Bài giảng số 8: Các dạng bài toán hệ thức lượng trong tam giác

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang.. Bài giảng số 8: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 8: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định lý hàm sin cosin: Cho ABC có a b c ba cạnh đối diện , ,   A B C, , , R

bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC, S diện tích ABC thì:

sin sin sin

a b c

R

A  B  C 

2 2 2

2 osA= cot

a b c  bc c b c  S A

2 2 2

2 osB=a cot

b a c  ac c c  S B

2 2 2

2 osC=a cot

c a b  ab c b  S C

 Định lý đường trung tuyến: m m m đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, a, b, c B, C Ta có:

2 2

2

a

b c a

m   

2 2

2

b

c a b

m   

2 2

2

c

a b c

m   

 Diện tích tam giác: Gọi S: diện tích ABC

R: bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

r: bán kính đường trịn nội tiếp ABC

p: nửa chu vi ABC

thì:

1 1

2 a b c

S  a h  b h  c h

1 1

sin sin sin

2 2

S  ab C ac B bc A

   

4

abc

S pr p p a p b p c

R

     

 Bán kính đường trịn

+) Đường trịn ngoại tiếp:

2 sin

a abc

R

A S

 

+) Đường tròn nội tiếp:  tan  tan  tan

2 2

S A B C

r p a p b p c

p

(2)

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho ABC Chứng minh: A2Ba2 b2bc Giải:

Ta có: a2 b2bc4R2sin2 A4R2sin2B4R2sin sinB C

2

sin A sin B sin sinB C

  

   

1

1 os2 os2 sin sin

2 c A c B B C

    

os2 os2 2sin sin

c B c A B C

  

 

2sin B A sin(B A) 2sinBsinC

    

 

sin B A sin(A B) sinBsinC

   

 

sin(A B) sinB sin A B sinC

     

 

A B B

A B

A B  B l

  

  

  



Ví dụ 2: Cho ABC biết tan tan

2

A B

 Chứng minh rằng: a b 2c Giải:

Ta có: tan tan 3sin sin os os

2 2 2

A B A B A B

c c

   os 0, os

2

A B

c c

 

 

 

 

2 sin sin os os sin sin

2 2 2

A B A B A B

c c

  

os os os

2 2

A B A B A B

c  c  c 

 

   

 

 

os os *

2

A B A B

c  c 

 

Mặt khác: a b 2RsinAsinB sin os

2

A B A B

R  c 



 

8 sin os *

2

A B A B

R  c 



 

4 sinR A B sinR C 2c

   

(3)

Giải:

Ta có: 2

sin Bsin C 2sin A

2 2

2

4 4

b c a

R R R

   2

2

b c a

   (*)

Do định lý hàm cosin nên ta có:

2 2

2 osA

a b c  bc c     

2 2 2 2 2

cos *

2

b c b c

b c a

A

bc bc

  

 

  

 

2

do Cauchy

4

b c bc

bc bc



  

Vậy BAC  60

Ví dụ 4: Cho ABC có trung tuyến AM, AMB , ACb, ABc, S diện tích ABC Với 0 90

a) Chứng minh:

2 cot

4

b c

S

  

b) Giả sử  45, chứng minh: cotCcotB2 Giải:

a) AHM vuông cot HM MB BH

AH AH

 

  

 

cot

2

a BH

AH AH



  

Mặt khác:  

2 2

2 2 cos

4

a c ac B c

b c

S AH a

  

 

Đặt BC a

  2

cos

4

4 2

b c a c B a BH

S AH AH AH AH





    

Từ  4  4 ta được:

2 cot

4

b c

S

  

b) Ta có: cotC cotB HC HB HC HB

AH AH AH



    MH MC MB MH

AH

  



2

2 cot cot 45

MH

AH 

(4)

Ví dụ 5: Chứng minh ABC có trung tuyến AA vng góc với trung tuyến BB

 

cotC 2 cotAcotB Giải:

GAB

 vng G có trung tuyến GC nên

2

AB GC

3

AB CC

 

2

9c 4mc

 

2

2 2

9

2

c

c b a 

     

 

2 2

5c a b

  

2

5c c 2abcosC

   (do định lý hàm số cos)

2c abcosC

  2 sin R C2 2 sinR A2 sinR BcosC

2

2 sin C sinAsinBcosC

  sin cos

sin sin sin

C C

A B C

  2sin  cot

sin sin A B

C

A B



 

 

2 sin cos sin cos

cot sin sin

A B B A

C

A B



  2 cot BcotAcotC

Ví dụ 6: Cho ABC, gọi S diện tích tam giác Chứng minh: 1 2 

sin sin

S  a B b A

Giải:

Ta có: sin sin 

2

S  ab C ab AB

 

1

sin cos sin cos

2ab A B B A

 

1

sin cos sin cos

2

a a

ab B B A A

b b

    

     

   

 

( Theo định lý hàm số sin)

 2 

1

sin cos sin cos

2 a B B b A A

 

 2 

1

sin sin

4 a B b A

  (đpcm)

Ví dụ 7: Cho ABC có trọng tâm G GAB , GBC, GCA Chứng minh:

 2 2

3

cot cot cot

4

a b c

S

(5)

Giải:

Gọi M trung điểm BC, vẽ MH AB AMH

 vuông cos AH

AM 

 

BHM

 vuông cosB BH 2BH

MB a

  

Ta có: ABHAHB

cos cos

2

a

c AM  B

  

 

cos cos

2 a

c B

AM

  

    

 

Mặt khác áp dụng định lý hàm số sin vào AMB nên ta có:

sin sin

MB AM

B

   

1

sin sin sin

2

a

MB B B

AM AM

 

  

Lấy (7) chia cho  7 ta được:

cos

2 cos

2 cot

sin

2

a

c B

c a B

a b

B a

R 



 

   

4 cos

4 cos R c ac B

R c a B

ab abc

 

 

2 2 2

3

4

c b a c b a

abc S

R

   

 

Chứng minh tương tự:

2 2

cot

4

a c b

S

    ,

2 2

cot

4

b a c

S

   

Do đó:

2 2 2 2 2

3 3

cot cot cot

4 4

c b a a c b b a c

S S S

            

 2 2

3

4

a b c

S

 



Ví dụ 8: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Chứng minh:

a) sin sin sin

2 2

A B C

r R

(6)

Ta có: IBH vng cot

B BH

IH

 

cot

B BH r

 

Tương tự: cot

2

C HC r

 

Mà BHCH BC nên cot cot

2

B C

r  a

 

sin sin sin

2

B C r

a

B C



 

 

 

 

 

cos sin sin sin

2 2

A B C

r R A

 

cos sin cos sin sin

2 2 2

A A A B C

r R

 

4 sin sin sin cos

2 2

A B C A

r R  

    

 

b) Ta có: AKI vng

sin

A IK IA

 

sin r IA

A

 

Tương tự:

sin r IB

B

 ;

sin r IC

C



Do đó:

3

sin sin sin

2 2

r IA IB IC

A B C



3

2 4

r

Rr r

R

  (do kết câu a)

Ví dụ 9: Cho ABC có trọng tâm G tâm đường trịn nội tiếp I Biết GI vng góc với đường phân

giác BCA Chứng minh:

3

a b c ab

a b

  



Giải:

(7)

Mặt khác:

GCN

CLN GLC

S S S



       

1

2 GH LC GK CN 

 

Do CLN cân nên LC CN Từ (9)  9 ta được:

 

1

2

r LC LC GHGK

2r GH GK

  

Gọi h , a h hai đường cao b

ABC

 xuất phát từ A, B Ta có:

a

GK MG

h  MA 

1

b

GH

h  Do đó:    

1

2

3 a b

r h h 

Mà 1

2

ABC a b

S  pr ah  bh ha 2pr a

  ; hb 2pr b



Từ  9 ta có: 2 1

r pr

a b

 

   

 

1

3

a b p

ab 

 

   

 

a b c a b ab

  

 

3

ab a b c

a b

 

 



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho ABC Chứng minh:  

2

2 sin

sin

A B a b

C c

 



Bài 2: Cho ABC, chứng minh cot , cot , cotA B C tạo thành cấp số cộng 2 , ,

a b c

một cấp số cộng

Bài 3: Cho ABC Chứng minh:  

2 2

cotA cotB cotC R a b c abc

 

  

Bài 4: Cho ABC có góc A, B, C tạo thành cấp số nhân có cơng bội q  Giả sử 2 ABC Chứng minh: 1

a bc

Bài 5: Tính góc ABC sin sin sin

1

A B C

 

ĐS: A30 , B60 , C90

Bài 6: Cho ABC có trung tuyến xuất phát từ B C m m thỏa mãn b, c b

c

m c

b  m  Chứng minh:

2 cotAcotBcotC

Bài 7: Cho ABC Chứng minh: sin 2A sin 2B sin 2C 2S2 R

  

(8)

a) sin sin sin

2 2

a b C A B

a b

   

    

 

b) sin sin sin

2 2

S A B C

S

 

Bài 9: Cho ABC có cạnh a , b, c R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp

ABC Chứng minh:

a)  cot  cot  cot

2 2

C A B

a b  b c  ca 

b) r cosA cosB cosC R

   

c) Nếu cot

A , cot

2

B , cot

2

C

cấp số cộng a , b, c cấp số cộng d) SABC RrsinAsinBsinC

e) Nếu 4

a b c ABC có góc nhọn

2sin Atan tanB C

Bài 10: Nếu SABC c a b c  b a tan 15

C 

Bài 11: Cho ABC có góc nhọn Gọi A, B, C chân đường cao vẽ từ A, B, C

Gọi S, R, r diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp ABC Gọi S, R, r diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp A B C  

Chứng minh: a) S 2 cosS AcosBcosC b)

2

R R 

c) r 2 cosR AcosBcosC

Bài 12: Cho ABC có cạnh a , b, c tạo thành cấp số cộng với abc Chứng minh: a) ac6Rr

b) os sin

2

A C B

c  

c) Công sai tan tan

2 2

r C A

d   

 

Bài 13: Cho ABC có góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội q  Chứng 2

minh: a) 1

a bc

b) os2 os2 os2

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	480,89 KB