Tài liệu Bài giảng số 4 và số 5: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian docx

Trang 1

Bài giảng số 4 và số 5 :

HUONG THANG VA MAT PHANG TRONG KHONG GIAN

Cac bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian luôn luôn có mặt

trong các đề thi về mơn Tốn ở các kì thi vào Đại học và Cao đăng trong những nam gan day (2002- 2009)

Bai giang nay đẻ cập đến những vẫn đề sau: - Thiết lập phương trình mặt phẳng

- Thiết lập phương trình đường thang

- Các bài toán xác định điểm và các yếu tô khác trong hình học khơng gian

§1 BÀI TỐN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Việc thiết lập phương trình mặt phang được dựa trên các kiến thức cơ bản sau: l/ avà b là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phăng (P) nếu chúng không cùng phương và giá của chúng song song với (P) hoặc năm trên (P) Khi đó:

n= [a.b] là một vectơ pháp tuyến của (P) z

2/ Phương trình tơng quát của (P) có dạng:

Ax + By + Cz+D= 0 (với A?+B+C'>0)

Khi đó n =(A;B;C) là một vectơ pháp tuyến của (P) 3/ Mặt phăng đi qua điểm M(Xo; Yo; Zo) va nhận n= (A:B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng:

A(x-x,))+ B(y—y,)+C(z-z,)=0 n

4/ Mặt phăng theo đoạn chắn:

Mat phang đi qua điểm A(a;0:0),

DU

B(0:b;0);, C(0;0;c) với a,b,c # 0 có dạng: Me

x4 %4 71,

a be

Dưới dạng này ta nói mat phang có phương trình theo đoạn chăn

Các dạng toán cơ bản

Loại 1: Các bài toán cơ bản lập phương

trình mặt phẳng:

Các bài toán cơ bản lập phương trình mặt phẳng gồm các bài toán sau đây:

Trang 2

Phương trình cua nó 1a: A(x-Xo) + Bly~yo) + C(2-Zo) =

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A B, C không thăng hàng cho

trước

Mặt phẳng cần tìm nhận hai vectơ AB, AC lam hai vectơ chỉ phương Khi đó bài tốn quy về: Viết phương trình mặt phăng nhận n= [ AB AC | la vecto phap tuyén va di qua A

7 Viết phương trình mặt phăng đi qua một điểm A và song song với hai đường

thăng dị, dạ

Khi đó bài tốn quy vẻ: Viết phương trình mặt phăng qua A và nhận n= Iu,, u, a làm vectơ pháp tuyển ở đây u, uy

TT]

tương ứng là các vectơ chỉ phương của dị và do d, - Viết phương trình mặt phãng chứa hai đường

thăng song song dị và d› (dị//4))

Lay điểm Medi, Ned› Bài toán quy về viết

s ~ phuyong trinh mat phang nhan hai vecto MN uy (u, là vectơ chỉ phương của dị) và đi qua điểm M

Ngồi ra cịn nhiều bài tốn khác có thể quy về các dạng cơ bản trên sau các phép biến đổi đơn giản

Thi du 1: (Dé thi tuyển vinh Đại học khối B — 2008)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0:1:2): BỘ: -2:1): C(-2:0;1) Viết phương trình mặt phãng đi qua A B, C

Mặt iy phe ean tim nhan:

= AB=(2:-3:1)va u, = AC = (—2:—1;—1) làm cặp vectơ chỉ phương

Do đó vectơ pháp tuyen ni của nó là:

[3 -

n =luau | ||

1 -Í

Vay mat phang can tim c6 dang:

I(x = 0) +2(y — 1)-4(z2-2) =O x + 2y-4z2+6=0 Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0:1:2) và hai đường thẳng

te I) (2:4:~8)//(1:2:-4) x=l+t ` x vel z4+3 đị: -=#=—=——- và đ,:+y=-l-2t 2 | | z=2+t

Viet phương trình mặt phăng (P) qua A, đông thời song song với dị và d›,

Giải

Đường thẳng dị có vectơ chỉ phương u, =(2:1:—1)

Trang 3

Vi (P) song song voi d, va d> nén nhan u, va u, 1a cap vecto chi phương

(Chú ý u, và uy không cùng phương) Do đó (P) nhận n =[u,.us | lam vecto

5 -

pháp tuyến Ta có:

- - -]

n =[as]*[

Mặt khác (P) đi qua A (0;1;2) nên (P) có dạng

—1(x-0) — 3(y~1) -5(z-2) = 0 <> x + 3y + 5z-13 = 0

Thí dụ 3: (Dé thi tuyển sinh Đại học khỗi B — 2005)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lang trụ đứng ABC.A,B,C, với A(0: -3:0); B(4:0:0) C(0:3:0) B.(4:0:4) Gọi M là trung điểm của AB Viết phương trình mặt phăng (P) di qua A, M va song song với BC)

Giải Ta có: A,=(0; —3;40 và C¡ = (0;3:4) ˆ 2 —2 | 2} jl 2 | Jers G32

Vi M là trung điểm của AB; nên M -(2:-3:4]

b

ty

| Go

Từ đó có: AM -(2 4) và BC, =(-4;3;-4)

Mặt phăng (P) đi qua A, M va song song voi BC, nén nhan hai vectơ AM và BC, làm cặp vectơ chỉ phương Do vậy vectơ pháp tuyên n của (P) xác định như sau:

| | a} ae (3 4ll4 2ll2 2 n=|[ AM,BC, |=| 2 |; |“ 3] |= (6; 24:12) (1; 4:2) | (3 "¬a— -4 47

Mặt phăng (P) đi qua A nên nó có phương trình là:

-(x†+6)— 4(y+24) +2(—l12)=0<>x+4y—2z+ 12=0

Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Đại học khôi D ~ 2005)

Trong không gian cho hai đường thang:

— ˆ `ˆ ai — 2 3

3 ~| 2

*

1/ Chứng mình dy // da

2/ Viết phương trình mặt phăng (P) chứa cả (dị) và (d›)

Giải

I/ Đường thắng dị có vectơ chỉ phương là u, =(3:—1:2) và đi qua điểm M(I:

—2:1) -

Đường thăng d› có vectơ chỉ phương là:

Như vậy u, = uy

Trang 4

2/ Cho y = 0 trong hệ phương trình xác định d›, ta có:

x-Zz-2=0 x=12 © x-12=0 z=10

" a Vậy d; đi qua diém N (12;0;10)

Từ đó: MN =(11;2;11)

N a: Mặt phẳng (P) chứa (di) và (d›) nhận cặp vectơ

MN =(11;:2:11) và u, =(3;~1;2) làm cặp vectơ chỉ

phương nên vectơ pháp n của (P) xác định như sau:

=+ sa (2 HH HỊ|H 2

n=[MN,u, |= -12||P 3|JB-1 1: =(15:11;-17)

Rõ ràng (P) đi qua M (1; ~2: —1) nên (P) có phương trình:

15(x~]) + 11@y+2)~— 17œ+l)= 0© 15x + lly —17z-10 =0

Thi du 5: (Dé thi tuyên sinh Đại học khối A — 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

2 4=0 x=l+t x-2y+z-4= d,: y ;d;:4y=2+t x+2y-2z+4=0 ˆ z=l+2t

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa dị và song song với d›

Giải ;

Đường thăng d; có vectơ chi phương:

u, =(:k;2)

aw Đường thăng dị có vectơ chỉ phương:

u, = ; : 5 = (2;3:4) 2 -2J]-2 1h d2 5 ¬ gs , |x-2y=4 x=0

Trong hé phuong trinh xac dinh d, cho z = 0, ta có: =

x+2y=-4 y=-2

Vậy M(0; —-2;0) e dy

Mặt phăng (P) chứa dị song song với d›, nên nhận các vectơ u,;u; làm cặp vectơ chỉ phương, do đó nó có vectơ pháp tuyến n la:

+ ì=|u,.u- |= Tem 3 4l J4 212 3 : ; = (2;0;-1)

i=Lac){p HP 2l ||" )

Do (P) chứa dị nên M e (P) Vì thể (P) có phương trình là: 2(x-0)— (z-0)=0<©©2x-z=0

Thi du 6: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng khối A, B, D - 2009)

Viết phương trình mặt phăng (P) đi qua điểm A (1;1;1) và đồng thời vng góc với cả hai mặt phẳng:

(P,): x + 2y + 32+ 4 =0 va (P2): 3x + 2y-z+1=0

Trang 5

Giai

Rõ rang (P)), (P2) cat nhau vi ; : , do đó giao tuyến: vng góc với (P)

x+2y+3z+4=0

'|3x+2y-z+1=0

Đường thăng d có vectơ chỉ phương là:

- (23 3 112

n-lƑ })- (-8,10:—4)//(4:~5:2)

2 13 2

n chinh la vecto phap tuyén cia (P) Do (P) qua A(1;1;1), nén (P) co phuong trình là:

4(x-1) — 5(y-1) + 2(z-1) = 0 <> 4x-Sy = 2z-1 = 0

Thí dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D - 2008)

-1 3

Trong không gian cho đường thăng (4): = = = zt và điểm A (1:1:3)

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và vng góc với d

Giải

Vì (d) thuộc (P) nên vectơ chỉ phương (1; —l;2) d của đ chính là vectơ pháp tuyên của (P)

Do (P) qua A nên (P) có phương trình: Ix—1)— l(y—1)+2(z-3)= 0

<> x-yt+2z-6=0.,

Loại 2: Sử dụng phương trình chùm mặt phăng để viết phương trình mặt phẳng:

- Giả sử cho hai mặt phẳng (P) va (Q) cắt nhau:

(P): Aix tByy + Cịz + Dị = 0

(Q}: Aax + Bay + C;z + D› = 0

Khi đó mặt phăng đi qua giao tuy én của (P) và (Q) có dạng

œ(A,x+B,y+€C,z+D,)+B(A;x+ B.y+C;z)=0 (1)

voi a +B >0

(1) goi la phuong trinh cham mat phang xác định bởi

(P) và (Q)

- Người ta sử dụng phương trình chùm mặt phẳng dé viết phương trình mặt phẳng trong các bài tốn có nội dung sau: Cho đường thăng d viết dưới dạng:

(4): A,x+B,y+€C,z+D,=0

-1A,x+B,y+C.,z+D, =0

Bài tốn địi hỏi viết phương trình mặt phăng (P) chứa (đ) và có một tính chất nào đó

Cách giải bài toán trên tiên hành như sau: -

Trang 6

- age pang (1)

_ya vao diéu kién dau bài ta sẽ thiết lập được một phương trình nào đó liên hệ giữa œ;B

Bước 3: Chú ý rang a, B không đồng thời băng 0, nên sẽ xác định được œi B Thi dul: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A ~ 2002)

Trong không gian cho hai đường thăng

4=0 x=l+t

x~2y+z-

(4:13 ¬Mm dđ.}:4y=2+t .aa z=l+2t

Viết phương trình mặt phăng chứa (đi) và song song với (d›)

4, — Vị (P) chứa (d,) nên (P) thuộc “chum mat phăng"”:

œ(x=2y+z~4)+B(x +2y~2z+ 4) =0

<{œ+)x+(-2œ+2B}y +(œ~2B}z—~4œ+48ð=0 (l) (a +B > 0)

Dưới dạng (1) (P) có vectơ pháp tuyén là

n=(œ+;~2œ + 2B:œ - B) (2)

Do (Py//ds Vì thể vectơ chỉ phương uy = (11:2) của d›; phải vng góc với n"

ì CĨ:

u, Lne>u,n=0 6&œ+-2ơ +2B+ 2(œ -2B) =0 ằœ=§

Đo œ +B >0 nên chọn B=l>œ=l

Thay lại vào (1) và có: 2x — z = 0 Đó là phương trình cần tìm của (P)

Nhận xéi

So sánh với cách giải cơ bản của thí dụ này trong thí dụ 5, loại 1 §1, có vẻ giải này nhanh gon hon

Thí dụ 2: (Đề thí tuyển sinh Đại học khối D - 2005)

Trong không gian cho hai đường thăng

đà 1y! atl x+y-x-x=0

v2 d.;

3 ¬] 2 ~ [x+3y-12=0

Chứng mình d⁄4›

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả dị, d; Giải

Xem lời g giải thí dụ 4, loại 1 §T

Vị (P) chứa đ; nên (P) thuộc “chùm mặt phẳng `

a(x +y-2-2)+B(x+3y -12)=0 (1), voi a? +B >0

1///4; nên dị (P) Vì thể dị e (P) nếu như: M(I: ~

4 e (P) nên từ (1) ta có phương trình ;—Ÿ) € (P) (ở đây M e đị)

Trang 7

Từ (2) và do œ° +? >0 nên chọn B=~2;œ =l7

Thay lại vào (†) ta có : (P): 15x + 1ly T— I7z— 10= 0

Nhán xét: Hãy so sánh với lời giải cũng của thí dụ này trong thí dụ 4, loại Ì, §1 đưa ra nhận xét

Thí dụ 3

Cho điểm A(-1:2:3).Viết phương trình mặt phăng (P) chứa đường thang

2 -l=0

a? o va khoang cach tir A dén d bang 3

Z— =

Giải

Mặt phẳng (P) chứa (đ) nên thuộc chùm mặt phẳng

œ(2x—y~l)+B(z—l)=0 © 2ax-œy+z—œ-==0(1), với a° +P >0

Vi d(A,d) = 3 nên ta có:

—2a-2a+4+3B-a- › as ; 5

[2a = 2a + 3B= af) =3 <>(2B—Sa)' =9(5a” +B") <> 20a? + 2008+ 5B* =0

\4œ'+œ +

ôâ(2+B) =0 <> B+2a=0 (2)

Do a? +P >0 nên từ (2) chọn œ =1, B =-2 Thay lai vao (1) ta co: (P): 2x-y-2z+1=0

Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Cao dang Sư pham Quang Ngai — 2006) Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng:

d- 2x-y+3z-5=0 'Ìx+2y-z=0

và vng góc với mặt phăng (Q): x - 2y + 2z — 10 = 0

; Giai

Mặt phăng (P) chứa (đi) nên nó thuộc chùm:

a(2y +3z-5)+B(x+2y-x)=0

<> (2a + B)x + (-a + 2B)y + (3a -B)z—-Sa=0 (1)

a’ +B >0

vectơ pháp của (P) là: nạ =(2œ +ƒ:-œ + 2B;3œ - J) Vectơ pháp của (Q) là: No = (1:-2;2)

Do (P) 1 (Q) > ny.ng =0

<© 2œ +|+ 2ơ - 4B + 6œ - 2B = 0 © 10ơœ - 5B=0 <>B= 2œ

Thay lại vào (1) ta có: (P): 4x— 3y +z— 5 =0 (vì a? +B >0)

Nhận xét: So sánh cách giải trên với cách giải cơ bản sau:

(P) nhận vecto chi phương u, cua (d,) va vecto phap ctta (Q) lam cặp vectơ chỉ

Trang 8

Vay vecto phap tuyén n của (P) là:

ñx[s.]=| 2| Vị ad] ets

Mặt khác do (P) chứa (d,) nên nói riêng (P) đi qua điểm M nào đó của (dì) Cho z=0 ta có hệ

2x-y=5 y x=2 x

ee fot

Vay M = (2;-1;0) Ed)

Từ đó (P): 4(x—2) + 3(y + l)+z= 0 © 4x + 3y + x-5=0

Ta thu lại kết quả trên

Loại 3: Sử dụng phương trình theo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng Phương pháp giải các bài toán này là dựa trực tiếp vào dạng

X_Yy 7

—+T+—=Ì

a boc

của phương trình mặt phăng theo đoạn chắn Dựa vào các tính chất của mặt phang (P) mà đầu bài đòi hỏi sẽ thiết lập được một hệ phương trình để xác định a, b, c

Thi dud:

Viết phương trình mặt phẳng (P) biết nó đi qua điểm G(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

Giải

Gia sur A(a;0;0); B(0:b:0); C(0:0;c) Khi đó (P) có dang:

a boc

Do (P) đi qua G (1:2:3) nên ta có: lez sca)

a bee

Dựa vào công thức xác định tọa độ trọng

tâm của tam giác ta có: X\ +X§g +Xc =3XG a=3

YẠ +Ys +Yc =3y, ©4b=6 (2)

Z, +Z,3+Z =32Z, z=9

Thay lại (2) vào (1) ta thấy thỏa mãn vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: 424721,

3 6 9

Chư ý: Cùng dạng với thí dụ 1 có thê là các bài toán sau:

Thí dụ 1a: ; ; ;

Việt phương trình mặt phăng (P) cất các truc Ox, Oy, Oz lan luot tại A B, C sao cho OABC nhận điểm G(1;1;2) là trọng tâm của tứ diện

Gia str A (a;0;0); B (0;b;0); C (0;0;c) Khi đó (P) có dạng:

Trang 9

X Yy Z

—+>+-=1 a be

Theo cơng thức tính tọa độ trọng tâm của tứ diện ta có: Xo +X¿ +Xp +Xc =4Xo a=4

Yo TYA TYp +Yc =4Yo = )b=4

Zy+Z, +Z_ + Ze =4Z, z=8 Vậy mặt phẳng (P) có dạng:

Xe Ze, 4 4 8

Thi du 1b: - Ộ

Việt phương trình mặt phăng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B; C

sao cho ABC là tam giác đều và có diện tích bằng 2/3

Giải

Gia str A = (a;0:0); B = (0;b;0); C = (0;0;c) Do AB = AC = BC— a?= b?= c?

= la| = |b| = |el AB'J32a°v3 4 4 0 a?3 2 Từ đó ta có: |a|=|b|=|c|=2;

Vậy ta có đáp số sau: a= b=c=2;a=b=c=-2

a=2,b=c=-2;b=2,a=c=-2;c=2,b=a=-2;

a=b=2,c=-2;a=c=2,b=-2;b=c=2,a=-2 Như vậy có tám mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đầu bài:

Mặt khác: S.„„ = Vì thế: Su = 24/3 © =2\3 ©la|=2 *X+#+“=l; +42 +—=l; XY 22), 2 -2 -2 -2 2 2 2 ~* 4% 22) ~X_¥, 22} X,Y Ze} 2 2 2 2 2 2 2 2 XY 422), XYZ) 2 2 2 2 2 Thí dụ 2:

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trọng tâm của tam giác ABC

Giả sử A=(a;0;0), B=(0;b;0), C=(0;0;c)

Do OA, OB, ĨC đơi một vng góc với nhau, và H là trọng tâm tam giác ABC suy ra OH 1 (ABC), nên:

,

OH =(2;1;1) là một vectơ pháp tuyên của (ABC): x4 ‘ +Ằ=0,

a c

Trang 10

Từ đó ta có: 1, ch; laa,

abe

Hay b = c = 2a Như vậy (P) có dạng: x.Y

~ 4241 l (P): a 2a 2a 0 Do (P) qua H (2;1;l) nên ta có phương trình:

9 y 2,1 1, a 2a 2a y => a= 3 Vậy (P) có dạng: Tư n 6 Nhận xét: Cùng đạng với thí dụ 2, ta có thí dụ sau: Thi du 2a

Lap phuong trinh mat phang (P) di qua M(1;1;1), N(3;0:1) cat truc Ox, Oy,

314

Oz lần lượt tại A, B, C và có khoảng cách từ O tới (P) bằng _ Giải

Giả sử A = (a:0:0) B = (0:b:0), C = (0:0:c) nén (P) có dạng: ~ + h 47251, a Cc Khoảng cách từ điểm O tới (P) là: h =

Theo bài ra ta có hệ phương trình: 1 1 ot —+—+—=l I a be () (2) 7 14 =—==*— 3⁄4 6 @

Tha '(2) vào (1) su ra: og Lact

y ? b a 2b ~~

¬ Từ đó: caf

2b-3

Thay lại vào (3) có phương trình:

2b-3) 2

1d C3) 7 ob? 54p +63=0 c>b=3 hoặc bac,

4b` bỉ 4b- 18 II

+ Nếu b=3 thì (P) có dạng: ` +242 =} 6 3 2

Trang 11

+Néu b= 21 nip) c6 dang “` m 6 42”21 742 - 2 =| 11 II 9

Loại 4: Các bài toán khác về thiết lập phương trình mặt phẳng:

Nếu như việc thiết lập phương trình mặt phẳng có thể đưa về một trong ba dạng cơ bản trên, thì bài tốn có cách giải đơn giản, rõ ràng và hồn tồn có định hướng Nếu như ta gặp một bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng mà thoạt đầu chưa thấy ngay nó có một trong ba dạng trên thì dựa vào điều kiện đầu bài ta cô gắng đưa chúng về các dạng cơ bản đó, hoặc sử dụng trực tiếp dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng:

Ax+By+Cz+D=0

Khi đó ta cần thiết lập một hệ phương trinh dé tim A, B, C, D Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi A — 2008)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2;5;3) và đường thăng

d:Š -l oy _z-2

2 1 2

1/ Tim toa d6 hinh chiéu vudng goc cua A trên d , 2/ Việt phương trình mặt phăng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P)

là lớn nhât

Giải

1/ Gọi M là hình chiếu của A trên D Khi đó M=(I+2t; t; 2t—l)

= AM =(2t-l;t~5;2t~1) A

Vì d có vectơ chỉ phương là: u =(2;l:2) \ Nén tir AM u = 0 <> 2(2t-1)+(t-5)+2(2t-1) = 0

Vay M =(3:1:4)

2/Ké AH L (P) DoM € (P) va M e (d) mà (P) chứa (d)

>AH<AM Vậy d(A,(P)) = AH nhận giá trị lớn nhất khi và chỉ khi AHEAM <>H=M Lite do bai toan trở thành Viết phương trình (P) qua A(2;5;3)

và nhận AM =(1;-4;1) là vectơ pháp tuyến Do đó (P) có dang:

(x-2) - 4(y-5) + (2-3) =O x-4y+z~-3=0

Nhan xét:

1/ Nhờ có phần a) thì ta quy việc viết phương trình (P) về bài toán cơ bản (loại 1) 2/ Giả sử bài tốn khơng có câu a) Khi đó bài tốn viết phương trình (P) chưa thấy ngay thuộc dạng cơ bản nào Dĩ nhiên ta phải tự giải bài toán phụ (câu l) đề đưa nó về dạng cơ bản thứ nhất Cách giai này là hay nhất

3/ Có thể giải cách khác như sau:

Vì d có thể viết lại dưới dạng:

` d - X— 2y —]= 0

'l2y-z+2=0

nên (P) do chứa (d) nên thuộc chủm mặt phăng sau:

Trang 12

a(x -2y-1)+B(2y-z+2)=0

+Néu a=Ochon B = | thi lic dé (P) cé dang (P,): x -— 2y - 1 =0

, 9

Ta có: d(A,0))=

+ Nếu B=0 chọn œ = 1 lúc đó (P) có dạng (P›): 2y - z + 2 = 0

3

= TR

+ Nếu œ,Bz0, lây B=1, lúc này (P) có dạng: (P): ax + 2(1-a)y-z+2=0

Ta có: d(A,(P,))

~9

Khi đó: d(A,(P))= Pp of

5œ" -8œ+5Š

3 l(I-œŸ 2q? —

Ta có: d°(A.@®)=-Š1d=#}— - re) =f(œ)=gi——29=2

5a” —8a +5 (Sa* - 8a +5)

Ta có bảng biến thiên: a -2 | P(a) + 0 — 0 + $1 f (a) / 18 4 ot 5 5

Vậy max cua f(a) <> a =~1 Từ đó max d(A,(P)) © œ = —Ì

9 Lúc này (P): y x — 4y +z-3 y =0 (chi y: 18>—=) y i

Ta thu lai két qua trén

Ở đây ta quy bài toán về bài toán cơ bản: Sử dụng phương trình “chùm mặt phăng” để giải bài toán lập phương trình mặt phẳng (Dĩ nhiên kết hợp thêm bài

tốn tìm giá trị lớn nhất của hàm số)

Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A — 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A”B°C*D'

với A(0;0;0), B(1;0:0), D(0;1;0) A°(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng chứa A°C và tạo với mặt phăng (Oxy) một góc a, biết cosœ = +

Giai

Giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có vectơ pháp n= (œ.B.y) Lay C =(1;1;0) là điểm mà (P) đi qua khi đó (P) có dạng:

a(x-1)+B(y-1)+yz=0

Trang 13

Vi (P) con qua A’ = (0;0;1) nén ta cé: —a-B+y=0 >y=a+8 i Vậy (P) có dạng: B ax+Byt+(a+B)z-a-B=0 B' I Ngoai ra n, = (œ;B;œ + B) J B yy

Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyên là ⁄ \

n, = (0,0;1) nên ta có: ° a - x B ⁄ Cc

In;n| |ư + B|

cosa = =

“mm \a`+B'+(+B} 4

Theo bài ra ta có phương trình:

a+ 3 ,

hd © 6(a+B) =a? +P’ +(a+p) a’ +B°+(a+p) 6

© 2d” + 5œB + 2? =0

(Rõ ràng B# 0 vì nếu B=0 => œ = 0 mâu thuẫn với œ? + B >0) Š=-2 hoặc ae

Nếu — =~2, chọn œ= 2, B=—I = (P):2x—y+z—1=0,

Nêu

MIR

wR

==, chon œ=l;B=~2 => (P):x~2y~Zz+ 1 =0

Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đầu bài Thí dụ 3

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B°C? có A(0;0;:0), B(2;0;0), C(0;2;0) và A°(0:0;2)

Viết phương trình mặt phẳng (ABC ') Ta có: B’ = (2:0;2); C’ = (0;2;2)

=> A'C =(0;2;-2); BC’ = (-2;2;2) - Tacé: A'C.BC'=0 A'C L BC'(1)

Mat khac AB_L AC, AB LAA => AB1(ACC’A) => AB 1 A’C (2)

Từ (1) và (2) suy ra A'C 1 (ABC')

Vậy A"C =(0;2; -2) là vectơ pháp tuyến của

(ABC’) A=O

Mặt khác (ABC) qua A (0;0;0) nên có dạng: 2(y — 0) - 2(z-0) =O y-z=0

Trang 14

Nhận véi:

1/ Cách giải trên là ngăn gọn nhưng phải nhận ra A’C là vectơ pháp tuyến của mat phang (ABC’)

2/ Dĩ nhiên có thể làm như sau:

AB = (2;0;0), AC'=(0:2;2)

._ Vậy vectơ pháp n của (ABC’) xác định nhự sau:

- >> x1 [I0 0110 2] |2 0

s-=[Ap.Ac'}-[| ao allo 3| (=4)

Vậy (ABC`) có dạng: 4x + 4y =O @y-z=0

Cach giai nay rất tự nhiên và đơn giản

Thí dụ 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1:2;:0), B (04:0) C (0:0:3) Viết phương trình mặt phăng (P) chứa ÒA sao cho khoảng cách từ B và C đến (P) là băng nhau

* >

Goi n= (œ;B:y) là vectơ pháp tuyến của (P) Do (P) qua O nên (P) cé dang: axt+Bytyz=0 (1)

Vi (P) qua A(1;2;0) nén ta co:

a+2B=0>a=-2B

Do đó (P) có dạng

—2Bx + By + yz=0 Theo bai ra ta co:

d(B;(P)) = d(C,(P))

Mùi [3y|

ae =

v5B°+y” VSB? +7"

©l|4P|=lar| _ (2)

Do a° +B +yỶ >0 nên từ (2) suy ra: + Chọn y=4:B=3—>œ=-6 lúc này:

(P): -6x + 3y + 4z=0 + Chon y=4;B=-3 >a =6 luc này:

(P): 6x — 3y + 4z = 0 Vay co hai mat phang (P) can tim

Trang 15

§2 BAI TOAN THIET LAP PHUONG TRINH DUONG THANG

Đường thăng trong không gian được cho dưới ba dạng cơ bản sau:

- Phương trình chính tặc: ,

Đường thăng đi qua điểm M(xạ: yo; Za) và nhận u =(a;b;c)(a?+ bÊ+ c?> 0) làm vectơ chỉ phương có dạng:

X—Xse_y 2o _Z

a b c

(Với giả thiết nếu a = 0 thi x = xụ, b = 0 thiy = 0,c =0 thiz =m)

- Phương trinh dưới dạng tham so:

Đường thăng đi qua điểm M (xo: yo; Zo) va nhan vecto u = (a; b; c) làm vecto chi phương có dạng tham số

X=X, +at

y=y,+bt, với tham sốtec ®

Z=z,+Cct

- Phương trình đưới dạng tổng quát:

Dưới dạng này đường thăng có dạng:

Ax+B,y+C,z+D,=0

A.x+B,y+C,z+D,=0' Khi đó vectơ chỉ phương u của (đ) là:

- (|B, CIC, A,

u= ;

B, CjJỊC, A,

Cac dang bai tip co ban ; ,

Loại 1: Việt phương trình đường thăng dưới dạng chính tac:

Đề sử dụng được phương pháp này ta cân biết được: ; - Vectơ chỉ phương của đường thăng Điều này sẽ có được ngay nêu biệt được

hai điểm A, B của đường thăng cần tìm Lúc đó AB sẽ là vectơ chỉ phương của nó

Nêu như d // dị thì vectơ chỉ phương của d va d, là như nhau

- Một điệm của đường thăng d (điều này nói chung là ln ln có) Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khỗi B — 2007)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai diém A(1;4;2) B(-1;2;4) Goi G là trọng tâm của tam giác OAB Việt phương trình đường thăng d vng góc với mặt phăng (OAB) tại G

A, B, I} A, B, * Giải J-( TS Hệ tt |=(0a) Dễ thấy: » > 3 3

vecto phap tuyến n của (OAB) được xác định như sau:

Trang 16

n=[OA OB |= +22 II 4l|—d2; 66 (2) 1:1) _ , _ 2 4 *|4 -] > -| 2 > > > > *

Đường thắng d 1 (OAB) nên vectơ chỉ phương của (d) chính là u= (2:-1:1) (do u//d ) Ma qua G(0;2;2) nén phuong trình của d là: 5 = > = ae

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D — 2006)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A (1;2;3) va hai đường thang:

d ,x-2 y+2_z-3

»

`2 -] 1

z ° : -Ì 2 | z

Việt phương trình đường thăng A đi qua A, vng góc với dị và cắt d;

Giải ,

A wet

Gia st Ad, =B khi do vi Bed, nén:

B=(I-t; I+2t:—-l+®

Từ đó: AB= (-t;2t-1;t-4)

Ta có thể coi AB là vectơ chỉ phương của A dị có

vectơ chỉ phương là: u, = (2;-l;1)

Vì A.Ldị ©ABuu, =0 ©-2t-2t+l+t-4=0 ©t= —l dy Vậy A có vectơ chỉ phương là AB=(I;-3;5) và đi

qua A(1; 2; 3) nên A có phương trình:

x-_] _ y-2 -Z-3 hay x-_l y-2_z-3

- l —3 —5 al 3 5

Thi dụ 3: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối B — 2004)

Trong không gian cho điểm A (—4; —2;4) và đường thang

x=~3+2t

d: y= l—t

z=-1+4t

viết phương trình đường thang A di qua A cắt và vng góc với d

Giải

A Gọi M là hình chiếu của A trên (d)

Vay A chính là đường thắng qua A và M

Vi Med nén M = (-3+2t; 1-t; —l+4t)

=> AM =(I+2t;3- t;—5 + 4t)

(4) AM chính là vectơ chỉ phương của A; (d) có vectơ

chỉ phương là: u= (2;-1;4)

Tir AL (d)<> AM.u = 0 ©2(1+2t) ~(3-0+4(5—-40 = 0 ©t= l Vay AM = (3;2;-1)

M

Trang 17

x+4 y+2 z-4

2 ml

Thí dụ 4: (Để thủ tuyển sinh Đại học khối D ~ 2009)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng:

, x‡2_y-2_ Z

; 1 ] -1

và mặt phăng (P): x + 2y -3z +4 = 0 , Việt phương trình đường thăng (d) năm trong (P), vng góc với A va cat A

Vậy A có dạng: Giải Giả sử Ar5(P)=M ^ m Vid e (P) va A cat (d) nén Me (d) |

Viết lại A dưới dạng tham số: |

x=-2+t d M

‘

A:y=2+t

x=-t

Vậy tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm của phương trình:

(-2+9)+2@+tÐ)-3Ð+4=0©©6t+6=0<©t=] Vậy M =(-3;1;]1)

Tacód L A,d L n (ởđây n =(1;2;3))

là vectơ pháp tuyến của (P) Từ đó nếu gọi u là vectơ chỉ phương của d, us là

vectơ chỉ phương của A thị:

xe ~ xi3 y-1 z-] t—-1}i-1 afi “nh

12 «40 Thi du 5: (Đề thị tuyển sinh Đại học khối A — 2007)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thăng:

Vậy (đ) có phương trình là: 2 x=-Ìl+2t dị: << == ; d,iyy=l+t z=3 và mặt phẳng (P): 7x + y — 4z=0

Viết phương trình đường thắng (d)

vng góc với mặt phẳng (P) cắt cả dị

và d

Giải

Giả sử đn¬ dị=A khi đó A cd¡ nên:

A =(2t; l-ti; -2+t))

Giả sử d dạ=B.VìBe d; nên: £

B =(-l+2t;; +t; 3)

Vi thé: AB=(-1+2t, —2t, ; t, +t,; 5-t,) là vectơ chi phương của (đ)

Trang 18

Do d e (P)) nên AB//n= (7:1;—4), ở đây n là vectơ pháp tuyến của (P)

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

2t,—2t,~1 t,+t, 5-t == = © 2t, -—2t, -1=7t, +7t, c© t, =-2

7 4 —4t, -4t, =5-t, t, =1

Từ đó suy ra d có vectơ chỉ phương là AB =(-7;-1;4) và d đi qua AQ;0:1),

nên d có phương trình: = “1 = a

Thi du 6: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng:

.,Xx-l y+3_ z-3

—L 2 l

va mat phang (P): 2x + y— 2z +9 =0, Gọi A là giao điểm của d với (P) Viết phương trình đường thăng A nằm trong (P) biết A qua A vng góc voi d

Giải

d T" x=l-t

| Ta có: d:y=-3+2t có vectơ chỉ

Lk , / Yo z=3+t

f * phuong u=(-1;2;1), vay toa d6 (x; y; z)

của A được suy ra từ phương trình: 2(1-Ð) + (—-3+2Ð) -2(3+t)+9 = 0 © t=l

Từ đó A = (0; —1;4)

ViA Ld;A L n,ở đây n= (2;1; -2) là vectơ pháp tuyến của (P), nên vectơ chỉ phương u, của A xác định như sau:

— =lunl= r~~ 2 IỊH -I||-I 2

=(-5;0;5)// (1; 0; 1)

[259-|[ lv dịp |] (S900

Vậy A: xX _ytl_ z-4

l 0 1

(hay dưới dạng tham số: x = t; y =—l; z = 4+t

Nhán xét: Do trong vectơ chỉ phương của đường thắng A có một thành phần bằng 0, nên ta hay | viết nó dưới dạng tham số

Thí dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Giao thông Vận tai - 2005)

Trọng không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm H (1;2; —l) và đường

thẳng d:——— =3 => 3 =: Lập phương trình đường thăng A đi qua H, cat d va song song với mặt phăng (P): x†y-z+3=0

Giải

Do (đ) qua H (1;2; ~1) nằm trong (Q), la mat phẳng s song song với (P) và qua H Ta có (Q)⁄/ (P) nên: (Q): x+y—-z+m=0

Vì (Q) qua H, nên có phương trình:

Trang 19

1+2+1+m=00m = -4 Vậy (Q) có dạng: x + y— z~ 4 = 0 Giả sử đ¬ (Q)>dA=M Vì Me(d)

= M=(3+t; 3+3t; 2Ù

Từ đó ta có phương trình:

3+t+3+23t-2t-4=0<€©©t=-]

Do vậy M =(2;:0; -2)

Đường thẳng A đi qua H và M nên nhận

HM =(1;-2;-1) là vectơ chỉ phương, vì thế A có

đạng: xi v-£.Z: Z1]

-] 2 l

Bình luận: Các bài toán dưới đây chưa gop mat trong cac ki thi tuyén sinh vao Dai hoc, Cao dang (2002-2009) nhưng nó có dạng rất cơ bản và hồn tồn có thê gặp trong các kì thi tuyên sinh Đại học, Cao đẳng những năm tới

Thi du 8:

(Bài toán lập phương trình vng góc chung) Cho dị 2“ — =

x+] d,: 2

Z=

=y-|

yo Lập phương trình đường vng góc chung của dị và d›

3

Giải di

Giả sử MN là đường vng góc chụng (Medi;,Necd›)

DoM e dị > M= (2t; l+t; -2+t) M

DoN e d› => N=(-l+2s; l†s; 3)

Vậy NM =(2t+l—2s;—t—s;t— 5}

Do NM là đường vng góc chung, ta có:

NM.u;=0 [6t-3s=3 4

vee o> ot=s=l N 2

NMu; =0 3t-5s=-2

Vay M = (2;0:1):N = (I;2:3)= NM =(I;~2:~4)

Do đó đường vng góc chung của dị và d; có phương trình: c =5 = Chú ý: 1/ Cách thứ hai tìm đường vng góc chung dưới dạng “phương trình tổng quát của đường thăng” xem trong thí dụ 7, loại 2, §2

2/ Xét một bài toán tương tự:

Cho hai đường thăng:

x=l+t › x3

d,:4y==I~t V8 dạ: —T—

z=2

Trang 20

Tìm A trên dị, B trên d› sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Thực chất đây là bài toán xác định đoạn vng góc chung MN của dị và d; với M c dị, N củ

Ra dưới dạng này ta bắt buộc phải sử dụng phương pháp trên (vì muốn xác định

được đường vng góc chung) Giải tương tự ta có:

A =M(I;-1I;2) và B=N(3;1;0)

Thí dụ 9: ;

Viết phương trình duong thang qua M (2; —1;1) và vng góc với hai đường thăng:

2x-z=0_ `” |z=0

Dễ thấy d; và d›, lần lượt có vectơ chỉ phương u, : u, xác định như sau:

— fil OO HH J = 5 =(-151:2), "“[[ “Ân 2l dJTCh3 2 2 —¬ 1 OO 2 u, = =(1:-2;0) 0 1 1 0 0 0

Vì d vng góc với cả dị và d;, nên vectơ chỉ phương u của nó xác định như sau:

s-Í5s]f[ 0p “aha |) coe x+y+l=0 2x+y-l=0 a3 y ;d n _ > * > 2 -i 0 | * -2 0 Do d còn qua M (2; —1;1) nén d co dang: on Thí dụ 10 x =3t

Viết phương trình đường thắng song song với đường thắng: A:4y=l—t

z=5+t

và cắt cả hai đường thắng: d, XCI y12_Z-2, d, yo

I 4 3 2x-y-Zz+l1=0

Giải Goi (d) là đường thăng cần tìm

Gia st dad, =A ;dqd,=B 4

Ta hay xac dinh A va B

Ta có A e d;

uạ=

=A=(I+t:-2+4t;2+31)

Dễ thấy d; có vectơ chỉ phương (5;9;1) và đi qua điểm M (~4; —7; 0)

(bạn đọc tự giải) nên:

Trang 21

x=-4+5s dạ:4y=-7+9s, z=S5 Vậy B=(-4+5s;S+4t-9s;s) Từ đó: AB=(5+t—5s;5 + 4t=95;2 + 3t —S) S+t-5s 5+4i-9s 2+3t—S 3 Ắẽ 1 13t+32s =20 = -13t+32s= 94 eet ` xo Vì AB//A, nên ta có: S=— 94 Từ đó cũng có: Art ng) và ¬Ă T61 5) 47 47 47 94 94 94 35 142 58 X-—- y+ _ 47 _ 47 _ AT

Vậy (d) có phương trình dưới dạng chính tắc như sau: ¡

Thí dụ II ; Ộ ; ,

Viet phương trình đường thăng d nằm trong mặt phăng (P): y + 2z = 0 va cat cả hai đường thăng:

x=l-t x=2-t d,:y=t ; d,:4y=4+2t z=4t z=l ` Giải Gọi A=d,¬(P); B=d; ¬(P) 4 Do dy cét d, made(P) > d, nd=A dị ?

Tuong ty d, ad, =B „4e m

Xét phương trình: t + 2(4t) = 0 = t= 0 A B

Vay A=(1;0;0)

Tuong ty xét phuong trinh:

44+2t+2=0 > t=-3 B=@;-2;Ì)

Đường thắng d qua A, B nên nhận AB= (4;-2:1) là vectơ chỉ phương, do đó d có phương trình dưới dạng chính tắc sau: x = 5 “1

Loai 2: Viết phương trình đường thăng dưới dạng tổng quát

Dé viet phương trình đường thăng d dưới dạng tông quát, ta phải tìm cách quy

đường thăng d thành giao tuyến của hai mặt phăng (P) và (Q) Lúc đó nêu (P) có dang: Aix + Bry + C\z+ Di= 0 va (Q) cé dang Aox + Boy + Coz + D;= 0 thì (đ) có

dang:

Trang 22

A,x+By+C,z+ D, =0

d):

A,x+B,y+C,z+D, =0 Bài toán quy vẻ viết phương trình hai mặt phăng (P) và (Q)

Thi dul: (Dé thi tuyên sinh Đại học khối D — 2006)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1:2:3) và hai đường thăng:

q 2-y‡12_7-3.g,XcI y-] ze 2 cửa a

Viết phương trình đường thắng A đi qua A, vng góc với dị và cắt do

ViA qua A và vng góc với dị và cắt d› qd; nén A nam trong (P) di qua A va nhan:

u, =(2;-11)

lam vecto chi phuong, o day uy là vectơ chỉ phương của dị Ta có ngay (P) có dạng:

(P): 2(x—l)~— (y-2)+(z-3)=0

©2x-y+z-3=0

Mặt khác do A cắt d; và qua A, nên A năm trong mặt phăng (Q), là mặt phăng

qua A va do

Ta c6: M(1;1; -1) ed: => AM =(0;-1:-4)

Mat phang (Q) nhan cap vecto uy =(-1:2;1) va AM lam cặp vectơ chỉ

phương, nên (Q) có vectơ pháp tuyến là:

=[s›Aw]-|Ï I| |! tt 2

; ; =(-7;-4:1)

-l —4||-4 0} |O | ( )

(Q) con qua A(1;2;3) nên (Q) có dạng:

(Q): -7(x - 1) - 4(y - 2) + 2-3 =0 OS 7x + 4y—z-12=0 Vay: 2x-y+z-3=0 (A) | 7x+4y-z-l2=0

(Chú ý: do u,,u, # 0 nên d; khơng vng góc với dị do đó d; không song song với (P), nên d› chắc chắn cắt (P), mà Ae(P) vậy A chắc chắn cắt d›)

Chiu y:

- Hãy so sánh với cách giải thí dụ trên bằng phương pháp sử dụng phương

trình chính tắc của đường thăng đã trình bày trong thí dụ 2, loại 1,§2

- Các bạn hãy chuyển | lại dạng tổng quát này về dạng chính tắc! Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A — 2007) Trong không gian với hệ tọa độ One cho hai đường thắng -

x -Ì Z+2,

1T | *

Trang 23

x=l-+2t d,:y=l+t

z=3

Viết phương trình đường thăng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y— 4z= 0 va cat ca dy, do

Giai

Ta thay dị có vectơ chỉ phương

u,=(2:-l:l) và qua điểm M (0;1; -2)

Ngoài ra d› có vectơ chỉ phương

u, =(2:1;0) và đi qua N (—1:1:3)

Do d vng góc với (P) và cắt dị,

nên d năm trong mặt phăng (Q) là mặt

phăng nhận cặp vectơ u,.niàm cặp vectơ chỉ phương và qua N, ở đây

n =(7;1: -4) là vectơ pháp tuyến của (P)

(Có thể thấy ngay (u, n) cũng như (u,;n) không phải là các cặp vectơ cùng

phương)

Ta có: (Q) và (R) lần lượt nhận nạ„nạ là vectơ pháp tuyến xác định như sau:

¬¬- -1l Hil 2 s¿ =[»s4]|| ` 159), -4 7 có mẻ ơn Lẻ 0I0 2 nạ =|u,,n|= : ® [ ` | | Ae 7 Do (Q) di qua M(0;1; -2) nén (Q) có dang (Q): 3x + IS5(y - 1) + 9(z +2) <> x + Sy + 3z4+1=0 Do (R) di qua N (—1;1:3) và (R) có dang:

_ (R): A(x + 1) +8(y ~ 1)-5(z- 3) & 4x — 8y + 5z-3 = 0 Vậy đường thăng d cân tìm được cho dưới dạng tông quát:

x+5y+3z+1=0

4x -8y+5-3=0

Chi y: Hay so sanh cach giai trén với cách trình bày trong thi du 5, loai 1, §2 Thi du 3: Dé thi tuyén sinh Đại học khỗi B — 2004 ; Trong khong gian voi hé toa dé Oxyz cho diém A(—4; —2;4) va đường thăng

2-1 7 | 2 1] 7 ] * |-(-x&-9) x=-3+2t đ:4y=l-t z=-1+4t

Viết phương trình đường thăng A đi qua A và vng góc với d Giải

đ có vectơ chỉ phương u = (2:-1:4) va đi qua điểm M(-331; —1)

Trang 24

Vì A qua A và vng góc với (d) nên A nằm trong mặt phẳng (P) Đó là mặt phăng qua A và nhận u= 2;-1;4) 1a vectơ pháp tuyến, vậy (P) có dạng

(P): 2(x+4) — (y+2) +4(2-4)=0 <> 2x-y+4z-—10=0 () ; Mat khac, do A qua A va cat (d), nén A nam trong mặt phăng (Q) xác định bởi A và (d)

(Aed) Mặt phăng (Q) này nhận u và

AM =(I; 3;-5) làm cặp vectơ chỉ phương, do

vậy (Q) có vectơ pháp Ng xac dinh nhu sau:

ng =[uAM] -[ tts ih

Do (Q) qua A = (—4; —2;4) nên (Q) có lane

—(x +4) + 2(y +2) + (z-4) =0D-xt 2y+z-4=0 Vậy đường thăng Á phải tìm có dang sau:

A: 2x-y+4z-6=0 '|f-x+2y+z-4=0

xin /(-1;2:1)

Nhận xót:

- Hãy so sánh với lời giải trong thí dụ 3, loại 1, §2

- Hãy chứng minh hai đáp sô trong thí dụ này và trong thí dụ 3, loại 1, 8 la hai cách biểu diễn khác nhau của cùng một đường thăng

Thí dụ 4: (Đề thì tuyển sinh Cao đẳng Giao thông Vận tải 2005)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H (1:2; -1) và đường thăng:

d:Ầ= 3 = y3 Z

1 3 2

Lập phương trình đường thăng A qua H, cắt d va song song với mặt phẳng

(P)›;x+y-z+3=0

Vì đ qua H và song song với (P), nên nó phải nằm trong (Q) là mặt phẳng song song với (P) và qua H Vì (Q) //(P) nên (Q):

x†+y-z†+m= 0 Do Q qua H(1;2; —1) nên ta có:

1+2+1+m=0>m=-4 Từ đó (Q) có dạng x † y—z— 4= 0(1)

Gọi (R) là mặt phẳng qua H và (d) nên (R) nhận hai vectơ u =(1:3;2) và

HM là cặp vectơ chỉ phương, ở đây u là vectơ chỉ phương cua (d) va M = (3; 3; 0) ed=> HM =(2; 1; 1) Mat phăng (R) có vectơ pháp tuyến là:

Trang 25

°

°, =[siM)-[Ï i at ‘|= C%-5)

Vay (R) co dang (x—1) +3(y—2) -5(z+1)=0 <> x+3y—5z-12=0

x+y-z-4=0 x+3y-—5z-12=0

Nhadn xét Hay so sanh loi giai trinh bay trong thi du 7, loai 1, §2

Thi du 5: (Su dung phuong trình tông quát của đường thang dé tim hình chiều

của một đường thang trên một mặt phăng)

(Đề thi tuyên sinh: Cao đăng Bến Tre — 2006) ;

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thang: 2x+y+z+l=0

(a) x+y+z+2=0 Vậy đường thẳng phải tìm có dang

và mặt phẳng (P): 4x~2y+z—1=0

Viết phương trình hình chiếu vng góc của A trên (P) Giải

Hình chiếu A của d trên (P) nằm trên mặt phăng (Q): Đó là mặt phẳng chứa (d) và vng góc với (P)

Vị (Q) chứa (A), nên nó thuộc chùm mặt phẳng:

a(2x+y+z+l)+B(x+y+z+2)=0

©(2z+B)x+(œ+B)y+(œ+B)z+œ+28=0(1)

(với ø? +B >0 ) khi đó (Q) có các vectơ pháp là: nạ = (2œ +B;œ + B:ơ +}

Vì (P) vng góc với (Q) nên nạ„.n, =0 , ở đây nạ =(4; -2; l)

Do đó ta có:

4(2z+B)—-2(œ+B)+(œ+B)=0 8œ +4B—-ơœ—B=0 ©7œ+38B=0 (2)

Từ (2) và do œ” +” >0, nên chọn œ =3; B = —7

Thay vào (1) ta cd: (Q): -x — 4y -4z- 11 =O0<> x + 4y + 4z4+11=0

: 4x-2y+z—l=0

Vậy hình chiêu d của A trên (P) có dạng sau: d: RT eye 2

x+4y+4z+11=0

Nhận xét: Có thể tìm (Q) như sau:

a, —~ (1l aie aie

Đường thăng A có vectơ chỉ phương u„ = raph TÊN ag =(0;-1:1)

Mặt phẳng (Q) nhận u, và vectơ pháp n=(4; -2;10) là cặp vectơ chỉ

phương, nên (Q) có vectơ pháp tuyến là:

sina! MMe foo

Trang 26

Do (Q) qua M(1; -3:0) € A, nén (Q) cd dang: x—1+4(y+3)+4(z-0)=0

, ©x†4y+4z+lI1=0,

Ta thu lại kết quả trên!

Thí dụ 6

Viết phương trình đường thắng d đi qua điểm M (1; —1;1) và cắt cả hai đường

x=l+2t ¡=0 thắng: d,4 y =t KT An z=3-t YE eer os Goi (P) là mặt phẳng xác định bởi M và (dị), (Q) là mặt phăng xác định bởi M và (đ›) Khi đó gọi d = (P) (Q)

Vị (Q) chứa d;, nên (Q) thuộc chùm mặt phăng

œŒ(x+y+z— l)+ƒ(y + 2z-3)=0.a°+ B> 0

ViM e(d>) >M e(©Q), và ta có:

a(l-t+1-)+PC-l+2-3)=0>-28=0 =>B=0

Do a’ + B°> 0 mà B = 0 nên chọn œ = 1 Khi đó (Q) có dạng sau:

(Q})x+y+z-l=0

PB 6 Mặt phẳng (P) qua dị mà qua N = (1:0:3) e dị

và nhận cặp vectơ u, = (2:1:-1) va MN =(0:1:2) là cặp vectơ chỉ phương Vì thể (P) có vectơ pháp tuyến:

¬ an 1 -Hl-1 2//2 1 = = ‹ — (34:9 Np [ u,.MN | | 0 Ì (3:-4:2) 1 212 of Do đó: (P): 3(x—l) —ly+2(Z—3)=0 <> 3x4 y+2z-9=0 x+y+Zz-l=0

Vậy đường thăng d phải tìm có dạng: d:

Y 6 ae ame lun

Chú ý: Dễ thay d có vectơ chỉ phương là u= (-6;-1;7)

u, và dị cũng như u và d› không cùng phương => đ và dị cũng như d và d; cắt nhau (đo đ và dị cùng nằm trong (P): d và d› cùng nằm trong (Q))

Thí dụ 7: Viết phương trình đường vng góc chung

1/ Trình bảy cách giải tổng quát của bài toán viết phương trình đường vng -goc chung của hai đường thăng dị và đ› chéo, nhau

2/ Ap dung phan 1/ giai bai toán sau:

x=-1+2t

Cho 4, 8-212 2*2 và d,:4y=l+t

z-3 a/ Chứng minh dị và d› là hai đường thăng chéo nhau b/ Việt phương trình đường vng góc chung của d; và d›

Trang 27

Giả sử đị và dạ là hai đường thăng chéo nhau Giả sử đị có vectơ chỉ phương uy và đi qua điểm A; đ› có vectơ chỉ phương U5 va di qua diém B Goi MN là đoạn vuông góc chung

Ta có: MN L dị;;MN +L dạ, vậy: MN //[a,; |

dh

Dat u=[uj.uy | 7

Khi đó nếu gọi (P) là mặt phăng qua A và nhận u, ula cap vecto chi phương: (Q) là mặt phăng qua B va nhan TR u là cặp vectơ chỉ phương thi:

MN =(P)S^(Q)

Từ đó suy ra cách giải bài tốn đường vng góc chung như sau:

a Tìm u =[u.u; |

b Tim vecto phap np = [ue] => phuong trinh cua mat phang (P) c Tim vecto phap No = [uz.u] => phương trình của mặt phăng (Q)

d Gia sur: (P): Aix + Bry +Ciz+D,=0; (Q): Aox + Boy + Coz + Di =0

A,\x+B,y+C,z+D, =0

Khi đó: d;$ T7 Azx+B;y+C›z+D; =0 1

là đường vuông góc chung cần tìm

2/ Xét bài toán cụ thẻ trên: ta có uy = (2:-I:1) và A(0;1; -2) cdi

Uy = (2:1;0) va B (-2:1;3) € do ~ — —— 1 1Ịj 2 J2 —Ì Lúc đó š=[e: [|| i 0 ab |) 524) mê _ 2 np =[ ut | -(P ahh 2 allo = (6;9;-3)//(2;3;-1), Lo a 2 -1]|-1 2 nọ =|uz,u ol'lo i 2 |} 8-9), dụ Do (P) qua A (0;1; -2) va (Q) qua B(-1;1;3) nén (P): 2x + 3y-z-5= 0 va (Q): 4x—8y+5z—3 =0 Vậy đường vng góc cân tìm là:

2x+3y-z-5=0 `

4x —-8y +5z-3=0

Loai 3: Cac bai toan khac về thiết lập phương trình đường thăng: Đê giải các bài toán này ta tiền hành theo các bước sau:

- Bước I: Dựa vào yêu câu đầu bài, thực hiện các thao tác phụ, như kẻ thêm đường (thường là kẻ thêm đường song song hoặc đường vng góc), để quy bài

Trang 28

toán cần giải về một trong hai bài toán cơ bản (loại ! hoặc loại 2) viết phương trình

đường thăng

- Bước 2: Thực hiện một phép giải cơ bản đã biết (được trình bày can than trong loại |, loại 2)

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2009)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x—'2y + 2z— 5 = 0, hai điểm A(-3:0:1) và B(1; —l:3)

Trong các đường thang di qua A va song song voi (P), hay viết phương trình đường thắng mà khoảng cách từ B đến đó là nhỏ nhất

Giải

Đường thắng d qua điểm A và Song song

với (P) nên nó năm trong mặt phang (Q).qua Lf A va song song voi (P) RG rang (Q) có định

Vì (Q3⁄/(P) nên nó có dạng (Q):x—-2y+2z+m=0(1) Do (Q) qua A(—3:0;1) nên ta có: -3+2+m=0> m=!

Vậy (Q) có dang: x - 2y + 2z+ 1 =0(2)

Kẻ BH 1 (Q) Khi đó H cố định

Ta xác định H như sau: Do BH //n =(1; ~2;2); ở đây n là vectơ pháp tuyến của

x=l*+t (Q) nên BH có dạng: BH:+ y =—l —2t z=3+2t Vi thé H = (14t; -1-2t;3+2t) Do H €(Q), nén ta co phương trình: 1+t—2(-1 —2t) + 2(3 + 2t) +1 =0<9 9+ 10= 0 c>t= TỐ, Do đó HỆ: aid) 9 9 9 Ke BK 1 d, khi dé BK2 BH

Vậy d(B, d đạt giá trị nhỏ nhat © K=H ;

Nói cách khác đường thang d can tim là đường thăng qua hai diém A va H

Vì thế AH = & > -5)/(86 11;~2) là vectơ chỉ phương của d

+3 y z-l

Do d qua A (-3;0;1), vay d có phương trình chính tắc sau: ` Nhận xét

- Bang phép vẽ thêm mặt phăng (Q) song song với (P)m và sử dụng dấu hiệu

nhận biết giá trị nhỏ nhất, ta xác định được thêm một điểm năm trên d

- Bài toán quy về một trong các bài toán cơ bản loại l

Trang 29

:ĐỊNH ĐIỂM VÀ CÁC YẾU TỐ KHÁC TRONG

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN

ˆ

mục này xét các bài toán xác định điểm trong hình học khơng gian, đặc ài tốn xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, trên đường thăng: ì xác định điểm đối xứng

ài toán dé cập trong mục này cũng thường có mặt trong các để thi tuyển

2009

‘ai hoc, Cao dang trong những năm 2002 — tụ 1 (Dé thi tuyên sinh Đại lọc khối A ~ 2009)

ø không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phăng (P): x-2y+2z—1=0

xi! y Z+9 d ,X-Ì y3 z+!

a 2 bo c2”

ong thang:

đụ: = :

| 1 6 ;

n điểm M trên dị, sao cho khoảng cách từ M đến d; băng khoảng cách từ M

Giải ia str M (-1 +t; t; -9 + 6t) 6d; là điểm cần tìm l+t—~2t+2(9+6t)-l HH-20 chí đồ ta có: đ(M,(P)) =1 TE 201221 60- 1 | Lan JP +(- -2)” +2? 3

2) và đi qua điểm N = (1:3; ~1)

Đường thẳng d; có vectơ chỉ phương u; = (2:1

IM=(t-2;t~3;6t—8)- ae t—36t—8] lót—8§ t—2| |t—2t~3 T a có: | th NM, 02] | = oP» 3 319 : ) (14-8 | 14— t, 14t— 20;4—t) 345) NM,u; 14~8t)? +(14t—~20)7+(4—t Do vậy : địM,(4,) = — av y+ y+@=9) lua 3 Vi vay: d(M,(P)) = d(M,(d)) <> V261t? — 792t + 612 =[1 It — 20} , t=1 > 261t? — 792t+612 = 121t?— 440t + 400 © 35Ử- 88§t+ 53 =0 tc 53 35

Vậy có hai điểm cần tim: M, =(0;1;-3); M (B23) 35°35 °35 Thi du 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khdi B - 2008)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2; -2;l)

C(-2;0;1) va mặt phẳng (P); 2x + 2y + z— 3 = 0

L/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

2/ Tìm điểm M e (P) sao cho MA = MB = MC

Trang 30

1/ Theo thí dụ 1, loai 1, §1 thi mat phang (ABC) có phương trình: x+2y-4z+6=0 Ta co: AB’=4+9+1=14;AC’=4+1+1=6 BC*= 16 +4 = 20

=> BC?= AB’?+ AC? => BAC =90°

Gọi I là trung điểm của BC, thi I=(0; -1;1) va

[A=IB=liC Vì MA=MB=MC, nên Ïl chính là hình

chiếu của điểm M trên (ABCD)

Theo câu 1/ thì (ABC) có phương trình x + 2y — 4z + 6 = 0, nén vecto phap n = (1;2:-4) của (ABC) chính là vectơ chỉ phương của đường thăng MI

Đường thăng MI qua Ï (0; —I;1) nên MI có phương trình:

xX=t

y=-l+2t z=l—Át

M

Mặt khác M con nam trên (P): 2x + 2y + z— 3 = 0, nên ta có phương trình:

2t+2(—l +2t)+l—4t—-3=0 = t=2,

Vậy M =(2:3: -7) là điểm cân tìm

Chỉ ÿ - ;

Câu 2/ có thê giải độc lập như sau:

Gọi M (x:y;z) la điểm cần tìm Khi đó ta có hệ phương trình sau:

2x+2y+z-3=0

x? +(y-1 +(z-2) =(x-2)

(

©x=2;y=3:z=-~1

Vậy M = (2:3; —7) ta thu lại kết quả trên

Thí dụ 3: (Đề thi tuyên sinh Đại học khối D - 2007)

2x+2y+Z=3

+(y+2)° +(z-1) > 44x -6y —-2z=4

—4x -2y-2z=0

Trong không zian cho hai điểm A(1;4:2)` B(—1;2;4) và đường thăng: x-l

A : x7! = y+2 = *

; —Ï l 2 ;

Tìm điểm M e A sao cho đại lượng MA”+MB” nhận giá trị nhỏ nhật

; ; Giai

Viết lại A dưới dạng tham sô sau:

x=l-t

A:$y=-2+t

z=2t

Trang 31

Lúc đó ta có:

MA? + MB? =[(t-e- tf e(ast-a (20-2 ]:[0edlfC2+t3)+ 6-47]

=12t- 48t + 76 = 12(t—2)°= 28 (1)©t=2

Từ (1) suy ra: MA” ”+MBỶ nhận giá trị bé nhất =28 t=2©©M =(-1;0:4) Thi du 4: (Đề thi tuyển sinh Dai hoc khéi B — 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (0:1;2) và hai đường thẳng:

x=l+t x y-l z+

d,:—=“——=—: d›;:4y=-Ì-2t Py ps Sy bat Z=

Tìm tọa độ các điểm M e dị,N e d; sao cho A,M,N thẳng hàng Giải

ViM ed, > M = (2t; I4t; -1-t) ViN € ds > N= (Its; —!—2s; 2+s)

Từ đó ta có: AM = (2t:t; -3-t) va AN =(1+s; -2-2s:)

Ta có A,M.N thăng hàng © [AM.AN | =0

t -3-—t||_-3-t 2t [2t t c© ; ; = (0;0;0) -2—2s s| |s l+s/ }+s -2-s © (—ts-2t-6s—6:—3ts~t~3s—3:—5ts—5t)=(0;0:0) ts+2t†+s+6=0 (1) ©S43ts+f+3s+3=0 (2) 5t(+s)=0 (3) Từ (3) suy ra t=0 hoặc s= —] Ĩ , |6s+6=0

+ Néu t=0, thay vao (1), (2) co: 3s+3=0 ©s=-Ì

t=0

+ Néus = thay va (1), (2) 664 ¬ Vậy hệ (1) (2) (3) of! _]

Do đó M = (0: I;—l) cdi: cònN=(0;l; 1) e d; là hai điểm cân tìm Thí dụ 5$: (Đề thi tuyên sinh Đại học khối D - 2006)

Trong không gian với hệ tọa đệ ơi cho điểm A (1:23) và đường thăng:

d: X~2_y+?2 2 _Z~ 3

; ; 2 ol |

Tìm tọa độ điểm Aˆ đôi xứng với điểm A qua d

Giải Gọi M là hình chiếu của A trên đ

DoM ed => M = (242t; -2-t; 3-t)

Trang 32

=> AM =(2t+1;-t—4;-t),

d có vectơ chỉ phương u =(2; -151)

Ta có AM.u=0 ©2(2t+ 1) +t+4+t=0

cât=-lè

Vy M= (0; ơ 32) (ả) M

Do M là trung điểm của AA) nên ta có:

XA'= 2XM — XA=2.0 — Ï =—l Ề

YA'= 2yM~— YA=2(—l)— 4 =~4

ZA'—” 27M — ZA=2.2 -3=1

Vậy A® = (-1; -4;1) là điểm đối xứng của A

qua d "¬

Thi du 6: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)

x=l+t

1#

Trong không gian cho đường thắng d:4y=2+t và z=l+2t

điểm M (2;1:4) Tìm tọa độ điểm H thuộc d sao cho đoạn

thang MH co dé dai nhỏ nhất - Giải

H chính là hình chiêu của M trên (d) Giải như thí dụ d H Š ta có: H= (2;3;3)

Chú ý:

Có thê giai nhu sau: Do H=(1 +t; 2 +1;1 + 2Ð)

=> MH?=(t- 1) + (t+ 1) + (2t— 3) = 6(t- 1) +5

Vay MH dat gia tri nho nhat <> t=] < H(2; 3; 3)

Thi du 7: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D — 2005) ; Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thang:

x-l y+2 z+l,, JX+y-z-2=0

3 -l 27 ?'|x+y-12=0

Gia str d; ~(Oxz) =A; d M(Oxz) = B Tim dién tich tam giác OAB Giải dị: Từ hệ phương trình: x-] y+2 z+l ~ po 2 > x=-5;y =0;z=-5 {po wa v=0 Vậy A (—5; 0; =5)

(Mặt phăng Ơxz có phương trình y = 0)

¬ TỐ x+y-Zz-2=0

Tương tự, từ hệ phương trình: =x=l2;y=0;z=l10 x+y-l2=0

Vậy B =(12;0;10)

Ta có: OA =(~5;0;5);OB = (12;0;10)

Trang 33

-5 0 sh 5 )=(o-100 5 OA OB] =; —.10=5 (đvdt) — 2 re—za (J0 -5||-5 =5 Vì thế [A,B | = 0 10/110 12 Vay Sons =

Thi du 8: (Đề thi tuyên sinh Đại học, Cao đăng khối A — 2005)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thang va mat phang (P) nhu

sau:

d.x71_„y+3_7-3

-Ì 2 |

1/ Tim toa d6 diém I thudc d sao cho khoang cach ttr | đến (P) bằng 2 2/ Tìm tọa độ điểm A, nếu A = đ 5 (P)

Giải

1/Dol ed = I=(1-t, -3+2t;3+9)

l2(—t)+(-3+2t)-2(3+t)+9

2747 +(-2}

Vậy trên d có hai diém can tim 1,(3; -7; 1) va 1-3; 5; 7)

2/ Xét phương trình 2(1 — t) + ( -3 +2t)—- 2 +t)+9=0 <©t=] Vậy A=(0; —1;4) là giao điểm của d với (P)

Thí dụ 9: (Dé thi tuyên sinh Cao đẳng Sư phạm TP Hồ Chí Minh — 2005) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy, cho mặt phăng (P):x+y+z-4=0 và ba điểm A (3;0;0), B(0: -6;0) và C (0;0;6) Tim tất cả các điểm M sao cho:

[MA +MB+MC | la nho nhat Giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có:

IMA+ MB MGỆ" tổ» 6Ä+NG +68 + Md+6Ấ|7 3MG : (P):2x†+y—2z +9 =0 ~~ t=-2 Do d(I.(P))=2© | 2 ©>|2-2t|=6 <> tcá Min |MA +MB+ MC|=0 MG =0<>M=G >M=(0: ~2;2) Thí dụ II:

Cho hai điểm A (-1:3;2); B(-9:4; ;9) và mặt phẳng (P): 2x-y†+z+!=0 Tìm điểm K e(P) sao cho AK+BK là nhỏ nhất

Giải

_ Đặt fx, y,Z)=2x—y+z+ 1

Ta co: f(-1; 3; -2) = -6 < 0; f(-9; 4; 9) =-12 < => A, Bocung một phía của (P)

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (P) Gia str A’B f(P) =K khi đó dễ thay K chính là điểm cần tìm

Gọi H là hình chiếu của A trên (P)

Đường thẳng qua A, H nhận vectơ pháp n=(2:-l1;1) là vectơ chỉ phương, do đó nó có dạng:

Trang 34

x=-l+2t

y=3-t

z=-3t

Từ đó H = (—1+2t; 3-t; -2+t), va do H € (P) nên ta có phương trinh 2(-1+2t) — (3-t)t (-2+t)+1=0 <> t=1 <> H=(1;2; -1): Vi H la trung diém cla AA’ = A’ = (3;1;0)

x=3+4t

Ta có: BA'= (12:~-3:-9)//(4:—1:-3) nên phuong trinh BA’cé dang: 4 y =1-t

, z=-3t

Do K e (P) nên ta có phương trình:

2(3+4t) — (1-t)+( -3t)+ 1=0 © t=—l & K=(-1;2;3)

§4 BAI TOAN CO THAM SO VOI DUONG THANG

VA MAT PHANG TRONG KHONG GIAN

Cũng giống như các bài tốn có tham số khác trong đại số, giải tích, lượng giác các bài tốn có tham số trong hình học nói chung và trong chuyên mục này nói riêng ta cũng tuần theo các quy tắc sau day: ;

- Bước ï: Giải một bài tốn hình học thuan tty va tat nhién trong dap so cua bài toán này van chứa tham số

- Bước 2: Tìm các giá trị thích hợp của tham số đề thỏa mãn yêu câu bài tốn Thí dụ 1: (Đề thủ tuyên sinh Đại học khôi D — 2002)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phăng (P): 2x¬y+2=0 và đường thăng:

(2m+1)x+(m-l)y+m-1=0 "tmx +(2m +1)z+4m+2=0

Tim M dé dy, song song với (P)

Gọi u„ là vectơ chỉ phương của dụ, thì

wee I-m 01/0 2m+]

Un =

02m+l! 2m+l m

Vid, // (P) nén điều kiện cần là u„.n =0, ở đây n= (2; —1;0) là vectơ pháp

Trang 35

` te mì se X l

Rõ rằng với mọi z e & thì A = (0;1;Z) € dm voi m = = nhưng A ¢(P)

ˆ ` | a A a ae

Vay d//(P), tức là m = “FZ thỏa mãn yêu câu dau bai

“~

Chủ ý:

ta gn l 1, ° ˆ gh

Việc thử lại m==—> xem dạ với m =~> CÓ song song với (P) không là điêu

can thiết -

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối Ð - 2003) ; Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thăng

_JX+3ky-z+2=0

*“lkx—y+z+l=0

Tìm k để đường thăng dy vng góc với mặt phẳng (P): x — y - 2z + 5 = 0 Giải

Đường thăng dị có vectơ chỉ phương:

- (3k —I[ |—I II 3k 3 ul = : : =(3k~— l;-k— l:—l—3k”} =l THỊ kị k -—]

R6 rang UL z0 với mọi k

3k~l -k-I -I-3kỂ = “ Ta có dị L (P) «> uy//n«> 3k-l=k+l : 5 k=l 2(3k -1) =143k>

Vay k = | 1a giá trị duy nhất của tham số k dé dy 1 (P)

Thi du 3: -

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thang: x-az-a=0 | ax +3y -3=0

va d,

x +3z-6=0

yv-z+l=0 Tìm a để dị; và d› cắt nhau

đi và đd› cắt nhau khi và chỉ Khí hệ phương trình sau:

X-az—a=0 (1)

y-z+l=0 (2)

ax+3y-3=0 (3)

x+3z-6=0 (4)

có nghiệm duy nhất Từ (2) suy ra y = z — 1; tir (4) suy ra x = 6 — 3z Vậy:

y=z-l:x=6-3z Y=z-l:x-6-3Z

hệ (1) (2) (3) (4) <> 46—3z—az—a =0 <>4z(3+a)=6-a (5)

Trang 36

Vậy hệ (1) (2) (3) (4) có nghiệm duy nhat <> hé (5) (6) có nghiém duy nhat +Néua=-3 = (5) vé nghiém

+ Nếu a=l, khi đó (5) (6) © 4z=-—5 (7)

Vì (7) có nghiệm duy nhất — a=l chấp nhận được

6-a

, =——— 8

Néu a# -3 vaa # I thi: (5)(6) <> 2 34a (8)

z=2 (9)

Từ đó suy ra: 2 =2 œa=0

3+a - ,

Vay a= 0 vaa= 1 la hai gia tri để dị và đ; cắt nhau

Củ ý- nóc

1/ Cách giải trên thuần túy dựa vào đại số

2/ Ta có thê giải như sau:

dị có vectơ ee có vectơ chỉ chỉ phương 0, =|[ “#2 P6565 phương u¡ = Họ -IJPLt ol'lo 1 ; TP SỈ (on) 3 =(O:1;1),

ngoài ra M (a; —L;0) cdi

0 a

3 1 | j|-@-38) °

— [J3 0

d; có vectơ chỉ phương u¿ = ( 1

ngoai ra N (0; 1; 2) edo Ta có sau; Ì= | II | 21 |l3a -3Í|-3 9|l9 3a Do đó: |u,.u; LMN =~3a” +3a

m——¬

| (3a-3;:9;-9); MN= (-a:2;2)

Để dị, d› cắt nhau điều kiện cần là u¡,u; phải đồng phẳng, tức là

¬ 5 a=0

[ui.u; |.MN =0 ©-3a”+ 3a=0<> a=]

Đảo lại: Nếu a = 0; u =(0:1;1) và uạ =(9;0;-3) không cùng phương nên

d, va do

Néu a= 1 thi uy = (0:1;1) va uy = (9;-3;—3) không cùng phương nên d; cắt d; Vay a =0 va a=1 1a hai gia tri cần tìm của tham số a dé d) va d> cắt nhau

BÀI TẬP TỤ GIẢI

Bài I (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng giao thông 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)

1/ Viết phương trình mặt phăng (P) qua G và vng góc với đường thăng OG 2/ Mặt phẳng (P) ở câu 1/ cắt các trục Ox Oy,Oz lần lượt tại A, B, C Chứng mình ABC là tam giác đều

94

Đáp số: 1⁄ xy Fel

Trang 37

Bai 2: (Dé thi tuyén sinh cao dang su pham khéi 4-2004) ; Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng d và mat phang (P):

2x+y+z+5=0 (4): 5 2x-z+3=0

Viết phương trình hình chiếu vng góc của (d) trên (P) x+y+z-7=0

6x-y-5z+7=0

(P): xty+z-7=0

Dap “sy

Bai 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z-26=0 và hai đường thăng:

d,:—= = :

~| 2 3 “4

1/ Chứng mình dị và d› chéo nhau

2/ Viết phương trình đường thang A nam trên (P) và cät dị;d› x+2 _y-7 T— _Z- 5 5 8 -4 Xx_y-3 ztl,, Xx-4 y_z-3 ¡ Dap 86 2/ A: Bài 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (5:2; -3) và mặt phang (P): 2x+2y-z+1=0

1/ Xae dinh hinh chiéu M, ctia M trén (P)

2/ Viết phương trình mat phang (Q) qua M và chứa đường thang

x=]l y-Ì Z-5

2 ] 6

Dap so: \/ My (1; -2;-1); 2/x+4y+z-10=0

Bai 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm I(0;0:1) và KG:0:0) Viết phương trình mặt phăng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bang 30°

Tà 2 Dap so: “ XS 3 3/2 | ghe] os Bài 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thăng:

x_y+l Z d đan

dị:—= =— và đạ:

l 2 | “ |2x+y-1=0 1/ Chứng minh dị và d› chéo nhau

2/ Việt phương trình đường thăng d cất cả dị, d› và song song với đường

; X— 17 7

thẳng A:3~2~X—“~Z 3,

| 4 -2

Trang 38

4x-y-5=0

Dap so:

2x+z-6=0

Bài 7: (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Sư pham Quang Ngai — 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thăng có phương trình:

Na Đang

x+2y-z=0 “|2x—y-2z-3=0

và điểm A(3:2:5)

1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với Á qua dị

2/ Lập phương trình mặt phăng đi qua d; và song song với d›

3/ Tính khoảng cách giữa hai đường d; và d›

Dap so: 1 A*=(-17; -24; -11)

2/4x + 3y +z-5=0

3 02

26

Bai 8: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc Hing Vương — 2006) Trong khéng gian voi hé toa dé Oxyz, cho hai đường thăng:

x=5+2t ` x+y+z-7=0 dị =4y=l—t vad): 2x+3y+z-16=0 z=5-t 1/ Chứng mình dị//da

2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa dị và d›

Dap 80: 2/ 3x + Sy + 2-25 =0

Bai 9: (Dé thi tuyén sinh Cao dang Y té I-2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Ôxyz cho hai đường thang đị.d› và mặt phẳng

(P) có phương trình:

, ^ z 4 , “

d, 3! x=l =2 : dạ: S—= =3 CÊ=-“ ;(P):2=y~5z+1=0

2 3 l -2

1/ Chứng mỉnh d, và d; chéo nhau Tìm khoảng cách giữa dị và d; 2/ Viết phương trình đường thăng A vng góc với (P), cắt cả dị và d›

62 _ ~4

Dap so: l/- ==; 2/ A:*-1.x-$4_.z- 3

V195 2 -1 -5

Bai 10: (Dé thi tuyên sinh Dai hoc Hang hai — 2006) x+y-2z2+3=0

Cho điểm A(3: -2:5) và đường thăng d:

x+3y+2z-7=0

1/ Viết phương trình tham số của d

2/ Goi A’ la hình chiếu của A trén d Tim toa dé A’ X=-8+ 4t

Đáp số: V/ 4y=S-2t ¡ 2/A' =(4—1:3)

z=t