Ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỖ THỊ HẢI YẾN ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Dũng Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS Nguyễn Trung Dũng, người định hướng chọn đề tài hết lòng giúp đỡ, động viên suốt trình hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Đỗ Thị Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn ThS Nguyễn Trung Dũng, khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài "Ổn định mũ hệ điều khiển có trễ" hoàn thành trình tìm tòi nhận thức thân, không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khoa học khác Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Đỗ Thị Hải Yến Mục lục Chương Một số kiến thức sở 1.1 Hệ điều khiển có trễ 1.1.1 Hệ phương trình vi phân hàm 1.1.2 Khái niệm ổn định 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.3 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 10 1.4 Một số bất đẳng thức 11 Chương Tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ 14 2.1 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ số 14 2.2 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến thiên 18 LỜI NÓI ĐẦU I Lý chọn đề tài Trễ thời gian thường xuyên xuất hệ kĩ thuật khác như: hệ động lực học, mô hình điều khiển kĩ thuật, lò phản ứng hạt nhân Một hệ gọi có trễ tốc độ biến thiên hệ phụ thuộc vào trạng thái trước Các hệ trễ thời gian thường mô tả hệ phương trình vi phân hàm, chúng chia làm hai loại: hệ có trễ số hệ có trễ biến thiên Nói chung, tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ số áp dụng đơn giản hơn, tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ biến thiên "bảo thủ" trường hợp trễ thời gian nhỏ Tuy nhiên xét tiêu chuẩn ổn định cho loại ổn định đều, ổn định mũ, ổn định tiệm cận nhiều hạn chế Do đó, chọn đề tài "Ổn định mũ hệ điều khiển có trễ" nhằm hệ thống khái niệm kết tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ Khóa luận gồm chương • Chương 1: Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa Đưa khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov, định lý ổn định, ví dụ minh họa Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ Cung cấp bất đẳng thức ma trận tuyến tính thường dùng để xét tính ổn định toán • Chương 2: Trình bày tiêu chuẩn ổn định mũ hệ có trễ số trễ biến thiên, ví dụ minh họa II Mục đích nghiên cứu • Hiểu rõ toán ổn định hệ điều khiển có trễ • Bước đầu tìm hiểu số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển với trễ số trễ biến thiên III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ổn định mũ toán điều khiển với trễ số trễ biến thiên IV Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, ta trình bày số khái niệm kết tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết chương sau 1.1 Hệ điều khiển có trễ Chúng ta nhận thấy rằng, trình xảy tự nhiên thường có liên quan với khứ nhiều mang tính di truyền Vì mô tả trình này, chúng thường biểu diễn hệ phương trình vi phân có trễ hay gọi hệ phương trình vi phân hàm 1.1.1 Hệ phương trình vi phân hàm Giả sử h Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0] với giá trị Rn chuẩn φ ∈ C cho φ = sup−h≤θ ≤0 φ (θ ) Với t0 ∈ R, A x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), hàm xt ∈ C := C([-h, 0], Rn ), t ∈ [t0 ,t0 + A], xác định xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0] Cho D ⊂ Rn × C tập mở hàm F : D → Rn Một phương trình vi phân hàm D (thường gọi hệ phương trình vi phân có trễ) phương trình dạng x(t) ˙ = F(t, xt ), (1.1) Một hàm x gọi nghiệm phương trình vi phân (1.1) [t0 − h,t0 + A] tồn t0 ∈ R, A > cho x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), (t, xt ) ∈ D x(t) thỏa mãn (1.1) với t ∈ [t0 ,t0 + A] Với t0 ∈ R, φ ∈ C , ta nói x(t0 , φ ) nghiệm phương trình (1.1) với giá trị ban đầu φ thời điểm ban đầu t0 (nghiệm qua điểm (t0 , φ )) tồn A > cho x(t0 , φ ) nghiệm phương trình (1.1) [t0 − h,t0 + A] xt0 (t0 , φ ) = φ Khi t0 rõ, ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 , φ )(t) Ví dụ 1.1.1 Hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên    dx1 = −x1 (t)(1 + x22 (t − τ2 (t))) + 2x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)), dt dx   = −3x1 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − x2 (t)(2 + sin x1 (t − τ1 (t))), dt 1.1.2 τi (t) τi số, i = 1, Khái niệm ổn định Giả thiết hàm F(.) thỏa mãn điều kiện cho với điểm (t0 , φ ) ∈ hệ (1.1) có nghiệm qua điểm (t0 , φ ) xác định [t0 , ∞) Ta giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức hệ (1.1) có nghiệm không Khi ta có khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.1) R+ × C Định nghĩa 1.1.1 [Khái niệm ổn định] Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định với ε > 0,t0 0, tồn δ = δ (t0 , ε) > cho với nghiệm x(t, φ ) (1.1), φ < δ x(t, φ ) < ε, ∀t t0 Nếu δ không phụ thuộc t0 nghiệm x ≡ gọi ổn định Định nghĩa 1.1.2 [Khái niệm ổn định tiệm cận] Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t0 0, tồn δ0 = δ0 (t0 ) > cho với nghiệm x(t, φ ) (1.1), φ < δ0 lim x(t, φ ) = t→+∞ Định nghĩa 1.1.3 [Khái niệm ổn định mũ] Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số α > 0, N cho với t0 0, nghiệm x(t, φ ) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện x(t, φ ) N φ e−α(t−t0 ) , ∀t t0 Số N gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định α, N gọi chung số ổn định mũ Lyapunov 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov Định nghĩa 1.2.1 [Lớp hàm K ] Cho hàm φ ∈ [R+ , R+ ], R+ := [0; +∞) φ ∈ C[[0, h], R+ ] Khi đó, φ gọi W - hàm K - hàm thỏa mãn điều kiện sau (i) φ hàm tăng (ii) φ (0) = Kí hiệu φ ∈ K Định nghĩa 1.2.2 [Hàm Lyapunov] Cho V : R+ × C → R hàm khả vi liên tục thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t Hàm V gọi hàm Lyapunov hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện sau (i) Hàm V (t, x) hàm xác định dương theo nghĩa ∃a ∈ K : V (t, x) a(||x| |), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn (ii) Đạo hàm V dọc theo nghiệm hệ (1.1) V˙ (t, xt (t0 , φ )) = lim sup [V (t + h), xt+h ((t0 , φ )) −V (t, xt (t0 , φ ))] h h→0+ 0, với nghiệm x(t, φ ) hệ (1.1) Định lý 1.2.1 Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn điều kiện sau (i) ∃λ1 , λ2 > : λ1 x V (t, x) λ2 x , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (ii) ∃λ3 > : V˙ (t, x(t)) −2λ3V (t, x(t)), với nghiệm x(t) hệ (1.1) Khi hệ (1.1) ổn định mũ với số ổn định λ3 N = λ2 λ1 Ví dụ 1.2.1 Xét ổn định nghiệm không hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên sau    dx1 = −x1 (t)(1 + x22 (t − τ2 (t))) + 2x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)), dt (*) dx   = −3x1 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − x2 (t)(2 + sin x1 (t − τ1 (t))), dt τi (t) τi số, i = 1, Lời giải Xét hàm Lyapunov xác định V (t, x) = Ta có x = Suy (3x12 + 2x22 ) x12 + x22 2x12 + 2x22 (3x12 + 2x22 ) (3x12 + 3x22 ) Suy x Khi ∃λ1 = 1, λ2 = λ1 x x V (t, x) > thỏa mãn V (t, x) λ2 x , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn Lại có V˙ (t, x(t)) = −3x12 (t)(1 + x22 (t − τ1 (t))) + 6x1 (t)x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − 6x1 (t)x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − 2x22 (2 + sin x1 (t − τ1 (t))) −3x12 (t) − 2x22 (t) = −2V (t, x(t)) Suy ∃λ3 = > thỏa mãn V˙ (t, x(t)) −2λ3V (t, x(t)) với nghiệm x(t) hệ (1.1) Vậy nghiệm không hệ (*) thỏa mãn điều kiện Định lý 1.2.1 Do nghiệm không (*) ổn định mũ Định lý 1.2.2 [Định lý Lyapunov - Krasovskii] Giả sử F: R+ × C → Rn biến tập R+ × B (B tập bị chặn C ) thành tập bị chặn Rn , u, v, w: R+ → R+ hàm liên tục, không giảm, u(s) v(s) dương ∀s > u(0) = v(0) = • Nếu tồn hàm khả vi liên tục V : R × C → R cho Bổ đề 1.4.4 Giả sử A, E, H ma trận với số chiều thích hợp F thỏa mãn điều kiện F T F I Khi đó, với ε > ma trận P đối xứng xác định dương, ta có (i) EFH + H T F T E T εEE T + ε −1 H T H (ii) Nếu εI − HPH T > APAT + εEE T + APH T (εI − HPH T )−1 HPAT (A + EFH)P(A + EFH)T (iii) Nếu P − εEE T > (A + EFH)T P−1 (A + EFE) AT (P − εEE T )−1 A + ε −1 H T H Bổ đề 1.4.5 [Nguyên lí so sánh] Giả sử g ∈ C[R2+ , R] r(t) nghiệm cực đại phương trình vi phân u(t) ˙ = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0 xác định [t0 , ∞) Giả sử m ∈ C[R+ , R+ ] thỏa mãn D+ m(t) Khi đó, m(t0 ) u0 m(t) g(t, m(t)),t r(t), ∀t t0 t0 Bổ đề 1.4.6 [Bất đẳng thức nguyên] Giả sử g ∈ C[R2+ , R], g(t, ) hàm đơn điệu không giảm r(t) nghiệm cực đại phương trình u(t) ˙ = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0 xác định [t0 , ∞).Giả sử m ∈ C[R+ , R+ ] thỏa mãn t m(t) Khi đó, m(t0 ) m(t0 ) + u0 m(t) g(s, m(s))ds,t t0 r(t), ∀t t0 t0 Bổ đề 1.4.7 [Bất đẳng thức Park] Giả sử a(α) ∈ Rna b(α) ∈ Rna , ∀α ∈ Ω Khi đó, cho X ∈ Rna ×na , với X > ma trận M ∈ Rna ×na , ta có a(α)T b(α)dα −2 Ω Ω a(α) b(α) T X MT X XM a(α) × dα (M T X + I)X −1 (M T X + I)T b(α) 12 Bổ đề 1.4.8 [Bất đẳng thức Moon] Giả sử a(α) ∈ Rna , b(α) ∈ Rnb N (α) ∈ Rna ×bb với α ∈ Ω Khi với X ∈ Rna ×na , X > 0, ma trận M ∈ Rna ×na , ta có a(α)T N (α)b(α)dα −2 Ω Ω X YT Y Z a(α) b(α) T YT Y − N (α) Z X − N (α)T a(α) dα b(α) Bổ đề 1.4.9 [Bất đẳng thức Jensen] Cho M ∈ Rm×m với M > ma trận số bất kì, b > a vô hướng, hàm vector ω : [a, b] → Rm cho tích phân sau định nghĩa tốt b (b − a) ω(β )T Mω(β )dβ b [ a a 13 b ω(β )dβ ]T M[ ω(β )dβ ] a Chương Tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ 2.1 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ số Chúng ta xét hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính sau x(t) ˙ = Ax(t) + Bx(t − τ),t > 0, (2.1) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ; A, B ∈ Rn×n ma trận số; τ > kí hiệu trễ thời gian Bây xét tiêu chuẩn ổn định tiệm cận hệ có trễ số Định lý 2.1.1 Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2.1), hệ ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn (A + B)T P + P(A + B) + τQ S= τBT P(A + B) τ(A + B)T PB < −τQ (2.2) Chứng minh Giả sử (A +B) ma trận ổn định, ma trận S giá trị riêng trục ảo Xét hệ trễ thời gian (2.1), sử dụng hàm Lyapunov -Krasovskii 14 sau T V (xt ) = L (xt )PL(xt ) + l xT (ρ)Qx(ρ)dρds, (2.3) −τ t+s t L(xt ) = x(t) + B t−τ x(s)ds Khi hệ ổn định tiệm cận V˙ (xt ) < Đạo hàm theo thời gian phương trình (2.3) dọc theo quỹ đạo phương trình (2.1) ta có t ˙ t ) + xT (t)τQx(t) − V˙ (xt ) = L˙ T (xt )PL(xt ) + LT (xt )PL(x = [(A + B)x(t)]T P[x(t) + B xT (s)Qx(s)ds t−τ t x(s)ds] t−τ t + [x(t) + B x(s)ds]T P(A + B)x(t) t−τ t + xT (t)τQx(t) − xT (s)Qx(s)ds t−τ T T T T t = x (t)[(A + B) P + P(A + B)]x(t) + 2x (t)(A + B) PB x(s)ds t−τ t + xT (t)τQx(t) − xT (s)Qx(s)ds (2.4) t−τ Sử dụng bất đẳng thức 2ab aT Q−1 a + bT Qb, (2.5) ta có 2xT (t)(A + B)T PB t x(s)ds t−τ t xT (t)(A + B)T PBx(s)ds =2 t−τ t xT (t)(A + B)T PBQ−1 BT P(A + B)x(t)ds + t xT (s)Qx(s)ds t−τ t−τ xT (t)τ(A + B)T PBQ−1 BT P(A + B)x(t) + t xT (s)Qx(s)ds (2.6) t−τ Do đó, sử dụng phương trình (2.6) ta V˙ (xt ) xT (t)Sx(t), 15 (2.7) S = (A + B)T P + P(A + B) + τ(A + B)T PBQ−1 BT P(A + B) + τQ Cuối cùng, sử dụng Bổ đề Schur ta có V˙ (xt ) < Điều kiện (2.2) Định lý 2.1.1 thỏa mãn V˙ (xt ) < Hơn nữa, V˙ (xt ) < x(t) → 0, t → ∞, (2.2) Vì vậy, hệ (2.1) ổn định tiệm cận Sử dụng phép biến đổi z(t) = eαt x(t), (2.8) z˙(t) = (A + αI)z(t) + Beατ z(t − τ) (2.9) α > bậc ổn định Khi hệ (2.1) trở thành Hệ (2.1) ổn định mũ với bậc ổn định α Định lý 2.1.2 Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định α, giả sử trễ thời gian τ > Khi hệ (2.9) ổn định mũ với bậc ổn định α tồn ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho bất đẳng thức sau thỏa mãn A¯ T P + PA¯ + τQ τeατ A¯ T PB < 0, S1 = τeατ BT PA¯ −τQ (2.10) A¯ = A + αI + Beατ Chứng minh Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định α Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov - Krasovskii V (zt ) = LT (zt )PL(zt ) + t t zT (ρ)Qz(ρ)dρds, (2.11) −τ t+s t L(zt ) = z(t) + t−τ Beατ z(s)ds Đạo hàm theo thời gian phương trình (2.11) dọc theo quỹ đạo nghiệm (2.9) 16 ˙ t ) + zT (t)τQz(t) − V˙ (zt ) = L˙ T (zt )PL(zt ) + LT (zt )PL(z T ¯ P[z(t) + = [Az(t)] t zT (s)Qz(s) t−τ t Beατ z(s)ds] t−τ t + [x(t) + ¯ Beατ z(s)ds]T PAz(t) + zT (t)τQz(t) − t−τ t zT (s)Qz(s)ds t−τ = zT (t)[A¯ T P + PA¯ + τQ]z(t) + 2zT (t)A¯ T P t Beατ z(s)ds t−τ t − zT (s)Qz(s)ds (2.12) t−τ Sử dụng bất đẳng thức 2ab 2zT (t)A¯ T P aT Q−1 a + bT Qb có t ¯ zT (t)τe2ατ A¯ T PBQ−1 BT PAz(t) Beατ z(s)ds t−τ t + zT (s)Qz(s)ds (2.13) t−τ Thế phương trình (2.13) vào phương trình (2.12) ta V˙ (zt ) zT (t)S1 z(t), (2.14) S1 = A¯ T P + PA¯ + τe2ατ A¯ T PBQ−1 BT PA¯ + τQ Cuối sử dụng Bổ đề Schur phương trình (2.10) ta có V˙ (xt ) < Như V˙ (zt ) < S1 < Vì hệ (2.9) ổn định mũ với bậc ổn định α Ví dụ 2.1.1 Xét hệ trễ thời gian ổn định mũ với bậc ổn định α sau z˙(t) = (A + αI)z(t) + Beατ z(t − τ), (2.15) −3 −2 −0.5 0.1 A= , A1 = 0.3 Bây toán ước lượng giới hạn bậc ổn định α trễ thời gian τ để trì ổn định hệ Áp dụng điều kiện (2.10) Định lý 2.1.2 cho bậc ổn định mũ α = 0.1 Bằng cách sử dụng gói công cụ bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI 17 MATLAB (với xác tới 0.01), nghiệm LMI phương trình (2.10) xác định 2.4260 1.1494 P= τ < 0.758 1.1494 2.0094 2.2 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến thiên Xét hệ tuyến tính không autonomous với trễ biến thiên thời gian có dạng sau x(t) ˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)),t 0, x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0], (2.16) h 0, x(t) ∈ Rn , A(t), A1 (t) ∈ Rn hàm ma trận cho trước, liên tục bị chặn với t 0, φ (t) ∈ C([−h, 0], Rn ) hàm ban đầu với chuẩn φ = sups∈[−h,0] φ (s) Hàm trễ thời gian h(t) liên tục thỏa mãn: h(t) h, ∀t Với số dương cho trước λ , h, β , ε, ta đặt Pβ (t) = P(t) + β I, p = sup p(t) , t∈R+ a = sup A(t)AT (t) , a1 = sup A1 (t)AT1 (t) , t∈R+ t∈R+ ¯ = A(t) + A1 (t), µ(A) = sup µ(A(t)), A(t) t∈R+ ¯ + 2hβ A1 (t)AT (t) + 2hλ −1 I, A = A(t) ¯ + 2hβ a1 + 2hλ −1 + ε γ = 2β µ(A) Định lý 2.2.1 Nghiệm không hệ (2.16) ổn định mũ tồn số dương β , λ , ε λ −1 β max (a, a1 ), hàm số ma trận P ∈ BM + (0, ∞) cho phương trình vi phân Riccati sau có nghĩa ˙ + A T (t)P(t) + P(t)A (t) + 2hP(t)A1 (t)AT1 (t)P(t) + γI = 0, P(t) Hơn nữa, nghiệm x(t, φ ) thỏa mãn điều kiện x(t, φ ) ε p + β − 2(p+β t ) e φ ,t β 18 (RDE) Chứng minh Áp dụng công thức Newton - Leibniz t x(t) − x(t − h(t)) = x(s)ds, ˙ t−h(t) hệ (2.16) trở thành t x(t) ˙ = [A(t) + A1 (t)]x(t) − A1 (t) A(s)x(s)ds t−h(t) t − A1 (t) t−h(t) A1 (s)x(s − h(s))ds, x(t) = ψ(t),t ∈ [−2h, 0] (2.17) Chú ý hệ (2.17) yêu cầu hàm ban đầu ψ(t) [−2h, 0] thỏa mãn ψ(s) = φ (s + h(0)), −h − h(0) ψ(s) = x(t + s), −h(0) −h(0), s 0, s A(t) = A(0), A1 (t) = A1 (0), B(t) = B(0),t ∈ [−h, 0] hệ (2.17) trường hợp đặc biệt hệ (2.16) nên có tính chất ổn định giống hệ (2.16) Do để đơn giản xét ổn định hệ (2.17) Xét hàm Lyapunov - Krasovskii sau V (t, x) = P(t)x, x + β x , P(t) nghiệm (RDE) Dễ thấy β x V (t, x) (p + β ) x , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Đạo hàm theo thời gian V(t, x) dọc theo quỹ đạo hệ (2.17) ta ¯ V˙ (t, x(t)) = (P˙ + A−T Pβ + Pβ A)x(t), x(t) t − Pβ (t)A1 (t) − Pβ (t)A1 (t) A(s)x(s)ds, x(t) t−h(t) t t −h(t) 19 A1 (s)x(s − h(s))ds, x(t) (2.18) Chọn λ > cho β , λ a1 λa λ A(t)AT (t)x, x β ,tac Pβ (t)x, x , λ A1 (t)AT1 (t)x, x Pβ (t)x, x , ∀t 0, x ∈ Rn Vì áp dụng bất đẳng thức Cauchy với Q = I, ta có t − Pβ (t)A1 (t) A(s)x(s)ds, x(t) t−h(t) t −2 Pβ (t)A1 (t)A(s)x(s)ds, x(t) ds = t−h(t) t −2 A(s)x(s), AT1 (t)Pβ (t)x(t) ds = t−h(t) t Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t) ds t−h(t) t A(s)AT (s)x(s), x(s) ds + t−h(t) h Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t) + λ −1 t t−h(t) Pβ (s)x(s), x(s) ds h Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t) + λ −1 −h(t) Pβ (t + s)x(t + s), x(t + s) ds Tương tự, t − Pβ (t)A1 (t) t−h(t) A1 (s)x(s − h(s))ds, x(t) h Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t) + λ −1 −h(t) Pβ (t + s − h(t + s)x(s − h(s)), x(s − h(s)) ds Vì Pβ (t)x(t), x(t) = V (t, x(t)), giả sử với số thực q > cho V (t + s, x(t + s)) < qV (t, x(t)), ∀s ∈ [−2h, 0], ∀t 20 Sử dụng Định lý ổn định Razumikhin ta có ¯ (P˙ + A−T Pβ + Pβ A)x(t), x(t) V˙ (t, x(t)) + 2h Pβ A1 AT1 Pβ x(t), x(t) + 2hqλ −1 Pβ (t)x(t), x(t) (P˙ + A−T Pβ + Pβ A¯ + 2hPβ A1 AT1 Pβ + 2hqλ −1 I)x(t), x(t) (2.19) Cho q → 1+ (2.19) trở thành V˙ (t, x(t)) (P˙ + A−T Pβ + Pβ A¯ + 2hPβ A1 AT1 Pβ + 2hλ −1 I)x(t), x(t) Vì vậy, V˙ (t, x(t)) (P˙ + A T P + PA + 2hPAT1 A1 P + γI)x(t), x(t) Do đó, P(t) nghiệm (RDE), ta có V˙ (t, x(t)) −ε x(t) , ∀t (2.20) 0, Theo Định lý Razumikhin ta có hệ (2.17) ổn định tiệm cận Để tìm hệ số ổn định mũ nghiệm ta sử dụng bất đẳng thức (2.18) V˙ (t, x(t)) 0, với t ta có β x(t, φ ) V (t, x(t)) ε t − p+β V (0, x(0))e Do đó, x(t, φ ) p+β − ε t φ e 2(p+β ) , ∀t β Định lý hoàn toàn chứng minh Chú ý 2.2.1 Từ chứng minh Định lý 2.2.1, điều kiện (RDE) cho bất đẳng thức ma trận sau ˙ + A T (t)P(t) + P(t)A (t) + 2hP(t)A1 (t)AT1 (t)P(t) + γI P(t) Chúng ta áp dụng kết cho ổn định mũ hệ tuyến tính không chắn với trễ thời gian biến thiên x(t) ˙ = (A + H∆(t)E)x(t) + (A1 + H∆1 (t)E1 )x(t − h(t)),t x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0], 0, (2.21) h(t) h; A, A1 , H, E, E1 ma trận số với số chiều phù hợp; ∆(t), ∆1 (t) ma trận không chắn biến thời gian biến thiên thỏa mãn ∆T (t)∆(t) I, ∆T1 (t)∆1 (t) 21 I Chúng ta có hệ sau Hệ 2.2.1 Hệ (2.21) ổn định mũ tồn ma trận X xác định dương số dương β , λ , εi , i = 1, 2, 3, cho λ −1 β max (a, a1 ), ε4 I − E1 E1T > bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   √ ¯ Ω γX XE T X1T hA1 E1T    γX  ¯ ¯ −γI 0    EX  0, (2.22) −ε I 0     0 −ε3 I  √E1 X  T T hE1 A1 0 −(ε4 I − E1 E1 ) A¯ = A + A1 ; ¯ + 4hβ a1 + 2hλ−1 + ε1 ; γ¯ = 2β µ(A) Ω = X(A¯ + 2hλ −1 I)T + (A¯ + 2hλ −1 I)X + (ε2 + ε3 + 4hε4 )HH T + 4hA1 AT1 Hơn nữa, nghiệm x(t, φ ) hệ (2.21) thỏa mãn x(t, φ ) N = −1 λmin (X)+β ,σ β = Ne−σt φ ,t 0, ε1 −1 2(λmin (X)+β ) Chứng minh Đặt A(t) = A + H∆(t)E, A1 (t) = A1 + H∆1 E1 P = X −1 có A T (t)P + PA (t) = P(A¯ + 2hλ −1 I) + (A¯ + 2hλ −1 I)T P + PH(∆(t)E + ∆1 (t)E1 ) + (∆(t)E + ∆1 E1 )T H T P + 2hβ (PA1 (t)AT1 (t) + A1 (t)AT1 (t)P) (2.23) Áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có PH∆(t)E + E T ∆T (t)H T P PH∆1 (t)E1 + E1T ∆T1 (t)H T P 2hβ (A1 (t)AT1 (t)P + PA1 (t)AT1 (t)) ε2 PHH T P + ε2−1 E T E; ε3 PHH T P + ε3−1 E1T E1 ; 2hPA−1 (t)AT1 (t)P + 2hβ A1 (t)AT1 (t) 2hPA1 (t)AT1 (t)P + 2hβ a1 I 22 Do đó, từ (2.23) ta có A T (t)P + PA (t) T ¯ P(A¯ + 2hλ−1 I) + (+2hλ −1 I) P + ε2 PHH T P + ε3 PHH T P + ε2−1 E T E + ε3−1 E1T E1 + 2hPA1 (t)AT1 (t)P + 2hβ a1 I (2.24) Lại áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có A1 (t)AT1 (t) A1 AT1 + A1 E1T (ε4 I − E1 E1T )−1 E1 AT1 + ε4 HH T Do A T (t)P + PA (t) + 2hPA1 (t)AT1 (t)P + γI T T ¯ P(A¯ + 2hλ−1 I) + (+2hλ −1 I) P + 4hPA1 A1 P + (ε2 + ε3 + 4hε4 )PHH T + ε2−1 E T E + ε3−1 E1T E1 + 4hPA1 E1T (ε4 I − E1 E1T )−1 E1 AT1 P + γI (2.25) Nhân vế (2.25) với X sử dụng Bổ đề Schur ta có A T (t)P + PA (t) + 2hPA1 (t)AT1 (t)P + γI Theo Định lý 2.2.1 Chú ý 2.2.1, hệ (2.21) ổn định mũ Hệ chứng minh Ví dụ 2.2.1 Xét hệ tuyến tính không chắn (2.21), h(t) = A= 0.03 sint, t ∈ I = [2kπ, (2k + 1)π], k = 0, 1, 2, 0, t ∈ R+ \ I −1 , A1 = −4 , H = 1, E = 0.2I, E1 = −3 Dễ thấy hệ trễ nên x(t) ˙ = Ax(t), ổn định hàm trễ h(t) không khả vi Tuy nhiên, cho λ = 0.25, β = 4, ε1 = 0.1, ε2 = ε3 = 0.5, ε4 = 1.04 tất điều kiện Hệ 2.2.1 LMI (2.22) thỏa mãn với 23 0.8355 −0.0977 −0.0977 0.9549 Theo Hệ 2.2.1, hệ ổn định mũ nghiệm x(t, φ ) thỏa mãn X= x(t, φ ) 1.149e−0.0095t φ ,t 24 KẾT LUẬN Sau hoàn thành, khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Ổn định mũ hệ điều khiển có trễ" nêu bật nội dung sau • Chương 1: Ở chương này, trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa Đưa khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov, định lý ổn định, ví dụ minh họa Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ Cung cấp bất đẳng thức ma trận tuyến tính thường dùng để xét tính ổn định toán • Chương 2: Chương đưa tiêu chuẩn toán ổn định mũ với trễ số trễ biến thiên, ví dụ minh họa Mặc dù cố gắng thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cám ơn! Tài liệu tham khảo [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [2] X.X Liao, L Wang and P Yu (2007), Stability of Dynamical Systems, Elsevier, Oxford, UK [3] M Wu, Y He, J.H She (2010), Stability Analysis and Robust Control of Time - Delay Systems, Springer [4] P.L Liu (2003), Exponential stability for linear time - delay systems with delay dependence, J.Franklin Inst, 340, pp 481 - 488 [5] Vu N Phat and Le V Hien (2009), An application of Razumikhin theorem to exponential stability for linear non - autonomous systems with time - varying delay, Applied Mathematics Letters, 22, pp 1412 - 1417 26 [...]... bậc ổn định α Ví dụ 2.1.1 Xét các hệ trễ thời gian là ổn định mũ với bậc ổn định α như sau z˙(t) = (A + αI)z(t) + Beατ z(t − τ), (2.15) trong đó −3 −2 −0.5 0.1 A= , A1 = 1 0 0.3 0 Bây giờ bài toán của chúng ta là ước lượng giới hạn của bậc ổn định α và trễ thời gian τ để duy trì sự ổn định của hệ Áp dụng điều kiện (2.10) của Định lý 2.1.2 chúng ta cho bậc của ổn định mũ α = 0.1 Bằng cách sử dụng gói... định mũ của hệ điều khiển có trễ" đã nêu bật được những nội dung chính sau đây • Chương 1: Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa Đưa ra các khái niệm về ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Giới thiệu về phương pháp hàm Lyapunov, các định lý về sự ổn định, ví dụ minh họa Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ Cung cấp các bất đẳng... tích phân sau đây được định nghĩa tốt thì b (b − a) ω(β )T Mω(β )dβ b [ a a 13 b ω(β )dβ ]T M[ ω(β )dβ ] a Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ 2.1 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ hằng số Chúng ta xét hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính sau x(t) ˙ = Ax(t) + Bx(t − τ),t > 0, (2.1) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ; A, B ∈ Rn×n là các... định hóa hệ điều khiển có trễ Xét hệ điều khiển có trễ trên trạng thái x(t) ˙ = F(t, xt , u(t)),t 0, (1.2) x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0], trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển; h 0 là hằng số trễ, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) là hàm ban đầu và F : R+ × C × Rm → Rn là hàm vectơ cho trước thỏa mãn điều kiện, F(t, 0, 0) = 0, ∀t 0 10 Định nghĩa 1.3.1 Hệ điều khiển (1.2) gọi là ổn định hóa... (2.2) của Định lý 2.1.1 là thỏa mãn thì V˙ (xt ) < 0 Hơn nữa, nếu V˙ (xt ) < 0 thì x(t) → 0, t → ∞, nếu và chỉ nếu (2.2) đúng Vì vậy, hệ (2.1) là ổn định tiệm cận Sử dụng phép biến đổi z(t) = eαt x(t), (2.8) z˙(t) = (A + αI)z(t) + Beατ z(t − τ) (2.9) trong đó α > 0 là bậc ổn định Khi đó hệ (2.1) trở thành Hệ (2.1) là ổn định mũ với bậc ổn định α Định lý 2.1.2 Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định. .. φ ) v( φ c ) và V˙ (t, φ ) −w( φ (0) ) thì nghiệm không của (1.1) là ổn định đều • Nếu nghiệm không của (1.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì nghiệm không của (1.1) là ổn định tiệm cận đều • Nếu nghiệm không của (1.1) là ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = ∞ thì nghiệm s→∞ không của (1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều Định lý 1.2.3 [Định lí Razumikhin] Giả sử f: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+... nghiệm của (RDE), ta có V˙ (t, x(t)) −ε x(t) 2 , ∀t (2.20) 0, Theo Định lý Razumikhin ta có hệ (2.17) là ổn định tiệm cận Để tìm hệ số ổn định mũ của nghiệm ta sử dụng bất đẳng thức (2.18) và V˙ (t, x(t)) 0, với t 0 ta có β x(t, φ ) V (t, x(t)) ε t − p+β V (0, x(0))e Do đó, x(t, φ ) p+β − ε t φ e 2(p+β ) , ∀t β 0 Định lý được hoàn toàn chứng minh Chú ý 2.2.1 Từ chứng minh của Định lý 2.2.1, điều kiện... là ổn định và hàm trễ h(t) không khả vi Tuy nhiên, cho λ = 0.25, β = 4, ε1 = 0.1, ε2 = ε3 = 0.5, ε4 = 1.04 thì tất cả các điều kiện trong Hệ quả 2.2.1 và LMI (2.22) là thỏa mãn với 23 0.8355 −0.0977 −0.0977 0.9549 Theo Hệ quả 2.2.1, hệ là ổn định mũ và nghiệm x(t, φ ) thỏa mãn X= x(t, φ ) 1.149e−0.0095t φ ,t 24 0 KẾT LUẬN Sau khi hoàn thành, khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Ổn định mũ của hệ điều khiển. .. g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân đóng x(t) ˙ = F(t, xt , g(x(t))), (1.3) là ổn định tiệm cận Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược dạng không nhớ Định nghĩa 1.3.2 Cho số α > 0 Hệ điều khiển (1.2) gọi là α - ổn định hóa được dạng mũ nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ đóng (1.2) là α - ổn định, tức là, tồn tại hằng số N 1 sao cho mọi nghiệm x(t0 , φ ) của hệ đóng (1.2) thỏa đánh... hiệu trễ thời gian Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận của hệ có trễ hằng số Định lý 2.1.1 Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2.1), hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng và xác định dương P > 0, Q > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn (A + B)T P + P(A + B) + τQ S= τBT P(A + B) τ(A + B)T PB < 0 −τQ (2.2) Chứng minh Giả sử rằng (A +B) là một ma trận ổn ... ổn định cho loại ổn định đều, ổn định mũ, ổn định tiệm cận nhiều hạn chế Do đó, chọn đề tài "Ổn định mũ hệ điều khiển có trễ" nhằm hệ thống khái niệm kết tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có. .. bậc ổn định Khi hệ (2.1) trở thành Hệ (2.1) ổn định mũ với bậc ổn định α Định lý 2.1.2 Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định α, giả sử trễ thời gian τ > Khi hệ (2.9) ổn định mũ với bậc ổn định. .. định mũ hệ có trễ số trễ biến thiên, ví dụ minh họa II Mục đích nghiên cứu • Hiểu rõ toán ổn định hệ điều khiển có trễ • Bước đầu tìm hiểu số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển với trễ số trễ