Một số bài toán mở trong lý thuyết phương trình diophantine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM QUANG HƯNG MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE Chun ngành: Phương pháp Tốn Sơ Cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN- 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số toán mở tồn nghiệm 1.1 Phương trình Diophantine 1.2 Phương trình mũ Diophantine 1.3 Phương trình Markoff Xấp xỉ Diophantine tính siêu việt 11 2.1 Giả thuyết abc 11 2.2 Định lý Thue–Siegel–Roth–Schmidt 14 2.3 Vô tỷ Độ đo độc lập tuyến tính 17 2.4 Siêu việt 21 2.5 Hàm Zeta, Fibonacci 24 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo GS.TSKH Hà Huy Khối Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo trường Đại Học Khoa Học- Đại Học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành khóa học Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Phạm Quang Hưng Mở đầu Phương trình Diophantine chủ đề quan trọng chương trình tốn phổ thơng Trong thực tế, ta thường gặp đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Xuyên suốt lịch sử phát triển toán học có nhiều nhà tốn học nghiên cứu chủ đề Tuy nhiên số lượng vấn đề chưa giải vô lớn Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Trong Chương 1: Trình bày số tốn mở tồn nghiệm phương trình Diophantine Chương 2: Trình bày lý thuyết phép xấp xỉ Diophantine (giả thuyết abc) lý thuyết số siêu việt (ví dụ giả thuyết Schanuel) Phần kết luận tổng kết lại toàn kết đạt Chương Một số toán mở tồn nghiệm 1.1 Phương trình Diophantine Trong số 23 tốn đưa Hilbert, tốn thứ 10 có phát biểu ngắn Có hay khơng thuật tốn để giải phương trình Diophantine ? Phương trình có dạng f (x) = 0, f ∈ Q[X1 , , Xn ] đa thức cho trước, ẩn x = (x1 , , xn ) có giá trị nguyên hữu tỷ, phương trình Diophantine Để giải phương trình xác định điểm nguyên siêu mặt tương ứng khơng gian afin Bài tốn thứ mười Hilbert địi hỏi tìm thuật tốn cho biết phương trình Diophantine có nghiệm hay khơng? Cịn có nhiều loại phương trình Diophantine khác Trước hết ta quan tâm đến nghiệm hữu tỷ thay nghiệm nguyên Trong trường hợp này, ta quan tâm đến điểm hữu tỷ siêu mặt Tiếp theo, ta lưu ý đến điểm nguyên hay điểm hữu tỷ trường số, hay ta xét phương trình có liên quan đến tập số ngun tố Ví dụ phương trình Thue-Mahler F (x, y) = pz1 pzk k F đa thức với hệ số nguyên p1 , , pk số nguyên tố cố định (ẩn x, y, z1 , , zk có giá trị nguyên với zi ≥ 0) phương trình Ramanujan - Nagell tổng quát x2 + D = pn , D số nguyên cố định, p số nguyên tố cố định, ẩn x, n số nguyên dương Lời giải cuối cho toán Hilbert thứ 10 ban đầu đưa năm 1970 Matiyasevich dựa theo công trình Davis, Putnam Robison Câu trả lời khơng, khơng có hy vọng đưa lý thuyết trọn vẹn cho chủ đề Nhưng ta hy vọng có đáp án xác thực ta giới hạn câu hỏi Hilbert ban đầu thành phương trình với số biến hữu hạn, ví dụ n = 2, có nghĩa khảo sát điểm nguyên mặt Trong trường hợp này, nhiều kết sâu sắc đạt kỷ 20 nhiều kết đến công bố lại nhiều để khám phá Các kết cốt yếu Siegel (1929) Faltings (1983) Định lý Siegel nói điểm nguyên tạo thuật toán để kiểm tra xem tập nghiệm tập hữu hạn hay vô hạn Kết Falting, trả lời đoán Mordell, làm tương tự cho trường hợp nghiệm hữu tỷ, nghĩa điểm hữu tỷ đường cong Cùng với hai thành tích xuất sắc kỷ 20 này, ta đưa thêm đóng góp Wiles, cơng trình mà giải Định lý Fermat cuối mà cung cấp số kết tương tự cho đường cong khác Một số câu hỏi tự nhiên đặt (a) Trả lời toán thứ mười Hilbert trường hợp đặc biệt mặt cong, có nghĩa tìm thuật tốn để kiểm tra xem phương trình Diophantine f (x, y) = có nghiệm Z (và toán tương tự Q) hay khơng? (b) Tìm chặn số điểm nguyên điểm hữu tỷ đường cong (c) Tìm thuật tốn để giải cách tường minh phương trình Diophantine hai ẩn số Có thể đặt thêm câu hỏi khác Ví dụ câu hỏi b) ta u cầu xác có nghiệm, tổng quát xét số điểm trường số Số tốn mở vơ tận Mục tiêu không miêu tả chi tiết câu hỏi Ta cần biết • chưa có câu trả lời trọn vẹn cho câu hỏi (a) Khơng có thuật tốn (thậm chí giả thuyết) để kiểm tra xem đường cong có điểm hữu tỷ hay khơng • nhiều kết đưa cho câu hỏi (b), kết cuối chủ đề G Rémond cho cận hữu hiệu cho số lượng điểm hữu tỷ đường cong có giống ≥ • câu (c) chí chưa trả lời với trường hợp điểm nguyên, chí với trường hợp đặc biệt đường cong có giống Người ta khơng u cầu thuật tốn thực sự, ta cần có lý thuyết (để bắt đầu) Do vậy, vấn đề mở tơi trình bày toán Siegel Bài toán 1.1.1 Cho f ∈ Z[X, Y ] đa thức cho phương trình f (x, y) = có hữu hạn nghiệm (x, y) ∈ Z × Z Tìm cận max{|x|, |y|} (x, y) nghiệm, theo bậc f theo giá trị tuyệt đối cực đại hệ số f Cận tồn phần giả thiết, vấn đề phát biểu rõ ràng Một vấn để mở liên quan số Euler idoneal Cố định số nguyên n Nếu p số nguyên tố lẻ mà tồn số nguyên x ≥ y ≥ cho p = x2 + ny (i) ƯCLN(x, ny) = 1, (ii) phương trình p = X + nY theo biến X ≥ Y ≥ có nghiệm, X = x Y = y Bây đặt p số nguyên lẻ cho tồn số nguyên x ≥ y ≥ với p = x2 + ny cho điều kiện (i) (ii) bên thỏa mãn Nếu tính chất kéo theo p số nguyên, số n gọi số idoneal Euler tìm thấy 65 số n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 Dưới ví dụ vấn đề mở liên quan với hệ phương trình Diophantine bậc hai Có tồn hình hộp chữ nhật ngun hoàn hảo? Sự tồn hộp chữ nhật với cạnh nguyên x1 , x2 , x3 đường chéo mặt nguyên y1 , y2 , y3 đường chéo hình hộp z ngun, có nghĩa giải hệ phương trình Diophantine đồng thời biến   x1 + x2 = y3      x +x =y 2 2  x3 + x1 = y2      x + x + x = z2 Z Chúng ta khơng biết có tồn nghiệm hay khơng, biết khơng có hình hộp chữ nhật ngun hồn hảo có cạnh nhỏ ≤ 231 1.2 Phương trình mũ Diophantine Trong phương trình Diophantine, ẩn xuất biến đa thức, trong phương trình mũ Diophantine, số số mũ biến Ta xem phương trình Ramanujan - Nagell nhắc đến bên x2 + D = pn phương trình mũ Diophantine Một toán tiếng mà đến năm 2002 giải tốn Catalan có từ năm 1844 Định lý 1.2.1 (Giả thuyết Catalan) Phương trình xp − y q = biến x, y, p, q có giá trị nguyên ≥ 2, có nghiệm (x, y, p, q) = (3, 2, 2, 3) Nó có nghĩa là: ví dụ số liên tiếp lũy thừa hoàn hảo xp với p ≥ phải Lời giải cuối Mihailescu bao gồm kết sâu sắc từ lý thuyết trường chia vòng tròn (cyclotomic) Catalan đòi hỏi nghiệm nguyên, định lý Siegel, định lý Faltings giải với nghiệm hữu tỷ Nhận thấy vế phải phương trình Catalan yếu tố định Ta khơng biết thay số nguyên dương khác Giả thuyết đề xuất S S Pillai Giả thuyết 1.2.2 (Pillai) Cho k số nguyên dương Phương trình xp − y q = k, x, y, p, q số nguyên ≥ 2, có hữu hạn nghiệm (x, y, p, q) Điều có nghĩa dãy tăng số lũy thừa hoàn hảo xp , với x ≥ p ≥ 2: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, khác hai số hồn hảo liên tiếp dần đến vơ Thậm chí ta khơng biết phương trình Pillai với k = có có hữu hạn nghiệm hay khơng? Một câu hỏi mở liên quan có số hiệu hai số lũy thừa hoàn hảo: Có tồn nghiệm phương trình Diophantine xp − y q = 6? Bây xét số nguyên dương lũy thừa hoàn hảo y q với q ≥ cho tất ký tự theo số x ≥ Ví dụ 121 theo số 3, 400 theo số 343 theo số 18 Để tìm tất số có nghĩa giải phương trình mũ Diophantine xn − = yq , x−1 ẩn x, y, n, q có giá trị dương, hữu tỉ, nguyên với x ≥ 2, y ≥ 1, n ≥ 3, q ≥ Chỉ có nghiệm biết (x, y, n, q) = (3, 11, 5, 2), (7, 20, 4, 2), (18, 7, 3, 3), tương ứng với ví dụ bên Chúng ta khơng biết có phải có nghiệm hay khơng ta hy vọng khơng cịn nghiệm Phương trình Diophantine xp + y q = z r có lịch sử lâu dài quan hệ với Định lý Fermat cuối Nếu tìm nghiệm nguyên dương (x, y, z, p, q, r) thỏa mãn 1 + + 0, tồn số Cε cho: x3 − y > Cε x −ε 2.2 Định lý Thue–Siegel–Roth–Schmidt Một tốn mở phép xấp xỉ Diophantine định lý Thue–Siegel–Roth–Schmidt Với ε > số đại số vô tỷ α, tồn số C(α, ε) > cho với số hữu tử p/q, α− p C(α, ε) > q q 2+ε (2.1) M Langevin giả thuyết abc kéo theo bất đẳng thức mạnh bất đẳng thức Roth, α− p C(ε) > q R(pq) q ε Một mục tiêu khác cải tiến ước lượng định lý Roth Trong cận (2.1) ta thay q −2−ε q −2 (log q)−1−ε Ta mong chờ với tất số đại số thực vơ tỷ có bậc lớn 3, số hạng q −2−ε thay 14 q −2 bất đẳng thức (2.1), tập giá trị α mà câu trả lời biết khơng có gì? Câu hỏi thường hỏi cho trường hợp đặc biệt số √ 2, ví dụ thú vị khác (do Stanislaw Ulam ) số đại số thực ξ định nghĩa ξ= 1 với y = ξ+y 1+y Về khơng biết khai triển liên phân số số đại số thực bậc ≥ 3, người ta câu trả lời cho hai câu hỏi sau Câu hỏi 2.2.1 Liệu có tồn số đại số thực bậc ≥ có thương riêng bị chặn? Câu hỏi 2.2.2 Liệu có tồn số đại số thực bậc ≥ có thương riêng khơng bị chặn? Thơng thường, người hy vọng khai triển liên phân số số đại số thực bậc ≥ ln có thương riêng khơng bị chăn Chính xác ta hy vọng số đại số thực bậc ≥ tương tự số thực Một khái quát áp dụng rộng rãi định lý Thue–Siegel–Roth cho phép xấp xỉ đồng thời định lý không gian Schmidt Dưới hai trường hợp đặc biệt • Cho số đại số thực α1 , , αn , cho 1, α1 , , αn độc lập tuyến tính Q, với ε > 0, max αi − 1≤i≤n pi < 1+(1/n)+ε q q có hữu hạn nghiệm (p1 , , pn , q) Zn+1 với q > • Cho số đại số thực α1 , , αn , cho 1, α1 , , αn độc lập tuyến tính Q, với ε > 0, |q1 α1 + · · ·qn αn − p| < q n+ε có hữu hạn nghiệm (q1 , , qn , p) Zn+1 với q = max{|q1 |, , |qn |} > 15 Một hệ quan trọng định lý không gian Schmidt hữu hạn nghiệm không suy biến phương trình x1 + + xn = 1, ẩn có giá trị nguyên số trường Ở đây, không suy biến nghĩa tổng riêng biến Bây giờ, tơi giải thích với tốn Waring tầm quan trọng việc chứng minh bất đẳng thức loại Roth hữu ích cho số đại số vô tỷ Trong năm 1770, vài tháng trước J L Lagrange chứng minh tất số nguyên dương tổng nhiều số nguyên bình phương, E Waring viết: “Tất số nguyên lũy thừa bậc ba hay tổng hai, ba, , chín lũy thừa bậc ba; tất số nguyên lũy thừa bậc 4, hay tổng tới tận 19 số lũy thừa bậc 4, vv Quy tắc tương tự khẳng định cho có số xác định tương ứng với bậc bất kỳ.” Với k ≥ định nghĩa g(k) số nguyên dương nhỏ g cho số nguyên tổng g số hạng có dạng xk với x ≥ Nói cách khác, với số nguyên dương n n = xk + + xk m có nghiệm m = g(k), tồn số n không tổng g(k) − số lũy thừa k Định lý Lagrange, mà tìm lời giải cho giả thuyết Bachet Fermat, g(2) = Dưới giá trị g(k) cho số nguyên k đầu tiên, với tên tác giả ngày g(2) = g(3) = g(4) = 19 g(5) = 37 g(6) = 73 g(7) = 143 J Chen S.S Pillai L.E Dickson 1964 1940 1936 R.Balasubramanian J.L Lagrange A Wieferich J-M Deshouillers, F Dress 1770 1909 1986 Với số nguyên k ≥ 2, định nghĩa I(k) = 2k + [(3/2)k ] − 16 L E Dickson S S Pillai độc lập với chứng minh năm 1936 g(k) = I(k), miễn r = 3k − 2k q thỏa mãn r ≤ 2k − q − Nếu ngược lại tồn công thức khác g(k) Người ta chứng minh điều kiện r ≤ 2k − q − thỏa mãn với ≤ k ≤ 471600000, K Mahler chứng minh điều với k đủ lớn Do g(k) = I(k) với tất giá trị k Vấn đề chứng minh Mahler dựa phiên p-adic định lý Thue - Siegel - Roth, khơng hữu hiệu Như có sơ hở chí khơng biết quy mơ Quay trở lại năm 1853, giả thuyết g(k) = I(k) với k ≥ 2, điều miễn k ≥ k · biểu thị khoảng cách đến số nguyên gần Như nhận xét S David, ước lượng (với k đủ lớn) rút từ ước lượng Mahler, mà từ giả thuyết abc! 2.3 Vơ tỷ Độ đo độc lập tuyến tính Cho số thực θ, câu hỏi Diophantine kiểm tra liệu θ hữu tỷ hay không Đây câu hỏi định lượng, ý câu trả lời cần dựa theo tính chất định lượng θ Nó phụ thuộc chủ yếu vào chất lượng phép xấp xỉ Diophantine hữu tỷ cho θ Thật vậy, mặt θ hữu tỷ, tồn số dương c = c(θ) cho θ− p c > q q với p/q ∈ Q Giá trị chấp nhận c 1/b θ = a/b Mặt khác θ vô tỷ, có vố số số hữu tỷ p/q cho 0< θ− p < q q 17 Do đó, để chứng minh θ vơ tỷ, cần chứng minh với ε > tồn số hữu tỷ p/q cho p ε < q q 0< θ− Đây điều kiện yếu Có xấp xỉ hữu tỷ 1/q ta cần tìm phép xấp xỉ tốt phép xấp xỉ thông thường c/q Mặc dù vậy, lớp số thực “thú vị” mà cho vô tỷ lại khơng lớn ta mong đợi Ví dụ chưa có chứng minh tính vơ tỷ số Euler đưa γ = lim n→∞ 1+ 1 + + · · · + − log n n = 0.577215 hay số Catalan n (−1) G= n≥0 hay cho (2n + 1) = 0.915965 , ∞ e−t t−4/5 dt = 4.590843 Γ(1/5) = hay số eγ = 781072 , e + π = 5.859874 , ς(3)/π = 0.038768 ς(5) = 1.036927 , n≥1 σk (n) (k = 1, 2) σk (n) = n! dk d|n Sau tốn tính vô tỷ khác đưa P Erdos E Straus năm 1975 Định nghĩa dãy vô tỷ dãy tăng (nk )k≥1 số nguyên dương cho với dãy (tk )k≥1 số nguyên dương, số thực k≥1 nk tk k vô tỷ Một mặt, Erd˝s chứng minh (22 )k≥1 dãy vô tỷ Mặt khác, o dãy (k!)k≥1 khơng, k≥1 1 = k!(k + 2) 18 Bây giả sử bước hoàn thành biết θ vơ tỷ Khi tồn (ít nhất) hai hướng nghiên cứu thêm (1) Xét vài số thực θ1 , , θn , câu hỏi thơng thường kiểm tra liệu chúng có độc lập tuyến tính Q hay khơng Một ví dụ bắt đầu với lũy thừa liên tiếp số, 1, θ, θ2 , , θn−1 Mục đích xem θ có số đại số với bậc < n Nếu n không cố định, câu hỏi liệu θ siêu việt Cũng ý vấn đề độc lập số đại số bao hàm Nó rốt độc lập tuyến tính đơn thức (2) Một hướng nghiên cứu khảo sát cải tiến định lượng phát biểu vô tỷ, cụ thể độ đo vô tỷ Chúng ta muốn lấy chặn số khác không |θ − (p/q)| p/q số hữu tỷ bất kỳ, chặn phụ thuộc vào θ mẫu số q phép xấp xỉ hữu tỷ Trường hợp phát biểu yếu kết vô tỷ biết đến , cụ thể người ta chứng minh n số θ1 , , θn vô tỷ , cải tiến định lượng chặn nhỏ (xét theo q) max θ1 − p1 pn , , θn − q q p1 /q, , pn /q n số hữu tỷ q > mẫu số chung Một mặt, nghiên cứu xấp xỉ hữu tỷ số thực đạt cách thỏa đáng cho số có khai triển liên phân "chính quy", ví dụ e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ] = 2, 1, 2m − m≥1 e2 = [7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, ] = 7, 3m − 1, 1, 1, 3m, 12m + m≥1 e1/n == [1, n − 1, 1, 1, 3n − 1, 1, 1, 5n − 1, 1, 1, ] 1, (2m − 1) n − 1, = m≥1 với n > Mặt khác, số thực x có khai triển liên phân “khơng quy” biết, log = 1 n2 ··· 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 19 hay (2n + 1) π 25 49 = ··· · ·· 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ ta chưa biết x xấp xỉ số hữu tỷ tốt đến mức Chưa có mơ hình quan sát thấy hay hy vọng từ khai triển liên phân quy π π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 6, 1, ], hay từ số dễ liên quan đến π Hy vọng ε > tồn số C(ε) > C (ε) > cho log2 − C(ε) C (ε) p p > 2+ε π − > 2+ε q q q q với p/q ∈ Q, điều biết đến với hệ số mũ lớn hơn, cụ thể tương ứng 3,8913 8,0161 (Rukhadze Hata) Số mũ sắc nét biết đến cho độ đo vô tỷ ς(3) = n≥1 = 1.202056 n3 5.513891 , cho π (hoặc cho ς(2) = π /6) 5,441243 (cả hai kết Rhin Viola ) Đối với số Γ(1/4), tồn số dương tuyệt đối C κ cho Γ(1/4) − p C > κ q q chứng minh gần Các vấn đề tương tự cho eπ chưa giải Nói cách khác, khơng có chứng eπ số Liouville Với lớp số siêu việt cụ thể, A I Galochkin, A N Koroboc gần P Ivankov chứng minh độ đo vô xác tính độc lập tuyến tính Một toán tổng quát quan trọng cải tiến độ đo biết độc lập tuyến tính cho hàm logarit số đại số, hàm logarit elip, Abel 20 logarit, nói chung hàm logarit điểm đại số nhóm đại số giao hốn Bài toán Mahler toán liên quan đến đến tổ hợp tuyến tính hàm logarit |b − log a| Giả thuyết 2.3.1 (Mahler) Tồn số tuyệt đối c > cho log a > a−c với số nguyên a ≥ Một cách tương đương, |a − eb | > a−c với số tuyệt đối c > với số nguyên a, b > Một giả thuyết mạnh đề xuất , log a > (log a)−c với số tuyệt đối c > với số nguyên a ≥ 3, cách tương đương a − eb > b−c với số tuyệt đối c > với số nguyên a, b > Cho đến ước lượng tốt biết đến a − eb > e−c(log a) (log b) vấn đề thay tích (log a)(log b) tổng log a + log b Giới hạn chi tiết có ý nghĩa lý thuyết khoa học máy tính 2.4 Siêu việt Xét hàm lũy thừa cổ điển ez = exp(z) giả thuyết Schanuel Giả thuyết 2.4.1 (Schanuel) Cho x1 , , xn số phức Q - độc lập tuyến tính Khi bậc siêu việt Q trường Q(x1 , , xn , ex1 , , exn ) nhỏ n 21 Theo S Lang: “Từ phát biểu này, ta thu gần hết phát biểu khác độc lập đại số giá trị et log t mà ta cảm thấy đúng” Ví dụ phát biểu sau hệ giả thuyết 2.4.1 Bài toán Cho β1 , , βn số đại số Q - độc lập tuyến tính gọi log α1 , , log αm hàm logarit Q - độc lập tuyến tính số đại số Khi số eβ1 , , eβn , log α1 , , log αm độc lập đại số Q Bài toán Cho β1 , , βn số đại số với β1 = gọi log α1 , , log αm hàm logarit số đại số với log α1 = log α2 = Khi số e β eβn n−1 β1 eβ2 α1 α2 αm siêu việt, khơng có quan hệ đại số tầm thường số Trường hợp đặc biệt quan trọng giả thuyết Schanuel giả thuyết độc lập đại số hàm logarit số đại số Giả thuyết 2.4.2 (Độc lập đại số hàm logarit số đại số) Cho λ1 , , λn tổ hợp số Q - độc lập tuyến tính Giả sử số eλ1 , , eλn số đại số Khi số λ1 , , λn độc lập đại số Q Giả thuyết 2.4.2 có nhiều hệ Ký hiệu L tập số phức λ cho eλ số đại số Khi L Q không gian vectơ C ˜ ˜ Xét Q - không gian vectơ L căng L Nói cách khác, L tập số phức mà viết dạng β0 + β1 log α1 + · · · + βn log αn β0 , β1 , , βn số đại số, α0 , α1 , , αn số đại số khác không, cuối log α1 , , log αn tương ứng hàm logarit α0 , α1 , , αn ¯ Giả thuyết 2.4.3 (Giả thuyết số mũ mạnh) Gọi x1 , x2 hai số phức Q ¯ độc lập tuyến tính y1 , y2 hai số phức Q - độc lập tuyến tính Ngồi 22 ra, đặt βij (i = 1, 2, j = 1, 2), γ1 γ2 sáu số đại số với γ1 = Giả sử năm số ex1 y1 −β11 , ex1 y2 −β12 , ex2 y1 −β21 , ex2 y2 −β22 , eγ1 x1 −γ2 đại số Khi tất số mũ triệt tiêu, xi yj = βij (i = 1, 2, j = 1, ) γ1 x1 = γ2 x2 Một hệ giả thuyết 2.4.3 lời giải tốn mở tính siêu 2 việt số eπ , tổng quát số αlog α = eλ α số đại số khác không λ = log α logarit khác không α Giả thuyết giả thuyết số mũ tiếng Schneider, S Lang K Ramachandra Giả thuyết 2.4.4 (Giả thuyết số mũ) Đặt x1 , x2 hai số phức Q - độc lập tuyến tính y1 , y2 hai số phức Q - độc lập tuyến tính Khi số exp(xi yi ) (i = 1, 2, j = 1, 2) siêu việt Một toán cổ điển độc lập đại số số mũ đại số số đại số đưa A O Gelfond Th Schneider Dữ kiện số đại số vơ tỷ β có bậc d số đại số khác khơng α có logarit khác khơng log α Bài tốn Gelfond Giả thuyết 2.4.5 (Gelfond) Hai số log α αβ độc lập đại số Q Câu hỏi Schneider Giả thuyết 2.4.6 (Schneider) d − số αβ , αβ , , αβ độc lập đại số Q 23 d−1 Kết hợp hai câu hỏi 2.4.5 2.4.6 thu giả thuyết mạnh Giả thuyết 2.4.7 (Gelfond - Schneider) d số log α, αβ , αβ , , αβ d−1 độc lập đại số Q 2.5 Hàm Zeta, Fibonacci Xét hàm Zeta ∞ n−s ζ(s) = n=1 Giả thuyết 2.5.1 Các số π, ζ(3), ζ(5), , ζ(2n + 1), độc lập đại số trường Q Cho tới bây giờ, kết biết chủ đề là: • ζ(2n) siêu việt với n ≥ (bởi π siêu việt ζ(2n)π −2n ∈ Q), • ζ(3) vơ tỷ (Apéry, 1978), Ví dụ vơ số số ζ(2n + 1) (n ≥ 1) vô tỷ W Zudilin chứng minh số ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) vô tỷ Hơn nữa, gần T Rivoal W Zudilin Họ chứng minh nhiều vô hạn số n (−1) n≥1 (2n + 1) 2s (s ∈ Z, s ≥ 1) vô tỷ, trước đây, tính vơ tỷ số Catalan G toán bỏ ngỏ Theo P Bundschuh, siêu việt số ∞ n=2 ns − với s ≥ chẵn hệ giả thuyết Schanuel 2.4.1 Với s = tổng 3/4, với s = 4, tổng (7/8) − (π/4) coth π, số siêu việt π eπ độc lập đại số Q (Yu V Nesterenko) 24 Nhiều toán mở khác phát sinh lý thuyết số siêu việt Một câu hỏi thú vị nghiên cứu chất số học số thực có dạng chuỗi lũy thừa liên quan đến dãy Fibonacci Fn+2 = Fn+1 + Fn , F0 = 0, F1 = Một số kết thu ∞ n=1 =1 Fn Fn+2 hữu tỷ, số ∞ n=0 √ 7− = , F 2n ∞ ∞ n=1 √ n 1− (−1) = Fn Fn+1 √ = F2n−1 + n=1 số đại số vô tỷ Mỗi số số ∞ n=1 ∞ , Fn n=1 Fn + Fn+2 ∞ n=1 F1 F2 Fn vô tỷ, ta chưa biết chúng đại số hay siêu việt Các số ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ , F2n−1 n , F2n n=1 ∞ n=1 , Fn ∞ n=1 (−1)n Fn F2n −1 +F2n +1 ∞ n=1 F2n +1 siêu việt (một số kết khác tính độc lập đại số biết đến) Có trường hợp tương tự với tổng vô hạn hàm hữu tỷ Trong ∞ n=1 ∞ n=0 n f (n) f =1 n(n + 1) 1 − + + 4n + 4n + 4n + 4n + =0 số hữu tỷ, tổng ∞ n=0 = log 2, (2n + 1)(2n + 2) ∞ n=0 π = (n + 1)(2n + 2)(4n + 1) 25 ∞ n=1 ∞ n=0 π2 = , n2 ∞ n=0 π eπ + e−π = + · , n2 + 2 eπ − e−π ∞ n=0 n 2π (−1) = π n2 + e − e−π (6n + 1)(6n + 2)(6n + 3)(6n + 4)(6n + 5)(6n + 6) √ (192 log − 81 log − 7π 3) = 4320 siêu việt Ví dụ đơn giản tổng Euler −s nn minh họa độ khó vấn đề Một lần nữa, giả thuyết tổng quát cách đầy đủ chưa có Ta nhận xét khơng có số đại số vơ tỷ biết có dạng n≥0 Q(n)=0 P (n) , Q(n) P Q đa thức khác khơng có hệ số hữu tỷ deg Q ≥ 2+deg P 26 Kết luận Trong luận văn này, tơi trình bày vấn đề sau : Vấn đề tồn nghiệm phương trình Diophantine thơng qua số tốn Đặc biệt tốn Catalan, giả thuyết Pillai phương trình Markoff Phép xấp xỉ Diophantine lý thuyết số siêu việt Trong tơi đề cập đến giả thuyết abc, phép xấp xỉ số vơ tỷ xét tính siêu việt giá trị đặc biệt, giá trị hàm Zeta dãy Fibonacci Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cơ, bạn để luận văn hoàn thiện 27 Tài liệu tham khảo [1] Hà Huy Khoái Số học NXB Giáo dục, 2004 [2] M Waldschmidt Open Diophantine problems Moscow Math J , 2004 28 ... phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Trong Chương 1: Trình bày số tốn mở tồn nghiệm phương trình Diophantine Chương 2: Trình bày lý thuyết phép xấp xỉ Diophantine (giả thuyết abc) lý thuyết số. .. có cạnh nhỏ ≤ 231 1.2 Phương trình mũ Diophantine Trong phương trình Diophantine, ẩn xuất biến đa thức, trong phương trình mũ Diophantine, số số mũ biến Ta xem phương trình Ramanujan - Nagell... Mở đầu Một số toán mở tồn nghiệm 1.1 Phương trình Diophantine 1.2 Phương trình mũ Diophantine 1.3 Phương trình