Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ PHƯƠNG VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số :8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 Mưc lưc Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Gi£i t‰ch ph¥n thø 6 1.1.1 T‰ch ph¥n ph¥n thø 1.1.2 ⁄o h m ph¥n thø 1.2 nh lỵ Razumikhin cho hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thø 11 1.3 B i to¡n £m bÊo chi ph iãu khin cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn cõ tr vợi bc nguyản 1.4 Mºt sŁ bŒ • bŒ træ 13 18 Ch÷ìng B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ câ tr„ 19 2.1 Ph¡t bi”u b i to¡n 19 2.2 Mºt ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr„ 2.3 Mºt v‰ dö sŁ minh håa 21 27 L˝I N´I U Mæ h…nh m⁄ng nì ron mỉ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh vi phƠn vợi o h m bc nguyản ữổc nghiản cứu ƒu ti¶n bði L.O Chua v L Yang v o nôm 1988 [6, 7] Mổ hnh n y  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh khoa hồc nhng nôm gn Ơy nhng ứng dửng rng lợn ca nõ xò l tn hiằu, xò l hnh Ênh, ti ữu hõa v cĂc lắnh vỹc khĂc [7, 18] Nôm 2008, mt nghiản cứu ca m…nh, A Boroomand v M.B Menhaj [3] lƒn ƒu ti¶n mỉ h…nh hâa m⁄ng nì ron bði h» ph÷ìng tr…nh vi phƠn phƠn thứ (Caputo hoc Riemann Liouville) So vợi m⁄ng nì ron mỉ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh vi phƠn vợi o h m bc nguyản, mng nỡ ron mổ tÊ bi hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ (Caputo ho°c Riemann Liouville) câ th” mæ t£ c¡c °c t‰nh v t‰nh ch§t cıa m⁄ng nì ron mºt c¡ch ch‰nh x¡c hìn [3, 18] Do â h» ph÷ìng tr…nh mng nỡ ron phƠn thứ  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh khoa hồc Nhiãu kt quÊ hay v thú v vã hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ  ữổc cổng b nhng nôm gn Ơy T quan im ca k thut, ngữới ta mong muŁn thi‚t k‚ c¡c h» thŁng i•u khi”n khỉng ch¿ Œn ành ti»m c“n m cỈn câ th” Êm bÊo mức hiằu suĐt hằ thng phũ hổp Nôm 1972, hai nh khoa håc Chang v Peng [5] ÷a v nghi¶n cøu b i to¡n £m b£o chi ph iãu khin cho hằ ng lỹc ữổc mổ tÊ bi hằ phữỡng trnh vi phƠn thữớng Sau õ b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn cõ tr vợi bc nguyản  nhn ữổc sỹ quan tƠm ca nhiãu nh khoa håc Łi vỵi h» nì ron thƒn kinh vợi bc nguyản,  cõ mt s kt quÊ thú v v sƠu sc ữổc cổng b nhng nôm gƒn ¥y (xem [10, 11, 12] v c¡c t i liằu tham khÊo õ) Nôm 2019, Thun v Hữợng [20] nghi¶n cøu b i to¡n £m b£o chi ph‰ iãu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr Lun vôn trung trnh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n Êm bÊo chi ph iãu khin cho mt lợp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„ düa tr¶n cì sð åc hi”u v tŒng hỉp b i bĂo  ữổc cổng b nhng nôm gn Ơy (xem [20]) Lun vôn gỗm cõ chữỡng gỗm nhng nºi dung ch‰nh nh÷ sau: Trong ch÷ìng 1, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v• gi£i t‰ch phƠn thứ nhữ tch phƠn v o h m phƠn thø Riemann Liouville, t‰ch ph¥n v ⁄o h m ph¥n thø Caputo Sau â, chóng tỉi tr…nh b y mºt nh lỵ Razumikhin cho hằ phƠn thứ cõ tr Tip theo, chóng tỉi nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ v• b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi bc nguyản Cui chữỡng, chúng tổi trnh b y mt s b ã b trổ Ni dung chnh ca chữỡng n y ÷ỉc tham kh£o chı y‚u tł c¡c t i li»u [8, 14, 15, 17, 21] Trong ch÷ìng cıa lun vôn, chúng tổi trnh b y mt s tiảu chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thø câ tr„ Ngo i ra, chóng tỉi ÷a mt v dử s minh hồa cho kt quÊ lỵ thuyt Lun vôn n y ữổc thỹc hiằn ti trữớng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca Tin sắ Mai Vit Thun Tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi ngữới hữợng dÔn khoa hồc ca mnh Ngữới  t vĐn ã nghiản cứu, d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn, tn tnh du dt v ch bÊo tổi suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n • t i n y Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn BGH trữớng i hồc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban chı nhi»m khoa ToĂn Tin cĂc giÊng viản  tham gia giÊng dy,  to mồi iãu kiằn tt nhĐt tổi hồc v nghiản cứu ỗng thới tổi xin gòi lới cÊm ỡn tợi gia nh thƠn yảu,cÊm ỡn nhng ngữới bn thƠn thit  chôm sõc ng viản kh‰ch l» tỉi suŁt qu¡ tr…nh nghi¶n cøu Sau tổi xin knh chúc to n th quỵ thy cỉ tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguyản tht dỗi d o sức khọe, niãm tin ti‚p tưc thüc hi»n sø m»nh cao µp cıa m…nh l truy•n ⁄t tri thøc cho th‚ h» mai sau Xin ch¥n th nh c£m ìn Danh mửc kỵ hiằu R n khổng gian vec tỡ thỹc Euclide n chi•u ma tr“n chuy”n cıa ma tr“n A AT I (A) ma tr“n ìn t“p hỉp tĐt cÊ giĂ tr riảng ca ma trn A max(A) = maxfRe : (A)g min(A) = minfRe : (A)g kAk chu'n phŒ cıa ma tr“n A; kAk = A max(A tøc l > Rn A) h Ax; x i 0; 82 A B ma tr“n A nßa xĂc nh dữỡng, nghắa l A B A>0 ma tr“n A x¡c ành d÷ìng, tøc l LM Is kxk b§t flng thøc ma tr“n tuy‚n t‰nh (Linear matrix inequalities) Rn > n khæng gian c¡c ma tr“n thüc cï (n r) r n m AC [a; b] khæng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n[a; b] nh“n gi¡ trà R khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tuy»t i cĐp m trản[a; b] toĂn tò tch phƠn phƠn thứ Riemann - Liouville cĐp t0 It RLD toĂn tò o h m phƠn thứ Riemann - Liouville cĐp t t0 C D ;D t t x) E n hAx; xi > 0; 8x R ; x 6= chu'n Euclide cıa v†c tì x = (x1; x2; :::; xn) R C([a; b]; R ) t0 p x toĂn tò o h m phƠn thứ Caputo cĐp h m Gamma h m Mittag-Leffler hai tham sŁ ; de s nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bng 2l L = diagfl1; l2; l3g 0 L = l2 0 l3 n Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v• gi£i t‰ch phƠn thứ, nh lỵ Razumikhin cho hằ phữỡng trnh vi ph¥n ph¥n thø, b i to¡n £m b£o chi ph‰ iãu khin cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi bc nguyản Chúng tổi cụng trnh b y mt s kt quÊ b trổ s ữổc sò dửng chøng minh c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n v«n cho cĂc chữỡng sau Kin thức sò dửng chữỡng n y ÷ỉc tham kh£o ð [8, 14, 15, 17, 21] 1.1 Gi£i t‰ch ph¥n thø 1.1.1 T‰ch ph¥n ph¥n thø Trong mưc n y, chóng tỉi tr…nh b y sỡ lữổc vã khĂi niằm tch phƠn phƠn thứ KhĂi ni»m t‰ch ph¥n ph¥n thø l mºt mð rºng tü nhiản ca khĂi niằm tch phƠn lp thổng thữớng nh ngh¾a 1.1 ([15]) Cho > v [a; b] R, tch phƠn phƠn thứ Liouville cĐp ca h m x : [a; b]! t0 It x(t) := Riemann-R ÷ỉc cho bði Z t (t s) ) t0 t (a; b]; x(s)ds; +1 â :) l h m Gamma x¡c ành bði )= R0 t t e dt; > 0: Trong ành ngh¾a 1.1 = 0, quy ữợc t0 It := I vợi I l toĂn tò ỗng nhĐt Sỹ tỗn ti ca tch phƠn phƠn thứ Riemann Liouville cĐp vợi < < ữổc cho bi nh lỵ sau nh lỵ 1.1 ([15]) GiÊ sò x : [a; b]! R l mºt h m kh£ t‰ch tr¶n [a; b] Khi õ, tch phƠn t0 It x(t) tỗn ti vợi hu h‚t t [a; b] Hìn nœa, t0 It x cơng l mºt h m kh£ t‰ch V‰ dư sau ¥y cho ta t‰ch ph¥n ph¥n thø cıa mºt sŁ h m cì b£n V‰ dư 1.1 ([15]) (i) Cho x(t) = (t a) , ð ¥y > v t0 It t > a Vợi bĐt k > 0, chóng ta câ + 1) (t a) + ; t > a: + +1) x(t) = t (ii) Cho x(t) = e ; > Vợi bĐt k > 0, chóng ta câ +1 ( t) +j ; t > 0: Xj t0 It x(t) = =0 1.1.2 + j + 1) ⁄o h m ph¥n thø Mưc n y tr…nh b y mºt c¡ch ng›n gån v• ⁄o h m Riemann Liouville v ⁄o h m Caputo ¥y l hai loi o h m ữổc sò dửng rng rÂi nhiãu lắnh vỹc nh nghắa 1.2 ([15]) Cho trữợc mºt sŁ thüc d÷ìng v mºt kho£ng [a; b] R o h m phƠn thứ Riemann Liouville cĐp ca h m x : [a; b]! R ÷ỉc cho bði t RL n Dt x(t) := d n dt t0 It n x(t) = t n n d Z (t s) n ) dtn t0 1 x(s)ds; n õ n := d e l s nguyản nhọ nhĐt lỵn hìn ho°c b‹ng v d dt n l ⁄o h m thổng thữớng cĐp n V dử 1.2 Cho h m bữợc ỡn v (unit-step function) > 1; n‚u t f(t) = < > 0; n‚u t < 0: : Bng cĂch sò dửng nh nghắa 1.2, ta tnh o h m phƠn thứ Riemann Liouville cĐp cıa h m f(t) l RL t D f(t) = 0t ) : Trữợc trnh b y iãu kiằn cho sỹ tỗn ti ca o h m phƠn thø Riemann Liouville, chóng tỉi nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ sau Cho [a; b] l mºt kho£ng hœu h⁄n R: AC[a; b] l khæng gian c¡c h m tuy»t Łi li¶n tưc tr¶n [a; b]: Kolmogorov v Fomin ¢ ch¿ mŁi li¶n h» giœa c¡c h m tuy»t Łi li¶n tưc v c¡c h m kh£ t‰ch Lebesgue nh÷ sau: Zt f(t) AC[a; b] , f(t) = c + ’(s)ds (’(s) L(a; b)); a â mºt h m tuy»t tr¶n [a; b]: Łi li¶n töc f(t) câ ⁄o h m f (t) = ’(t) hƒu kh›p nìi n Vỵi n N; ta nh nghắa lợp h m AC [a; b] nhữ sau: n AC [a ; b] = ff : [a ; b]! R; (D g: D = dt d n f)(t) AC[a ; b] n Mằnh ã sau Ơy cho ta mºt sŁ °c t‰nh cıa lỵp h m AC [a; b] n M»nh • 1.1 ([15]) Khỉng gian AC [a; b] chøa t§t c£ c¡c h m f(t) câ d⁄ng nh÷ sau: n 1X f(t) = t I ’(t) + t k k ck(t t0) ; =0 â ’(t) L(a; b); ck(k = 0; 1; : : : ; n 1) l c¡c h‹ng sŁ tũy ỵ v n1 Z t s) (s)ds: t0 It ’(t) = t0 (t (n 1)! Ngo i ra, t cĂc iãu kiằn trản ta cõ (n) = (s) = f (s); ck (k) f (t0) (k = 0; 1; : : : ; n 1): k! nh lỵ sau Ơy cho ta mt tiảu chu'n cho sỹ tỗn t⁄i cıa ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville n nh lỵ 1.2 ([15]) Cho h m phƠn thứ RL D f(t) t0 0; n = d e: N‚u f(t) AC [a; b]; õ o tỗn ti hu khp nỡi trản [a; b] v cõ th ữổc biu t din dữợi dng sau n RL t 0Dt k=0 f(t) = X K‚t qu£ sau ¥y + f (k)(t0) k t (t t0)k + ) ÷ỉc suy trỹc tip t n ) nh lỵ 1.2 Z t0 (t s) n+ (n) f (s)ds : H» qu£ 1.1 ([15]) N‚u < < v f(t) AC[a; b] th… t RL Dt f(t) = Z t f0(s)ds + f(t0) ) (t t0) t0 : (t s) M»nh • sau khflng ành to¡n tò o h m phƠn thứ Riemann Liouville l mt toĂn tò tuyn tnh Mằnh ã 1.2 ([14]) Cho trữợc mºt sŁ thüc d÷ìng Khi â ⁄o h m phƠn thứ Riemann Liouville cĐp l mt toĂn tò tuyn t‰nh, tøc l RL t Dt â ; RL t0Dt [ f(t) + g(t)] = RL t0Dt f(t) + g(t) n R; f(t); g(t) AC [a; b]: Chøng minh Ta câ RL t Dt = = = [ f(t) + g(t)] n d Z t n ) dt n d n RL t Dt ) dt f(t) + n n t0 (t s) n [ f(s) + g(s)] ds t d Z t0 (t s)n RL t Dt f(s)ds + n ) dt n n t Z t0 (t s) n g(s)ds g(t): nh nghắa 1.3 ([14]) Cho trữợc mºt sŁ thüc d÷ìng v mºt kho£ng [a; b] R o h m phƠn thứ Caputo cĐp ca h m x : [a; b]! R ÷ỉc cho bði C t0 Dt x(t) := t0 It n n D x(t); n â n := d e l sŁ nguy¶n nhä nhĐt lợn hỡn hoc bng v D = dn l n dx o h m thổng thữớng cĐp n T o h m phƠn thứ i vợi mt h m v†c tì x(t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xd(t)) C t0 Dt x(t) := C t0 C C Dt x1(t); t0 Dt x2(t); : : : ; t0 Dt xd(t) T : nh lỵ sau Ơy cho ta mt iãu kiằn cho sỹ tỗn ti o h m Caputo phƠn thứ cĐp 20 EwFw(t)Hw; B(t) = EbFb(t)Hb, â Ea; Ha; Ed; Hd; Ew; Hw; Eb; Hb l cĂc ma trn hng s cho trữợc cõ sŁ chi•u th‰ch hỉp, Fa(t); Fd(t) v Fb(t) l T T T c¡c ma tr“n h m khỉng bi‚t nh÷ng thäa m¢n F a (t)Fa(t) I; Fd (t)Fd(t) I; Fw T n (t)Fw(t) I; Fb (t)Fb(t) I; 8t 0; (t) C([ h; 0]; R ) l i•u ki»n ban ƒu Ta gi£ thi‚t c¡c h m k‰ch ho⁄t thäa mÂn iãu kiằn Lipschitz vợi cĂc hằ s Lipschitz li > 0; ki > 0; fi(0) = 0; gi(0) = 0(i = 1; : : : ; n) : jfi( 1) fi( 2)j lij 2j; (2.2) i = 1; : : : ; n; 1; 2 R; jgi( 1) gi( 2)j kij 2j; i = 1; : : : ; n; 1; 2 R: Liản kt vợi hằ (2.1), ta xt h m chi ph‰ sau ¥y T T J(u) = Z Tf (Tf s) x (s)Q1x(s) + x (s )Q2x(s ) ) (2.3) T + u (s)Q3u(s) ds; 8Tf > 0; õ Q1; Q2 R trữợc nn ; Q3 R mm l c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng cho Nh“n x†t 2.1 Khi = 1, h m chi ph (2.3) ữa vã h m chi ph to n phữỡng cho hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi bc nguyản  ữổc nghiản cứu bi nhiãu nh khoa håc (chflng h⁄n xem [10, 11, 16, 17, 21] v c¡c t i li»u tham kh£o â) ành nghắa 2.1 ([20]) Nu tỗn ti mt lut iãu khin ng÷ỉc u (t) = Kx(t), mn â K R l mºt ma tr“n ch÷a bi‚t s‡ ÷ỉc x¡c ành sau, v mºt sŁ d÷ìng J cho h» õng dữợi Ơy Dt x(t) = [A + A(t) BKB(t)K] x(t) + [D + D (t)] f(x(t)) > + [W + W (t)] g(x(t )); t 0; > > > < > > > > : x(t) = (t); t [ ; 0] (2.4) Œn ành ti»m c“n v gi¡ trà cıa h m chi ph‰ (2.3) thäa mÂn J(u ) J , th J ữổc gồi l l lu“t gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho hằ (2.1) v u (t) iãu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iãu khin cho hằ (2.1) ữổc gồi 21 2.2 Mºt ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ khi”n cho mºt lỵp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„ Trong mưc n y, chúng tổi trnh b y mt tiảu chu'n iãu gi£i b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr (2.1) nh lỵ 2.1 Xt hằ iãu khin phƠn thứ (2.1) vợi h m chi ph (2.3) Cho trữợc cĂc ma trn thỹc, i xứng xĂc nh dữỡng Q1; Q2; Q3, i•u khi”n u(t) = Y P x(t) l lut iãu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iãu khin cho hằ (2.1) nu tỗn ti mt ma tr“n Łi xøng x¡c ành d÷ìng P R n n , mºt ma tr“n mn Y 2R v c¡c sŁ d÷ìng 1; 2; ; v q > cho bĐt flng thức ma trn song tuyn tnh dữợi Ơy ữổc thọa mÂn D T W T T T T T P Ha Y Hb P L P Q1 Y Q3 11 I + H d Hd T I + Hw Hw 6 0 0 0 1I 0 0 0 7 7 < 0; 6 I I 0 0 7 7 6 Q1 6 6 7 7 7 Q3 P PQ2 P Q T 6 (2.5a) < 0: (2.5b) 7 I Hìn nœa, gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (2.1) x¡c ành bði J = max(P 11 = )k k ; â T AP P A + BY + Y L = diagfl1; l2; : : : ; lng; T T T T T B + qP + 1EaE + 2EbE + EdE + EwE = diagfk1; k2; : : : ; kng: a b d T ; w Chøng minh V… P l mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng n¶n ma tr“n P 22 cơng l mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng X†t h m Lyapunov dữợi T Ơy V (t; x(t)) = x (t)P x(t): D„ d ng ki”m tra ÷ỉc r‹ng min(P )kx(t)k V (t; x(t)) max(P )kx(t)k : Do õ iãu kiằn (i) nh lỵ 1.8 ữổc thọa mÂn Sò dửng B ã 1.3, ta t nh ữổc o h m phƠn thứ Caputo cĐp ca h m V (x(t)) dåc theo quÿ ⁄o nghi»m cıa h» (2.4) nh÷ sau: Dt V (t; x(t)) T 2x (t)P Dt x(t) T = x (t) P 1A 2x T T 1 A P +P T T BK + K B P T (t)P x(t) (2.6) (t)P EaFa(t)Hax(t) + 2x EbFb(t)HbKx(t) T + 2x (t)P Df(x(t)) + 2x (t)P EdFd(t)Hdf(x(t)) T T T + 2x (t)P W g(x(t )) + 2x (t)P EwFw(t)Hwg(x(t )): Tł (2.2), ta câ T T T f (x(t))f(x(t)) + x (t)L Lx(t); T T ))g(x(t 0g (x(t )) + x (t ) T x(t ): (2.7) Sò dửng B ã 1.1, ta thu ữổc cĂc ữợc lữổng sau Ơy T 2x (t)P EaFa(t)Hax(t) T 1x T (t)P EaEa P T x(t) + 1 T T x (t)Ha Hax(t); (2.8) 2x (t)P EbFb(t)HbKx(t) T 2x (t)P T T 1 T EbEb P x(t) + T T x (t)K Hb HbKx(t); (2.9) 2x (t)P EdFd(t)Hdf(x(t)) T x (t)P T T T EdEd P x(t) + f (x(t))Hd Hdf(x(t)); v 2xT (t)P 1EwFw(t)Hwg(x(t )) (2.10) 23 T x (t)P T EwEw T T (2.11) P x(t) + g (x(t ))Hw Hwg(x(t )): Thay (2.7) (2.11) v o (2.6), ta thu ÷ỉc ¡nh gi¡ sau T Dt V (t; x(t)) T T (t) (t) + x (t )[Q2 + T T (2.12) ]x(t ) T [x (t)(Q1 + K Q3K)x(t) + x (t )Q2x(t )]; ð â h (t) = = T T iT T x (t) f (x(t)) g (x(t )) ; 11 1 P DP W 22 7; 33 7 â 11 = T P A 1 T T 1 T A P + P BK + K B P + 1P EaEa P T T 1 T T T p dưng BŒ • 1.2, ta cõ iãu kiằn (2.5b) tữỡng ữỡng vợi 1 T + Ha Ha + 2P EbEb P + K Hb HbK + L L + P EdEd P T 1 T + P EwEw P + Q1 + K Q3K; 22 = T T I + Hd Hd; 33 = I + Hw Hw: P(Q2+ T iãu kiằn (2.13) )P 0; ta )Q2x(t ÷ỉc Dt V (t; x(t)) < 0; 8t 0: (2.17) V“y i•u ki»n (ii) nh lỵ 1.8 cụng ữổc thọa mÂn Vy, h» âng t÷ìng øng Œn ành ti»m c“n Ti‚p theo, ta t…m gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (2.1) Tł i•u ki»n (2.5a) v (2.16), ta thu ÷ỉc Dt V (t; x(t)) T T T [x (t)(Q1 + K Q3K)x(t) + x (t )Q2x(t )]; 8t [0; Tf ]: (2.18) Tch phƠn phƠn thứ cĐp cıa (2.18) tł tỵi Tf v V (Tf ; x(Tf )) sò dửng nh lỵ 1.5, ta cõ J(u): V (0; x(0)) Suy J(u)V (0; x(0)) T v… V (Tf ; x(Tf )) = x (Tf )P x(Tf ) max(P 0: )k k := J nh lỵ ữổc chứng minh ho n to n Nhn xt 2.2 Chú ỵ rng cĂc iãu kiằn (2.5a) v (2.5b) nh lỵ 2.1 chứa cĂc bin qP v P nản cĂc iãu kiằn n y l cĂc bĐt flng thøc ma tr“n song tuy‚n t ‰nh (BMIs) vỵi c¡c bi‚n q, v P M°c dị i•u ki»n BMIs khõ tnh toĂn hỡn iãu kiằn bĐt flng thức ma tr“n tuy‚n t‰nh (LMIs), song i•u ki»n BMIs l mºt cỉng cư hœu hi»u ” gi£i c¡c b i toĂn iãu khin khổng th ữa vã LMIs CĂc iãu kiằn (2.5a) v (2.5b) nh lỵ 2.1 nh lỵ 2.1 cõ th ữa vã iãu kiằn LMIs ta cŁ ành sŁ q > v > Do õ ta cõ th sò dửng phữỡng phĂp tm kim hai chiãu vợi thut toĂn ti ữu lỗi nhữ hºp cỉng cư LMI Control Toolbox [9] ” gi£i c¡c i•u ki»n (2.5a) v (2.5b) Tł â, ta câ c¡c bữợc sau giÊi iãu kiằn BMIs: Bữợc Cho trữợc cĂc s q > v > 0, BMIs (2.5a), (2.5b) trð th nh LMIs Step Gi£i LMIs (2.5a), (2.5b) b‹ng hºp cỉng cư LMI Control Toolbox [9] ta thu ÷ỉc c¡c sŁ 1; 2, v c¡c ma tr“n P; Y Ti‚p theo, chóng tỉi x†t mºt tr÷íng hỉp °c bi»t cıa h» (2.1) Khi A(t) 0; D(t) 0; W (t) 0; B(t) 0, th… h» (2.1) quy vã hằ nỡ ron thn kinh 26 phƠn thứ câ tr„ sau ¥y Dt x(t) = Ax(t) + Df(x(t)) + W g(x(t )) + Bu(t); t 0; > x(t) = (t); t < > (2.19) [ ;0]; : T nh lỵ 2.1, ta cõ hằ quÊ sau ¥y H» qu£ 2.1 X†t h» (2.19) vỵi h m chi ph (2.3) Cho trữợc cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng Q1; Q2; Q3, iãu khin u(t) = Y P x(t) l lut iãu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iãu khin cho hằ (2.19) nu tỗn t⁄i mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng P R nn , mºt ma tr“n Y R mn v c¡c sŁ > 0; q > thäa mÂn cĂc bĐt flng thức ma trn song tuyn tnh dữợi Ơy 11 D W PL I T I T PQ1 Y Q3 0 0 7 < 0; 7 Q3 (2.20a) 6 I Q 7 6 P PQ2 PT Q2 6 7< 0:I; (2.20b) 7 I Ngo i ra, gi¡ trà £m chi ph‰ i•u khi”n cho h» (2.19) x¡c ành bði J = max(P )k k ; â 11 = AP T P A + BY + Y T T B + qP; L = diagfl1; l2; : : : ; lng; = diagfk1; k2; : : : ; kng: 27 2.3 Mºt v‰ dö sŁ minh håa X†t h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø Caputo khỉng ch›c ch›n câ tr„ sau ¥y D x(t) = [A + A(t)] x(t) + [D + D (t)] f(x(t)) > > > t > > > + [W + W (t)] g(x(t > > < > x(t) = (t); > t > > > > > > â (2.21) [ 2; 0]; 2; (0; 1), x(t) : 2)) + [B + B(t)] u(t); t 0; u(t) v 2R c¡c tham sŁ sau ¥y 2R A = ; Ea = ; Ha = h 0:02 0:03 0; 07 5 D = 20; ; Ed = ; Hd 0; 0; 01 ; Fa(t) = sin t; 0; 05 W = 0; 3 ; Ew = 0;3 0;8 0; 03 i = 0; 01 0:07 ; Fd(t) = cos t; h i 3; Hw = 0; 03 0; 02 5 34 0; 01 ; H =h0; ; F (t) = cos t: B= b b ; Eb = 45 i 0; 08 0; C¡c h m k‰ch ho⁄t cıa h» (2.21) ; Fw(t) = sin t; 0; 04 0; 05 h i ÷ỉc cho bði fi(xi(t)) = xi(t); (i = 1; 2); gi(xi(t 2)) = 0; (jxi(t 2) + 1j j xi(t 2) 1j) ; (i = 1; 2): D„ th§y cĂc h m kch hot thọa mÂn iãu kiằn (2.2) vỵi L = diagf1; 1g v = diag 1; Ta x†t h m chi ph‰ (2.3) vỵi Q1 = ; Q2 = 5 f g 4 1; h i 0 v Q3 = 0; B¥y gií, ta gi£i b i to¡n £m b£o chi ph iãu khin cho hằ (2.21) vợi h m chi ph (2.3) vợi Q1; Q2; Q3 ữổc cho nhữ trản Cho trữợc = 2; q = 1; 01 Sò dửng Nhn xt 2.2, ta thĐy cĂc iãu kiằn (2.5a) v (2.5b) nh lỵ 2.1 ữổc thọa mÂn vỵi = 6; 4268; = 1; 5422 v P = 0; 0561 3; 0177 1; 5077 : 3; Y = 0; 0625 0; 0625 0; 2704 h i 28 Theo nh lỵ 2.1, hằ õng tữỡng ứng ca hằ (2.21) n nh tiằm cn vợi iãu khin ngữổc xĂc nh bi h u(t) = Ngo i ra, gi¡ trà i 80; 9033 24; 2870 x(t); t £m b£o chi ph‰ 0: i•u khi”n cho h» (2.21) cho bði J = 25:5356k k : 29 Kt lun Lun vôn  t ữổc nhng kt quÊ sau: Tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m cì bÊn vã giÊi tch phƠn thứ bao gỗm t ch phƠn Riemann-Liouville, o h m phƠn thứ Caputo, hằ phữỡng tr… nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo; Tr…nh b y b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi bc nguy¶n; Tr…nh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø khỉng ch›c ch›n câ tr„ h‹ng sŁ; ÷a 01 v‰ dư sŁ minh hồa cho kt quÊ lỵ thuyt 30 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Vi»t [1] Ho ng Th‚ Tu§n, Vã mt s vĐn ã nh tnh ca hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ, Lun Ăn tin sắ ToĂn håc, Vi»n To¡n håc, 2017 [2] Bịi Thà Thóy, Dao ºng phi tuy‚n y‚u cıa h» c§p ba câ ⁄o h m cĐp phƠn s, Lun Ăn tin sắ Cỡ håc, Håc vi»n Khoa håc v Cæng ngh», 2017 Ti‚ng Anh [3] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), Fractional-order Hopfield neural networks , In International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer [4] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] S.S.L Chang and T.K Peng (1972), Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters , IEEE Trans Aut Contr., 17, pp 474 483 [6] L.O Chua and L Yang (1998), Cellular neural networks: Theory , IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1257 1272 [7] L.O Chua and L Yang (1998), Cellular neural networks: Applications , IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1273 1290 [8] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R CastroLinares (2015), Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya- 31 punov uniform stability for fractional order systems , Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650 659 [9] P Gahinet, A Nemirovskii, A.J Laub and M Chilali (1995), LMI Control Toolbox for Use with MATLAB, The MathWorks, Natick, MA [10] H He, L Yan and J Tu (2012), Guaranteed cost stabilization of timevarying delay cellular neural networks via Riccati inequality approach , Neural Process Lett., 35, pp 151 158 [11] H He, L Yan and J Tu (2013), Guaranteed cost stabilization of cellular neural networks with time-varying delay , Asian J Control, 15(4), pp 1224 1227 [12] P He and Y Li (2016), Optimal guaranteed cost synchronization of cou-pled neural networks with Markovian jump and mode-dependent mixed time-delay , Optim Control Appl Methods, 37(5), pp 922 947 [13] S Liu, R Yang, X.F Zhou, W Jiang, X Li and X.W Zhao (2019), Stability analysis of fractional delayed equations and its applications on consensus of multi-agent systems , Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 73, pp 351 362 (2019) [14] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [15] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [16] J.H Park and K Choi (2005), Guaranteed cost control of uncertain non-linear neutral systems via memory state feedback , Chaos Solit Fractals., 24, pp 183 190 [17] I.R Petersen and D.C Macfarlane (1994), Optimal guaranteed cost con-trol and filtering uncertain linear systems, IEEE Trans Aut Contr., 39, pp 1971 1977 32 [18] Z Shuo, Y.Q Chen and Y Yu (2017), A Survey of Fractional-Order Neural Network , ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [19] E.D Sontag (1998), Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems, Springer [20] M.V Thuan and D.C Huong (2019), Robust guaranteed cost control for time-delay fractional-order neural networks systems , Optimal Control Applications and Methods, 40(4), pp 613 625 [21] L Yu and J Chu (1999), An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems , Automatica, 35, pp 1155 1159 [22] J Zabczyk (1992), Mathematical Control Theory: An Introduction, Boston, Birkhauser ... to¡n £m b£o chi ph iãu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr Chữỡng n y trnh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n £m bÊo chi ph iãu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr Ni... ph‰ i•u khi”n cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thø câ tr„ Lu“n v«n t“p trung tr…nh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph iãu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr dỹa... chi ph‰ i•u khi”n cho mºt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr 19 2.1 Ph¡t bi”u b i to¡n 19 2.2 Mºt ti¶u chu'n cho b i toĂn Êm bÊo chi ph iãu khin cho mt lợp h» nì ron