Bài giảng số 2: Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc trong không gian

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Chứng minh rằng:.. HN cắt Ax tại B. Bài 4: Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông [r]

Bài giảng độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Page BÀI GIẢNG SỐ 01: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

 Kiến thức bản:

Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta thường sử dụng phương

pháp sau:

 Phương pháp 1:

Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) d vng góc với đường thẳng cắt

nằm (P)

 

   

d a

d b

d P

a, b P

a b I     

  

     

 Phương pháp 2:

Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, ta chứng minh cho song song

với đường thẳng vng góc với mặt phẳng

 

 

b P

a P

a / /b   

 

  

 Phương pháp 3:

Nếu mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng

góc với giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng

 

(P) (Q)

(P) (Q) Δ a P

a Δ   

   

   

 Phương pháp 4:

Nếu mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ 3, giao tuyến chúng vng góc với

mặt phẳng thứ

 

(P) (R)

(Q) (R) Δ R

(P) (Q) Δ 

 

  



  

Bài giảng độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Page  Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC tam giác ABC vuông B

a) Chứng minh BCSAB 

b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AHSBC 

Giải:

a) Ta có:  

   

SA ABC

SA BC

BC ABC

  

 

   

Mặt khác, ∆ABC vuông B nên: BCBA 2 

và SAAB  A

Từ (1),(2) (3) ta có BCSAB 

b) Ta có:  

   

BC SAB

BC AH

AH SAB

  

 

   

Mặt khác, theo giả thiết SBAH 5  SBBC  B

Từ (4), (5) (6) ta có AHSBC 

Ví dụ 2:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC

Gọi I trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh BC(ADI)

b) Gọi AH đường cao tam giác ADI

Chứng minh AH(BCD)

Giải:

a) Ta có AB AC AI BC 1  IB IC

 

 

  

và DB DC DI BC 2  IB IC

 

 

  

Mặt khác, AIDI  I Vậy từ (1), (2) (3) ta có: BC(ADI)

b) Ta có  

   

BC ADI

AH BC

AH ADI



 

Bài giảng độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Page Mà AHDI(5) BCDI  I Vậy từ (4), (5) (6) ta có: AH(BCD)

Ví dụ 3:

Cho hìmh chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; Tam giác SCD vuông

cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm hai cạnh AB, CD

a) Tìm độ dài cạnh tam giác SIJ

b) Chứng minh rằng: SI(SCD), SJ(SAB)

c) Gọi H hình chiếu S IJ Chứng minh SHAC

Giải:

a) Ta có: SA SB AB a SI AB a

IA IB 2

          SC SD

SC SD SJ

CD a CD a 2            ; IJ=AB=a

b) *) Ta có:

   

SJ CD

CD

CD SIJ CD SI

IJ          Mặt khác, 2

2 a a

SI SJ a IJ

2

   

         

 

∆SIJ vuông S SI SJ  2

CD SJ J

   

 



Từ (1) (2) ta có: SI(SCD)

*) Ta có: SI AB AB    

AB SIJ AB SJ

IJ         

Mặt khác, ∆SIJ vuông S SI SJ  4

AB SI I

   

 



Từ (3) (4) ta có: SJ(SAB)

c) Ta có SHIJ mà     CD SIJ SH CD SH SIJ         

và  

 

SH ABCD

CD IJ J SH AC

AC ABCD           

Bài giảng độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Page Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB=a, BC= a , mặt bên (SBC) vuông

tại B (SCD) vuông D có SD= a

a) Chứng minh:SA(ABCD) Tính SA=?

b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB,CD I,J Gọi H

hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giao điểm K,L SB,SD với mặt

phẳng (HIJ) CMR:AK(SBC);AL(SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL=?

Giải:

a) Ta có:

 

BC BA

BC (SAB) BC SA

BC BS

 

   



 

 

DC DA

DC (SAD) DC SA

DC DS

 

   



 

Từ (1) (2) SA(ABCD) SAa

b) Trong (SBC) gọi: SBHI{K}KSB(HIJ)

Trong (SAD) gọi: SDHJ{L}LSD(HIJ)

Ta có: BCAK (1) mà: IJ IJ ( ) IJ AC IJ

 

   



 

SA

SAC SC

Mặt khác, SCAH SC(HIJ)SCAK (2)

Từ (1) (2) ta có: AK(SBC) Tương tự cho AL(SCD)

c) Tứ giác AKHL có: ALKH AL; LHnên: AKHL 1(AK.KH AL.LH)

S  

Vậy :

2 AKHL

8a 15

S 

 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tứ diện SABC có SAmp ABC   Gọi H, K trọng tâm tam giác ABC

và SBC Chứng minh HKSBC

Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA (ABC) tam giác ABC vuông B Trong mặt phẳng (SAB) kẻ

AMSB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SM SN

Bài giảng độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Page a) BCSAB AMSBC

b) SBAN

Bài 3: Cho mp(P) điểm khơng nằm mp(P) H hình chiếu lên mp(P) Trên mp(P)

lấy đường thẳng Ax, Ay không qua H Đường thẳng vng góc với mp(O,Ax) O cắt mp(P)

tại M, đường thẳng vng góc với mp(0,Ay) O cắt mp (P) N HN cắt Ax B

a) CMR : H trực tâm  ABC

b) CMR : OA  mp(OMN)

c) CMR : BC// MN

Bài 4: Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc.

a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b) Chứng minh hình chiếu H điểm O mặt phẳng (ABC) trùng với

trực tâm tam giác ABC

c) Chứng minh 2 12 12 12 OH OA OB OC .

Biên soạn: ThS Trịnh Hào Quang

Công ty cổ phần công nghệ Helios Việt Nam

Địa chỉ: Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Khương Mai, Thanh Xuân, Hà nội