp đặc biệt như đề bài. Công thức tổng quát sẽ được chứng minh ở các lớp trên. 2) Ngược lại, nếu ta biết ba cạnh của một tam giác ta có thể tính số đo của một góc bất kì. Hướ ng dẫn giải: a) Vẽ ( ) BD AC D AC ⊥ ∈ thì D thuộc đoạn AC. Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có: ( ) 2 222 2 222 2. . CB DC BD AC AD BD A CACADADBD =+=− + =− ++ Trong tam giác vuông ABD ta có: n 222 11 sin sin60 22 o AD BD AB AD BAD AD AB A B += ===⇒= Do đó: 22 22 2 2. 2 BC AC AC AB AB AC AC AB AB 1 =− +=− + . @ D A B C HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 2 b) Vẽ ( ) BD AC D AC⊥∈ thì A thuộc đoạn DC. Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có: ( ) 2 222 2 222 2. . CB DC BD AC AD BD A CACADADBD =+=+ + =+ ++ Trong tam giác vuông ABD ta có: n 222 11 sin sin60 22 o AD BD AB AD BAD AD AB A B += ===⇒= Do đó: 22 22 2 2. 2 BC AC AC AB AB AC AC AB AB 1 =− +=+ + . @ Từ cách chứng minh trên ta có thể chứng minh được nhận xét 1 và 2. Ví dụ 1: a) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và góc n 45 o BAC = . Tính cạnh BC. b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và 21BC = . Tính góc số đo góc A. Sử dụng bài toán trên giải các bài toán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh AB = a. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC tại E và F. Tính các cạnh của tam giác AEF. Hướng dẫn giải Đặt AF = x. Khi đó FD = AF = x và CF = a – x. Vì 12 2, , 33 BD CD DB CD BC a CD a BD a=+==⇒== . Trong tam giác CDF có n 60 o DCF = nên theo bài toán trên Ta có: ()() 2 2 22 22 2 1 . 92 11 3 11 11 0 18 2 27 27 a D FCDCDCFCF x aax ax aax x aAF a =− +⇔=− −+− ⇔−=⇔=⇒= Tương tự ta cũng có: 21 36 A Ea= Tam giác AEF có n 60 o EAF = nên ta có: D A B C a 3 a - x x E F H A B CD HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 3 22 2 .EF AE AE AF AF=− + Từ đó tính ra được EF. @ Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). M là một điểm trên cung nhỏ BC. a) Chứng minh rằng MA = MB + MC. b) Chứng minh rằng tổng 222 M AMBMC++không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung BC. Tính giá trị đó theo R. Bài 3: Cho tam giác ABC có n 60 o BAC = . BD và CE là hai đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng BDC BEC ABC SSS+≥. Bài 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AC. Chứng minh các điều sau là tương đương. 1) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 2) AM + AN + MN = a. 3) 1 AM AN BM CN += Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hãy tính cạnh BC trong các trường hợp sau: a) n 90 o BAC = . b) n 60 o BAC = . c) n 45 o BAC = . d) n 30 o BAC = . Hướng dẫn giải a) Với n 90 o BAC = thì BC là đường kính của (O) suy ra BC = 2R. b) Trường hợp n 60 o BAC = . Vẽ đường kính BC, khi đó ta có n 90 o BCD = . Và n n BAC BDC= (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) 60 o = Trong tam giác vuông DBC ta có n 33 sin sin60 3 22 o BC BDC BC BD R BD ===⇒== c) Tương tự ta cũng có 2BC R= . d) BC R = Qua bài 2 ta có các nhận xét sau: D O B C A D O B C A HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 4 1. Mối quan hện giữa cạnh BC, góc A và bán kính đường tròn được thể hiện qua công thức sau: 2 sin BC R A = ( Nếu A nhọn). Tương tự ta cũng có 2 sin sin sin AB AC BC R CBA === . (*) ( Nếu tam giác ABC nhọn) 2. Nếu góc A tù thì ta lấy A’ thuộc cung lớn BC khi đó 2 sin BC R A = ′ 3. Từ công thức (*) thì ta sẽ tính dễ dàng một yếu tố trong (*) nếu biết hai yếu tố còn lại. 4. Khi người ta cho độ dài cạnh theo R, ta nên tính góc đối diện cạnh đó để có thể suy ra tính đặc biệt của bài toán. 5. Sử dụng công thức (*) thử chứng công thức về diện tích: 4 ABC abc S R = (**) . Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Hướng dẫn Trong tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn giả sử là góc A. Vẽ đường cao AH. Khi đó ta có 1 . 2 ABC SAHAC= Mà n sin A HAB BAC= suy ra n 1 sin 2 ABC SABACBAC= Theo bài toán 2 nhận xét 1 ta có: n sin 2 BC BAC R = . Do đó 4 ABC A BACBC S R = 4 abc R = Bài toán 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H, M là trung điểm của BC. H O B C A A ' O B A C HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 5 a) Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua BC và M là I và J thuộc đường tròn (O). b) Chứng minh rằng A, O, J thẳng hàng và n n BAD JAC= c) Chứng minh rằng AH = 2OM. d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, H, G thẳng hàng và GH = 2GO. Hướng dẫn giải a) + Vì I là điểm đối xứng của H qua BC nên: ,BH BI HI BC = ⊥ . HD BC ⊥ ⇒ D là trung điểm HI. Khi đó tam giác BHI cân tại B có BD là đường cao nên cũng là phân giác, suy n n D BI DBH = Mà n n D BH DAC= (Cùng phụ với n A CB ) Nên n n D AI DAC=⇒ từ giác ABIC nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau). Suy ra I thuộc (O) + Ta có tứ giác BHCJ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), suy ra CJ // BH và BJ// CH . Mà ,BH AC CH AB⊥⊥ ( H là trực tâm) nên n n ,90 o CJ AC BJ AB ACJ ABJ⊥⊥⇒== Tứ giác ABJC có n n 90 90 180 oo o ABJ ACJ+=+= nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra J thuộc đường tròn (O) b)Ta có n 90 o ACJ = nên AJ là đường kính của (O) suy ra A, O, J thẳng hàng. c) Trong tam giác AHJ có O là trung điểm AJ, M là trung điểm của HJ nên OM là đường trung bình, do đó AH = 2OM. d) G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG. Xét A HGΔ và M OGΔ có: + n n HAG MOG= + () 2 AH AG OM MG == n n ~ A HG MOG AGH OGM⇒Δ Δ ⇒ = , suy ra H, G , O thẳng hàng. Và 22 GH AH GH GO GO OM ==⇒= @ D E G M H JI O A B C HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 6 Qua bài toán 2 ta có các nhận xét sau: 1) Kết quả vẩn còn đúng trong trường ABC không phải là tam giác nhọn. 2) Vì 3 cạnh của tam giác có vai trò như nhau nên kết quả của các câu a, b, c vẫn đúng đối nếu ta thay BC bằng AB hay AC. 3) Từ câu c ta có mối liên hệ giữa AH và 2 2 4 BC OM R=− , nên ta có thể tính được AH trong những trường hợp cụ thể. Hơn nữa nếu BC cố định thì AH có độ dài không đổi. 4) Từ câu d ta thấy trong một tam giác bất kì trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm G thẳng hàng và GH = 2GO. Đường thẳng đi qua 3 điểm này còn được gọi là đường thẳng Euler. Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE và CF đồng qui tại H. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. b) Chứng minh OA EF⊥ . c) Gọi P, Q là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh OA PQ ⊥ d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Hướng dẩn giải a) Ta có nn ( ) 90 o BFC BEC== nên tứ giác BFEC nội tiếp. b) Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Khi đó ta có: n n x AB ACB= (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó). Mặt khác n n A FE ACB= (BEDC nội tiếp) Do đó n n x AB AFE= mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//FE. Hơn nữa OA Ax ⊥ (Ax là tiếp tuyến của (O)) Suy ra OA FE ⊥ c) Ta có FH// DP nên A FAH A PAD = (dl Thalet) Và HE // DQ nên A EAH A QAD = (đl Thalet) Suy ra A FAE A PAQ = theo hệ quả đl Thalet ta có EF // PQ mà OA EF OA PQ ⊥ ⇒⊥ F P Q D E H O A B C HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 7 Hoặc ta chứng minh không cần dựa vào câu a, ta cần chứng minh n n A PQ AC B= Trong tam giác vuông ADB có DP là đường cao nên ta có 2 . A PAB AD= Tương tự ta cũng có: 2 . A QAC AD= Suy ra n n ~ AP AQ A P AB AQ AC APQ ACB APQ ACB AC AB =⇒=⇒ΔΔ⇒= ( Tới đây thì làm giống câu b ta cũng có điều cần chứng minh) d) Tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: n n HFE HBC= Tứ giác BFHD nội tiếp nên ta có n n HFD HBC= Suy ra n n HFE HFD= , do đó FH là tia phân giác của góc n EFD . Chứng minh tương tự ta cũng có EH là phân giác của góc n F ED . Qua bài 3 ta có nhận xét sau: 1) Chứng minh tương tự câu b ta cũng có các kết quả sau: ,OB DF OC DE⊥⊥ . Đây là một bài toán rất quen thuộc mà kết quả của nó sẽ được dùng rất nhiều để chứng minh các bài toán khác. 2) Câu c thì tương tự câu b, câu c cho ta một tính chất của trực tâm H. Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau: Bài 5: (LHP 2001 – 2002) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng. c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất. Bài 6: (NK 2003 – 2004 CD) Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA. b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác định quĩ tích của H. Bài 7: (NK 2005 – 2006 AB) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 8 b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho n n PMB NMC= . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng. c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều. Bài 8: (NK 2006 – 2007 CD) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại M và N, n 120 o NHM = . a) Chứng minh n n A MN ABC= . Tính M N BC b) Tính A H BC . Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE, CF, cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại P và Q. a) Chứng minh PQ//EF. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có độ dài không đổi khi A di chuyển trên cung lớn BC của đường tròn (O). c) Tia AH lần lượt cắt BC và đường tròn (O) tại D và N. Chứng minh rằng: 9 AD BE CF DN EP FQ ++ ≥. Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M và N là trung điểm của BC và EF. Gọi I là điểm đối xứng của H qua M. a) Chứng minh MN // OA. b) Chứng minh OA. AN = AM. OM c) Đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh H là trung điểm PQ. Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng. b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui. Bài 12: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 9 a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định. Đôi khi các bài toán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bài toán sẽ có thêm nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết. Chúng ta hãy cùng giải những bài toán như thế. Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có 3BC R= . Gọi H, I lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. a) Tính góc BAC. b) Chứng minh B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I’, O’ là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh ( ) ,IO O ′ ′ ∈ . d) Tính AH. Suy ra tam giác AOH cân. Bài 14 : Cho tam giác ABC nhọn có n 60 o BAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC. a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao? Bài 15:(NK 2004 – 2005 AB) Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O). Bài 16: Cho tam giác ABC nhọn có n 45 o BAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M. N là trung điểm của BC và AH. a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Tính BC theo R. c) Tứ giác BFOE là hình gì? d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh OH, EF và MN đồng qui. Bài 17*: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng OA B C ′′ ⊥ . b) Chứng minh 4 AA BB CC AD BE CF ′′′ ++ =. c) Thử chứng minh điều sau đây 2222 9 ABC A B C S S AB BC AC R ′′′ ≥⇔++≤. HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 10 d) Chứng minh A BC ABC SS ′′′ ≥ . e) Chứng minh trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất Bài toán 5: Cho đường tròn (O;R) và I là một điểm nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua I cắt đường tròn tại A và B. a) Chứng minh rằng IA.IB = R 2 – OI 2 . b) Kết quả của câu a sẽ như thế nào nếu I nằm ngoài đường tròn. Hướng dẫn giải a) Vẽ đường kình MN của (O) qua I. Ta có: n n M AI BNI= ( góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Suy ra: () ()()()() 22 ~. MI AI M AI BNI g g AI BI MI NI BI NI OM OI ON OI R OI R OI R OI ΔΔ ⇒=⇒= =− +=− +=− b) Tương tự như trên ta có 22 .IA IB OI R = − Nhận xét: 1) Qua bài trên ta thấy nếu I cố định thì IA. IB luôn không đổi và 22 .IA IB R IO=− . Tính chất này tuy được chứng minh khá đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng. 2) Ta thấy nếu I, A cố định và 22 ROI− không đổi thì suy ra B cũng cố định. Kết quả này cho ta ý tưởng để chứng minh các bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định. 3) Nếu I nằm ngoài đường tròn IP là tiếp tuyến của (O). Khi đó ta có IA.IB = IP 2 . Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hai cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: a) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi IA.ID = IB.IC b) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD Hướng dẫn giải I N O A B M [...]... 2) Bài 6 cho ta một ý tưởng để chứng minh tứ giác nội tiếp, thực ra đó là một cách để chứng minh tứ giác nội tiếp nhưng trong trình bày chúng ta không được sử dụng Nếu ta chỉ nghĩ tới việc chứng minh các góc bằng nhau thì sẽ rất khó khăn và hạn chế về ý tưởng, nhưng khi ta nghĩ tới việc chứng minh các hệ thức về độ dài thì sẽ có nhiều hướng hơn để chứng minh Sử dụng các bài toán trên chứng minh các bài. .. và SH là đường cao và cắt nhau tại M nên M là trực tâm Suy ra OM ⊥ SF B Nhận xét: 1) Câu a thực ra là áp dụng câu b của bài toán 7 2) Nếu hiểu rõ bài toán 7 ta có thể chứng minh được AB luôn đi qua điểm F, với F là giao điểm hai tiếp tuyến tại C và tại D của (O) 3) Bài toán 7 và bài toán 8 cho ta một tính chất rất hay về tiếp tuyến của đường tròn Đó là tính chất về tính thẳng hàng của F, A, B Và tính... Khi đó OM vuông góc với SF Hãy chứng minh khẳng định này Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 14 www.truonglang.wordpress.com HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau: Bài 24: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm... Simson Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng thú vị Cùng làm các bài toán sau: Bài 35: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm trên cung nhỏ AC Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC và AB a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua DEF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ AC Bài 36: Cho tam giác... HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC b) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB Trong tam giác vuông BKC có KM là đường trung tuyến nên KM = MB, suy ra tam giác MKB cân tại M Khi đó ta có MKC = KBM + BKM = 2 KBM = ABC suy ra KM // AB Vậy M, N, K thẳng hàng Nhận xét: 1) Bài toán trên cho ta một tính chất đó là các đường thẳng DE, BI và MN đồng qui tại một điểm Vì thế đề bài có thể yêu... ASE = SPA Nhận xét: a Bài toán này là một bài toán khó, cho ta nhiều kết quả thú vị Khi S cố định ta có P, Q cố định Khi đó nếu d thay đổi thì D luôn thuộc đường thẳng PQ Vậy liệu ngược lại, nếu d cố định và S thay đổi thì có điều này không? Tại sao? b Tứ giác ABEO luôn là tứ giác nội tiếp Đây là một tính chất khá hay và nhờ tính chất này chúng ta có thể chứng minh nhiều bài toán khác c Câu d là một... M AM cắt IB tại K Chứng minh M là trung điểm AK Bài 32: Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD ( B, D là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C) a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng b) Chứng minh AB CD = AD BC c) Kẻ dây CN song song với BD Chứng minh AN đi qua trung điểm BD Bài toán 9: Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I)... NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Chiều ⇒) chúng ta đã chứng minh ở bài toán 5, giờ ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại Xét tam giác B + AIB = CID (đối đỉnh) IA IB = + ( IA.IC = IB.ID ) ID IC A D Suy ra ⇒ ΔAIB ~ ΔCID ( c.g.c ) ⇒ BAI = DCI , suy ra tứ giác ABCD nội tiếp(hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) I b) Chứng minh tương tự câu a Nhận xét: 1) Chiều suy ra thực chất là kết quả của bài. .. tròn ngoại tiếp tam giác ADS Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 13 www.truonglang.wordpress.com HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Bài toán 8: Cho đường tròn (O; R) DC là một dây cung cố định của (O) S là một điểm thay đổi Trên tia đối của tia DC Qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) Gọi E là giao điểm của OS và AB a) Chứng minh góc CED có số đo không đổi b) AB luôn đi... www.truonglang.wordpress.com HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Bài 29 ( THTT 12/2007) Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn với A, B là hai tiếp điểm Gọi M là giao điểm của OP và AB Kẻ dây cung CD đi qua M (CD không đi qua O) Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q Tính độ lớn của góc OPQ Bài 30*: Cho tam giác ABC cân tại A Bên trong tam . ra, học sinh còn cần phải biết các bài toán cơ bản, bài toán gốc mà từ bài toán đó cho ta ý tưởng để giải các bài toán khác. Sau đây tôi xin giới thiệu vài bài toán quen thuộc như thế để giúp. chứng minh các bài toán khác. 2) Câu c thì tương tự câu b, câu c cho ta một tính chất của trực tâm H. Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau: Bài 5: (LHP. khi các bài toán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bài toán sẽ có thêm nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết. Chúng ta hãy cùng giải những bài toán như thế. Bài