LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN và bài tập tự LUẬN

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Tóm tắt lý thuyết Vector pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng a Vector pháp tuyến đường thẳng r r n - Cho đường thẳng (d), vector ≠ gọi vector pháp tuyến r n (VTPT) đường thẳng (d) giá vng góc với (d) r r - Nhận xét: Nếu n vector pháp tuyến (d) k n VTPT (d) b Phương trình tổng qt đường thẳng • Định nghĩa: Phương trình (d): ax + by + c = a b khơng đồng 2 thời (tức a + br ≠ ) phương trình tổng quát đường thẳng (D) nhận n(a; b) VTPT • Các dạng đặc biệt phương trình đường thẳng - (d): ax + c = 0(a ≠ 0) : (d) song song trùng với Oy - (d): by + c = 0(b ≠ 0) : (d) song song trùng với Ox 2 - (d): ax + by = 0(a + b ≠ 0) (d) qua gốc tọa độ - Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = nên (d) qua A( a;0), B(0; b),( a, b ≠ 0) - Phương trình đường thẳng có hệ số góc k : y = kx + m ( k gọi hệ số góc đường thẳng) Vector phương phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng a Vector phương đường thẳng r r - Cho đường thẳng (d), vector u ≠ Gọi vector r u phương (VTCP) (d) giá song song trùng với (d) r r u ku - Nhận xét: Nếu vector phương (d) VTCP (d) VTCP VTPT vng góc với r r nhau, (d) có VTCP u (a; b) n(−b; a ) Là VTPT (d) b Phương trình tham số đương thẳng  x = x0 + at ;(a + b ≠ 0)  y = y0 + bt - Phương trình tham số có dạng:  đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ) nhận r u (a; b) làm VTCP, t tham số - Chú ý: + Khi thay t ∈ ¡ vào phương trình tham số ta điểm M ( x; y ) ∈ (d ) + Nếu điểm M ( x; y ) ∈ (d ) có t cho x,y thỏa mãn phương trình tham số + Một đường thẳng có vơ số phương trình tham số( ứng với t ∈ ¡ ta có phương trình tham số) c Phương trình tắc đường thẳng Phương trình tắc đường thẳng có dạng: x − x0 y − y0 = ;( a, b ≠ 0) a b đường thẳng (d) qua điểm r M ( x0 ; y0 ) nhận u (a; b) làm VTCP d Phương trình đường thẳng qua điểm Phương trình đường thẳng qua điểm A( x A ; y A ) B ( xB ; y B ) có dạng:  x A ≠ xB  + Nếu  y A ≠ yB đường thẳng qua AB có phương trình x − xA y − yA = tắc là: xB − x A y B − y A + Nếu xA = xB ⇒ AB : x = xA + Nếu y A = y B ⇒ AB : y = y A e Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm M ( x0 ; y0 ) đường thẳng ∆ : ax + by + c = khoảng cách từ M đến ∆ tính theo cơng thức sau: d ( M ; ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 f Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng (d1 ) : a1 x + b1 y + c1 = (d ) : a2 x + b2 y + c2 = có vector pháp tuyến ur uu r n1 ( a1 ; b1 ) n2 ( a2 ; b2 ) Gọi α góc ( d1 ) (d ) ta có cơng thức ur uu r n1.n2 a1a2 + b1b2 cos α = ur uu r = n1.n2 a12 + b12 a2 + b2 Vị trí tương đối đường thẳng - Cho đường thẳng (d1 ) : a1 x + b1 y + c1 = (d ) : a2 x + b2 y + c2 = a b1 ⇔ + d1 cắt d a2 b2 ≠ a1 b1 + d1 / / d ⇔ a2 c1 a1 ≠0 c2 a2 b2 =0 b1 c1 b2 c2 ≠0 a1 b1 + d1 ⊥ d ⇔ a2 b2 = b1 c1 b2 c2 = c1 a1 c2 a2 =0 - Lưu ý: a2b2c2 ≠ thì: a1 a2 ≠ b + Hai đường thẳng cắt nếu: b2 a1 b1 a2 b2 =0 + Hai đường thẳng song song với nếu: a1 a2 c1 = ≠ b1 b2 c2 a1 a2 c1 = = b b2 c2 +Hai đường thẳng trùng nếu: II Các dạng tốn phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng biết vector pháp tuyến điểm thuộc đường thẳng  M ( x0 ; y0 ) ∈ d r ⇔ (d ) : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) =  ( d ) ⊥ n(a; b) Ví dụ: Viết phương trình tổng qt đường thẳng (d) biết (d) r qua điểm M (1;2) có VTPT n = (2; −3) r n M (1;2) Giải: Vì (d) qua điểm có VTPT = (2; −3) Nên phương trình tổng quát đường thẳng (d) : 2( x − 1) − 3( y − 2) = ⇔ x − y + = Viết phương trình đường thẳng biết vector phương điểm thuộc đường thẳng  M ( x0 ; y0 ) ∈ ( d )  M ( x0 ; y0 ) ∈ ( d ) r r ⇔  (d ) / / u (a; b) (d ) ⊥ n(−b; a ) ⇔ (d ) : −b( x − x0 ) + a ( y − y0 ) = Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) qua r điểm M (−1;2) có VTCP u (2; −1) M (−1;2) có VTCP Giải: Vì đường thẳng (d) qua điểm r u (2; −1) nên phương trình tham số đường thẳng (d)  x = + 2t   y = −2 − t Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng  M ( x0 ; y0 ) ∈ ( d )  M ( x0 ; y0 ) ∈ (d ) r ⇔   ' ( d ) / /( d ) : ax + by + c = ( d ) ⊥ n (a; b)    ⇔ (d ) : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết : a) (d) qua điểm M (3;2) song song với đường thẳng  x = + 2t ∆:  y = −t b) (d) qua điểm M (3;2) song song với ∆ : x − y − = Giải: r u a) Đường thẳng ∆ có VTCP (2; −1) Vì (d ) / / ∆ nên (d) nhận r u (2; −1) VTCP , (d) qua điểm M (3;2) , nên phương trình  x = + 2t  đường thẳng (d) :  y = − t r b) Đường thẳng ∆ : x − y − = có VTPT n(2; −1) Đường thẳng (d ) / / ∆ nên VTPT (d) Phương trình đường thẳng (d) là: 2( x − 3) − ( y − 2) = ⇔ x − y − = Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng  M ( x0 ; y0 ) ∈ ( d )  M ( x0 ; y0 ) ∈ ( d ) r ⇔  ( d ) ⊥ ( d ') : ax + by + c = ( d ) ⊥ n( −b; a) ⇔ ( d ) : −b( x − x0 ) + a( y − y0 ) = Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng(d): a) qua điểm M (−2;3) vng góc với đường thẳng ∆ : 2x − y + = b) qua điểm M (4; −3) vng góc với đường thẳng  x = + 2t ∆:  y = −t Giải: uu r a) Đường thẳng ∆ : x − y + = nên có VTPT n∆ (2; −5) , (d) uu r n vng góc với ∆ nên (d) nhận ∆ (2; −5) làm VTCP  x = −2 + 2t   y = − 5t Phương trình đường thẳng (d) uu r u b) Đường thẳng ∆ có VTCP ∆ (2; −1) , (d) vng góc với ∆ uu r u nên (d) nhận ∆ (2; −1) làm VTPT Phương trình đường thẳng (d) 2( x − 4) − ( y + 3) = ⇔ x − y − 11 = Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng  x = x0 + at ;(a + b ≠ 0)  Điểm A thuộc đường thẳng ∆ :  y = y0 + bt có dạng A( x0 + at ; y0 + bt ) Điểm A thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = có dạng A(t ; −at − c −bt − c ),(b ≠ 0) A( ; t ),(a ≠ 0) b a Viết phương trình đường thẳng qua điểm Đường thẳng điuqua điểm A B đường thẳng qua A uu r nhận vector AB làm VTCP( trở dạng tốn 2) Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;2) B (3;4) Giải: uuu r AB = (3 − 1;4 − 2) = (2;2) Vì (d) qua điểm A,B nên (d) có VTCP  x = + 2t  Phương trình tham số (d)  y = + 2t Viết phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc k cho trước Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M (−1;2) có hệ số góc k=3 Giải: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M (−1;2) có hệ số góc k=3 có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 Vậy phương trình đường thẳng (d) y = 3( x + 1) + ⇔ y = x + Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng Trung trực đoạn thẳng AB đườnguuuthẳng qua trung r điểm I đường thẳng nhận vector AB làm VTPT( trở dạng toán 1) Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB qua trung điểm AB biết A(3; −1) B (5;3) Giải: uuu r (d) vng góc với AB nên nhận vector AB = (2;4) làm VTPT; (d) qua trung điểm I AB I có tọa độ x A + xB +  x = = =4 I  2 ⇒ I (4;1)   y = y A + yB = −1 + = I  2 Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 2( x − 4) + 4( y − 1) = ⇔ x + y − 12 = ⇔ x + y − = Viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với trục Ox góc α cho trước o o (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ) tạo với trục Ox góc α(0 < α < 90 ) có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 (với k = ± tan α ) Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) qua điểm M (3;2) tạo với chiều dương trục Ox góc 45o Giải: Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, k cho o công thức k = tan α = tan 45 = Vậy phương trình đường thẳng (d) qua M (3;2) có hệ số góc k=1 y = 1( x − 3) + ⇔ y = x − 10 Tìm hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng Giả sử cần tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng (d), ta làm sau: - Lập phương trình đường thẳng (d’) qua M vng góc với (d) - H hình chiếu vng góc M lên (d) ⇒ H giao (d) (d’) Ví dụ: Tìm hình chiếu điểm M (3; −1) lên đường thẳng (d) có phương trình x + y − = Giải: Gọi (d’) đường thẳng qua điểm M vng góc với (d) uu r (d) có phương trình x + y − = nên VTPT củauur(d) nd = (1;2) (d ') ⊥ (d ) nên nhận VCPT (d) làm VTCP ⇒ ud ' = (1;2) Phương trình đường thẳng (d’) qua điểm M (3; −1) có VTCP x = + t uur  ud ' = (1;2)  y = −1 + 2t H hình chiếu M H giao điểm (d) (d’) nên có: thay x,y từ (d’) vào phương trình (d) : (3 + t ) + 2(−1 + t) − = ⇔ t − = ⇔ t = ⇒ x = 4; y = tọa độ điểm H 11 Tìm điểm đối xứng điểm đường thẳng Giả sử cần tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d) ta làm sau: - Tìm hình chiếu H M lên (d) (theo dạng toán 9) - M’ điểm đối xứng với M qua (d) nên M’ đối xứng với M qua H (khi H trung điểm M M’) Ví dụ: Tìm điểm M’ đối xứng với M (3; −1) qua (d) có phương trình x + 2y − = Giải: Đầu tiên ta tìm hình chiếu H điểm M (3; −1) Theo ví dụ dạng ta có H (4;1) Khi H trung điểm M (3; −1) M '( xM ' ; yM ' ) , ta có: xM + x M '  x = H   x = xH − xM = 2.4 − = ⇒  M'   yM ' = yH − yM = 2.1 − ( −1) =  y = yM + yM ' H  Điểm đối xứng M (3; −1) qua (d) M '(5;3) 12 Xác định vị trí tương đối đường thẳng Để xét vị trí tương đối đường thẳng (d1 ) : a1 x + b1 y + c1 = a1 x + b1 y + c1 = (*)  (d ) : a2 x + b2 y + c2 = Ta giải hệ phương trình: a2 x + b2 y + c2 = - Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d1 / / d - Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d1 trùng d - Hệ (*) có nghiệm d1 cắt d nghiệm tọa độ giao điểm Ví dụ: Xét vị trí tương đối đường thẳng a) d1 : x + y − = 0; d : x + y − =  x = − 4t d1 : x + y − = 0; d :   y = + 2t b) Giải: a) Số giao điểm d1 d số nghiệm hệ phương trình x + y − =  2 x + y − = Giải hệ ta nghiệm x=1;y=1 Vậy d1 cắt d điểm có tọa độ (1;1) b) Từ phương trình đường thẳng d ta có x = − 4t y = + 2t thay vào phương trình đường thẳng d1 ta (1 − 4t ) + 2(2 + 2t ) − = ⇔ 10 = (vô lý) Vậy đường thẳng khơng cắt 13 Góc hai đường thẳng Tính góc hai đường thẳng sau a) d1 : x − y + = d : x + y − =  x = + 2t d2 :  y = 3+t b) d1 : 3x − y + = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường trịn Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng (C) có tâm I(a,b) bán kính R Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng (C) có tâm I(a,b), bán kính R= Bài 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn a b c d e Bài 2: Tìm m để phương trình sau phương trình đường trịn a b VẤN ĐỀ 2:Lập phương trình đường trịn Dạng 1:(C) có tâm I qua điểm A Ta xác định R=IA VD: Viết phương trình đường trịn có tâm I qua điểm A a I(2,4) , A(-1,3) b I(-3,2) , A(1,-1) Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ Ta xác định R=d(I,∆) VD: Viết phương trình đường trịn có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ với a.I(3,4), ∆ : 4x-3y+15=0 b I(2,3), ∆ : 5x-12y-7=0 Dạng 3: (C) có đường kính AB -Tâm I trung điểm AB -Bán kính R= VD : Viết phương trình đường trịn có đường kính AB với a.A(-2,3), B(6,5) b.A(0,1), B(5,1) Dạng 4: (C) qua điểm A,B có tâm I nằm đường thẳng ∆ -Viết phương trình đường trung trực d AB -Xác định tâm I giao điểm d ∆ -Bán kính R=IA VD :Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A,B có tâm I nằm đường thẳng ∆ a.A(2,3),B(-1,1),∆ : x-3y-11=0 b.A(0,4),B(2,6),∆ : x-2y+5=0 Dạng 5: (C) qua điểm A , B tiếp xúc với đường thẳng ∆ - Viết phương trình đường trung trực d AB -Toạ độ tâm I thỏa mãn I∈d d(I,∆)=IA -Bán kính R=IA VD: Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A,B tiếp xúc với đường thẳng ∆ a.A(1,2),B(3,4), ∆: 3x+y-3=0 b A(6,3),B(3,2), ∆ :x+2y-2=0 Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với ∆ B - Viết phương trình đường trung trực d AB - Viết phương trình đường thẳng ∆’ qua B vng góc với ∆ - Xác định tâm I giao điểm ∆’ ∆ -Bán kính R=IA VD: Viết phương trình đường trịn qua điểm A tiếp xúc với ∆ B a A(-2,6), ∆: 3x-4y-15=0, B(1,-3) b A(-2,1), ∆: 3x-2y-6=0, B(4,3) Dạng 7: (C) qua A tíêp xúc với đường thẳng , -Tâm I (C) thỏa mãn d(I,)=d(I,) d(I,)=IA -Bán kính R=IA VD: Viết phương trình đường tròn qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng , với a.A(2,3), :3x-4y+1=0, :4x+3y-7=0 b.A(1,3), :x+2y+2=0, :2x-y+9=0 c.A(3,-6), , ≡Oy Dạng 8: (C) tíêp xúc với đường thẳng , có tâm nằm đường thẳng d -Tâm I (C) thỏa mãn : I∈d d(I,)=d(I,) -Bán kính R=d(I,) VD: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với đường thẳng , có tâm nằm đường thẳng d a : 3x+2y+3=0, : 2x-3y+15=0, d: x-y=0 b : x+y+4=0, : 7x-y-4=0, d: 4x+3y-2=0 Dạng 9: (C) qua điểm không thẳng hàng A,B,C Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC -Viết phương trình đường phân giác hai góc tam giác -Tâm I giao điểm đường phân giác -R=d(I,AB) VD: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(2,6), B(-3,-4), C(5,0) VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) -Xác định tâm I bán kính R đường trịn -Tính khoảng cách từ I đến d + d(I,d) < R d cắt (C) điểm phân biệt + d(I,d) = R d tiếp xúc với (C) + d(I,d) > R d (C) khơng có điểm chung Bài 1: Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng d đường tròn (C) a.d: mx-y-3m-2=0 (C) : b d:x+y-1=0 (C) : VẤN ĐỀ 4: Vị tri tương đối hai đường tròn +  (C1), (C2) +>  (C1) ,(C2) VD: Biện luận theo m số giao điểm đường tròn (C1) : ( C2) : VẤN ĐỀ 5: Tiếp tuyến đường tròn C Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C)  d(I,∆)=R Dạng 1: Tiếp tuyến (,)∈(C) -∆ qua (,) có VTPT I Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước -Viết phương trình ∆ chứa tham số t có phương cho trước -Dựa vào điều kiện d(I,∆)=R để tìm t Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A ngồi đường trịn -Viết phương trình ∆ qua A ( chứa tham số) - Dựa vào điều kiện d(I,∆)=R để tìm tham số -  ... Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng (C) có tâm I(a,b), bán kính R= Bài 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn a b c d e Bài 2: Tìm m để phương. .. 2t  Phương trình tham số (d)  y = + 2t Viết phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc k cho trước Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 Ví dụ: Viết phương trình đường. .. (1;1) b) Từ phương trình đường thẳng d ta có x = − 4t y = + 2t thay vào phương trình đường thẳng d1 ta (1 − 4t ) + 2(2 + 2t ) − = ⇔ 10 = (vô lý) Vậy đường thẳng không cắt 13 Góc hai đường thẳng