Lý thuyết Phương trình đường thẳng PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Vectơ phƣơng đƣờng thẳng Định nghĩa : vectơ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ ≠ giá song song trùng với ∆ Nhận xét : – Nếu vectơ phương đường thẳng ∆ k ( k≠ 0) vectơ phương ∆ , đường thẳng có vô số vectơ phương – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết môt điểm vectơ phương đường thẳng Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng – Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0 ;y0) nhận vectơ = (u1 ; u2) làm vectơ phương : ∆: -Khi hệ số u1 ≠ tỉ số k= gọi hệ số góc đường thẳng Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0 ;y0) có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0) Chú ý: Ta biết hệ số góc k = tanα với góc α góc đường thẳng ∆ hợp với chiều dương trục Ox Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Định nghĩa: Vectơ ≠ Nhận xét: gọi vec tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ vuông góc với vectơ phương ∆ – Nếu vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ k (k ≠ 0) vectơ pháp tuyến ∆, đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết vectơ pháp tuyến Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = với a b không đồng thời 0, gọi phương trinh tổng quát đường thẳng Trường hợp đặc biết: + Nếu a = => y = ; ∆ // Ox + Nếu b = => x = ; ∆ // Oy + Nếu c = => ax + by = => ∆ qua gốc tọa độ + Nếu ∆ cắt Ox (a; 0) Oy B (0; b) ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn: + =1 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Xét hai đường thẳng ∆1 ∆2 có phương trình tổng quát : a1x+b1y + c1 = a 2+ b2y +c2 = Điểm M0(x0 ;y0) điểm chung ∆1 ∆2 (x0 ;y0) nghiệm hệ hai phương trình: (1) Ta có trường hợp sau: a) Hệ (1) có nghiệm: ∆1 cắt ∆2 b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2 c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2 6.Góc hai đƣờng thẳng Hai đường thẳng ∆1 ∆2 cắt tạo thành góc Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2thì góc nhọn số bốn góc gọi góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 ta nói góc ∆1 ∆2bằng 900 Trường hợp ∆1 ∆2 song song trùng ta quy ước góc ∆1 ∆2 00 Như gương hai đường thẳng bé 900 Góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 kí hiệu Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x+b1y + c1 = ∆2 = a 2+ b2y +c2 = 00 Đặt = cos = Chú ý: + ∆1 ⊥ ∆2 n1 ⊥ n2 a1a2+ b1b2 = + Nếu ∆1 ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 y = k2 x + m2 ∆1 ⊥ ∆2 k1.k2 = -1 7.Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu (M0 ;∆), tính công thức d(M0 ;∆) = Lý thuyết Phương trình đường tròn PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN 1.Lập phƣơng trình đƣờng tròn có tâm bán kính cho trƣớc Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R : (x –a)2 + (y – b)2 = R2 Nhận xét Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 viết dạng x2+ y2 – 2ax – 2by + c = c = a2 + b2 + R2 Ngược lại, phương trình x2+ y2– 2ax – 2by + c = phương trình đường tròn (C) a2 + b2 -c > Khi đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R = 3.Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn Cho điểm M0(x0 ;y0) nằm đường tròn (C) tâm I(a; b).Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) M0 Ta có M0 thuộc ∆ vectơ = (x0– a ; y0 – b) vectơ pháp tuyến cuả ∆ Do ∆ có phương trình : (x0 – a )(x – x0 ) + (y0 – b)(y – y0) Phương trình (1) phương trình tiếp tuyến đường tròn (x –a)2 + (y – b)2 = R2 điểm M0 nằm đường tròn Lý thuyết Đường Elip ĐƢỜNG ELIP Định nghĩa đƣờng elip Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 F2 Elip tập hợp điểm M cho tổng F1M +F2M = 2a không đổi Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Khoảng cách F1 F2 = 2c gọi tiêu cự elip Phƣơng trình tắc elip Cho elip có tiêu điểm F1 F2 chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(-c ; 0) F2(c ; 0) Khi người ta chứng minh M(x ; y) ε elip + = (1) đó: b2 = a2 – c2 Phương trình (1) gọi phương trình tắc elip Hình dạng elip Xét elip (E) có phương trình (1): a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) điểm M1(-x ; y) M2(x ;- y) M3(-x ; -y) thuộc (E) Vậy (E) có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng gốc O b) Thay y = vào (1) ta có x = ±a suy (E) cắt Ox hai điểm A1(-a ; 0) A2(a ;0) Tương tự thay x = vào (1) ta y = ±b, (E) cắt Oy hai điểm B1(0 ; -b) B2(0 ;b) Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elip Đoạn thẳng A1A2 gọi trục lớn, đoạn thẳng B1, B2 gọi trục nhỏ elip