Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ PHƯƠNG VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ 11 1.3 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc ngun 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 18 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ 19 2.1 Phát biểu toán 19 2.2 Một tiêu chuẩn cho toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ 21 2.3 Một ví dụ số minh họa 27 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [6, 7] Mô hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [7, 18] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [3] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [3, 18] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần Từ quan điểm kỹ thuật, người ta mong muốn thiết kế hệ thống điều khiển khơng ổn định tiệm cận mà cịn đảm bảo mức hiệu suất hệ thống phù hợp Năm 1972, hai nhà khoa học Chang Peng [5] đưa nghiên cứu toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi phân thường Sau tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên nhận quan tâm nhiều nhà khoa học Đối với hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên, có số kết thú vị sâu sắc công bố năm gần (xem [10, 11, 12] tài liệu tham khảo đó) Năm 2019, Thuận Hướng [20] nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Luận văn tập trung trình bày số tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [20]) Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ Tiếp theo, chúng tơi nhắc lại số kết tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 14, 15, 17, 21] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Ngồi ra, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α α t0 Dt , Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số α số nguyên nhỏ lớn α   l1 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  l2    0 l3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ, tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân với bậc ngun Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [8, 14, 15, 17, 21] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I tốn tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([15]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) −α =λ j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 It dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngồi ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([15]) Cho α ≥ 0, n = α Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([15]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) = + Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f (s)ds (t − s)α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([14]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn Γ(n − α) dtn dn λ = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = t0 t (t − s)n−α−1 f (s)ds + t0 dn µ Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 g(s)ds t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([14]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := α số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) := T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ cấp α 18 dụng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ số tính chất giải tích phân thứ Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày lại cách có hệ thống kết 1.4 Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, nhắc lại số bổ đề sử dụng để chứng minh kết nội dung luận văn Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn S ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương Khi ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y Bổ đề 1.2 (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z ma trận có số chiều thích hợp, X, Y hai ma trận đối xứng, xác định dương Khi X + Z T Y −1 Z <   T X Z   < Z −Y Bổ đề sau có vai trị quan trọng việc ước lượng hàm Lyapunov Bổ đề 1.3 ([8]) Cho x(t) ∈ Rn véc tơ hàm khả vi liên tục P ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương Khi ta có ước lượng sau đây: 1C α T α D x (t)P x(t) ≤ xT (t)P C t0 Dt x(t), ∀t ≥ t0 ≥ t0 t 19 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Chương trình bày số tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Nội dung trình bày chương dựa phần báo M.V Thuan D.C Huong cơng bố tạp chí Optimal Control Applications and Methods năm 2019 2.1 Phát biểu toán Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo có trễ sau    Dtα x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D (t)] f (x(t))    + [W + ∆W (t)] g(x(t − τ )) + [B + ∆B(t)] u(t),      x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], t ≥ 0, (2.1) T α ∈ (0, 1), x(t) = [x1 (t) x2 (t), , xn (t)] ∈ Rn véc tơ trạng thái, T u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, f (x(t)) = [f1 (x1 (t)) f2 (x2 (t)), , fn (xn (t))] ∈ T Rn , g(x(t − τ )) = [g1 (x1 (t − τ )) g2 (x2 (t − τ )), , gn (xn (t − τ ))] ∈ Rn hàm kích hoạt mạng nơ ron, A = diag{a1 , a2 , , an } ∈ Rn×n ma trận đường chéo xác định dương, D, W ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận thực cho trước; ∆A(t) = Ea Fa (t)Ha , ∆D(t) = Ed Fd (t)Hd , ∆W (t) = 20 Ew Fw (t)Hw , ∆B(t) = Eb Fb (t)Hb , Ea , Ha , Ed , Hd , Ew , Hw , Eb , Hb ma trận số cho trước có số chiều thích hợp, Fa (t), Fd (t) Fb (t) ma trận hàm thỏa mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I, FwT (t)Fw (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I, ∀t ≥ 0; φ(t) ∈ C([−h, 0], Rn ) điều kiện ban đầu Ta giả thiết hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hệ số Lipschitz li > 0, ki > 0, fi (0) = 0, gi (0) = 0(i = 1, , n) : |fi (ξ1 ) − fi (ξ2 )| ≤ li |ξ1 − ξ2 |, i = 1, , n, ∀ξ1 , ξ2 ∈ R, (2.2) |gi (ξ1 ) − gi (ξ2 )| ≤ ki |ξ1 − ξ2 |, i = 1, , n, ∀ξ1 , ξ2 ∈ R Liên kết với hệ (2.1), ta xét hàm chi phí sau Tf J(u) = Γ(α) (Tf − s)α−1 xT (s)Q1 x(s) + xT (s − τ )Q2 x(s − τ ) (2.3) T + u (s)Q3 u(s) ds, ∀Tf > 0, Q1 , Q2 ∈ Rn×n , Q3 ∈ Rm×m ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Nhận xét 2.1 Khi α = 1, hàm chi phí (2.3) đưa hàm chi phí tồn phương cho hệ phương trình vi phân với bậc nguyên nghiên cứu nhiều nhà khoa học (chẳng hạn xem [10, 11, 16, 17, 21] tài liệu tham khảo đó) Định nghĩa 2.1 ([20]) Nếu tồn luật điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t), K ∈ Rm×n ma trận chưa biết xác định sau, số dương J ∗ cho hệ đóng    Dtα x(t) = − [A + ∆A(t) − BK − ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D (t)] f (x(t))    + [W + ∆W (t)] g(x(t − τ )), t ≥ 0,      x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0] (2.4) ổn định tiệm cận giá trị hàm chi phí (2.3) thỏa mãn J(u∗ ) ≤ J ∗ , J ∗ gọi giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) u∗ (t) gọi luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) 21 2.2 Một tiêu chuẩn cho toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Trong mục này, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn để giải tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ (2.1) Định lý 2.1 Xét hệ điều khiển phân thứ (2.1) với hàm chi phí (2.3) Cho trước ma trận thực, đối xứng xác định dương Q1 , Q2 , Q3 , điều khiển u(t) = Y P −1 x(t) luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) tồn ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n số dương , , β, q > cho bất đẳng thức ma trận song tuyến tính thỏa mãn   Ξ11 D W P HaT Y T HbT P LT P Q1 Y T Q3     T 0 0 0   ∗ −I + Hd Hd    ∗ T ∗ −βI + Hw Hw 0 0       ∗  ∗ ∗ − I 0 0     < 0,  ∗  ∗ ∗ ∗ − I 0      ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ −I 0      ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Q   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Q3 (2.5a)   T −P P Q2 βP Σ     ∗ −Q2  <   ∗ ∗ −βI (2.5b) Hơn nữa, giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) xác định J ∗ = λmax (P −1 ) φ , Ξ11 = −AP − P AT + BY + Y T B T + qP + T Ea Ea + T Eb Eb + Ed EdT + Ew EwT , L = diag{l1 , l2 , , ln }, Σ = diag{k1 , k2 , , kn } Chứng minh Vì P ma trận đối xứng, xác định dương nên ma trận P −1 22 ma trận đối xứng, xác định dương Xét hàm Lyapunov V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) Dễ dàng kiểm tra λmin (P −1 ) x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 ) x(t) Do điều kiện (i) Định lý 1.8 thỏa mãn Sử dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ Caputo cấpα hàm V (x(t)) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (2.4) sau: Dtα V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 Dtα x(t) = xT (t) −P −1 A − AT P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t) − 2xT (t)P −1 Ea Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t) (2.6) + 2xT (t)P −1 Df (x(t)) + 2xT (t)P −1 Ed Fd (t)Hd f (x(t)) + 2xT (t)P −1 W g(x(t − τ )) + 2xT (t)P −1 Ew Fw (t)Hw g(x(t − τ )) Từ (2.2), ta có ≤ −f T (x(t))f (x(t)) + xT (t)LT Lx(t), ≤ −βg T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) + βxT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ) (2.7) Sử dụng Bổ đề 1.1, ta thu ước lượng sau − 2xT (t)P −1 Ea Fa (t)Ha x(t) ≤ T −1 Ea EaT P −1 x(t) x (t)P T −1 T x (t)Ha Ha x(t), (2.8) −1 T T T x (t)K Hb Hb Kx(t), (2.9) + 2xT (t)P −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t) ≤ T −1 Eb EbT P −1 x(t) x (t)P + 2xT (t)P −1 Ed Fd (t)Hd f (x(t)) ≤ xT (t)P −1 Ed EdT P −1 x(t) + f T (x(t))HdT Hd f (x(t)), 2xT (t)P −1 Ew Fw (t)Hw g(x(t − τ )) (2.10) 23 ≤ xT (t)P −1 Ew EwT P −1 x(t) + g T (x(t − τ ))HwT Hw g(x(t − τ )) (2.11) Thay (2.7)–(2.11) vào (2.6), ta thu đánh giá sau Dtα V (t, x(t)) ≤η T (t)Ωη(t) + xT (t − τ )[Q2 + βΣT Σ]x(t − τ ) − [xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )], (2.12) T η(t) = xT (t) f T (x(t)) g T (x(t − τ ))   −1 −1 Ω11 P D P W    Ω= ∗ Ω22 ,   ∗ ∗ Ω33 , Ω11 = −P −1 A − AT P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + + −1 T Ha Ha + 2P −1 Eb EbT P −1 + 1P −1 −1 T T K Hb Hb K Ea EaT P −1 + LT L + P −1 Ed EdT P −1 + P −1 Ew EwT P −1 + Q1 + K T Q3 K, Ω22 = −I + HdT Hd , Ω33 = −βI + HwT Hw Áp dụng Bổ đề 1.2, ta có điều kiện (2.5b) tương đương với điều kiện P (Q2 + βΣT Σ)P < P (2.13) Nhân bên trái bên phải (2.13) với ma trận P −1 , ta có điều kiện (2.13) tương đương với điều kiện (Q2 + βΣT Σ) < P −1 (2.14) Từ suy xT (t − τ )[Q2 + βΣT Σ]x(t − τ ) ≤ xT (t − τ )P −1 x(t − τ ), Dtα V (t, x(t)) ≤η T (t)Ωη(t) + xT (t − τ )P −1 x(t − τ ) − [xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )] (2.15) 24 Vì V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) nên theo Định lý 1.8, ta giả sử tồn số q > cho xT (t + s)P −1 x(t + s) < qxT (t)P −1 x(t), ∀s ∈ [−τ, 0], t ≥ Từ suy xT (t − τ )P −1 x(t − τ ) < qxT (t)P −1 x(t) Do Dtα V (t, x(t)) ≤ η T (t)Ωη(t) − [xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )], (2.16)   −1 −1 Ω11 P D P W    Ω= ∗ Ω22 ,   ∗ ∗ Ω33 Ω11 = Ω11 + qP −1 Bây giờ, nhân bên trái bên phải Ω P = diag{P, I, I} đặt K = Y P −1 , ta có   Φ11 D W    Φ = PΩP =  ∗ Φ22  ,   ∗ ∗ Φ33 Φ11 = −AP − P AT + BY + Y T B T + qP + + T Eb Eb + T Ea Ea + −1 T P Ha Ha P −1 T T Y Hb Hb Y + P LT LP + Ed EdT + Ew EwT + P Q1 P + Y T Q3 Y, Φ22 = −I + HdT Hd , Φ33 = −βI + HwT Hw Chú ý điều kiện Ω < tương đương với điều kiện Φ < Sử dụng Bổ đề 1.2, ta có điều kiện Φ < tương đương với điều kiện (2.5a) Do từ điều 25 kiện (2.5a), (2.16) xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ ) > 0, ta thu Dtα V (t, x(t)) < 0, ∀t ≥ (2.17) Vậy điều kiện (ii) Định lý 1.8 thỏa mãn Vậy, hệ đóng tương ứng ổn định tiệm cận Tiếp theo, ta tìm giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) Từ điều kiện (2.5a) (2.16), ta thu Dtα V (t, x(t)) ≤ −[xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )], ∀t ∈ [0, Tf ] (2.18) Tích phân phân thứ cấp α (2.18) từ tới Tf sử dụng Định lý 1.5, ta có V (Tf , x(Tf )) ≤ V (0, x(0)) − J(u) Suy J(u) ≤ V (0, x(0)) ≤ λmax (P −1 ) φ := J ∗ V (Tf , x(Tf )) = xT (Tf )P −1 x(Tf ) ≥ Định lý chứng minh hoàn toàn Nhận xét 2.2 Chú ý điều kiện (2.5a) (2.5b) Định lý 2.1 chứa biến qP βP nên điều kiện bất đẳng thức ma trận song tuyến tính (BMIs) với biến q, β P Mặc dù điều kiện BMIs khó tính tốn điều kiện bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs), song điều kiện BMIs công cụ hữu hiệu để giải tốn điều khiển khơng thể đưa LMIs Các điều kiện (2.5a) (2.5b) Định lý 2.1 Định lý 2.1 đưa điều kiện LMIs ta cố định số q > β > Do ta sử dụng phương pháp tìm kiếm hai chiều với thuật tốn tối ưu lồi hộp cơng cụ LMI Control Toolbox [9] để giải điều kiện (2.5a) (2.5b) Từ đó, ta có bước sau để giải điều kiện BMIs: Bước Cho trước số q > β > 0, BMIs (2.5a), (2.5b) trở thành LMIs Step Giải LMIs (2.5a), (2.5b) hộp công cụ LMI Control Toolbox [9] ta thu số 1, 2, ma trận P, Y Tiếp theo, xét trường hợp đặc biệt hệ (2.1) Khi ∆A(t) ≡ 0, ∆D(t) ≡ 0, ∆W (t) ≡ 0, ∆B(t) ≡ 0, hệ (2.1) quy hệ nơ ron thần kinh 26 phân thứ có trễ sau    Dα x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W g(x(t − τ )) + Bu(t), t   x(t) = φ(t), t ≥ 0, (2.19) t ∈ [−τ, 0], Từ Định lý 2.1, ta có hệ sau Hệ 2.1 Xét hệ (2.19) với hàm chi phí (2.3) Cho trước ma trận đối xứng, xác định dương Q1 , Q2 , Q3 , điều khiển u(t) = Y P −1 x(t) luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.19) tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n số β > 0, q > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận song tuyến tính   Ω11 D W P LT P Q1 Y T Q3    ∗ −I 0 0       ∗  ∗ −βI 0   (2.20a)  < 0,   ∗  ∗ ∗ −I 0      ∗  ∗ ∗ ∗ −Q   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Q3   T −P P Q2 βP Σ    (2.20b)  ∗ −Q2  < 0.I,   ∗ ∗ −βI Ngồi ra, giá trị đảm chi phí điều khiển cho hệ (2.19) xác định J ∗ = λmax (P −1 ) φ , Ω11 = −AP − P AT + BY + Y T B T + qP, L = diag{l1 , l2 , , ln }, Σ = diag{k1 , k2 , , kn } 27 2.3 Một ví dụ số minh họa Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo khơng chắn có trễ sau     Dtα x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D (t)] f (x(t))       + [W + ∆W (t)] g(x(t − 2)) (2.21)   + [B + ∆B(t)] u(t), t ≥ 0,        x(t) = φ(t), t ∈ [−2, 0], α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 , u(t) ∈ R tham số sau     0, 07  , Ea =   , Ha = −0.02 0.03 , Fa (t) = sin t, A= 0, 05     0, 0, 0, 01  , Ed =   , Hd = 0, 01 0.07 , Fd (t) = cos t, D= 0, 0, 0, 03     0, 0, 04  , Ew =   , Hw = 0, 03 0, 02 , Fw (t) = sin t, W = 0, 0, 05     0, 01  , Hb = 0, , Fb (t) = cos t B =   , Eb =  0, 08 Các hàm kích hoạt hệ (2.21) cho fi (xi (t)) = xi (t), (i = 1, 2), gi (xi (t − 2)) = 0, (|xi (t − 2) + 1| − |xi (t − 2) − 1|) , (i = 1, 2) Dễ thấy hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện (2.2) L = diag{1,  với   1}  1  , Q2 =   Σ = diag{1, 1} Ta xét hàm chi phí (2.3) với Q1 =  1, Q3 = 0, Bây giờ, ta giải toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.21) với hàm chi phí (2.3) với Q1 , Q2 , Q3 cho bên Cho trước β = 2, q = 1, 01 Sử dụng Nhận xét 2.2, ta thấy điều kiện (2.5a) (2.5b) Định lý 2.1 thỏa mãn với = 6, 4268, = 1, 5422   0, 0561 −0, 0625  , Y = −3, 0177 −1, 5077 P = −0, 0625 0, 2704 28 Theo Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng hệ (2.21) ổn định tiệm cận với điều khiển ngược xác định u(t) = −80, 9033 −24, 2870 x(t), t ≥ Ngoài ra, giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.21) cho J ∗ = 25.5356 φ 29 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân với bậc ngun; • Trình bày số tiêu chuẩn cho toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ khơng chắn có trễ số; • Đưa 01 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết 30 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017 [2] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học Công nghệ, 2017 Tiếng Anh [3] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer [4] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] S.S.L Chang and T.K Peng (1972), “Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters”, IEEE Trans Aut Contr., 17, pp 474–483 [6] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1257–1272 [7] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1273–1290 [8] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R CastroLinares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya- 31 punov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659 [9] P Gahinet, A Nemirovskii, A.J Laub and M Chilali (1995), LMI Control Toolbox for Use with MATLAB, The MathWorks, Natick, MA [10] H He, L Yan and J Tu (2012), “Guaranteed cost stabilization of timevarying delay cellular neural networks via Riccati inequality approach”, Neural Process Lett., 35, pp 151–158 [11] H He, L Yan and J Tu (2013), “Guaranteed cost stabilization of cellular neural networks with time-varying delay”, Asian J Control, 15(4), pp 1224–1227 [12] P He and Y Li (2016), “Optimal guaranteed cost synchronization of coupled neural networks with Markovian jump and mode-dependent mixed time-delay”, Optim Control Appl Methods, 37(5), pp 922–947 [13] S Liu, R Yang, X.F Zhou, W Jiang, X Li and X.W Zhao (2019), “Stability analysis of fractional delayed equations and its applications on consensus of multi-agent systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 73, pp 351–362 (2019) [14] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [15] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [16] J.H Park and K Choi (2005), “Guaranteed cost control of uncertain nonlinear neutral systems via memory state feedback”, Chaos Solit Fractals., 24, pp 183–190 [17] I.R Petersen and D.C Macfarlane (1994), Optimal guaranteed cost control and filtering uncertain linear systems, IEEE Trans Aut Contr., 39, pp 1971–1977 32 [18] Z Shuo, Y.Q Chen and Y Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [19] E.D Sontag (1998), Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems, Springer [20] M.V Thuan and D.C Huong (2019), “Robust guaranteed cost control for time-delay fractional-order neural networks systems”, Optimal Control Applications and Methods, 40(4), pp 613–625 [21] L Yu and J Chu (1999), “An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems”, Automatica, 35, pp 1155–1159 [22] J Zabczyk (1992), Mathematical Control Theory: An Introduction, Boston, Birkhauser ... Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Chương trình bày số tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ. .. cho toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Trong mục này, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn để giải tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân. .. Chương Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ 19 2.1 Phát biểu toán 19 2.2 Một tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp