Bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ điều khiển với trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN LÊ THỊ THỦY TIÊN BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Hà Nội - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN LÊ THỊ THỦY TIÊN BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học ThS. Nguyễn Trung Dũng Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Trung Dũng đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn sinh viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích. Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê Thị Thủy Tiên LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ điều khiển với trễ" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của ThS. Nguyễn Trung Dũng. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê Thị Thủy Tiên Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1.2. Bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 2. Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1. Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . . 11 2.2.1. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ . . . . . . . 2.2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ . . . . . . . . . . 11 14 Chương 3. Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1. Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . . 24 3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ . . . . . . . 3.2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ . . . . . . . . . . 24 26 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta biết rằng độ trễ thời gian thường xuất hiện trong các hệ thống động lực như hệ thống sinh học, hệ thống hóa học và mạng lưới điện. Ngoài ra độ trễ thời gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ động lực. Bài toán ổn định của hệ có trễ đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ XX. Đầu tiên các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán ổn định cho các hệ có trễ hằng, nghiên cứu các tiêu chuẩn của sự ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, ổn định vững... của nghiệm tầm thường trong các phương trình vi phân hàm. Trong đó ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian là một bài toán quan trọng góp phần phát triển lý thuyết về sự ổn định. Do đó tôi chọn đề tài: "Bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ điều khiển với trễ" làm đề tài nghiên cứu cho mình để tìm hiểu các tiêu chuẩn ổn định vững cho hệ trễ thời gian, ứng dụng các hệ này trong thực tiễn. 2. Mục đích nghiên cứu • Hiểu rõ thế nào là bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian. • Bước đầu tìm hiểu về một số tiêu chuẩn của sự ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về sự ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 1 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng minh các kết quả ở chương sau. 1.1. Hệ điều khiển có trễ Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy khi mô tả các quá trình này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn gọi là hệ phương trình vi phân hàm. 1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm Giả sử h 0. Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của φ ∈ C được cho bởi φ = sup−h≤θ ≤0 φ (θ ) . Với t0 ∈ R, A 0 và x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), hàm xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ), t ∈ [t0 ,t0 + A], được xác định bởi xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Cho D ⊂ Rn × C là tập mở và hàm F : D → Rn . Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân có 2 trễ) là phương trình dạng x(t) ˙ = F(t, xt ). (1.1) Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên [t0 − h,t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R, A > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa mãn (1.1) với mọi t ∈ [t0 ,t0 + A]. Với t0 ∈ R, φ ∈ C , ta nói x(t0 , φ ) là nghiệm của phương trình (1.1) với giá trị ban đầu φ tại thời điểm ban đầu t0 (nghiệm đi qua điểm (t0 ,φ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(t0 , φ ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên [t0 − h,t0 + A] và xt0 (t0 ,φ ) = φ . Khi t0 đã rõ, ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 , φ )(t). Ví dụ 1.1.1. Hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên    dx1 = −x1 (t)(1 + x22 (t − τ2 (t))) + 2x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) dt dx   2 = −3x1 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − x2 (t)(2 + sin x1 (t − τ1 (t))), dt trong đó 0 1.1.2. τi (t) τi = constant, i = 1, 2. Khái niệm ổn định Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t0 , φ ) ∈ hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , φ ) và xác định trên [t0 , ∞). Ta cũng giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.1) có nghiệm tầm thường hay nghiệm không. Khi đó ta có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.1). R+ × C Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0,t0 0, tồn tại δ = δ (t0 , ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1), nếu φ < δ thì x(t, φ ) < ε, ∀t t0 . Nếu δ không phụ thuộc t0 thì nghiệm x ≡ 0 gọi là ổn định đều. Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với mỗi t0 0, tồn tại δ0 = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1), nếu φ < δ0 thì lim x(t, φ ) = 0. t→+∞ 3 1.2. Bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian Xét hệ điều khiển có tham số với trễ thời gian  x(t) ˙ = A(t)x(t) + ∑mj=1 A j (t)x(t − τ j ) + B(t)u(t) x(t) = φ (t), ∀t ∈ [−τ, 0], (1.2.1) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rk là vectơ điều khiển, τ j , 1 j m là trễ thời gian, τ = max{τ1 , . . . , τm }, φ (.) là điều kiện ban đầu, A(t) = A + ∆A(t) ∈ Rn×n , A j (t) = A j + ∆A j (t) ∈ Rn×n , j = 1, . . . , m, B(t) = B + ∆B(t) ∈ Rn×k với A, A j , j = 1, . . . , m và B là các ma trận hằng số thực với số chiều phù hợp mô tả hệ chuẩn tắc của (1.2.1), ∆A(t), ∆A j (t), j = 1, . . . , m, ∆B(t) là các hàm ma trận thực chưa biết với chuẩn bị chặn mô tả các tham số không chắc chắn. Giả sử các tham số không chắc chắn thỏa mãn   ∆A(t) ∆B(t) = D∆(t) EA EB  ∆A (t) . . . ∆A (t) = D ∆ (t)E m 1 1 1 1 (1.2.2) . . . Dm ∆m (t)Em trong đó ∆(t), ∆i (t), i = 1, . . . , m là các ma trận thực chưa biết thỏa mãn  ∆ (t)∆(t) ≤ I ∆ (t)∆ j (t) ≤ I, ∀t ≥ 0, 1 ≤ j ≤ m, j (1.2.3) và D, D j , EA , EB , E j , 1 ≤ j ≤ m là các ma trận hằng số đã biết. Dưới đây chúng ta trình bày một số khái niệm về ổn định vững và ổn định hóa vững của hệ (1.2.1)-(1.2.3). Định nghĩa 1.2.1. Hệ trễ thời gian với tham số chưa biết (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là ổn định vững nếu nghiệm không x(t) = 0 của (1.2.1) với u(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận với mọi tham số ∆A(t), ∆A j (t), 1 ≤ j ≤ m. 4 Định nghĩa 1.2.2. Hệ trễ thời gian với tham số chưa biết (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là ổn định hóa vững nếu tồn tại hàm điều khiển u(t) sao cho hệ đóng là ổn định vững theo Định nghĩa 1.2.1. 1.3. Hàm Lyapunov Định nghĩa 1.3.1. [Lớp hàm K ] Cho hàm φ ∈ [R+ , R+ ], R+ := [0; +∞) hoặc φ ∈ C[[0, h], R+ ]. Khi đó, φ được gọi là W - hàm hoặc K - hàm nếu thỏa mãn các điều kiện sau (i) φ là hàm tăng. (ii) φ (0) = 0. Kí hiệu φ ∈ K . Định nghĩa 1.3.2. [Hàm Lyapunov] Cho V : R+ × C → R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t 0. Hàm V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau (i) Hàm V(t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a ∈ K : V (t, x) a(||x| |), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . (ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.2.1) 1 V˙ (t, xt (t0 , φ )) := lim sup [V (t + h), xt+h ((t0 , φ )) −V (t, xt (t0 , φ ))] h h→0+ 0, với mọi nghiệm x(t, φ ) của hệ (1.2.1). Định lý 1.3.1. [Định lý Lyapunov - Krasovskii] Giả sử rằng F: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C ) thành tập bị chặn trong Rn , và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm, ở đó u(s) và v(s) dương ∀s > 0 và u(0) = v(0) = 0. • Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V: R × C → R sao cho u( φ (0) ) V (t, φ ) v( φ c ) và V˙ (t, φ ) −w( φ (0) ) 5 thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định đều. • Nếu nghiệm không của (1.2.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận đều. • Nếu nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = ∞ thì nghiệm s→∞ không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều. Định lý 1.3.2. [Định lí Razumikhin] Giả sử f: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C ) thành tập bị chặn trong Rn ; và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục không giảm, u(s) và v(s) dương ∀s > 0, u(0) = v(0) = 0, và v tăng ngặt. • Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R+ × Rn → R sao cho (i) u( x ) V (t, x) v( x ), ∀x ∈ Rn ,t 0 (ii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khiV (t + θ , x(t + θ )) V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0] thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định đều. • Hơn nữa, nếu w(s) > 0, ∀s > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho (iii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khi V (t + θ , x(t + θ )) pV (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0] thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận đều. • Nếu giả thiết thêm lim u(s) = ∞ thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận s→∞ toàn cục đều. 1.4. Một số bất đẳng thức Bổ đề 1.4.1. Cho X,Y là các ma trận thực với số chiều phù hợp. Khi đó 1 X Y +Y X ≤ εX X + Y Y ε đúng với mọi ε > 0. Bổ đề 1.4.2. [Bổ đề Schur] Cho ma trận đối xứng M= X Y với X, Y là các ma trận đối xứng. Khi đó (i) M xác định không âm nếu và chỉ nếu 6 Y Z    Z ≥ 0 Y = L1 Z    X − L1 ZL1 ≥ 0 hoặc    X ≥ 0 Y = XL2    Z − L2 XL2 ≥ 0 đúng với L1 , L2 là các ma trận tùy ý có số chiều phù hợp. (ii) M xác định dương nếu và chỉ nếu  Z > 0 X −Y Z −1Y > 0 hoặc  X > 0 Z −Y X −1Y > 0. Bổ đề 1.4.3. Cho Y là ma trận xác định dương, H, E là các ma trận cho trước với số chiều phù hợp và ma trận F thỏa mãn F F < I. Ta có (i) HFE + E F H ≤ εHH + ε −1 E E, với mọi ε > 0. (ii) Y + HFE + E F H ≤ 0 nếu và chỉ nếu tồn tại ε > 0 sao cho Y + εHH + ε −1 E E < 0. Bổ đề 1.4.4. Cho A, D, ∆, E là các ma trận thực với số chiều phù hợp và ||∆|| ≤ 1. Ta có (i) Với mọi ε > 0 và ma trận P > 0 thỏa mãn εI − EPE > 0 ta có (A + D∆E)P(A + D∆E) ≤ APA + APE (εI − EPE )−1 EPA + εDD . (ii) Với mọi ε > 0 và ma trận P > 0 thỏa mãn P − εDD > 0 ta có (A + D∆E) P−1 (A + D∆E) ≤ A (P − εDD )−1 A + ε −1 E E. 7 Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian 2.1. Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu sự ổn định của hệ (1.2.1) khi u(t) ≡ 0. Ta giới thiệu các định nghĩa sau đây. Định nghĩa 2.1.1. Hệ (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là ổn định bậc hai nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương P > 0, Q j > 0, 1 ≤ j ≤ m, sao cho   # P (A1 + ∆A1 (t)) · · · P (Am + ∆Am (t))   −Q1 0  (A1 + ∆A1 (t)) P  ∆   = Θ(t) ˆ 0, Q j > 0, 1 ≤ j ≤ m và hằng số dương ε > 0 sao cho   A P + PA + ∑mj=1 Q j + εEA EA PA˜ PD˜   (2.1.2) A˜ P Q˜ E 0  0 sao cho 10       ˜ E˜ + E˜ ∆˜ (t)Dˆ , + Dˆ ∆(t)  PD   0 Dˆ =   ..  . 0   A P + PA + ∑mj=1 Q j PA1 · · · PAm   A1 P −Q1     . .   . . .   . Am P −Qm   PDD P + ∑m i=1 PDi Di P 0 · · · 0   0 0 · · · 0 1 +  .. .. . . ..   ε . .  . . 0 0 ··· 0   EA EA 0   +ε  E1 E1  < 0. 0 Em Em  Sử dụng Bổ đề Schur ta có điều này tương đương với (2.1.2). Định lý được chứng minh. Chú ý 2.1.1. Ta thấy (2.1.2) là tuyến tính với P, Q1 , . . . , Qm và ε do đó các công cụ như Matlab LMI, Scilab hoặc bất kỳ công cụ tương tự nào đều có thể sử dụng để kiểm tra sự ổn định vững của lớp hệ mà ta đang nghiên cứu. Trong thực tế, một hệ có thể không ổn định, vì vậy vấn đề đặt ra là ta phải ổn định hệ trước khi sử dụng nó. Mục tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề ổn định hóa. 2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian 2.2.1. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ Định lý 2.1.2 cung cấp một điều kiện đủ để hệ (1.2.1) là ổn định vững bậc hai, điều này có thể kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ Matlab LMI hoặc bất kỳ công cụ tương tự nào. Bây giờ, ta tìm hiểu về sự ổn định hóa vững bậc hai của hệ (1.2.1). Định nghĩa 2.2.1. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định hóa vững bậc hai nếu tồn tại một bộ điều khiển phản hồi trạng thái u(t) sao cho hệ đóng là ổn định bậc hai. 11 Trước tiên, ta xét bộ điều khiển phản hồi trạng thái không nhớ có dạng u(t) = Kx(t) Áp dụng bộ điều khiển này vào hệ (1.2.1), hệ đóng trở thành x(t) ˙ = [A + BK + D∆(t) (EA + EB K)] x(t) m (2.2.1) + ∑ [A j + D j (t)∆ j (t)E j (t)] x(t − τ j ). j=1 Định lý sau đây cho ta một phương pháp thiết kế bộ điều khiển không nhớ để ổn định hóa vững hệ (1.2.1). Định lý 2.2.1. Nếu tồn tại hằng số dương ε > 0 và các ma trận Y, X, U j , 1 ≤ j ≤ m với X, U j là các ma trận đối xứng và xác định dương sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau có nghiệm  M11   ∗      ∗    ∗ 0 A1 X −U1 ··· .. 0 0 EX Am X 0 XEA +Y EB 0 −Um 0 0 0 −εI 0 . ···  0  EX      0, Qi > 0, 1 ≤ j ≤ m sao cho 12  A¯ + D∆(t)E¯A P   + P A¯ + D∆(t)E¯ A   m   + ∑ Qj   j=1 A˜ (t)P        PA(t) ˜  ∆ ˜   = Θ(t) < 0     −Q¯ đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó A¯ = A + BK E¯A = EA + EB K ˜ = (A1 + D1 ∆1 (t)E1 , · · · , Am + Dm ∆m (t)Em ) A(t) Q¯ = diag{Q1 , · · · , Qm }. ˜ Lập luận tương tự Định lý 2.1.2 ta có thể kết luận rằng Θ(t) < 0 nếu tồn tại hằng số dương ε sao cho J1 A˜ P  E¯A E¯A  PA˜ 1 +  ε −Q¯   E1 E1 ..    0, các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Vi > 0 và các ma trận Yi , 1 ≤ i ≤ m sao cho bất đẳng thức ma trận sau đúng  M11 M  1  .  .  .   Mm β M1 −V1 .. . 0 β1 ··· .. Mm 0 . −Vm βm ···  β β1   ..   .  0 và các ma trận đối xứng, xác định dương P > 0, Qi > 0, 1 ≤ i ≤ m sao cho  #  ∗ Θd (t) =   .. . ∗ P A¯ 1 + D∆(t)E¯1 −Q1 ··· .. P A¯ m + D∆(t)E¯m     0, Vi > 0 và Yi thỏa mãn (2.2.7), và đặt K = Y X −1 , Ki = Yi X −1 , P = X −1 , Qi = PVi P thì ta có thể kết luận rằng P, Qi , 1 ≤ i ≤ m thỏa mãn (2.2.7) và do đó hệ đóng là ổn định bậc hai. Định lý được chứng minh. Ví dụ 2.2.2. Để minh họa kết quả của Định lý 2.2.2, ta xét hệ có dạng (1.2.1) với m = 1 và các tham số 17 A= 5 0 B= 1 0.1 1 −2 E1 = 0.1 0.2 ED = 0 A1 = −1 −1 D= 1 0.3 0 −1 EB = 0.3 1 . Với tập các tham số trên, giải (2.2.7) ta được X= 19.8571 −10.4726 Y = −220.9053 −10.4726 35.2969 V1 = −10.9895 60.7259 0.3028 0.3028 73.2009 Y1 = 16.1332 10.7613 ε = 108.3199. Theo Định lý 2.2.2 thì hệ (1.2.1) là ổn định dưới bộ điều khiển (2.2.5) với K và K1 cho bởi K = Y X −1 = −13.3831 K1 = Y1 X −1 = 1.1538 18 −4.2821 0.6472 . Chương 3 Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian 3.1. Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian Trong mục này, ta xét điều kiện ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian. Định lý sau đây cung cấp một điều kiện đủ để hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận. Trong phần tiếp theo của mục này, ta ký hiệu A(t), A tương ứng là A0 (t) và A0 . Định lý 3.1.1. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Qi j > 0, Pi j > 0, i = 1, · · · , m, j = 0, 1, · · · , m, và các hằng số dương εi , ηi , ρ j , 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ m sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đúng  M11 H  1   H2 H3 H1 −J1 0 0 H2 0 −J2 0 19  H3 0    0 đã được xác định. Biến đổi đơn giản m m W˙ (xt ,t) = ∑ ∑ τi x (t)Qi j x(t) − i=1 j=1 0 −τi x (t − τ j + θ )Qi j x(t − τ j + θ )dθ . Khi đó đạo hàm của V (xt ) theo thời gian t dọc theo quỹ đạo của hệ (3.1.3) là  V˙ (xt ,t) = x (t) P m m ∑ A j (t) j=0 + ∑ A j (t)  P x(t) + h(xt ,t) + W˙ (xt ,t) j=0 (3.1.5) trong đó m m h(xt ,t) = − ∑ ∑ 0 i=1 j=1 −τi 2x PAi (t)A j (t + θ )x(t − τ j + θ )dθ . 21 Sử dụng Bổ đề 1.4.1 và Bổ đề 1.4.4, ta có V˙ (xt ,t) ≤ x (t)Θ1 x(t) + h(xt ,t) + W˙ (xt ,t) trong đó m m m Θ1 = P ∑ A j + ∑ A j P + ∑ ηi PDi Di P + j=0 j=0 i=0 1 E Ei ηi i với mọi ηi > 0. Bây giờ sử dụng Bổ đề 1.4.1, ta có 0 − −τi 2x (t)PAi (t)A j (t + θ )x(t − τ j + θ )dθ ≤ τi x (t)PAi (t)Pi j Ai Px(t) 0 + −τi x (t − τ j + θ )A j (t + θ )Pi−1 j A j (t + θ )x(t − τ j + θ )dθ với mọi Pi j > 0. Đặt Wi = ∑mj=0 Pi j . Sử dụng (ii) của Bổ đề 1.4.4, ta có m ∑ τi Ai (t)Wi Ai (t) ≤ Θ2 i=1 trong đó m Θ2 = ∑ τi AiWi Ai + εi Di Di + AiWi Ei εi I − EiWi Ei −1 EiWi Ai i=1 với εi I − EiWi EiT > 0 với mọi εi > 0. Sử dụng (iii) của Bổ đề 1.4.4, ta có bất đẳng thức sau đây −1 −1 A j (t + θ )Pi−1 j A j (t + θ ) ≤ A j (Pi j − ρi j D j D j ) A j + ρi j E j E j , ∀t ≥ 0, trong đó ρi j > 0 thỏa mãn Pi j − ρi j D j D j > 0. Bây giờ chọn Qi j = A j (Pi j − ρi j D j D j )−1 A j + 1 E E j, ρi j j ta có m m 0 h(xt ,t) < x (t)PΘ2 Px(t) + ∑ ∑ i=1 j=1 −τi 22 x (t − τ j + θ )Qi j x(t − τ j + θ )dθ . Từ điều này, kết hợp với (3.1.4) và (3.1.5) ta được V˙ (xt ,t) ≤ x (t)Θ3 x(t), trong đó m m m Θ3 =P ∑ Ai + ∑ Ai P + ∑ ηi PD j Di + i=0 m i=0 i=0 m 1 E Ei ηi i m εI − EiWi Ei + ∑ ∑ τi Qi j + ∑ τi PAiWi Ei i=1 j=1 m −1 EiWi Ai P i=1 + ∑ τi P AiWi Ai + εi Di Di P. i=1 Đặt X = P−1 . Nhân vào bên trái và bên phải Θ3 với X ta được m m m m 1 XEi Ei X i=0 ηi XΘ3 X = ∑ Ai X + X ∑ Ai + ∑ ηi Di Di + ∑ i=0 i=0 m i=0 m + ∑ ∑ τi XA j Pi j − ρi j D j D j −1 A jX i=1 j=0 m m τi XE j E j X i=1 j=0 ρi j +∑ ∑ (3.1.6) m + ∑ τi AiWi Ei εi I − EiWi Ei −1 EiWi Ai i=1 m + ∑ τi AiWi Ai + εi Di Di . i=1 Sử dụng Bổ đề Schur, ta có XΘ3 X < 0 nếu và chỉ nếu (3.1.1) là đúng. Vì vậy, nếu tồn tại một tập các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Pi j > 0 và hằng số dương εi , ηi , ρi j với 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ m, thỏa mãn (3.1.1) thì XΘ3 X < 0, điều này có nghĩa là V˙ (xt ) < 0. Định lý được chứng minh. Xét ví dụ cụ thể sau về ứng dụng của định lý. Ví dụ 3.1.1. Xét hệ tuyến tính liên tục trễ thời gian với tham số được mô tả bởi 23 (1.2.1) với m = 1 và A= −5 0 0.2 −1 A1 = −0.6 0.4 0 0 D= 0.4 0 0 0.4 D1 = 0 0.2 0 0.3 EA = 0.4 0 0 0.4 EB = 0.2 0 . 0.1 0.1 Với dữ liệu như vậy ta thấy rằng bất đẳng thức (3.1.1) đúng với mọi τ ∈ [0, 1.45]. Trong trường hợp τ = 1.45, giải (3.1.1) ta được X= 363.2075 119.5673 119.5673 336.0476 P11 = 481.3088 289.5405 289.5405 477.5186 ρ10 = 7.0, ρ11 = 8.0 P01 = 2863.1770 823.6382 823.6382 1594.3764 η0 = 6.1826η1 = 147.8947 ε = 795.596. Do đó, sử dụng Định lý 3.1.1 ta có hệ ổn định với mọi τ ∈ [0, 1.45]. 3.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian 3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ Trong mục này, ta xét việc thiết kế một bộ điều khiển không nhớ có dạng u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng là ổn định tiệm cận. Thay u(t) = Kx(t) vào hệ (1.2.1) ta có  x(t) ¯ ˙ = A(t)x(t) + ∑mj=1 A j (t)x(t − τ j ) x(t) = φ (t), ∀t ∈ [−τ, ¯ 0], ¯ = A + BK + D∆(t)(EA + EB K). Sử dụng Định lý 3.1.1 ta có định lý trong đó A(t) sau đây. 24 Định lý 3.2.1. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X, Qi j , Pi j , i = 1, . . . , m, j = 0, . . . , m, ma trận Y và các số dương εi , η j , εi j , 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ m sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đúng  M˜ 11  H˜  1   H˜ 2 H˜ 3 H˜ 1 −J1 0 0 H2 0 −J2 0  H˜ 3 0    0, U j > 0, 0 ≤ j ≤ m, các số dương ε j > 0, 0 ≤ j ≤ m và ρ > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây đúng với mọi j = 1, · · · , m   Γ11 Γ12 ∑mj=0 XE j   T1 ( j) =  Γ12 −Γ22 Γ23  < 0 −ρI ∑mj=0 E j X Γ23   −U j XA j XE j   T2 ( j) =  A j X −X + εDD 0  0, Q j > 0, 0 ≤ j ≤ m sao cho m m m m ∑ PA j (t) + ∑ A j (t)P + ∑ ∑ τi Q j j=0 j=0 m m i=1 j=0 (3.2.8) −1 + ∑ ∑ τi PAi (t)P Ai (t)P < 0 i=1 j=0 và Q j > A j (t)PA j (t) đúng với mọi tham số chấp nhận được. Đặt X = P−1 . Nhân cả hai vế (3.2.8) với X, ta được m m m m ∑ A j (t)X + ∑ XA j (t) + ∑ ∑ τi XQ j X j=0 i=1 j=0 j=0 m m + ∑ ∑ τi Ai (t)XX −1 XAi (t) < 0 i=1 j=0 điều này dẫn tới 28 (3.2.9)  ··· #0 A1 (t)X XA (t) − 1 X  1 (m+1)τ1  .  .  . XAm (t) 0 .. . 0  Am (t)X  0   0 sao cho 29 (3.2.11)   #1 + ρDD A1 X ··· Am X   XA 1 − (m+1)τ 0   1 1   .. ..   .   . 0 1 XAm − (m+1)τ X 1  m  ∑ j=0 XE j   XE1  m 1  ∑ E j X, E1 X, · · · , Em X . +  ..  ρ   j=0 . XEm (3.2.12) Đặt U j = XQ j X. Kết hợp (3.2.12) và Bổ đề Schur ta có (3.2.3). Bây giờ sử dụng Bổ đề Schur ta có Q j − A j (t)PA j (t) > 0 đúng nếu và chỉ nếu −Q j A j (t) A j (t) −P−1 < 0. (3.2.13) Lưu ý rằng −Q j A j (t) A j (t) −P−1 −Q j Aj 0 + ∆(t) E j A j (t) −P−1 D = + Ej 0 ∆ (t) 0 0 D . Do đó, (3.2.9) tương đương với −Q j + ε1j E j E j Aj Aj −X + ε j DD 0. Nhân cả hai vế (3.2.14) với diag{X, I} và sử dụng Bổ đề Schur ta được (3.2.4). Nếu X,U j thỏa mãn (3.2.3) và (3.2.4), từ lập luận ở trên ta có Q j = X −1U j X −1 , P = X −1 thỏa mãn (3.2.8) và (3.2.9). Định lý được chứng minh. Bây giờ ta sẽ thiết kế bộ điều khiển có trễ dạng (3.2.2) để ổn định hóa hệ (1.2.1) Áp dụng bộ điều khiển (3.2.2) vào hệ (1.2.1) ta có hệ đóng x(t) ˙ = [A0 + BK + D∆(E0 + EB K)] x(t) m + ∑ [A j + BK j + D∆(E j + EB K j )] x(t − τ j ). j=1 30 (3.2.15) Từ Định lý 3.2.2, với các ma trận K j , 0 ≤ j ≤ m đã biết, nếu T¯ 1 < 0 (3.2.16) T¯ 2 < 0 (3.2.17) thì hệ đóng ổn định vững, trong đó T¯ 1 và T¯ 2 thu được từ T1 và T2 bằng cách lần lượt thay thế A j , E j , 0 ≤ j ≤ m bởi A j + BK j , E j + EB K j . Đặt Y j = K j X, 0 ≤ j ≤ m trong (3.2.16) và (3.2.17) ta có định lý sau. Định lý 3.2.3. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X, U j , 0 ≤ j ≤ m, Y j , 0 ≤ j ≤ m và các số dương ε, ε j , 0 ≤ j ≤ m và ρ sao cho   Γ˜ 11 Γ˜ 12 ∑mj=0 [XE j +Y j EB ]   Γ˜ 12 −Γ22 Γ˜ 23  [...]... −0.6419 Do đó, theo Định lý 2.2.1 ta có hệ (1.2.1) ổn định hóa vững với bộ điều khiển u(t) = Kx(t) với K = Y X −1 = −14.8968 2.2.2 −3.3297 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ Định lý 2.2.1 cung cấp một thuật toán sử dụng để tìm bộ điều khiển không nhớ ổn định hóa vững hệ (1.2.1) Rõ ràng, nếu tác động trễ được đưa vào ở giai đoạn thiết kế thì bộ điều khiển sẽ cho hiệu suất tốt hơn... Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ Định lý 2.1.2 cung cấp một điều kiện đủ để hệ (1.2.1) là ổn định vững bậc hai, điều này có thể kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ Matlab LMI hoặc bất kỳ công cụ tương tự nào Bây giờ, ta tìm hiểu về sự ổn định hóa vững bậc hai của hệ (1.2.1) Định nghĩa 2.2.1 Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định hóa vững bậc hai nếu tồn tại một bộ điều khiển phản... Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian 3.1 Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian Trong mục này, ta xét điều kiện ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian Định lý sau đây cung cấp một điều kiện đủ để hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận Trong phần tiếp theo của mục này, ta ký hiệu A(t), A tương ứng là A0 (t) và A0 Định lý 3.1.1 Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương... 6.1826η1 = 147.8947 ε = 795.596 Do đó, sử dụng Định lý 3.1.1 ta có hệ ổn định với mọi τ ∈ [0, 1.45] 3.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian 3.2.1 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ Trong mục này, ta xét việc thiết kế một bộ điều khiển không nhớ có dạng u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng là ổn định tiệm cận Thay u(t) = Kx(t) vào hệ (1.2.1) ta có  x(t) ¯ ˙ = A(t)x(t) +... EPA + εDD (ii) Với mọi ε > 0 và ma trận P > 0 thỏa mãn P − εDD > 0 ta có (A + D∆E) P−1 (A + D∆E) ≤ A (P − εDD )−1 A + ε −1 E E 7 Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian 2.1 Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu sự ổn định của hệ (1.2.1) khi u(t) ≡ 0 Ta giới thiệu các định nghĩa sau đây Định nghĩa 2.1.1 Hệ (1.2.1)-(1.2.3)... 0.9322 Theo Định lý 3.2.1, hệ (1.2.1) ổn định vững với bộ điều khiển u(t) = Kx(t), K = Y X −1 = −20.5316 −2.9853 và mọi tham số chấp nhận được 3.2.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu về sự ổn định hóa vững của hệ (1.2.1) sử dụng bộ điều khiển có dạng m u(t) = Kx(t) + ∑ K j x(t − τ j ), (3.2.2) j=1 trong đó K, K j , 1 ≤ j ≤ m là các ma trận hằng với số... τm ) , điều này kéo theo V˙ (xt ) xác ˆ định âm vì Θ(t) < 0 Định lý được chứng minh Định lý 2.1.1 cho thấy điều kiện đủ để hệ tham số ổn định vững là hệ phải ổn ˆ định bậc hai Tuy nhiên Θ(t) có chứa các phần tử chưa biết ∆(t), ∆ j (t), j = 1, , m và do đó, sẽ không thuận tiện để kiểm tra tính ổn định bậc hai của hệ Định lý sau đây được phát triển từ Định lý 2.1.1 được dùng để kiểm tra sự ổn định bậc... u(t) sao cho hệ đóng là ổn định bậc hai 11 Trước tiên, ta xét bộ điều khiển phản hồi trạng thái không nhớ có dạng u(t) = Kx(t) Áp dụng bộ điều khiển này vào hệ (1.2.1), hệ đóng trở thành x(t) ˙ = [A + BK + D∆(t) (EA + EB K)] x(t) m (2.2.1) + ∑ [A j + D j (t)∆ j (t)E j (t)] x(t − τ j ) j=1 Định lý sau đây cho ta một phương pháp thiết kế bộ điều khiển không nhớ để ổn định hóa vững hệ (1.2.1) Định lý 2.2.1... tuyến tính với P, Q1 , , Qm và ε do đó các công cụ như Matlab LMI, Scilab hoặc bất kỳ công cụ tương tự nào đều có thể sử dụng để kiểm tra sự ổn định vững của lớp hệ mà ta đang nghiên cứu Trong thực tế, một hệ có thể không ổn định, vì vậy vấn đề đặt ra là ta phải ổn định hệ trước khi sử dụng nó Mục tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề ổn định hóa 2.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian... X + EBYm ) thì hệ (1.2.1) ổn định với bộ điều khiển (3.2.2), với K = Y X −1 , K j = Y j X −1 Chú ý 3.2.1 Các điều kiện của Định lý 3.2.3 không tuyến tính đối với τ j , Ui , i = 1, · · · , m và do đó không thể sử dụng gói công cụ LMI để xác định độ trễ thời gian cực đại mà hệ vẫn ổn định với mọi tham số bất biến chấp nhận được như ta đã làm trước đó Để xử lý điều này, ta cố định độ trễ thời gian sau ... Do chọn đề tài: "Bài toán ổn định vững ổn định hóa vững cho hệ điều khiển với trễ" làm đề tài nghiên cứu cho để tìm hiểu tiêu chuẩn ổn định vững cho hệ trễ thời gian, ứng dụng hệ thực tiễn Mục... rõ toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian • Bước đầu tìm hiểu số tiêu chuẩn ổn định vững ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ổn định. .. toán ổn định hệ có trễ nghiên cứu từ năm 60 kỉ XX Đầu tiên nghiên cứu chủ yếu tập trung vào toán ổn định cho hệ có trễ hằng, nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định