Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ HUYỀN TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ HUYỀN TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Hình học - Tôpô Mã số: 62.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HUỲNH PHÁN NGHỆ AN - 2014 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán , người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện nghiên cứu để viết luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận. Tác giả cũng xin được chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Vinh, nơi tác giả học tập đã nhiệt tình đóng góp các ý kiến quý báu. Bên cạnh đó tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Phan Thị Huyền MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU 7 1. Lý do chọn đề tài 2. Đối tượng nghiên cứu 3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Dự kiến đóng góp 6. Kết cấu luận văn Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 PHẦN I. TẬP ĐẠI SỐ 9 1.1. Khái niệm tập đại số 1.2. Một số tính chất cơ bản của tập đại số PHẦN II. IĐEAN 13 2.1. Định nghĩa 2.2. Ví dụ 2.3. Tính chất PHẦN III. ÁNH XẠ ZARISKI 16 3.1. Ánh xạ Zariski 3.2. Một ví dụ về ánh xạ Zariski PHẦN IV. TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ.19 4.1. Nhận xét 4.3. Định lí 4.4. Ví dụ PHẦN V. MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY 23 5.8. Ví dụ 5.10. Ví dụ 5.17. Hệ quả Chương 2 CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 27 2.1. Tập đại số trên đường thẳng và iđêan của chúng 2.2. Tập đại số trên mặt phẳng và iđêan của chúng 2.3. Tập đại số trong không gian và iđêan của chúng 2.4. Thêm một số tập đại số khác trong chương trình toán phổ thông KẾT LUẬN 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 6 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học đại số là bộ môn nghiên cứu các hình là tập nghiệm của các đa thức. Để làm được điều này người ta đã dùng các phương trình đa thức để mô tả các hình hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Hình học đại số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học hiện đại và nó kết nối nhiều ngành toán học như Giải tích, Đại số, Hình học, Tôpô,… lại với nhau. Chẳng hạn, có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình học phổ thông, Hình học afin, Hình học xạ ảnh và nhiều hình thường xét trong các ngành toán học khác… đều là các tập đại số. Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh đã dùng công cụ đại số là Đại số tuyến tính để nghiên cứu, còn Hình học đại số dùng Đại số giao hoán để làm công cụ nghiên cứu. Công cụ chính của hình học đại số là đại số giao hoán nên đòi hỏi người học cũng phải nắm vững không chỉ kiến thức về hình học mà cả kiến thức cơ bản về đại số giao hoán như nhóm, vành, trường, mô đun, iđêan,… Iđêan là một khái niệm cơ bản và quan trọng của Đại số và có rất nhiều tính chất quan trọng trong Hình học đại số. Qua quá trình học Chuyên đề Nhập môn Hình học đại số tôi thấy rằng tính chất của iđêan thể hiện trong hình học đại số rất nhiều và rất quan trọng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học đại số thông qua việc nghiên cứu, phân tích một số yếu tố của nó trong R 1 , R 2 , R 3 và Iđêan của chúng, tác giả đã chọn đề tài : “Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng”. 7 Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng , trong không gian có ứng dụng giải toán phổ thông, cùng với sự động viên, khích lệ của Thầy Nguyễn Huỳnh Phán là phương châm để tôi thực hiện đề tài này. 2. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là các tập đại số bất khả qui trong chương trình toán phổ thông hiên nay. 3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Tác giả nghiên cứu các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví dụ. Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quát hóa, tổng hợp…đánh giá các tập đại số bất khả qui của các hàm số trong toán phổ thông. 5. Dự kiến đóng góp Hệ thống các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng ,trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng. 6. Kết cấu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được kết cấu thành hai chương : Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2:Các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng 8 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN I. TẬP ĐẠI SỐ 1.1. Khái niệm tập đại số 1.1.1. Định nghĩa Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1≠ 0 . Vành đa thức n biến , , , 1 2 x x x n trên A là tập A[X] : = A[ , , , 1 2 x x x n ]. Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng 1 2 1 2 1 2 = , , , 1 2 n n n r r r f x x x r r r n r r r d λ ∑ + + + ≤ với d là một số tự nhiên nào đó và 21 , , , n r r r λ ∈ A gọi là các hệ tử. Khi A là trường ta gọi chúng là các hệ số. Các biểu thức 21 1 2 n r r r x x x n được gọi là các đơn thức. Bậc của đơn thức 21 1 2 n r r r x x x n là tổng các số mũ r 1 + r 2 +… + r n . Bậc của f ≠ 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf . Nếu f = 0, ta quy định degf = −∞ . Nếu 0 ≠ f ∈ A, ta nói degf = 0. Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = 1 1 1 2 2 n a x a x a x a n n + + + + + , trong đó ít nhất phải có một hệ tử gắn biến khác không. 1.1.2. Định nghĩa tập đại số Cho K là trường, tập con V ⊆ K n được gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong [ ] XK . Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f). Thế thì ( ) ( ) { } 0 n Z f a K f a = ∈ = Ví dụ (về tập đại số): 1. Tập rỗng φ là tập đại số vì phương trình f = 0 với f ∈ K mà f ≠ 0 là vô nghiệm. 9 2. Tập 1 điểm a = (a 1 , a 2 ,…., a n ) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n phương trình tuyến tính - a = 0 = 1, 2, , n x i i i      3. Các m – phẳng trong không gian afin K n là các tập đại số vì đó là nghiệm của các đa thức bậc nhất có phương trình dạng: Trong đó n-m ≤ p≤ n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m. Nói riêng, đường thẳng ,mặt phẳng đều là tập đại số 4. K n là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0. Chú ý. Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc và việc chọn tọa độ, nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x 1 , x 2 ,…., x n ) ∈ S, thì với tọa độ mới (y 1 , y 2 ,…., y n ), ta có = c + c + c + + c 0 1 1 2 2 = 1, 2, , n x y y y n i in i i i i      Thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình f(c 10 + c 11 y 1 +….+ c 1n y n ,… , c n0 + c n1 y 1 +….+ c nn y n ) = 0, f ∈ S. Như vậy ta có: Nếu deg f = 0 thì , f = 0 Z(f) , f 0 n K φ     = ≠ Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt. Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng. Cho S là tập con bất kỳ của K[X]. Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất cả các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập đại số. Ta có Z(S) = ( ) f S Z f ∈ I . Chú ý: Tương ứng S a Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n . 10 [...]... là bất khả quy 5.18 Chú ý Điều kiện IZ(f) = (f) trong mệnh đề trên là không bỏ được, thật vậy, có những đa thức bất khả quy nhưng Z(f) không phải là tập bất khả quy, như f = x2 + 1 bất khả quy trong R[x] nhưng Z(f) = φ không phải là tập bất khả quy 27 Chương 2 CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG Trong chương này chúng tôi sẽ mô tả các tập. .. Z(f) là tập bất khả quy Chứng minh Vì f bất khả quy nên (f) là iđêan nguyên tố Do vậy Z(IZ(f)) = Z((f)) là tập bất khả quy 26 5.17 Hệ quả 1/ đường parabol là tập đại số bất khả qui trong R2 2/ đường y = x3 là tập đại số trong R2 Vì: Các đa thức x2 – y và x3 – y2 là bất khả quy trong K[x, y] Mặt 2 khác I Z(x2 -y) = (x - y) và I Z(x3-y2 ) = (x 3 - y 2 ) nên các đường cong (tập đại số) x2 – y = 0 và x3... tập đại số trong R 1, R2, R3 và cố gắng tính toán các iđêan của chúng Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ giữa Hình học đại số với toán phổ thông bằng cách chỉ ra những hình trong toán phổ thông là tập đại số Phần lớn các kết quả trong chương này do chúng tôi tìm tòi và chứng minh chứ không có trong tài liệu tham khảo 2.1 Tập đại số trên đường thẳng và iđêan của chúng 2.1.1 Định lý 1:Mọi tập đại số. .. IV không thể là iđêan nguyên tố 25 5.10 Ví dụ 1/ Ia là iđêan cực đại và do đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy; 2/ Kn bất khả quy vì IKn = 0 là iđêan nguyên tố 5.11 Chú ý Không phải iđêan nguyên tố nào trong K[X] cũng là iđêan của một tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi iđêan nguyên tố mà vô nghiệm, thì nó không là iđêan của 1 tập đại số nào 5.12 Ví dụ Mọi iđêan nguyên tố chứa x2 + 1 trong. .. tăng các iđêan thực sự thì hợp UI j j cũng là một iđêan thực sự Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại Do đó mọi iđêan cực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố 5.7 Định nghĩa (tập bất khả quy) Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự 5.8 Ví dụ 1/ Tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy vì... có 1 tập đại số nhỏ hơn là tập rỗng 2/ Kn là tập bất quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2 tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không thể vì 2 tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng với khái niêm tập bất khả quy là iđêan nguyên tố qua kết quả sau 5.9 Định lý Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi I V là iđêan. .. ảnh f-1(M) của tập A cũng là một tập đại số trong R3 Tương tự như vậy, nếu N là một tập đại số trong R3 thì f(N) cũng sẽ là một tập đại số trong R3 Do f và f-1 là những ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh của tập đại số Zariski là tập đại số Zariski nên nó liên tục trên R3 với tôpô Zariski 2.3.2 Mệnh đề: Mặt cầu có dạng ( x − a) 2 + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 và 2 2 Elipxôit đều đồng phôi trong tôpô Zariski... thì I gọi là iđêan căn Chứng minh: xem tài liệu [6] I cũng là iđêan và I ⊆ I = I 16 PHẦN III ÁNH XẠ ZARISKI Trong phần này trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập đại số Zariski, đưa ra và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện của iđêan trong tập đại số 3.1 Ánh xạ Zariski Cho K là trường Nhắc lại rằng, tập con V ⊆ Kn được gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ các... là một tập đại số trong R 2 thì f(N) cũng sẽ là một tập đại số trong R2 Do f và f-1 là những ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh của tập đại số Zariski là tập đại số Zariski nên nó liên tục trên R2 với tôpô Zariski Chú ý: Về sau chúng tôi sẽ nêu một số ví dụ về ánh xạ liên tục trên R 1, R2 với tôpô thông thường (tôpô tự nhiên), nhưng không liên tục với tôpô Zariski 2.2.2 Đường thẳng Định lý 1: Mọi đường. .. hữu hạn Mặt khác: 1 /Tập rỗng là tập đại số vì phương trình f = 0 với f∈ R1 mà f ≠ 0 là vô nghiệm 2/ R là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0 3/ Giả sử V ={ a1 , a2 , , am } là tập hữu hạn thì V là nghiệm của đa thức f ( x ) = ( x1 − a1 ) ( x2 − a2 ) ( xm − am ) => V là tập đại số Vậy mọi tập đại số trong R1 là tập hữu hạn, hoặc rỗng ,hoặc R 28 2.1.2 Định lý 2: Nếu V là tập đại số trong . TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 27 2.1. Tập đại số trên đường thẳng và iđêan của chúng 2.2. Tập đại số trên mặt phẳng và iđêan của. giá các tập đại số bất khả qui của các hàm số trong toán phổ thông. 5. Dự kiến đóng góp Hệ thống các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng ,trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng. . phẳng, trong không gian và iđêan của chúng . 7 Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng , trong không gian có