20 khai thác giả thiết 2 đường thẳng vừa chéo vừa vuông góc trong giải toán HHKG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƢỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người thực hiện: Nguyễn Việt Dũng Chức vụ: Giáo viên Môn học ứng dụng: Hình học THANH HÓA NĂM 2013 http://baigiangtoanhoc.com Page MỤC LỤC MỤC TRANG A Đặt vấn đề B Giải vấn đề I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp III.2 Tiến trình thực III.3 Các ví dụ điển hình III.4 Một số tập áp dụng 14 IV Kết thực nghiệm 15 C Kết luận 16 D Tài liệu tham khảo 17 http://baigiangtoanhoc.com Page MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trình ôn thi đại học, giải toán hình học không gian tổng hợp, học sinh thƣờng lúng túng gặp giả thiết toán “cho trước hai đường thẳng chéo vuông góc với nhau” Đa số học sinh nhận xét dạng toán khó, học sinh thƣờng không liên kết đƣợc hai đƣờng thẳng chéo quan hệ vuông góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán Đặc biệt, học “Định lý ba đường vuông góc” học sinh biết áp dụng để chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc với mà cách khai thác khác là: tạo mối liên hệ gần gũi hai đƣờng thẳng chéo vuông góc với Trên lí để chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận I.1 Góc hai đường thẳng không gian Hai đường thẳng vuông góc + Góc hai đƣờng thẳng a b góc hai đƣờng thẳng a’ b’ qua điểm lần lƣợt song song ( trùng) với a b a’ a I http://baigiangtoanhoc.com b’ Page b + Hai đƣờng thẳng không gian gọi vuông góc với góc chúng 900 I.2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng + Nếu đƣờng thẳng a vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt b c nằm mặt phẳng (P) đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) a b P I c I.3 Định lý ba đường vuông góc + Cho đƣờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) đƣờng thẳng b nằm mặt phẳng (P) Khi điều kiện cần đủ để b vuông góc với a b vuông góc với hình chiếu a’ a (P) B a A P http://baigiangtoanhoc.com A’ b B’ a’ Page II Thực trạng vấn đề Khi toán giả thiết cho trƣớc hai đƣờng thẳng chéo vuông góc với Học sinh thƣờng định hƣớng giải toán không liên kết đƣợc hai đƣờng thẳng chéo quan hệ vuông góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp Cho hai đƣờng thẳng a, b chéo vuông góc với (1) Để khai thác giả thiết áp dụng vào giải toán, có hai hƣớng suy luận: Hướng 1: Từ giả thiết (1) , lập luận để hai đường thẳng cắt vuông góc với Từ áp dụng tính chất hình học phẳng để giải toán ( Định lý Pytagore,….) Hướng 2: Từ giả thiết (1) suy đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Từ áp dụng tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải toán Để suy luận theo hai hƣớng ta đƣa ba cách thực hiện: Cách 1: + Qua điểm I b, kẻ a’ // a Ta đƣợc hai đƣờng thẳng a’ b cắt vuông góc với b I a’ a http://baigiangtoanhoc.com Page Cách 2: Áp dụng Định lý đường vuông góc + Nếu đƣờng thẳng b nằm mặt phẳng (P), mà ta dễ dàng xác định hình chiếu vuông góc a lên (P) ta dựng hình chiếu a’ a lên (P) Ta có kết quả: a '  b B a A B’ a’ A’ b P Cách 3: + Nếu đƣợc đƣờng thẳng c cắt b c  a Suy a  mp(b, c) a b P I c http://baigiangtoanhoc.com Page III.2 Tiến trình thực + Cung cấp cho học sinh số kiến thức hình học không gian cách khai thác giả thiết hai đƣờng thẳng chéo nhau, vuông góc với + Đƣa ví dụ toán hình học không gian tổng hợp có giả thiết hai đƣờng thẳng chéo vuông góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả thiết dựa cách gợi ý + Yêu cầu học sinh nhận xét xem dùng cách khác để khai thác giả thiết không, so sánh tính khả thi hiệu phƣơng pháp III.3 Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC cạnh a Gọi M N lần lƣợt trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC biết BM  AN S K M N A C O B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết BM  AN , dùng cách http://baigiangtoanhoc.com Page Lời giải: Gọi K trung điểm SN, suy MK // AN ( tính chất đƣờng trung bình) Vì BM  AN  BM  MK VBMK vuông M  BM  MK  BK (*) Đặt SA = b ( b > 0) Theo công thức độ dài đƣờng trung tuyến, ta có: BM  AB2  SB2 SA2 a2  b2 b2 2a2  b2 2a2  b2     , tƣơng tự: AN  4 4  MK  2a2  b2 16 BSC  Áp dụng ĐL Cosin, ta có: cos · SB2  SC  BC 2b2  a2  2SB.SC 2b2 b2 b 2b2  a2 9b2 a2 · BK  SK  SB  2SB.SK cos BSC   b  2b   16 2b2 16 2 2a2  b2 2a2  b2 9b2 a2 a    b Khi (*)  16 16 Gọi O tâm tam giác ABC, suy SO  ( ABC ) , a a 6a2 3a2 a 42 AO    SO  SA2  AO2    3 1 a 42 a2 a 14  Suy ra: VS ABC  SO.S ABCD  (đvtt) 3 24 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, SA  a 3, SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đƣờng thẳng BM, AC, biết BM  AC S M A F K http://baigiangtoanhoc.com E B D Page C Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết BM  AC , dùng cách 2, thấy việc dựng hình chiếu BM lên (ABCD) dễ dàng Lời giải: Gọi K trung điểm AD, suy MK // SA  MK  ( ABCD) Vì BM  AC  BK  AC (Theo ĐL đường vuông góc) ABK  · ACB (vì phụ với · BAC ) Khi đó, ta có · VBAC đồng dạng với VAKB  AB BC AD   AB2  AK BC  a2  AD  AD  a AK AB 1 a3 V  SA S  a a  Suy ra: S ABCD (đvtt) ABCD 3 Gọi E  AC  BK Kẻ EF  BM F Ta có EF  AC ( EF  ( BMK )  AC ) Suy EF đoạn vuông góc chung hai đƣờng thẳng BM AC  d ( BM , AC )  EF a 2 a a , BE  BK  Ta có BK  AB  AK  a      3   2  BM  BK  MK  6a2 3a2 3a   4 a a EF MK BE.MK a ·   EF   Ta có sin BMK  3a BE BM BM Vậy d ( BM , AC )  EF  a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, tam giác SAC cân C, có · SCA  1200 , SC  a BAC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Biết (SAC )  ( ABC ), SA  BC · http://baigiangtoanhoc.com Page tính thể tích khối tứ diện SBCK, biết K điểm thuộc SA thỏa mãn CK vuông góc với SB S K A C H B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết SA  BC , dùng cách 2, ( SAC )  ( ABC ) nên hình chiếu SA lên (ABC) AC Lời giải: Vì ( SAC )  ( ABC ) , suy AC hình chiếu vuông góc AS lên mặt phẳng (ABC) Lại có SA  BC  AC  BC ( Theo ĐL đường vuông góc) Suy tam giác ABC vuông C  BC  AC.tan 300  a a2  SV ABC  AC.BC  Kẻ SH  AC H, suy SH  ( ABC ) a SCH  600  SH  SA.sin 600  Ta có · 1 a a2 a  (đvtt) Suy VS ABCD  SH SV ABC  3 12 http://baigiangtoanhoc.com Page 10 Vì AC  BC  BC  (SAC ) , suy SC hình chiếu vuông góc SB lên mặt phẳng (SAC) Vì SB  CK  SC  CK ( Theo ĐL đường vuông góc) Khi ta có: SK  SC 2a  cos 30 Ta có: SA2  SC  AC  2SC AC.cos 1200  3a2  SA  a Ta có VS BCK VS ABC 2a SK SC SB 2 a3 (đvtt)     VSBCK  VS ABC  SA SC SB a 3 18 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, BD  a Biết SA  BD, SB  AD (SBD) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đƣờng thẳng AC, SB theo a s F BH  AD H K E BH  AD D A O B C Phân tích: Bài toán phức tạp cho hai cặp đƣờng thẳng chéo vuông góc với là: SA  BD, SB  AD +Ta để ý đến SA  BD trƣớc, có AC  BD  BD  (SAC ) (cách 3) http://baigiangtoanhoc.com Page 11 Suy (SAC )  ( ABCD) , ta nghĩ đến việc dựng hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) Đây sở để ta dùng cách để khai thác giả thiết SB  AD Lời giải: Vì ABCD hình thoi nên AC  BD , mà SA  BD , suy BD  (SAC )  (SAC )  ( ABCD) Kẻ SH  AC H, suy SH  ( ABCD) Vì SB  AD  BH  AD ( Theo ĐL đường vuông góc) Gọi AC  BD  O , ta có BD  (SAC ) , suy góc hai mặt phẳng (SBD) SOH  600 (ABCD) góc · Từ giả thiết, suy tam giác ABC ACD tam giác cạnh a ·  600  OH  OB.tan 600  Vì BH  AD  OBH Suy SH  OH tan 600  a 3a 3 2 3a 1 3a 3a a 3.a  Suy VS ABCD  SH S ABCD  (đvtt) 3 2 Tính d ( AC , SB)  ? Dựng hình bình hành OHEB, suy OHEB hình chữ nhật Ta có BE // AC, suy AC // (SBE)  d ( AC, SB)  d ( AC,(SBE))  d ( H ,( SBE)) Ta có BE  HE, BE  SH  BE  (SHE )  (SBE )  (SHE ) Kẻ HF  SE F, suy HF  (SBE ) 3a a SH HE SH HE  3a 30  d ( H ,(SBE ))  HF    SE 20 SH  HE 27a2 3a2  4 http://baigiangtoanhoc.com Page 12 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm B’C’ Biết AB’ vuông góc với A’M AB’ = AM Cạnh bên AA’ hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Phân tích: Để ý A' M  B ' C ' , từ giả thiết AB '  A ' M  A ' M  ( AB ' C ') Đây cách A C N B A’ C’ M B’ H Lời giải: Vì tam giác A’B’C’ nên A' M  B 'C ' , lại có A ' M  AB '  A ' M  ( AB ' C ')  ( AB ' C ')  ( A ' B ' C ') Gọi H trung điểm B’M, tam giác AB’M cân đỉnh A nên AH  B ' C '  AH  ( A ' B ' C ') AA ' H  600 Suy góc AA’ (A’B’C’) góc · Ta có A ' H  A ' M  HM  http://baigiangtoanhoc.com 3a2 a2 a 13   16 Page 13 Suy AH  A ' H tan 600  a 13 a 39 3 4 Suy VABC A' B 'C '  AH S A' B 'C '  a 39 a2 3a 13  (đvtt) 4 16 Tính tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Vì (ABC) // (A’B’C’) nên số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (ABC) Gọi N trung điểm BC, ta có AN  BC Vì AH  ( ABC )  AH  BC   Suy ( ANH )  BC  (· ABC),(BCC ' B ')  · ANH   Ta có tam giác ANH vuông A, nên a 39 AH AH 13 221 cos      NH 17 17 AH  AN 39a2 3a2  16 Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình vuông cạnh a, AA '  a Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BB’, AD Biết BN vuông góc với CM, AA’ hợp với (ABCD) góc 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ N A K D H C B A’ http://baigiangtoanhoc.com D’ B’ M C’ Page 14 Phân tích: Vì ABCD hình vuông, ta liên tƣởng đến tính chất : Gọi K trung điểm AB BN  CK , mà BN  CM  BN  (CKM ) , ta chọn cách Lời giải: Gọi K trung điểm AB Ta dễ dàng chứng minh đƣợc BN  CK Vì BN  CM  BN  (CMK )  (CMK )  ( ABCD) Kẻ MH  CK H, suy MH  ( ABCD)     Vì AA’ // BB’  · AA ',( ABCD)  · AA ',( ABCD)  · MBH  600 Suy MH  MB.sin 600  a 3 3a  2 Suy VABCD.A'B'C 'D'  d (B ',( ABCD)).S ABCD 2d (M ,( ABCD)).S ABCD  MH S ABCD  3a 3a3 a  (đvtt) 4 III.4 Một số tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có AB = a Gọi M trung điểm cạnh SD Biết SA  CM Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đƣờng thẳng AB CM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, AC  a Gọi M thuộc đoạn CD cho MC = 2MD Biết SA  BD, SM  BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến (SAB) Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác vuông B, · AC  a, BAC  600 Biết AB '  A ' C ', AA '  B ' M , với M trung điểm A’C’; mặt phẳng (BCC’B’) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ http://baigiangtoanhoc.com Page 15 Bài 4: Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vuông cân tai B, AC = 2a ·  600 ; ( SAC )  ( ABC ) Gọi M trung điểm Tam giác SAC vuông S, SAC BC, N điểm thuộc đƣờng thẳng SC thỏa mãn BN  AM Tính thể tích khối tứ diện SBMN IV Kết thực nghiệm 1) Trong khuôn khổ viết đƣa ví dụ điển hình Từ ví dụ dƣới hƣớng dẫn cô giáo, học sinh tìm tòi lời giải toán Sau giải đƣợc toán, hƣớng dẫn học trò thay đổi cách tiếp cận toán, để đƣa đƣợc so sánh tính khả thi hiệu phƣơng pháp Trong trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức kỹ giải toán dạng mà hình thành đƣợc cho em cách nhìn nhận Định lý, tính chất hình học dƣới nhiều góc độ khác nhau, biết cách phân tích vấn đề dƣới nhiều góc độ 2) Trong lớp 12C8, 12C9, 12C10 dạy năm nay, giao Ví dụ Ví dụ nhà cho lớp 12C8, 12C9 12C10 chƣa phƣơng pháp khai thác giải thiết hai đƣờng thẳng chéo vuông góc với Kết số học sinh giải đƣợc nhƣ sau: Lớp 12C8 12C9 12C10 Sĩ số 51 51 45 http://baigiangtoanhoc.com Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12(VD1) 23,5%(VD1) 7(VD2) 13,7%(VD2) 16(VD1) 31,4%(VD1) 10(VD2) 19,6%(VD2) 7(VD1) 15,6%(VD1) 5(VD2) 11,1%(VD2) Page 16 Sau hƣớng dẫn phƣơng pháp, phân tích hai ví dụ: Ví dụ Ví dụ lớp yêu cầu học sinh làm ví dụ lại sở gợi mở, phân tích Hầu hết học sinh lớp hiểu, nắm đƣợc phƣơng pháp giải đƣợc ví dụ 3,4,5,6 Khi giao bài tập nhà Kết số học sinh giải đƣợc tập nhƣ sau: Lớp Sĩ số Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12C8 51 38 74,5% 12C9 51 42 82,4% 12C10 45 30 58,8% C KẾT LUẬN Quá trình dạy học trình tìm tòi suy nghĩ để không ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu dạy Kinh nghiệm trình bày ứng dụng nhỏ rèn luyện kỹ giải toán hình học không gian Nhƣng dù qua trình nêu hình thành cho học sinh phƣơng pháp luận; rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận vận dụng lý thuyết vào giải toán, tạo cho học sinh hứng thú tìm tòi, hứng thú học toán Trên kinh nghiệm đƣợc rút từ trình giảng dạy thân, mong đƣợc đồng nghiệp bổ sung, góp ý để áp dụng rộng rãi hiệu dạy học http://baigiangtoanhoc.com Page 17 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2013 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngƣời khác Nguyễn Việt Dũng D.TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 11, nâng cao, NXBGD http://baigiangtoanhoc.com Page 18