tóm tắt một số bài toán điều khiển cho hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TẠ THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2017 Luận án hồn thành tại: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Viện họp Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng năm 2017 Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà Nội - Thư viện Viện Toán học Lời mở đầu Lý thuyết ổn định ổn định hóa hệ động lực hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng lý thuyết điều khiển hệ thống lẫn ứng dụng thực tế, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Lý thuyết ổn định Lyapunov hình thành sau A.M Lyapunov, nhà toán học người Nga, công bố bảo vệ thành công luận án tiến sĩ có tiêu đề “Bài tốn tổng quan tính ổn định chuyển động” A.M Lyapunov nghiên cứu xây dựng lý thuyết sở, tảng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thường Đó phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Để có ứng dụng nhiều thực tế, người ta khơng quan tâm đến việc tìm tiêu chuẩn ổn định hệ mà phải tìm cách thiết kế hệ thống điều khiển đảm bảo mức độ đầy đủ hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Dựa nhu cầu thực tiễn vậy, năm 1972, S.S.L Chang T.K.C Peng đưa toán đảm bảo giá trị điều khiển cho hệ thống Trong tốn này, ngồi việc thiết kế điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển khơng ổn định mà đảm bảo hàm chi phí tồn phương liên hệ với hệ động lực có giá trị hữu hạn giá trị nhỏ tốt Năm 1974, I.R Petersen D.C McFarlane nghiên cứu toán đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ điều khiển mơ tả dạng hệ phương trình vi phân thường có nhiễu cấu trúc Trong nghiên cứu mình, Petersen cộng sử dụng phương trình Riccati đại số để đưa tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân thường có nhiễu cấu trúc Năm 1999, L.Yu J Chu mở rộng toán cho lớp hệ phương trình vi phân khơng chắn có trễ Năm 2012, M.V Thuan V.N Phat nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp biến trạng thái biến điều khiển với độ trễ hàm liên tục không thiết khả vi Trong chương luận án này, nghiên cứu số kết toán đảm bảo giá trị tối ưu cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng (tập giá trị trễ đoạn thẳng) không khả vi thông qua thông tin phản hồi đầu ra: hệ phi tuyến, hệ không chắn Lý thuyết ổn định thời gian hữu hạn giới thiệu lần Dorato vào năm 1961 Một hệ phương trình vi phân gọi ổn định thời gian hữu hạn véc tơ trạng thái không vượt mức cho trước khoảng thời gian hữu hạn So sánh với tính ổn định Lyapunov, ổn định thời gian hữu hạn liên quan đến tính bị chặn véc tơ trạng thái khoảng thời gian cho trước Do đó, hệ ổn định thời gian hữu hạn không ổn định Lyapunov, ngược lại Bên cạnh tốn điều khiển H∞ hệ có trễ thu hút nhiều quan tâm mặt lí thuyết thực tiễn trễ yếu tố tránh khỏi nhiều trình thực tế mà ngun nhân cho khơng ổn định hiệu suất Mục đích nghiên cứu tốn điều khiển H∞ thiết kế điều khiển làm cho hệ đóng (hệ khơng có nhiễu ω) ổn định tiệm cận đảm bảo hiệu suất ràng buộc hệ thống lớn Trong chương 3, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ điều khiển phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng thơng qua thơng tin phản hồi đầu Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục kí hiệu, danh mục cơng trình khoa học tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm chương sau: Chương chương kiến thức chuẩn bị, gồm mục Mục 1.1 giới thiệu toán ổn định, tốn ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ Mục 1.2 giới thiệu tốn đảm bảo chi phí điều khiển Mục 1.3 trình bày tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn Mục 1.4 nhắc lại bất đẳng thức ma trận tuyến tính Mục 1.5 trình bày lại số bổ đề sử dụng chương sau luận án Chương nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên Mục 2.1 trình bày điều kiện đủ để xây dựng hàm điều khiển phản hồi đầu cho lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Mục 2.2 xây dựng hàm điều khiển phản hồi đầu cho lớp hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn có trễ biến thiên Chương nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên dạng khoảng thông qua thông tin phản hồi đầu Mục 3.1 trình bày điều kiện đủ để xây dựng hàm điều khiển phản hồi đầu cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn Mục 3.2 thiết lập hàm điều khiển phản hồi đầu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn với trễ biến thiên Chương Cơ sở toán học Trong chương này, chúng tơi trích dẫn số khái niệm kết biết tính ổn định ổn định hố hệ phương trình vi phân có trễ, tốn đảm bảo chi phí điều khiển, toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn, số kiến thức bổ trợ luận án Các khái niệm kết nhằm giúp việc trình bày cách hệ thống rõ ràng kết chương sau 1.1 1.1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân có trễ Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Như biết hệ phương trình vi phân thường mơ tả mối quan hệ biến thời gian t, trạng thái x(t) hệ thống tốc độ thay đổi trạng thái x(t) thời điểm t Tuy nhiên, thực tế, trình xảy tự nhiên thường có liên quan với q khứ nhiều mang tính di truyền Vì lớp hệ phương trình vi thường khơng miêu tả hết q trình Do đó, để mơ tả cách xác trình này, người ta thường miêu tả chúng phương trình vi phân có trễ Giả sử h số thực khơng âm Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0], nhận giá trị không gian Rn , chuẩn phần tử ϕ ∈ C cho ϕ = sup −h≤θ≤0 ϕ(θ) Với t0 ∈ R, σ ≥ x ∈ C([t0 − h, t0 + σ], Rn ), hàm xt ∈ C, t ∈ [t0 , t0 + σ], xác định xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0] Như vậy, xt quỹ đạo đoạn [t − h, t] hàm x(.) với chuẩn C Nếu D ⊂ R × C tập mở hàm f : D → Rn hàm cho trước phương trình vi phân có trễ D phương trình có dạng: x(t) ˙ = f (t, xt ), (1.1) Một hàm x(·) gọi nghiệm phương trình (1.1) tồn t0 ∈ R σ > cho x(·) ∈ C ([t0 − h, t0 + σ), Rn ), (t, xt ) ∈ D x(t) thỏa mãn (1.1) với t ∈ [t0 , t0 + σ) Với t0 ∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t0 , ϕ, f ) nghiệm phương trình (1.1) với giá trị ban đầu xt0 (t0 , ϕ) = ϕ Chúng ta giả thiết hàm f thỏa mãn điều kiện với điểm (t0 , ϕ) ∈ R+ × C, hệ (1.1) có nghiệm qua điểm (t0 , ϕ) xác định [t0 , ∞) Trong luận án này, giả thiết hàm f (.) thỏa mãn điều kiện cho với điểm (t0 , ϕ) ∈ R+ × C, hệ (1.1) có nghiệm qua điểm (t0 , ϕ) nghiệm xác định [t0 , +∞) Định nghĩa 1.1 Giả sử f (t, 0) = với t ∈ R • Nghiệm x = phương trình (1.1) gọi ổn định với t0 ∈ R, ε > 0, tồn δ = δ(t0 , ε) cho ||ϕ||C ≤ δ ||xt (t0 , ϕ)||C ≤ ε với t ≥ t0 • Nghiệm x = phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn b0 = b0 (t0 ) > cho ||ϕ||C ≤ b0 lim x(t0 , ϕ)(t) = t→∞ Nếu y(t) nghiệm phương trình (1.1), y nói ổn định nghiệm z = phương trình z(t) ˙ = f (t, zt + yt ) − f (t, yt ) ổn định Các khái niệm ổn định khác định nghĩa tương tự trường hợp f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R Định nghĩa 1.2 Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R β > cho trước Khi đó, nghiệm x = phương trình (1.1) gọi β−ổn định mũ tồn số M > cho nghiệm x(t0 , ϕ) hệ (1.1) thỏa mãn ||x(t0 , ϕ)(t)|| ≤ M e−β(t−t0 ) ||ϕ||C , ∀t ≥ t0 Năm 1892, A.M Lyapunov người đưa phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định lớp hệ phương trình vi phân thường Năm 1963, N.N Krasovskii cơng trình mở rộng phương pháp thứ hai Lyapunov (hay gọi phương pháp hàm Lyapunov) cho hệ phương trình vi phân có trễ thu nhiều kết có ý nghĩa Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm Lyapunov-Krasovskii số điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm x = phương trình (1.1) Trước đưa định nghĩa hàm Lyapunov-Krasovskii, cần kí hiệu giả thiết sau: • QH := {ϕ ∈ C : ||ϕ||C ≤ H} giả sử với H > 0, hàm số f : R × QH → R liên tục, bị chặn, thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo biến thứ hai Định nghĩa 1.3 Nếu V : R × QH → R liên tục x(·) nghiệm phương trình (1.1), định nghĩa V˙ (t, ϕ) = lim sup [V (t + h, xt+h (t, ϕ)) − V (t, ϕ)] h→0+ h Hàm V˙ (t, ϕ) đạo hàm bên phải V (t, ϕ) dọc theo nghiệm (1.1) Định nghĩa 1.4 Hàm V : R × QH → R liên tục V (t, 0) ≡ gọi hàm Lyapunov-Krasovskii hệ (1.1) điều kiện sau thỏa mãn i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức ∃u ∈ K : u(|ϕ(0)|) ≤ V (t, ϕ), ∀ϕ ∈ QH , t ∈ R, ii) V˙ (t, ϕ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ QH Định lí 1.1 Giả sử f (t, 0) ≡ Khi đó, hệ (1.1) có hàm Lyapunov-Krasovskii nghiệm x = hệ ổn định Định lí 1.2 Nếu tồn hàm liên tục V : R+ × C → R thỏa mãn: i) tồn λ1 , λ2 > cho λ1 ||ϕ(0)||2 ≤ V (t, ϕ) ≤ λ2 ||ϕ||2C , ii) V˙ (t, ϕ) ≤ 0, hệ (1.1) ổn định nghiệm bị chặn, tức tồn M > cho ||x(t0 , ϕ)(t)|| ≤ M ||ϕ||C , ∀(t0 , ϕ) ∈ R+ × C, t ≥ t0 Nếu thay điều kiện (ii) điều kiện iii) tồn λ0 > cho V˙ (t, ϕ) ≤ −2λ0 V (t, ϕ) với (t, ϕ) ∈ R+ × C, hệ (1.1) ổn định mũ nghiệm hệ thỏa mãn ||x(t0 , ϕ)(t)|| ≤ 1.1.2 λ2 −λ0 (t−t0 ) e ||ϕ||C , ∀t ≥ t0 λ1 Bài tốn ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ Xét hệ điều khiển mơ tả phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, xt , u(t)), t ≥ 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0], (1.2) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ L2 ([0, +∞), Rm ) véc tơ điều khiển, h ≥ số trễ, ϕ ∈ C ([−h, 0], Rn ) hàm điều kiện ban đầu hàm f : R × Rn × Rm → Rn thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) ≡ Định nghĩa 1.5 Hệ điều khiển (1.2) gọi ổn định hóa tồn hàm g : Rn → Rm , g(0) = 0, cho nghiệm x = hệ đóng x(t) ˙ = f (t, xt , g(x(t))) ổn định tiệm cận Trong trường hợp này, hàm u(.) = g(.) gọi hàm điều khiển ngược Định nghĩa 1.6 Cho β > Hệ điều khiển (1.2) gọi ổn định hóa dạng mũ tồn hàm g : Rn → Rm , g(0) = 0, cho nghiệm x = hệ đóng x(t) ˙ = f (t, xt , g(x(t))) β−ổn định mũ 1.2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển Xét hệ điều khiển tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, x(0) = x0 ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , (1.3) với hàm chi phí tồn phương (hay gọi hàm mục tiêu dạng toàn phương) +∞ J(u) = x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t) dt, (1.4) Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rn ) Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển tuyến tính (1.3) hay gọi tốn tối ưu tồn phương tuyến tính tìm điều khiển chấp nhận u∗ (.) cho với điều khiển giá trị hàm chi phí tồn phương đạt giá trị nhỏ Trong tốn kĩ thuật, ngồi việc tìm cách thiết kế hệ thống điều khiển làm cho hệ điều khiển khơng ổn định mà đảm bảo mức độ đầy đủ hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Dựa ý tưởng đó, năm 1972, hai nhà toán học S.S.L Chang T.K.C.Peng đưa tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ động lực Khác với toán tối ưu tồn phương tuyến tính, ngồi việc thiết kế điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển khơng ổn định mà đảm bảo hàm chi phí tồn phương liên hệ với hệ động lực có giá trị hữu hạn giá trị nhỏ tốt Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.3) phát biểu sau: Định nghĩa 1.7 Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.3) hàm chi phí tồn phương (1.4), tồn hàm điều khiển phản hồi trạng thái u∗ (t) = Kx(t), K ∈ Rm×n số dương J ∗ cho hệ đóng x(t) ˙ = [A + BK] x(t), x(0) = x0 , (1.5) ổn định tiệm cận giá trị hàm chi phí tồn phương (1.4) thỏa mãn J(u∗ ) ≤ J ∗ , J ∗ gọi giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.3) u∗ (t) gọi hàm điều khiển phản hồi trạng thái đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.3) 1.3 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn Lý thuyết ổn định thời gian hữu hạn giới thiệu lần Dorato vào năm 1961 Một hệ phương trình vi phân gọi ổn định thời gian hữu hạn véc tơ trạng thái không vượt mức cho trước khoảng thời gian hữu hạn So sánh với tính ổn định Lyapunov, ổn định thời gian hữu hạn liên quan đến tính bị chặn véc tơ trạng thái khoảng thời gian cho trước Do đó, hệ ổn định thời gian hữu hạn không ổn định Lyapunov, ngược lại Bài toán ổn định thời gian hữu hạn phát biểu sau: Định nghĩa 1.8 (Bài toán ổn định thời gian hữu hạn) Cho T > 0, c2 > c1 > 0, R ma trận xác định dương Hệ phương trình: x(t) ˙ = Ax(t) gọi ổn định thời gian hữu hạn (FTS) tương ứng với (c1 , c2 , T, R) nếu: x (0)Rx(0) < c1 ⇒ x (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] Định nghĩa 1.9 (Bài toán bị chặn thời gian hữu hạn) Xét hệ phương trình tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Gw(t), x(0) = x0 , t ∈ [0, T ], (1.6) với hàm nhiễu thỏa mãn điều kiện w (t)w(t) ≤ d, (d > 0) (1.7) Hệ (1.6) gọi bị chặn thời gian hữu hạn (FTB) tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d), với c2 > c1 R > ma trận xác định dương x (0)Rx(0) < c1 ⇒ x (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ], ∀w : w (t)w(t) ≤ d Tiếp theo nhắc lại toán quan trọng khác lý thuyết điều khiển thời gian hữu hạn tốn ổn định hóa thời gian hữu hạn Định nghĩa 1.10 (Bài tốn ổn định hóa thời gian hữu hạn) Cho T > 0, c2 > c1 > R ma trận xác định dương Hệ điều khiển: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 , t ∈ [0, T ], (1.8) gọi ổn định hóa thời gian hữu hạn tồn hàm điều khiển ngược u(t) = Kx(t) cho hệ đóng x(t) ˙ = [A + BK] x(t) ổn định thời gian hữu hạn (FTS) tương ứng với (c1 , c2 , T, R) Tiếp theo chúng tơi giới thiệu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t), t ∈ [0, T ], z(t) = Cx(t), (1.9) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, z(t) ∈ Rp hàm quan sát, w(t) ∈ Rr hàm nhiễu Định nghĩa 1.11 (Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn) Cho T > 0, γ > Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (1.9) tốn tìm điều khiển ngược u(t) = F x(t) thỏa mãn điều kiện sau: • Với w = 0, hệ đóng: x(t) ˙ = [A + BF ]x(t) ổn định thời gian hữu hạn (FTS) tương ứng với (c1 , c2 , T, R) • Tồn c0 > cho: sup T c0 ϕ C1 z(t) dt + T w(t) dt ≤ γ, (1.10) supremum chạy ϕ ∈ C ([−h2 , 0], Rn ) nhiễu w(.) thỏa mãn (1.7) Λ = λmax (P ) + h1 λmax (U1 ) + h2 λmax (U2 ) + 0.5h31 λmax (S1 ) + 0.5h32 λmax (S2 ) + (h22 − h21 )(h2 − h1 )λmax (S3 ) 1 + 1/6h31 λmax (X1 ) + h32 λmax (X2 ) + (h2 − h1 )3 λmax (X3 ), 6 −1 −1 δ1 = λmin (R ), δ2 = λmin ((E3 E3 ) ), Π11 = P A1 + A1 P + U1 + U2 + Q1 + 2αP + 2E1 E1 − λ2 S1 − λ3 S2 − 2λ22 X1 − 2λ23 X2 − 2λ23 hX3 + BKC1 + C1 K B − 0.5BN B , Π22 = −λ2 U1 − λ2 S1 − λ3 S3 , Π33 = −λ3 U2 − λ3 S2 − λ3 S3 , Π44 = h21 S1 + h22 S2 + (h2 − h1 )2 S3 + 0.5h21 X1 + 0.5h22 X2 + 0.5hX3 − 2P, Π55 = 2E2 E2 − 2λ3 S3 + Q2 , Π66 = −λ8 X1 , Π77 = −λ9 X2 , Π88 = −λ4 X3   Π11 λ2 S1 λ3 S2 A1 P P A2 λ6 X1 λ7 X2 λ5 X3  ∗ Π22 0 λ3 S3 0    ∗ Π33 λ3 S3 0   ∗   ∗ ∗ Π44 P A2 0   ∗ Π1 =  , ∗ ∗ ∗ Π55 0   ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Π66 0     ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Π77  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Π88   0 P B C1 K − 0.5BN C1 K C1 K P  0 0 0 0 , Π12 =   0 0 0 0 0 0 PB P   C2 K C K C2 K  0  , Π22 =   0  0 Π2 = Π12 , Π22 Π3 = diag − 0.5N, −0.5N, −0.5δ2 aN + 0.25δ2 a2 I, −δ1 aN + 0.5δ1 a2 I, − I, −0.5N, −I, −0.5N, −0.5δ2 aN + 0.25δ2 a2 I, −δ1 aN + 0.5δ1 a2 I Định lí sau đưa điều kiện đủ cho tồn điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu u(t) = F y(t) đảm bảo cho hệ phương trình vi phân phi tuyến (2.1) α−ổn định hóa dạng mũ giá trị hàm chi phí (2.4) thỏa mãn J(u∗ ) ≤ J ∗ 11 Định lí 2.1 Cho số a > 0, α > Xét hệ điều khiển phi tuyến có trễ biến thiên biến trạng thái biến điều khiển (2.1) với hàm chi phí (2.4) Giả sử ma trận hệ số hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương P, U1 , U2 , S1 , S2 , S3 , X1 , X2 , X3 , N ma trận K, cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn Π= Π1 Π2 < ∗ Π3 (2.7) Khi u(t) = N −1 Ky(t) luật điều khiển đảm bảo chi phí điều khiển thơng qua thơng tin phản hồi đầu cho hệ (2.1), giá trị đảm bảo tối ưu chi phí điều khiển cho hệ (2.1) là: J∗ = Λ φ C1 Nhận xét 2.1 Phương pháp chứng minh Định lí 2.1: • Bước 1: Xét hàm Lyapunov - Krasovskii cho hệ (2.1) sau V (t, xt ) = Vi (t, xt ), (2.8) i=1 V1 (t, xt ) =x (t)P x(t), t t 2α(s−t) V2 (t, xt ) = e t−h1 e2α(s−t) x (s)U2 x(s)ds, x (s)U1 x(s)ds + t−h2 t e2α(τ −t) x˙ (τ )S1 x(τ ˙ )dτ ds V3 (t, xt ) =h1 −h1 t+s t e2α(τ −t) x˙ (τ )S2 x(τ ˙ )dτ ds, + h2 −h2 t+s −h1 t V4 (t, xt ) =(h2 − h1 ) −h2 0 e2α(τ −t) x˙ (τ )S3 x(τ ˙ )dτ ds, t+s t e2α(τ +s−t) x˙ (τ )X1 x(τ ˙ )dτ dsdθ V5 (t, xt ) = −h1 θ t+s 0 t e2α(τ +s−t) x˙ (τ )X2 x(τ ˙ )dτ dsdθ, + −h2 θ t −h1 t+s e2α(τ +s−t) x˙ (τ )X3 x(τ ˙ )dτ dsdθ V6 (t, xt ) = −h2 θ t+s • Bước 2: Ước lượng V˙ (t, xt ) sau: V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ ζ (t)W ζ(t) − |g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t))| 12 (2.9) • Bước 3: Chúng ta chứng minh tính α−ổn định mũ nghiệm x(t, φ) ≤ Λ −αt e φ λ C1 , ∀t ≥ 0, • Bước 4: Tìm giá trị đảm bảo tối ưu chi phí điều khiển cho hệ (2.1) là: ∞ |g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t))| dt < V (0, x0 ) = Λ φ C1 = J ∗ Nhận xét 2.2 Định lí 2.1 cung cấp cho ta điều kiện đủ để thiết kế điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu cho hệ (2.1) dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs), để hệ đóng α−ổn định mũ Chú ý rằng, hàm trễ biến thiên không khả vi, đó, phương pháp sử dụng Li H., Niculescu S.L., Dugard L and Diona J.M (1998), Thuan M.V and Phat V.N (2012) Wang Y., Wang Q., Zhou P and Duan D (2012) không sử dụng cho hệ (2.1) Tính tương thích điều kiện dạng LMIs kiểm tra hộp cơng cụ LMIs Toolbox Matlab (xem Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., and Chilali M (1995)) 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng chắn Xét hệ phương trình điều khiển tuyến tính khơng chắn có trễ biến thiên  x(t) ˙ = (A1 + L1 M1 (t)H1 ) x(t) + (A2 + L2 M2 (t)H2 ) x(t − h(t))     + (B + L3 M3 (t)H3 ) u(t), (2.10)  y(t) = C1 x(t) + C2 x(t − h(t)),    x(t) = φ(t), t ∈ [−h2 , 0], x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái; u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển; y(t) ∈ Rp véc tơ quan sát; A1 , A2 , L1 , L2 , L3 , H1 , H2 , ∈ Rn×n , B, H3 ∈ Rn×m , C1 , C2 ∈ Rp×n ma trận thực cho trước với số chiều thích hợp; H3 ma trận hạng cột đầy đủ, M1 (t), M2 (t), M3 (t) ma trận phụ thuộc thời gian thỏa mãn Mi (t)Mi (t) ≤ I, i = 1, 2, (2.11) hàm trễ h(t) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện (2.2) Ta xét hàm chi phí sau ∞ g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t))dt, J(u) = (2.12) với g(t, x, y, u) : R+ × Rn × Rn × Rm → R+ hàm liên tục cho |g(t, x, xh , u)| ≤ x Q1 x + xh Q2 xh + u Ru, 13 (2.13) ∀t ∈ R+ , x, xh ∈ Rn , u ∈ Rm , Q1 , Q2 ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m ma trận thực, đối xứng, xác định dương cho trước Mục đích mục ta tìm số J ∗ phản hồi đầu u(t) = F y(t), F ∈ Rm×p cho hệ đóng   ˙ = (A1 + L1 M1 (t)H1 + BF C1 + L3 M3 (t)H3 F C1 ) x(t) x(t) + (A2 + L2 M2 (t)H2 + BF C2 + L3 M3 (t)H3 F C1 ) x(t − h(t)),  x(t) = φ(t), t ∈ [−h , 0], (2.14) ổn định hóa hàm chi phí (2.4) thỏa mãn điều kiện J(u) ≤ J ∗ Xét hệ điều khiển (2.1) với nhiễu phi tuyến f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)) chứa tham số khơng chắn có dạng f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)) = ∆A1 (t)x(t) + ∆A2 (t)x(t − h(t)) + ∆B(t)u(t), (2.15) với ∆A1 (t) = L1 M1 (t)H1 , ∆A2 (t) = L2 M2 (t)H2 , ∆B(t) = L3 M3 (t)H3 , L1 , L2 , L3 , H1 ,H2 , H3 ma trận thực cho trước với số chiều thích hợp, H3 ma trận hạng cột đầy đủ, M1 (t), M2 (t), M3 (t) ma trận phụ thuộc thời gian thỏa mãn (2.11) Chúng ta biến đổi hệ điều khiển (2.1) hệ (2.10) Sau sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Định lí 2.1, thu điều kiện ổn định mũ cho hệ điều khiển không chắn (2.10) thông qua thông tin phản hồi đầu Hệ 2.2 Cho số α > 0, ma trận đối xứng, xác định dương P, U1 , U2 , S1 , S2 , S3 , X1 , X2 , X3 , N , ma trận tự K Trước đưa kết chính, ta cần số kí hiệu sau: δ3 = λmin ((H3 H3 )−1 ), Γ11 = P A1 + A1 P + U1 + U2 + Q1 + 2αP + 2H1 H1 − λ2 S1 − λ3 S2 − 2λ22 X1 − 2λ23 X2 − 2λ23 hX3 + BKC1 + C1 K B − 0.5BN B , Γ22 = −λ2 U1 − λ2 S1 − λ3 S3 , Γ33 = −λ3 U2 − λ3 S2 − λ3 S3 , Γ44 = h21 S1 + h22 S2 + (h2 − h1 )2 S3 + 0.5h21 X1 + 0.5h22 X2 + 0.5hX3 − 2P, Γ55 = 2H2 H2 − 2λ3 S3 + Q2 , Γ66 = −λ8 X1 , Γ77 = −λ9 X2 , Γ88 = −λ4 X3 , Γ1,10 = C1 K − 0.5BN   Γ11 λ2 S1 λ3 S2 A1 P P A2 λ6 X1 λ7 X2 λ5 X3  ∗ Γ22 0 λ3 S3 0    ∗ ∗ Γ λ S 0   33 3   ∗ ∗ Γ44 P A2 0   ∗ Γ1 =  , ∗ ∗ ∗ Γ55 0   ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Γ66 0     ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Γ77  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Γ88 14 Γ2 = [Γ11 , Γ22 ], với       Γ11 =            Γ2 =      P B Γ1,10 C1 K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C1 K 0 0 0 P L1 P L2 P L3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P B P L1 P L2 P L3 0 0 C2 K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C2 K 0 0 0 C2 K 0       ,           ,     Γ3 = diag − 0.5N, −0.5N, −δ3 aN + 0.5δ3 a2 I, −δ1 aN + 0.5δ1 a2 I, − I, −I, −0.5I, −0.5N, −I, −I, −0.5I, −0.5N, −δ3 aN + 0.5δ3 a2 I, −δ1 aN + 0.5δ1 a2 I Hệ 2.2 Cho số a > 0, α > Xét hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn (2.10) với hàm chi phí (2.4) Giả sử ma trận hệ số hệ (2.10) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương P, U1 , U2 , S1 , S2 , S3 , X1 , X2 , X3 , N ma trận K, cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn Γ= Γ1 Γ2 < ∗ Γ3 (2.16) Khi u(t) = N −1 Ky(t) hàm điều khiển đảm bảo chi phí thơng qua thông tin phản hồi đầu cho hệ (2.10), giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.10) J∗ = Λ φ 15 C1 Chương Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn Trong chương này, nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ điều khiển phi tuyến có nhiễu bị chặn trễ biến thiên liên tục dạng khoảng thông qua thông tin phản hồi đầu Dựa vào phương pháp hàm Lyapunov, bất đẳng thức tích phân Jensen mở rộng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, xây dựng luật điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu nhằm đảm bảo cho tính ổn định hệ đóng thời gian hữu hạn Các kết chương dựa vào báo [2] danh mục cơng trình khoa học tác giả 3.1 Hệ phương trình vi phân phi tuyến có nhiễu bị chặn trễ biến thiên Xét phương trình điều khiển phi tuyến có trễ biến thiên biến trạng thái  x(t) ˙ = A1 x(t) + A2 x(t − h(t)) + Bu(t) + Gw(t)     +f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), w(t)), (3.1)  z(t) = C1 x(t) + C2 x(t − h(t)), t ≥ 0,    x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h2 , 0], x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , z(t) ∈ Rp véc tơ trạng thái, véc tơ điều khiển, véc tơ quan sát đầu ra; A1 , A2 ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , G ∈ Rn×r , C1 , C2 ∈ Rp×n ma trận thực cho trước với số chiều thích hợp Hàm trễ h : R+ → R+ hàm liên tục thỏa mãn ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2 , ∀t ≥ (3.2) h1 , h2 hai số cho trước Hàm điều kiện ban đầu ϕ ∈ C ([−h2 , 0], Rn ) hàm nhiễu w(t) hàm liên tục thỏa mãn T w(t) w(t)dt ≤ d 16 (3.3) Hàm phi tuyến f (t, x, y, u, w) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính, tức tồn số thực không âm a1 , a2 , a3 , a4 cho với x, y ∈ Rn , u ∈ Rm , w ∈ Rr , ta có f ≤ a1 x 2 + a2 y + a3 u + a4 w (3.4) Ngoài ra, hàm f (t, x, y, u, w) liên tục theo t Lipschitz địa phương theo (x, y, u, w) Dưới giả thiết hàm trễ h(·), f (·) hàm giá trị ban đầu ϕ(t), hệ (2.1) tồn nghiệm xác định [0, +∞) Định nghĩa 3.1 (Ổn định thời gian hữu hạn) Cho số dương T, c1 , c2 , c2 > c1 , ma trận xác định dương R Hệ phương trình (3.1) gọi ổn định thời gian hữu hạn (FTS) tương ứng với (c1 , c2 , T, R), tồn điều khiển ngược thông tin phản hồi đầu u(t) = F z(t) cho điều kiện sau thỏa mãn với nhiễu thỏa mãn (3.3) với t ∈ [0, T ] max sup ϕ(s) Rϕ(s), sup ϕ(s) ˙ Rϕ(s) ˙ −h2 ≤s≤0 ≤ c1 =⇒ x(t) Rx(t) ≤ c2 −h2 ≤s≤0 Định nghĩa 3.2 (Điều khiển H∞ thời gian hữu hạn) Cho T > 0, γ > Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (3.1) có nghiệm (i) Hệ (3.1) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (c1 , c2 , T, R) (ii) Tồn số c0 > cho sup T c0 ϕ C1 z(t) dt + T w(t) dt ≤ γ, (3.5) supremum chạy ϕ ∈ C ([−h2 , 0], Rn ) nhiễu w(.) thỏa mãn (3.3) Trước giới thiệu điều kiện đủ cho tồn điều khiển H∞ cho hệ (3.1), 17 chúng tơi sử dụng số kí hiệu sau P = R1/2 P R1/2 , U1 = R1/2 U1 R1/2 , U2 = R1/2 U2 R1/2 , X1 = R1/2 X1 R1/2 , X2 = R1/2 X2 R1/2 , S = R1/2 SR1/2 , α1 = λmin (P ), α2 = λmax (P ) + h1 λmax (U1 ) + h2 λmax (U2 ) + 0.5h31 λmax (X1 ) + 0.5h32 λmax (X2 ) + 0.5(h2 − h1 )2 (h2 + h1 )λmax (S), α3 = λmax (P ) + h1 λmax (U1 ) + h2 λmax (U2 ) + 0.5h31 λmax (X1 ) + 0.5h32 λmax (X2 ) + 0.5(h2 − h1 )2 (h2 + h1 )λmax (S2 ), Ψ1 = (Ψ1ij )11×11 , Ψ2 = (Ψ2ij )6×11 , 1 1 I, − N + I, −0.5N, −0.5N , Ψ3 = diag −0.5N, −0.5N, − N + a3 2a3 a3 2a3 Ψ111 = P A1 + A1 P + U1 + U2 + a1 I + ηC1 C1 − 4X1 − 4X2 + BKC1 + C1 K B − 0.5BN B , Ψ122 = −U1 − 4X1 − 4S, Ψ133 = −U2 − 4X2 − 4S, Ψ144 = −8S + a2 I + ηC2 C2 , Ψ155 = h21 X1 + h22 X2 + (h2 − h1 )2 S − 2Q, Ψ166 = a4 I − γηI, Ψ177 = −I, Ψ188 = −12X1 , Ψ199 = −12X2 , Ψ110,10 = Ψ111,11 = −12S, Ψ112 = −2X1 , Ψ113 = −2X2 , Ψ114 = P A2 + ηC1 C2 , Ψ115 = A1 Q, Ψ116 = P G, Ψ117 = P , Ψ118 = Ψ128 = 6X1 , Ψ119 = Ψ139 = 6X2 , Ψ124 = Ψ134 = −2S, Ψ145 = A2 Q, Ψ156 = QG, Ψ12,11 = Ψ13,10 = Ψ14,10 = Ψ14,11 = 6S, Ψ157 = Q, Ψ1ij = trường hợp lại, Ψ211 = P B, Ψ212 = C1 K − 0.5BN, Ψ213 = C1 K , Ψ244 = Ψ245 = C2 K , Ψ256 = QB, Ψ2ij = trường hợp lại Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tồn điều khiển thông qua thông tin phản hồi đầu hệ điều khiển (3.1) với trễ biến thiên Định lí 3.1 Cho T, c1 , c2 > ma trận xác định dương R Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn thông qua thông tin phản hồi đầu cho hệ (3.1) có nghiệm tồn số dương η, ma trận đối xứng xác định dương P, U1 , U2 , X1 , X2 , S, N ma trận Q, K cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn Ψ= Ψ1 Ψ2 < 0, ∗ Ψ3 α2 c1 + γηd ≤ α1 c2 e−ηT 18 (3.6) (3.7) Khi hàm điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu xác định: u(t) = N −1 Kz(t), t ≥ Nhận xét 3.1 Phương pháp chứng minh Định lí 3.1: • Bước 1: Xét hàm Lyapunov - Krasovskii cho hệ (3.1) sau V (t, xt ) = Vi (t, xt ), i=1 V1 (t, xt ) =eηt x(t) P x(t), t eηt V2 (t, xt ) = x(s) Ui x(s)ds, t−hi i=1 t −hi t+s hi eηt V3 (t, xt ) = x(τ ˙ ) Xi x(τ ˙ )dτ ds, i=1 −h1 V4 (t, xt ) =(h2 − h1 )e t ηt ˙ )dτ ds x(τ ˙ ) S x(τ −h2 t+s • Bước 2: Ước lượng V˙ (t, xt ) sau: d −ηt e V (t, xt ) ≤ ξ(t) W ξ(t) + γηw(t) w(t) − ηz(t) z(t) dt • Bước 3: Chúng ta chứng minh hệ (3.1) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (c1 , c2 , T, R) eηT (α2 c1 + γηd) x(t) Rx(t) ≤ ≤ c2 , ∀t ∈ [0, T ], α1 • Bước 4: Chúng ta điều kiện γ− tối ưu (3.5): sup c0 ϕ T z(t) dt + T w(t) dt ≤ γ Nhận xét 3.2 Chúng ta để ý điều kiện (3.7) bất đẳng thức ma trận tuyến tính theo η, η xuất thành phần phi tuyến Tuy nhiên, điều kiện (3.6) bất đẳng thức ma trận tuyến tính, ta tìm η từ điều kiện (3.6), sau kiểm tra lại điều kiện (3.7) Nếu điều kiện định lí thỏa mãn, hàm điều khiển ngược thơng qua thơng tin phản hồi đầu u(t) = N −1 Kz(t) giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn thông qua thông tin phản hồi đầu 19 3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng chắn có nhiễu bị chặn trễ biến thiên Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn thông qua thông tin phản hồi đầu cho hệ tuyến tính khơng chắn với trễ biến thiên Xét hệ tuyến tính khơng chắn với thời gian biến thiên  x(t) ˙ = [A1 + ∆A1 (t)]x(t) + [A2 + ∆A2 (t)]x(t − h(t))     +[B + ∆B(t)]u(t) + [G + ∆G(t)]w(t), t ≥ 0,  z(t) = C1 x(t) + C2 x(t − h(t)),    x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h2 , 0], (3.8) x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , z(t) ∈ Rp hàm trạng thái, hàm điều khiển, hàm quan sát đầu ra; A1 , A2 ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , G ∈ Rn×r , C1 , C2 ∈ Rp×n ma trận thực cho trước với số chiều thích hợp Hàm trễ h(t) thỏa mãn điều kiện (3.2), hàm nhiễu w(t) hàm liên tục thỏa mãn (3.3), nhiễu ∆A1 (t), ∆A2 (t), ∆B(t), ∆G(t) cho [∆A1 (t) ∆A2 (t) ∆B(t) ∆G(t)] = DE(t)[Ma1 Ma2 Mb Mg ], với D, Ma1 , Ma2 , Mb , Mg ma trận thực cho trước với số chiều thích hợp, E(t) ma trận phụ thuộc thời gian thỏa mãn E(t) E(t) ≤ I, ∀t ≥ (3.9) Xét hệ điều khiển (3.1) với nhiễu phi tuyến f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)) thỏa mãn f (t, x, x(t − h(t)), u(t), ω(t)) = ∆A1 (t)x(t) + ∆A2 (t)x(t − h(t)) + ∆B(t)u(t) với D, Ma1 , Ma2 , Mb , Mg ma trận thực cho trước với số chiều thích hợp, E(t) ma trận phụ thuộc thời gian thỏa mãn (3.9) Chúng ta biến đổi hệ điều khiển (3.1) hệ (3.8) Đặt: λd = λmax (D D), λm1 = λmax (Ma1 Ma1 ), λm2 = λmax (Ma2 Ma2 ), λmb = λmax (Mb Mb ), λmg = λmax (Mg Mg ) Ta có f ≤ ∆A1 x ≤ 4λd λm1 x + ∆A2 xh 2 + ∆Bu + 4λd λm2 xh 2 + ∆Gω + 4λd λmb u 2 + 4λd λmg ω Chúng ta sử dụng kí hiệu Định lí 3.1 với a1 = 4λd λm1 , a2 = 4λd λm2 , a3 = 4λd λmb , a4 = 4λd λmg 20 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Định lí 3.1, thu điều kiện ổn định mũ cho hệ điều khiển không chắn (3.8) thông qua thông tin phản hồi đầu Hệ 3.2 Hệ 3.2 thiết lập điều kiện đủ cho tồn hàm điều khiển phản hồi đầu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn với trễ biến thiên Hệ 3.2 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn thông qua thông tin phản hồi đầu cho hệ (3.8) có nghiệm tồn số dương η, ma trận đối xứng xác định dương P, U1 , U2 , X1 , X2 , S, N , ma trận Q, K cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn Ψ= Ψ1 Ψ2 < 0, ∗ Ψ3 α2 c1 + γηd ≤ α1 c2 e−ηT (3.10) (3.11) Khi hàm điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu xác định u(t) = N −1 Kz(t), ∀t ≥ Nhận xét 3.3 Bộ điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu vừa đảm bảo ổn định bền vững thời gian hữu hạn hệ đóng vừa đảm bảo điều kiện γ−tối ưu biểu diễn dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Kết nghiên cứu phát triển kết tìm điều khiển H∞ Fridman E and Shaked U (2003), Xiang Z., Sun Y.N and Mahmoud M.S (2012) Xiang W and Xiao J (2011) mà trễ nghiên cứu dạng số Hơn nữa, ta xây dựng hàm Lyapunov khác so với nghiên cứu Liu H., Shen Y and Zhao X (2012), Xiang Z., Sun Y.N and Mahmoud M.S (2012) Xiang W and Xiao J (2011), đánh giá đạo hàm V (·) dạng tích phân tổng qt, đưa đến điều kiện bất đẳng thức ma trận tuyến tính tốt đưa ví dụ số tốt 21 Kết luận Luận án nghiên cứu số toán điều khiển toán đảm bảo giá trị điều khiển toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên thông qua thông tin phản hồi đầu Những kết chứng minh luận án: • Chứng minh điều kiện đủ để thiết kế hàm điều khiển phản hồi đầu cho toán đảm bảo giá trị điều khiển lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng (Định lí 2.1) Áp dụng giải toán đảm bảo giá trị điều khiển cho lớp hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn có trễ biến thiên (Hệ 2.2) • Chứng minh điều kiện đủ để xây dựng hàm điều khiển phản hồi đầu cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ điều khiển phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng (Định lí 3.1) Áp dụng giải toán H∞ thời gian hữu hạn cho hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn với trễ biến thiên (Hệ 3.2) Điểm luận án so với kết có: • Hàm trễ khơng đòi hỏi tính khả vi cận trễ khác • Thiết kế hàm điều khiển phản hồi đầu cho toán đảm bảo giá trị điều khiển lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng • Thiết kế hàm điều khiển phản hồi đầu cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu toán đảm bảo giá trị điều khiển lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến ơtơnơm với trễ biến thiên • Nghiên cứu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm với trễ biến thiên 22 Cơng trình liên quan đến luận án [1] S Adly, Ta T.H Trang and Vu N Phat, Guaranteed quadratic cost control of nonlinear time-varying delay systems via output feedback stabilization, Pacific Journal of Optimization, 12(3) (2016), pp 649-667 (SCIE) [2] Ta T.H Trang, Vu N Phat and S Adly, Robust finite-time H∞ control of nonlinear time-varying delay systems, Journal of Industrial and Management Optimization, 12(1) (2016), pp 303 - 315 (SCIE) Các kết liên quan đến luận án tác giả báo cáo Xêmina Phòng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Hội nghị nghiên cứu sinh năm Viện Toán học (10/2012, 10/2013, 10/2014) Hội nghị Toán học phối hợp Pháp Việt Đại học Huế, 20-24/08/2012 Hội thảo Khoa học cán trẻ Viện Toán học - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phúc Yên, Vĩnh Phúc, 10 - 2014 23 Tài liệu tham khảo [1] Amato F., Ariola M and Dorato P., Finite-time control of linear systems subject to parametric uncertainties and disturbances, Automatica, 37 (2001), 1459 - 1463 [2] Amato F., Ariola M and Cosentino C., Finite-time stabilization via dynamic output feedback, Automatica, 42 (2006), 337 - 342 [3] Amato F., Tommasi G De and Pironti A., Necessary and sufficient conditions for finite-time stability of impulsive dynamical linear systems, Automatica, 49 (2013), 2546 - 2550 [4] Chang S.S.L and Peng T.K.C., Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters, IEEE Transactions on Automatic Control, 17 (4) (1972), 474 - 483 [5] Dorato P., Short time stability in linear time-varying systems, In Proc IRE Int Convention Record, (1961), 83 - 87 [6] Fridman E and Shaked U., Delay-dependent stability and H∞ control: constant and time-varying delays, International Journal of Control, 76 (2003), 48 - 60 [7] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., and Chilali M., LMI Control Toolbox For use with MATLAB, The MathWorks, Inc (1995) [8] Garcia G., Tarbouriech S and Bernussou J., Finite-time stabilization of linear time-varying continuous systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 54 (2009), 364 - 369 [9] Hale J.K and Verduyn Lunel S.M., Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York (1993) [10] Jiang X and Han Q.L., On H∞ control for linear systems with interval timevarying delay, Automatica, 41 (2005), 2099 - 2106 24 [11] Li H., Niculescu S.L., Dugard L and Diona J.M., Robust guaranteed cost control of uncertain linear time-delay systems using dynamic output feedback, Mathematics, Computers in Simulation, 45 (1998), 349 - 358 [12] Liu H., Shen Y and Zhao X., Delay-dependent observer-based H∞ finite-time control for switched systems with time-varying delay, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, (2012), 885 - 898 [13] Mai Viết Thuận, Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân hàm ứng dụng lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học (2014) [14] Meng Q.Y and Shen Y J, Finite-time H∞ control for linear continuous system with norm-bounded disturbance, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14 (2009), 1043 - 1049 [15] Nguyễn Trường Thanh, Điều khiển H∞ hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (2015) [16] Petersen I.R and Macfarlane D.C., Optimal guaranteed cost control and filtering uncertain linear systems, Transactions on Automatic Control, 39 (1994), 1971 1977 [17] Thuan M.V and Phat V.N., Optimal guaranteed cost control of linear systems with mixed interval time-varying delayed state and control, Journal of Optimization Theory and Applications, 152 (2012), 394 - 412 [18] Vũ Ngọc Phát, Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội (2001) [19] Xiang Z., Sun Y.N and Mahmoud M.S., Robust finite-time H∞ control for a class of uncertain switched neutral systems, Communications in Nonlinear Science Numerical Simulations, 17 (2012), 1766 - 1778 25 ... sau 1.1 1.1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân có trễ Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Như biết hệ phương trình vi phân thường mô tả mối quan hệ biến thời gian... cứu toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên Mục 2.1 trình bày điều kiện đủ để xây dựng hàm điều khiển phản hồi đầu cho lớp hệ phương trình vi phân. .. không khả vi thông qua thông tin phản hồi đầu ra: hệ phi tuyến, hệ khơng chắn 2.1 Hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên Xét phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên biến trạng