Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu các hệ phương trình vi phân có trễ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THANH NGA BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • R = (−∞; +∞) • R + = [0; +∞) • R n×r n × r • R n n < ., . > || . ||. • C([a; b], R n ) [a; b] R n . • L 2 ([a, b], R m ) [a, b] R m . • A T A A A = A T . • I • λ(A) A • λ max (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}. • λ min (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}. • A > 0 A • A ≥ 0 A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t 0 x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0, x(t) ∈ R n f(t, x) : R + × R n → R n f(t, x) (1.1) x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0 x(t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds. x(t) (1.1) ε > 0, t 0 ≥ 0 δ > 0 ε, t 0 y(t), y(t 0 )) = y 0 y 0 − x 0 < δ y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t 0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x(t) x(t) t ≥ t 0 x(t) (1.1) δ > 0 y 0 − x 0 < δ lim t→∞ y(t) − x(t) = 0. x(t) y(t) y 0 x 0 x(t) (x − y) → z, (t − t 0 ) → τ (1.1) ˙z = F (τ, z) F (τ, 0) = 0 x(t) (1.1) (1.2) (1.2) (1.1) f(t, 0) = 0, ∀t ∈ R + (1.1) > 0, t 0 ∈ R + δ > 0 , t 0 x(t) : x(t 0 ) = x 0 x 0 < δ x(t) < t ≥ t 0 (1.1) δ > 0 x 0 < δ lim t→∞ x(t) = 0. δ > 0 t 0 (1.1) M > 0 δ > 0 (1.1) x(t 0 ) = x 0 x(t) ≤ Me −δ(t−t 0 ) x 0 , ∀t ≥ t 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ˙x = f(x), f(0) = 0, t ∈ R + . V (x) : R n → R V (x) ≥ 0 x ∈ R n V (x) = 0 x = 0 V (x) : R n → R + (1.3) V (x) R n . V (x) D f V (x) := ∂V ∂x f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R n ∃c > 0 : D f V (x) ≤ −c x < 0, x ∈ R n \{0} (1.3) (1.3) ˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, f(t, x) : R + × R n → R n f(t, 0) = 0 t ∈ R + (1.4) x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0 (1.4) K a(.) : R + → R + a(0) = 0 V (t, x) : R + × R n → R + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ) ∀(t, x) ∈ R + × R n D f V (t, x) = ∂V ∂t + ∂V ∂x f(t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R + × R n ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R + × R n ∃γ(.) ∈ K : D f V (t, x) ≤ −γ( x ) ∀x ∈ R + ∀x ∈ R n \{0} (1.4) V (t, x) : R + × R n → R ∃λ 1 , λ 2 > 0 : λ 1 x(t) 2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λ 2 x(t) 2 , ∀(t, x) ∈ R + × R n ∃α > 0 : ˙ V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) x(t) (1.1) (1.1) α N = λ 2 λ 1 . ˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t 0 , x(t) ∈ R n , u(t) ∈ R m u(.) ∈ L 2 ([0, t], R m )∀t ≥ 0 (1.5) u(t) = h(x(t)) : R n → R m ˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u = h(x) (1.5) ˙x = Ax + Bu K (A + BK) ˙x = Ax + Bu K ˙ x(t) = (A + BK) h(.) K (1.5) g(x) : R n → R m ˙x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0 (1.1) t x(t) x(t) t (0 ≤ h ≤ +∞), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... ta có bài toán tối ưu Bolza Mục đích chính của các nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển tối ưu là: - Tìm các điều kiện cần hoặc đủ để một điều khiển chấp nhận được là tối ưu - Nghiên cứu các bài toán tồn tại điều khiển tối ưu - Xây dựng và thiết kế thuật toán tìm các điều khiển tối ưu - Ưng dụng các kết quả lý thuyết bài toán điều khiển tối ưu vào các bài toán trong kỹ thuật, kinh tế 1.3.1 Một số bài. .. là: u(t) = 4.5308 0.1075 x(t) và giá trị mục tiêu tối ưu là: J = 18.9350 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương 3 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi 3.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi Xét hệ điều khiển tuyến tính với hàm có trễ hỗn hợp t x(t) = A0 x(t) + A1... bảo giá trị điều khiển tối ưu Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ sở giải bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu 2.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính Xét hệ điều khiển tuyến tính x = Ax + Bu; x(0) = x0 , x Rn , u Rm , (2.1) trong đó A Rnìn , B Rnìm (n m) và hàm mục tiêu J(u) = [ Qx, x + Ru, u ]dt, Q > 0, R > 0 (2.2) 0 Xét bài toán điều khiển. .. bài toán tối ưu đặc biệt Dựa trên nguyên lí cực đại cho bài toán tối ưu tổng quát, người ta đã giải được nhiều bài toán tối ưu cụ thể, đặc biệt đối với các hệ điều khiển tuyến tính Mặc dù vi c tìm các điều khiển tối ưu cho các hệ điều khiển tuyến tính trong nhiều trường hợp vẫn đòi hỏi nhiều kĩ thuật phức tạp, xong đối với một số bài toán tối ưu tuyến tính đặc thù thì ta có thể giải và tìm điều kiện tối. .. từ đó điều khiển ngược giá trị tối ưu là: u(t) = 2.4918 0.0677 x(t), và giá trị mục tiêu tối ưu là: J = 4, 9916 2.2 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu hệ tuyến tính có trễ Xét hệ tuyến tính có trễ hằng x(t) = Ax(t) + Dx(t h) + Bu, t 0 x(t) = (t) t [h, 0], u L2 (Rv ) (2.4) và hàm mục tiêu: [ Q1 x, x + Q2 x(t h), x(t h) + Ru(t), u(t) ]dt J(u) = (2.5) 0 trong đó: Q1 , Q2 , R > 0 là các. .. tối ưu, cặp (u (t), x (t)) gọi là quá trình tối ưu của hệ (1.11) (1.12) Người ta phân loại các bài toán điều khiển tối ưu căn cứ theo cấu trúc của hàm mục tiêu Nếu hàm mục tiêu có dạng (1.12) thì ta có bài toán tối ưu Lagrange Nếu J(u) có dạng J(u) = g(t1 , x(t1 )), trong đó t1 (1.13) là thời điểm cuối cố định trước của hệ, thì ta có bài toán điều khiển tối ưu Meyer Còn nếu hàm mục tiêu cho bởi f... cho hệ đóng (3.2) là - ổn định và giá trị của hàm mục tiêu (3.3) thỏa mãn J J trong đó J là một hằng số xác định Ta sẽ tìm điều khiển ngược cho hệ với hàm mục tiêu (3.3), nếu tồn tại điều khiển ngược u (t) và số thực dương J sao cho hệ có trễ đóng là - ổn định hóa và giá trị của hàm mục tiêu (3.3) thỏa mãn J J , khi đó J là giá trị mục tiêu tối ưu và u (t) là điều khiển ngược đảm bảo giá trị. .. kiện tối ưu gián tiếp từ nguyên lí cực đại Pontriagin dưới các công thức tính toán cụ thể và đơn giản S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 1.3.2 Bài toán tối ưu toàn phương tuyến tính Bài toán tối ưu toàn phương tuyến tính là bài toán điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính x = Ax + Bu(t), t [0; T ] x(0) = x0 Rn , u Rm , (1.14) với hàm mục tiêu dạng toàn phương T... > 0 (2.2) 0 Xét bài toán điều khiển tuyến tính giá trị tối ưu (2.1) với hàm mục tiêu (2.2) Giả sử tồn tại điều khiển ngược u (t) = Kx(t) và một số dương J > 0 sao cho hệ đóng x = [A + BK]x là ổn định hóa được và hàm mục tiêu (2.2) thỏa mãn J(u ) J khi đó u gọi là điều khiển ngược đảm bảo giá trị tối ưu, và J gọi là giá trị mục tiêu tối ưu của hệ Định nghĩa 2.1.1 (2.1) với hàm mục tiêu (2.2)... chỉ số ổn định mũ là 3 1.2.2 và 2 1 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ Xét hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ x(t) = f (t, xt , u(t)), t 0, x(t) = (t), t [h; 0], h > 0, S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn (1.8) http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 x(t) Rn là véc tơ trạng thái u(t) Rm là véc tơ điều khiển, xt C , f : R ìCìRm Rn là hàm véc tơ cho trước thỏa . PHẠM HOÀNG THANH NGA BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải tích Mã số