TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN L Ê T H Ị TH Ủ Y T IÊN BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA VỮNG CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN L Ê T H Ị TH Ủ Y T IÊ N BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA VỮNG CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng d ẫn k h o a học ThS. N guyễn T ru n g D ũng LỜI CẢM ƠN Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn T ru n g D ũng đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn sinh viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích. Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "B ài to án ổn đ ịn h vững và ổn đ ịn h hóa vững cho hệ điều k h iển với tr ễ ” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của ThS. N guyễn T ru n g D ũng. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê T hị T hủy Tiên Mục lục M ở đ ầu C hương 1. M ột số kiến th ứ c cơ sở 1.1. Hệ điều khiển có trễ 1.1.1. H ệ p hư ơ ng trình vi p h ân h àm 1.1.2. K hái niệm ổn định 1.2 . Bài toán ổn địn h vững hệ điều khiển với trễ thời gian 1.3. H àm Lyapunov 1.4. M ột số b ấ t đ ẳn g th ứ c C hương 2. Tiêu ch u ẩn ổn định vững và ổn địn h hóa vững độc lập vói trễ thòi gian 2 .1. Tiêu ch u ẩn ổn đ ịn h vững độc lập với trễ thời gian 2.2. Tiêu ch u ẩn ổn đ ịn h hóa vững độc lập vói trễ thời gian 8 8 11 2 .2 . 1. T iêu chuẩn ổn định h ó a vữn g sử d ụ n g bộ điều k hiển k h ô n g nhớ 11 2.2.2. T iêu chuẩn ổn định h ó a vững sử dụn g bộ điều k hiển có nhớ 14 C hương 3. Tiêu ch u ẩn ổn đ in h vững và ổn đ in h hóa vững p h ụ thuộc trễ thòi gian 19 3.1. Tiêu chuẩn ổn địn h vững p h ụ thuộc tr ễ thời gian 19 3.2. Tiêu chuẩn ổn địn h hóa vững p h ụ thuộc tr ễ thời gian 24 3 .2 . 1. T iêu chuẩn ổn định h ó a vững sử dụn g bộ điều k hiển k h ô n g nhớ 24 3 .2 .2 . T iêu chuẩn ổn định h ó a vững sử d ụ n g bộ điều khiển có nhớ 26 K ết luận 33 Tài liệu th am khảo 34 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta biết rằng độ trễ thời gian thường xuất hiện trong các hệ thống động lực như hệ thống sinh học, hệ thống hóa học và mạng lưới điện. Ngoài ra độ trễ thời gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ động lực. Bài toán ổn định của hệ có trễ đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ XX. Đầu tiên các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán ổn định cho các hệ có trễ hằng, nghiên cứu các tiêu chuẩn của sự ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, ổn định vững... của nghiệm tầm thường trong các phương trình vi phân hàm. Trong đó ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian là một bài toán quan trọng góp phần phát triển lý thuyết về sự ổn định. Do đó tôi chọn đề tài: "B ài to án ổn đ ịn h vững và ổn đ in h hóa vững cho hệ điều khiển vối trễ " làm đề tài nghiên cứu cho mình để tìm hiểu các tiêu chuẩn ổn định vững cho hệ trễ thời gian, ứng dụng các hệ này trong thực tiễn. 2. M ục đích nghiên cứu • Hiểu rõ thế nào là bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian. • Bước đầu tìm hiểu về một số tiêu chuẩn của sự ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian. 3. Đối tư ợng và p h ạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về sự ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian. 4. P hư ơ ng p h áp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 1 Chương 1 Môt số kiến thức cơ sỏ Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng minh các kết quả ở chương sau. 1.1. Hệ điều khỉển có trễ Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. VI vậy khi mô tả các quá trình này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn gọi là hệ phương trình vi phân hàm. 1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm Giả sử h ^ 0. Kí hiệu = c ( [ —/z,0],M") là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [—/z, 0] với giá trị trong và chuẩn của (Ị) £ ^ được cho bởi ||ự>|| = s u p _ h 0 . Bổ đề 1.4.3. Cho Y là ma trận xác định dương, H, E là cấc ma trận cho trước với số chiều phù hợp và ma trận F thỏa mãn F J F < I. Ta có ( i) H F E + E TF TH T < £ H H T + £ - ]E t E, với mọi £ > 0. (ii) Y + H F E + E T F T H T ^ 0 nêu và chi nêu tôn tũi £0 SŨO cho Y -\- £ H H ^ -\- £ - ' e j e < 0. Bổ đề 1.4.4. Cho A, D, A, E là các ma trận thực với số chiều phù hợp và 11A| I < 1. Ta cỏ (ỉ) Với mọi £ > 0 và ma trận p > 0 thỏa mãn e l — Е Р Е г > 0 ta cỏ {.A + DAE)P(A + D A E )J < APA + A P E T (e ĩ - E P E T ) - ' EPAJ + e D D T . (ii) Với mọi £ > 0 và ma trận p > 0 thỏa mãn p (A + D A E )T eD D J > 0 ta có 1(Л + D A E ) < AT (p - eD D T ) ~ xA + e ~ xE J E. 1 Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gỉan 2.1. Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu sự ổn định của hệ (1.2.1) khi u(t) = 0. Ta giới thiệu các định nghĩa sau đây. Đ inh nghĩa 2.1.1. Hệ (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là Ổn định bậc hai nếu tồn tại các ĨÌĨCl tỉ civt đo / JCÌẨĨĨ^Ị JCữCđinh (ỉLỉ’(ỉn^ p # ( 0, Qi > 0, 1 < j < m, sao cho p (Aị + A A \ (ỉ)) (Ai + AA| ( t) ) r p Q\ ••• P ( A m+ AAm(t))\ 0 = 0 (0 < 0 \(^OT + AAw(í)) p Qr (2. 1.1) đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó # = (A + AA (t) ) 1 p + p (A + AA (t)) + E Ĩ L iố y Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa ổn định vững và ổn định bậc hai vững của hệ (Ị1.2.1Ị). Đ ịnh lý 2.1.1. Nếu hệ ị] .2.1) ổn định bậc hai thì hệ Ổn định vững. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau m v(xt) = JCT (t)Px(t) + rt XT / j —1 trong đó xt G (s)Qjx(s)ds j c [—T, 0] được xác định bởi x,(s) = x ( t + s), —T < s < 0. Đ ể chứng minh Định lý 2.1.1 ta cần chỉ ra v (* ,) < 0 đúng với mọi tham số chấp nhận được. Hiển nhiên Ỷ (x t) = 2XTP x { t ) + x J (t) ^ — ^ X Qj"j x(t) (t — Tý) Q j X (t — Tj) 7=1 = *T (0 Ị ^ T ( t ) p + m )+ Ễ GM O ) + 2 £ * T {t )AJ (t)Px (x - Tj) j= 1 * T (/ - Tj) QjX (t - Tj) 7=1 = f?/TÔ (í)ty , t r o n g đ ó Ĩ ] J — ( x T ( í ) , x T (t — T ị ) , . . . ,XT (t — Tm) ) , đ iề u n à y k é o t h e o v ( x t ) x á c định âm vì 0 ( í) < 0. Định lý được chứng minh. □ Định lý 2.1.1 cho thấy điều kiện đủ để hệ tham số ổn định vững là hệ phải ổn định bậc hai. Tuy nhiên 0 ( í) có chứa các phần tử chưa biết A(r), Aj(t), j = 1 ,... ,m và do đó, sẽ không thuận tiện để kiểm tra tính ổn định bậc hai của hệ. Định lý sau đây được phát triển từ Định lý 2.1.1 được dùng để kiểm tra sự ổn định bậc hai của hệ Ị T Ĩ Ã ị . Đ ịnh lý 2.1.2. Hệ (Ị/.2./Ị) với u(t) = 0 Ổn định bậc hai nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương p > 0, Qj > 0, 1 < j < m và hằng số dương £ > 0 sao cho ( Ã 'P + PA + i y ^ Q ị + eE ỊE A ẴTP PÃ Qe 0 DTP 9 p£>\ 0 -£ l) 0, 1 < j < m sao cho 12 (.Ã + DA(t)ẼA) p + P (Ã + DA{t)ẼA) PẢ(t ) m = ©(/) < о + L Qj 7-1 -ô ) ÃT (f)/> đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó Ả = A + BK ẼA — E a + EßK A( t ) — (Ẩị + D ị A \ ( t ) E ị , - ■• , A m + D mA m(t ) Em) Q = d ia g ị Q ị, • • • ,Q m). Lập luận tương tự Định lý 2.1.2 ta có thể kết luận rằng 0 ( í) < 0 nếu tồn tại hằng số dương £ sao cho ÍẼ JẼ A \ E jE , > 0, U j 0, 0 < j < m, các số dương £j > 0, 0 < j < m và p > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây đúng với mọi j = 1, • • • , m ( r, ơ) = r* ?22 9 12 V E U EjX AiX V -p ỉ XA T (3.2.3) ) XE]\ Aj(/)PA;(0 (3.2.9) đúng với mọi tham số chấp nhận được. Đặt X = p ~ 1. Nhân cả hai vế (3.2.8) với X, ta được m m m m £ A j( t) X + £ X A ] (í) + £ £ r, v o , v 7-0 ;'=0 í'= 17=0 m m + ỵ , ỵ / TiAi( t ) x x - ' x A j ị t ) < 0 /= 17=0 điều này dẫn tới 28 #0 Д,(/)Х XAĨ(‘) - ( ^ X (0 A m(t)X \ О [...]... theo Định lý 2.2.1 ta có hệ ị l 2 /Ị) Ổn định hóa vững với bộ điều khiển u(t) — Kx(t) với K = Y X ~ 1 = (-1 4 8 9 6 8 2.2.2 -3 3 2 9 7 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ Định lý 2.2.1 cung cấp một thuật toán sử dụng để tìm bộ điều khiển không nhớ ổn định hóa vững hệ (jl.2 l|) Rõ ràng, nếu tác động trễ được đưa vào ở giai đoạn thiết kế thì bộ điều khiển sẽ cho hiệu suất tốt hơn... tra sự Ổn định vững của lớp hệ mà ta đang nghiên cứu Trong thực tế, một hệ có thê không ổn định, vì vậy vấn đề đặt ra là ta phải ổn định hệ trước khỉ sử dụng nó Mục tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề Ổn định hỏa 2.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập vối trễ thời gian 2.2.1 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ Định lý 2.1.2 cung cấp một điều kiện đủ để hệ (|l.2 l|) là ổn định vững. .. 6.18267] 1 = 147.8947 £ = 795.596 Do đỏ, sử dụng Định lý 3 ì 1 ta có hệ Ổn định với mọi T G [0,1.45] 3.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian 3.2.1 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ Trong mục này, ta xét việc thiết kế một bộ điều khiển không nhớ có dạng u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng là ổn định tiệm cận Thay u(t) = Kx(t) vào hệ (1.2.1) ta có x(t) = Ã (t)x(t) + Z % ịA... 2 1 0 6 4 7 2 ) Chương 3 Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững phụ thuộc trê thời gỉan 3.1 Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian Trong mục này, ta xét điều kiện ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian Định lý sau đây cung cấp một điều kiện đủ để hệ (Ị1.2.1 Ị) ổn định tiệm cận Trong phần tiếp theo của mục này, ta ký hiệu A (t), A tương ứng làẨ o(r) và A() Đ ịnh lý 3.1.1 Nêu tôn tciỉ CCIC... 0.9322 Theo Định lý 3.2.1 hệ ị 1.2.1) Ổn định vững với bộ điều khiển u(t) — Kx(t), K = Y X ~ l = ^ —20.5316 3.2.2 —2.9853^ và mọi tham số chấp nhận được Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu về sự ổn định hóa vững của hệ (|l.2 l|) sử dụng bộ điều khiển có dạng m u(t) = Kx(t) + Kjx(t — Tj), j= 1 (3.2.2) trong đó K, K j , 1 < j < m là các ma trận hằng với số... T (ii) Với mọi £ > 0 và ma trận p > 0 thỏa mãn p (A + D A E )T eD D J > 0 ta có 1(Л + D A E ) < AT (p - eD D T ) ~ xA + e ~ xE J E 1 Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gỉan 2.1 Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu sự ổn định của hệ (1.2.1) khi u(t) = 0 Ta giới thiệu các định nghĩa sau đây Đ inh nghĩa 2.1.1 Hệ (1.2.1)-(1.2.3)... ( x t ) x á c định âm vì 0 ( í) < 0 Định lý được chứng minh □ Định lý 2.1.1 cho thấy điều kiện đủ để hệ tham số ổn định vững là hệ phải ổn định bậc hai Tuy nhiên 0 ( í) có chứa các phần tử chưa biết A(r), Aj(t), j = 1 , ,m và do đó, sẽ không thuận tiện để kiểm tra tính ổn định bậc hai của hệ Định lý sau đây được phát triển từ Định lý 2.1.1 được dùng để kiểm tra sự ổn định bậc hai của hệ Ị T Ĩ Ã ị ... thì với bộ điều khiển (2.2.5) trong đó к — УХ , Kl — YjX ị < i < m hệ ( 1.2.1 1 Ổn định hóa vững Chứng minh Áp dụng bộ điều khiển (2.2.5) vào hệ ( 1.2.1 ) ta có hệ đóng là i( f ) = [л + D A ( t ) E A] x(t) + Y , [A j + D ^ ) E j\ х (? - т7')’ j= 1 trong đó Ã =А BK,, Ă j — A i -f+ £>Л/, BKj, tLj Ẽj = Ej -f+ EßKj, 11 b < ij b 0 và các ma trận Y, X, Uj, 1 < j < m với X, Uj là các ma trận đối xứng và xấc định dương sao cho bất ... rõ toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian • Bước đầu tìm hiểu số tiêu chuẩn ổn định vững ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian Đối tư ợng p h ạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ổn. .. ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN L Ê T H Ị TH Ủ Y T IÊ N BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA VỮNG CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng... ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian • Chương Chương đưa tiêu chuẩn ổn định vững ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Bài toán