Khoá luận tốt nghiệp toán ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỖ THỊ HẢI YẾN ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Ngưồi hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Dũng LỜI CẢM ƠN Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS Nguyễn Trung Dũng, người định hướng chọn đề tài hết lòng giúp đỡ, động viên suốt trình hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn ThS Nguyễn Trung Dũng, khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài MÔn đinh mũ hệ điều khiển có trễ” hoàn thành trình tìm tòi nhận thức thân, không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khoa học khác Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Mục lục Chương M ột số kiến thức sở 1.1 Hệ điều khiển có trễ 1 H ệ p h ng trình vi p hân h àm 1.1.2 K hái niệm ổn định 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.3 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 10 1.4 M ột số bất đẳng thức 11 Chương Tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ 14 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ số 14 2.2 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến th iên 18 LỜI NÓI ĐẨU I Lý chọn đề tài Trễ thời gian thường xuyên xuất hệ kĩ thuật khác như: hệ động lực học, mô hình điều khiển kĩ thuật, lò phản ứng hạt nhân Một hệ gọi có trễ tốc độ biến thiên hệ phụ thuộc vào trạng thái trước Các hệ trễ thời gian thường mô tả hệ phương trình vi phân hàm, chúng chia làm hai loại: hệ có trễ số hệ có trễ biến thiên Nói chung, tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ số áp dụng đơn giản hơn, tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ biến thiên "bảo thủ" trường hợp trễ thời gian nhỏ Tuy nhiên xét tiêu chuẩn ổn định cho loại ổn định đều, ổn định mũ, ổn định tiệm cận nhiều hạn chế Do đó, chọn đê tài "On định mũ cua hệ điêu khiên có trê” nhăm hệ thống khái niệm kết tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ Khóa luận gồm chương • Chương 1: Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa Đưa khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov, định lý ổn định, ví dụ minh họa Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ Cung cấp bất đẳng thức ma trận tuyến tính thường dùng để xét tính ổn định toán • Chương 2: Trình bày tiêu chuẩn ổn định mũ hệ có trễ số trễ biến thiên, ví dụ minh họa II Mục đích nghiên cứu • Hiểu rõ toán ổn định hệ điều khiển có trễ • Bước đầu tìm hiểu số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển với trễ số trễ biến thiên III Đối tượng phạm vỉ nghiên cứu Nghiên cứu ổn định mũ toán điều khiển với trễ sốvà trễ biến thiên IV Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Chương Môt số kiến thức sỏ Trong chương này, ta trình bày số khái niệm kết tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết chương sau 1.1 Hệ điều khỉển có trễ Chúng ta nhận thấy rằng, trình xảy tự nhiên thường có liên quan với khứ nhiều mang tính di truyền VI mô tả trình này, chúng thường biểu diễn hệ phương trình vi phân có trễ hay gọi hệ phương trình vi phân hàm 1.1.1 Hệ phương trình vi phân hàm Giả sử h ^ Kí hiệu = c ( [ —/z,0],M") không gian Banach hàm liên tục đoạn [—/z, 0] với giá trị chuẩn (Ị) £ ^ cho ||ự>|| = s u p _ h : ỹ (í,jt(í)) ^ —2 Ằ3v(t , x(t )), với nghiệm x(t) hệ (Lỉ ) Khi hệ ị 1.1) ổn định mũ với số Ổn định Ằ3 N = Ví dụ 1.2.1 Xét Ổn định nghiệm không hệ phi tuyến cỏ trễ thời gian biến thiên sau + x ị ( t - T2 (t ))) + 2x2 { t ) x\ ( t - Tị ( t ) ) x2 (t - { Ế Id (*) = ~ 3xỉ ^ Xỉ ^ ~ T' ~ T2 ( ) - * ) ( + sin*l (t - Ti (/))), ^ Tj(f) ^ Tj tó số, ỉ — 1,2 Lờ/ giải Xế? hàm Lyapunov xác định (3x2ị + 2x2) = • 7« có 11*11 = J x 2ị + x + 2^2 ( + 2^2) (3 + 3*2) ' S«}’ ||x ||2 ^ v (í,x ) ^ ^ ||x||2 Khi 3Ằ\ = 1, Ằ2 = I > thỏa mãn X\ ||x||2 ^ V (í,jc) ^ Ằ2 ||x||2 , v ( í , x ) G M+ X R /2 Lại có V(t,x(t)) = - * ĩ ( / ) ( l + x ị ( t - Z ị (/))) + 6x\ {t)x2(t)xi (t - Tị (t ))x2{t - T2( ) - Xị (t)x2 (t)x - Ti (í))*2(í - T2(í)) —2 * (2 + sinJCi (í — Tị (í))) ^ —3jc^(í) —2*2 (0 = - V (f,x(í)) 5í/}> A-3 = > r/ỉởữ mã« ỹ (r,x (/)) ^ —2XìV(t,x{t)) với nghiệm x(t) hệ ( ) Vậy nghiệm không hệ (*) thỏa mãn điều kiện Định lý 1.2.1 Do đỏ nghiêm không (*) Ổn định mủ Đinh lý 1.2.2 [Định lý Lyapunov - Krasovskii] Giả sử rang F: K+ X rĩo' —> IR'7 biến mối tập M+ X ắê {ấS tập bị chặn %J) thành tập bị chặn K", u, V, w: M+ —>• M+ hàm liên tục, không giảm, u(s) v(s) dương \fs > u(0 ) = v(0 ) = • Nếu tồn hàmkhả vi liên tục V : R X —)• M cho Định nghĩa 1.3.1 Hệ điều khiển ị 1.2) gọi ẩn định hóa tồn hàm g : M'2 —»• W fĩ cho hệ phương trình vi phân x(t) = F( t , xt , g(x(t )))ì (1.3) ổn định tiệm cận Hàm u(t) = g(x(t)) gọi hàm điều khiển ngược dạng không nhớ Định nghĩa 1.3.2 Cho số a > Hệ điều khiển (1.2) gọi ot - Ổn định hóa dạng mũ tồn hàm g : M" —> Mm cho hệ đóng (1.2) a - Ổn định, tức là, tồn S Ố N ^ cho n g h iệ m x(tị), ộ ) h ệ ( ) thỏa đánh giá W/o,0 ) ( O I K N | | l k a{t 1.4 Một số bất đẳng thức Bổ đề 1.4.1 [Bất đẳng thức Cauchy] Giả sử s £ M'ỈX,Ỉ ma trận đối xứng xấc định dương Khi với ma trận Q £ X, y G W ĨXn, X, ỵ G M ", ta c ó 2(Qỵ,x) - (Sy,y) ^ ( QS~i QTx, x) Đặc biệt, với X, y gM", ta có 2xTỵ ^ XT Sx + y Ts ~ 1y Bổ đề 1.4.2 Giả sử M G w ixn ma trận đối xứng xác định dương Khi với số V > với hàm khả tích w : [0, v] —> R", ta có Bổ đề 1.4.3 [B ổ đ ề Schur] Giả sử X 11 = XỊị, X 12, X 2 — XỊ ma trận với số chiều thích hợp Khi điều kiện sau tương đương (ii) X 2 > , Xu + x ì2 x ; ]x Ị < Bổ đề 1.4.4 Giả sử A, E, H ma trận với số chiều thích hợp F thỏa mãn điều kiện F TF ^ / Khỉ đó, với £ > ma trận p đối xứng xác định dương, ta có (i) EFH + H TF TE T ^ e E E T + £ - 1H TH (ii) Nếu £l - H P H T > (A + EFH)P(A + E F H ) T ^ APAT + e E E T + APHT (eĩ - H P H T) ~ ÌHPAT (iii) Nếu p —e E E T > (A + E F H ) TP - (A + EFE) < AT (p - e E E T) - ]A + £ - 1H TH Bổ đề 1.4.5 [Nguyên lí so sánh] G iả sử g £ C[M+,R] rịt) nghiệm cực đại phương trình vi phân ủ ( t ) = g ( t , u ( t ) ) , u ( t ) = Uq xác định [t(),°°) Giả sử m £ C[M+ ,M+ ] thỏa mãn D +m(t) < g( t , m( t ) ) ft ^ t0 Khi đó, m(to) ^ Uo m(t) ^ r(t),Vt ^ to Bổ đề 1.4.6 [Bất đẳng thức nguyên] Giả sử g £ С [M ị, Ш], gịt, ) hàm đơn điệu không giảm rịt) nghiệm cực đại phương trình ủ{t) = g ( t , u { t ) ) , u ( t 0) = Uo xác định [to,oo).Giả sử m £ с [ м + ,м +] thỏa mãn m(t) ^ m(to) + / g(s, m(s))ds, t ^ í() JtQ Khi đó, m(to) ^ U() m( t ) ^ r(í),v? ^ ÍQ Bổ đề 1.4.7 [Bất đẳng thức Park] Giả sử a(ot) £ b {à ) £ R"ữ, Va £ í ì Khi đó, cho X £ R"ữX/ỉfl, với X > ma trận M G ШПаХПа, ta có - ũ a ( a ) Tb ( a ) d a < ~\ T Г 12 Bổ đề 1.4.8 [Bất đẳng thức Moon] Giả sử a(cc) E R na, b (à ) £ v Y ( ) £ R naXhb với a e £1 /f/z/ vđ/ t ó Ả:ì X E R"flX"ữ, X > 0, ma trận M G MMflXnữ, to cớ —2 / fl(a ) v Y ( a ) b { a ) d a ^ •'q T a(a) a(à) 'n b \ a ) _ X Y YT z da b(a) > Bổ đề 1.4.9 [Bất đẳng thức Jensen] Cho M G Mmxw v^/ M > ma trận số bất kì, b > a vô hướng, hàm vector Cỡ : [ a, b] —»• Sứơ c h o tíc h p h â n s a u đ â y đ ợ c đ ịn h n g h ĩa tố t th ì (b —a) í Ja co{p)TM ( ứ { P ) d p ^ [ í co{P)dP]T M[ í Ja 13 Ja Cở(P)dP] Chương Tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điêu khỉên có trê V • A 2.1 o A l l * / ^ A i Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ số Chúng ta xét hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính sau x(t) = A x ( t ) + Bx(t —t ) ,/ > 0, x{t) £ R" vectơ trạng thái hệ; A, B £ (2.1) ma trận số; T > kí hiệu trễ thời gian Bây xét tiêu chuẩn ổn định tiệm cận hệ có trễ số Định lý 2.1.1 Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2 ỉ), hệ Ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng xác định dương p > 0, Q > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn s= (A + B) TP + P(A + B) + TQ t(A + B)TPB XBTP(A + B) -T Q < (2.2) Chứng minh Giả sử (A +B) ma trận ổn định, ma trận s giá trị riêng trục ảo Xét hệ trễ thời gian (2.1), sử dụng hàm Lyapunov -Krasovskii 14 sau V{x,) = ữ ( x , ) P L ( x , ) + /•0 Ị-l / xT( p) Qx( p) dpds , J -X Jt+S (2.3) L(xt) —x(t) + B fl _Tx(s)ds Khi hệ ổn định tiệm cận v ( x t) < Đạo hàm theo thời gian phương trình (2.3) dọc theo quỹ đạo phương trình ( ) ta có v ( x t ) = LT (xt )PL(xt) + LT (xt )PL(xt ) + X T (ỉ)ĩQx(t) — I XT (s)Qx(s)ds Jt-T x( 5’)dr.s'] — [(A + B)x(t)]Tp[x(t) + B í J t-x + [x(t) + B I x(s)ds]TP(A +B) x( t ) Jt-X + XT ( t ) zQx( t ) — I Jt -T XT ( s) Qx( s) ds = xT(t)[(A + B)TP + P(A + B)]x(t) + 2xT(t)(A + B) TPB f x(s)ds J t-X + XT ( t ) zQx( t ) — í (2.4) XT (s)Qx(s)ds Sử dụng bất đẳng thức 2ab ^ a TQ ~ Ỵa + b TQb, (2.5) ta có 2xT (t)(A + B)TPB [ x(s)ds Jt-T = / XT (t)(A + B ) TPBx(s) ds J t-X < r xT (t)(A + B) TP B Q - xBTP{A + B ) x ( t ) d s + I ' XT { s)Qx(s)ds Jị- x < xT(t)'t{A + B) TP B Q - ' B TP{A + B)x(t) + f xT(s)Qx(s)ds (2.6) J t —T Do đó, sử dụng phương trình (2.6) ta (2.7) 15 s — (A + B)1 p + P(A + ) + t(A + B ) P B Q - 1BTP(A + ) + TỘ Cuối cùng, sử dụng Bổ đề Schur ta có V (xt ) < Điều kiện (2.2) Định lý 2.1.1 thỏa mãn v ( x t ) < Hơn nữa, v ( x t) < x(r) —> 0, t —>• oo, (2.2) Vì vậy, hệ (2.1) ổn định tiệm cân □ Sử dụng phép biến đổi ( 8) z(t) = eatx( t ), a > bậc ổn định Khi hệ (2.1) trở thành z{t) — (A + al )z ( t ) + B e axz{t - t ) (2.9) Hệ (2.1) ổn định mũ với bậc ổn định a Định lý 2.1.2 Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc Ổn định a, giả sử trễ thời gian T > Khi hệ (2.9) Ổn định mũ với bậc Ổn đ ịn h ot tồn ma trận đối jcỉẨĩĩ£ỷ Vữ JCŨC đinh dương p , > cho bất đắng thức sau thỏa mãn Ẵ t P + Pà + tQ Tea ĩ B T Pà TeaTà T PB -T Q < 0, (2 10) A = A + a i + Beax Chứng minh Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định a Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov - Krasovskii V ( z , ) = L T(zl )PL(zl ) + Ị' [ ' zT( p) Qz ( p) dpds , (2.11) L(zt ) = z( t ) + Jl_TBeaTz(s)ds Đạo hàm theo thời gian phương trình (2.11) dọc theo quỹ đạo nghiệm (2.9) 16 V(zt) = LT(zt)PL(zt) + LT(zt ) P L ( z t ) + z T( t ) i ; Qz ( t ) - I ZT(s)Qz(s) J t-X — [Äz{t)]Tp[z(t) + f Beaxz{s)ds] Í —T + [x(t )+ f Beaxz{s)ds\TPẴz(t) + z T{t)zQz{t) - Ị —X Ị ZT(s)Qz(s)di Jf-X = ZT(t)[ÃTP + Pà + TQ}zịt) + 2zT(t)ÃTp I Beazz(s)ds J t-x (2 12) ZT (s)Qz(s)ds Ĩ Sử dụng bất đẳng thức ab < a TQ - ' a + b TQb có 2zT{t)ÄTP f BeaTz{s)ds ^ ZT {t)Te aTà TP B Q - ' B TPÃz{t) J t-x (2.13) + I ZT (s)Qz(s)ds J t-T Thế phương trình (2.13) vào phương trình (2.12) ta (2.14) V(zt) ^ z T (t)Sị z(t ), Sị = Ãr P + Pà + Te axà TP B Q - ' B TPà + TQ Cuối sử dụng Bổ đề Schur phương trình (2.10) ta có ) < Như v(zt ) < 5i < □ Vì hệ (2.9) ổn định mũ với bậc ổn định a Ví dụ 2.1.1 Xét cấc hệ trễ thời gian Ổn định mũ với bậc Ổn định a sau 1 tr o n g đ ỏ A= 1 to t{t) = {A + aỉ )z ( t ) + B e aTz{t - t ) , >^1 — -0.5 0.1 0.3 (2.15) g ia n X đ ê d u y tr ì s ự Ổn đ ịn h c ủ a h ệ Áp dụng điều kiện (2.10) Định lý 2.1.2 cho bậc ổn định mũ a = 0.1 Bằng cách sử dụng gói công cụ bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI 17 MATLAB (với xác tới 0.01), nghiệm LMI phương trình (2 10 ) xác định p = 2.4260 1.1494”* 1.1494 2.0094 2.2 T < 0.758 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khỉển vối trễ bỉến thỉên Xét hệ tuyến tính không autonomous với trễ biến thiên thời gian có dạng sau x(t) = A(t)x(t) + A\ (t)x(t —h(t)),t ^ 0, x(t) = ệ ( t ) , t £ [—h, 0], (2.16) h ^ ,x(t) G M”,A (í),A i (t) e M" hàm ma trận cho trước, liên tục bị chặn với t ^ 0, ệ(t) G c([— h,Ó\,Rn) hàm ban đầu với chuẩn II011 = s u p s e ị_ h 0Ị \\ộ(s) || Hàm trễ thời gian h ( t ) liên tục thỏa mãn: ^ h(t) ^ h,\ft ^ Với số dương cho trước Ằ,/z,/3,£, ta đặt pp(t) = p (t) + P I’ P = sụp b ( ll> ígR+ a = sup ||A(í)Ẩr (í)||, a\ = sup \\A \( í) ẩ [ ( í) ||, teù + teù+ ịấ(A) = sup ị i (A(t)), Ă(t ) = A ( í ) + A i( í) , i é = Ă(t) + 2h p A , { t ) A \ ) + 2hẰ~ 1/, Ỵ — 2j3ju(Ã) + 2hị52 a\ + /ỉẰ_l + £ Đỉnh lý 2.2.1 Nghiệm không hệ (2.16) Ổn định mũ tồn số dương Ả '/3 ^ ma.x(a,a\), hàm số ma trận p G BM+ (0,°o) c/zơ phương trình vi phân Rỉccatỉ sau có nghĩa P(t) + ứ T + P(t)sS(t) + 2/zP(í)A, (í)A [ (t)P(t) + y/ = 0, Hơn nữa, nghiệm X(t, ệ) thỏa mãn điều kiện 18 (RDE) Chứng minh Áp dụng công thức Newton - Leibniz x{t) —x(t —h(t)) — [ Л-М0 x(s)ds, hệ (2.16) trở thành i ( r ) = [A(t) + Ẩ (r)]jc(r) - A ị ( t ) Ị A( s ) x ( s ) ds Jt—h{t) —A \ { t ) f A\(s)x(s —h(s))ds, J t —h{t) xịt) = e [—2A,0] (2.17) Chú ý hệ (2.17) yêu cầu hàm ban đầu 1ịf(t) [—2/ỉ,0] thỏa mãn ¥ (s) = ộ {s + A (0 )), - h - Ä(0 ) < Ä < - A ( ), \Ị/(s) = x ( t + s ) f—h(0) ^ 51^ 0, A ( f ) = A ( ) ,A i( f ) = A ,( ) , B ( t ) = B ( ) , t e [ - Ä , 0] hệ (2.17) trường hợp đặc biệt hệ (2.16) nên có tính chất ổn định giống hệ (2.16) Do để đơn giản xét ổn định hệ (2.17) Xét hàm Lyapunov - Krasovskii sau V (t,x) = (р(1)х,х) + ß 11*112 , p(t) nghiệm (RDE) Dễ thấy ß \ịx\\2 ^ v( t , x ) ^ (p + ß ) |M|2 G M+ ,x G Rn Đạo hàm theo thòi gian V(t, x) dọc theo quỹ đạo hệ (2.17) ta V{t,x(t)) = (( P + A - TPi i + P ßÄ)x{t),x(t)) t ) A x(t) jL' ^, A(s)x(s)ds, A( s ) x( s ) ds ,x(t x( t)J )\ - {{ pP ß ((t)At(t) - ị p p (t)A\(t) Ị Aị(s)x(s - h( s)) ds, x(t )ỳ 19 (2.18) Chọn Ằ > cho Xa ^ P, Ằa\ < p ,tac Ằ (A{t)ATự)x,x) < (Pp{t)x,x), Ằ (Ai ( t ) Á \ (t)x, x ) ^ ( / > , Ví ^ 0,JC e M" VI áp dụng bất đẳng thức Cauchy với Q — /, ta có - = {t)A] (t) j' J A (s )x (s )d s ,x (ỉộ —2 ^Pp(t)A](t)A(s)x(s)ds,x(t)^ds = J' - (A{s)x{s),AT ] (t)Pp{t)x(t))ds J t —h(t) + / (y4(5,)A (5')x(5,),x(5'))i/5' •'/-MO < /ỉ ƠMi ƠM Ĩ (0^ j8(0*(0> *(0) + Ằ_I / (Pfl (5)^(5), jc(5))rfs A -/ỉ (0 (»P (/)* (/),* (/)) ^ /* ° + Ằ_I / (p ^ (í+ ^ )x (í+ 5),x(? + 5))0 (/)Ấ (/) ^ A) ) x ( s - h ( s ) ) d s , x ( t ) ỳ ^ /i (/>0 (í)Ai ( t ) A\ ( t ) Pp ( t ) x( t ) , x( t ) ) /■° + Ằ_I / (P«(/ + S' —/z(í+ 5,)x(5' —/1(5) ) ,x (í —h(s)))ds Vì (/^ (r )* ^ ),* ^ )) = y (í,x (r )), giả sử với số thực q > cho v ( t + s,Jt(í + s ) ) < qV{t,x{t)),'is G [—2/1,0],Ví ^ 20 Sử dụng Định lý ổn định Razumikhin ta có V(t,x(!)) < { ( P + A - TPß + P ßÄ)x(t),x(t)} + 2h ( PßAtA [ Pßx(t),x(t)) + 2hqẢ~' (Pß (t)x(t),x{t)) ({P + A - TPß + PßÄ + 2h P p A iÁ ỊPß + 2hqX ~1l)x(t),x{t ) ) (2.19) Cho q —» 1+ (2.19) trở thành V(t,x{t)) < {(Р + А~тpß + PßÄ + 2ИРрА,А]PịỊ + 2hX~'I)x(t),x(t)} ■ Vì vậy, V{ t , x( t ) ) { { P + ể TP + P £ / + 2hPA]AịP + Ỵl)x{t),x{t)) Do đó, p(t) nghiệm (RDE), ta có ý ( M W X - e | W O H ,VfỉĩO, (2.20) Theo Định lý Razumikhin ta có hệ (2.17) ổn định tiệm cận Đ ể tìm hệ số ổn định mũ nghiệm ta sử dụng bất đẳng thức (2.18) V (t,x(t)) ^ 0, với t > ta có ß ||*(r,)|| ^ v ( t , x ( t ) ) ^ у ( , х ( ) ) е ~ ^ ‘ Do đó, |0||?“55Т5)',У/ >0 Định lý hoàn toàn chứng minh □ Chú ý 2.2.1 Từ chứng minh Định lý 2.2 ì, điều kiện (RDE) có thê cho bất đắng thức ma trận sau P(t) + s j J (t)P{t) + P{t)íể(t) + 2hP(t)A ,(/)л[ (/)/>(/) + y/ < Chúng ta có th ể áp dụng kết cho Ổn định mũ hệ tuyến tính không chắn với trễ thời gian biến thiên x(t ) = (A + H A ( t ) E ) x ( t ) + (Aị + H A ị { t ) E ị ) x { t - h ( t ) ) , t ^ , x(t) = ệ ( t ) , t e [ - h , 0], ( 2 ) ^ h(t) ^ h; A, A\ , H, E, E\ cấc ma trận số với số chiều phù hợp; A(í), Aị (í) ma trận không chắn biến thời gian biến thiên thỏa mãn Ar ( í ) A ( í ) ^ / , A [ ( A ( ^ / - 21 Chúng ta có hệ sau Hê 2.2.1 Hệ (2.21 ) Ổn định mũ tồn ma trận X xác định dương số dương ß , я , £ị, / = , ,3 ,4 cho Ằ_ l /3 ^ max (a,a 1), £4 / E\ EỊ > bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa — mãn 2y/hA\Ej £1 fX XET fX -fl 0 EX —C2Ỉ 0 E\X 0 -£ / ý lự h E \Á \ 0 / * i \ à =A+A \; 7= 2/3jU(Ã) + 4hß 2a\ + 2hX- +£1; ũ = X (à + h X - 1/) 'T + (à + h X - 1l ) X + (e2 + £3 + heA) H H T + 4ЙЛ1A [ Hơn nữa, nghiệm x(í, 0) С£Ш hệ (2.21 ) thỏa mãn ||* (f, )|| ^ N e ~ ơt \\(Ị)\\,t ^ , f rw ií ДГ= = 2( Я- ^ ) +[...]... đê tài "On định mũ của hệ điêu khiển có trễ đã nêu bật được những nội dung chính sau đây • Chương 1: Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa Đưa ra các khái niệm về ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Giới thiệu về phương pháp hàm Lyapunov, các định lý về sự ổn định, ví dụ minh họa Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ Cung cấp... ổn định mũ của hệ điêu khỉên có trê V 1 • A 2.1 o A l l * / ^ A i Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ hằng số Chúng ta xét hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính sau x(t) = A x ( t ) + Bx(t —t ) ,/ > 0, trong đó x{t) £ R" là vectơ trạng thái của hệ; A, B £ (2.1) là các ma trận hằng số; T > 0 kí hiệu trễ thời gian Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận của. .. nghĩa 1.3.1 Hệ điều khiển ị 1.2) gọi là ẩn định hóa được nếu tồn tại hàm g : M'2 —»• W fĩ sao cho hệ phương trình vi phân đổng x(t) = F( t , xt , g(x(t )))ì (1.3) là ổn định tiệm cận Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược dạng không nhớ Định nghĩa 1.3.2 Cho số a > 0 Hệ điều khiển (1.2) gọi là ot - Ổn định hóa được dạng mũ nếu tồn tại hàm g : M" —> Mm sao cho hệ đóng (1.2) là a - Ổn định, tức... < 0 Điều kiện (2.2) của Định lý 2.1.1 là thỏa mãn thì v ( x t ) < 0 Hơn nữa, nếu v ( x t) < 0 thì x(r) —> 0, t —>• oo, nếu và chỉ nếu (2.2) đúng Vì vậy, hệ (2.1) là ổn định tiệm cân □ Sử dụng phép biến đổi ( 2 8) z(t) = eatx( t ), trong đó a > 0 là bậc ổn định Khi đó hệ (2.1) trở thành z{t) — (A + al )z ( t ) + B e axz{t - t ) (2.9) Hệ (2.1) là ổn định mũ với bậc ổn định a Định lý 2.1.2 Xét hệ trễ. .. (RDE), ta có ý ( M W X - e | W O H 2 ,VfỉĩO, (2.20) Theo Định lý Razumikhin ta có hệ (2.17) là ổn định tiệm cận Đ ể tìm hệ số ổn định mũ của nghiệm ta sử dụng bất đẳng thức (2.18) và V (t,x(t)) ^ 0, với t > 0 ta có ß ||*(r,)|| ^ v ( t , x ( t ) ) ^ у ( 0 , х ( 0 ) ) е ~ ^ ‘ Do đó, |0||?“55Т5)',У/ >0 Định lý được hoàn toàn chứng minh □ Chú ý 2.2.1 Từ chứng minh của Định lý 2.2 ì, điều kiện (RDE) có thê... Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ Xét hệ điều khiển có trễ trên trạng thái x(t) = F( t , x t , u( t ) ) , t ^ 0, (1.2) x(t) = ệ ( t ) , t G [-/2,0], trong đó x(t) G R" là vectơ trạng thái, u(t) G là vectơ điều khiển; h ^ 0 là hằng s ố tr ễ , ộ G c ( [ —/z, 0 ], IR” ) là h à m b a n đ ầ u v à F : M + X cho trước thỏa mãn điều kiện, F(t, 0,0) = 0, Ví ^ 0 10 X Mm —> ]Rn là h à m v e c tơ Định. .. V( t , ộ) < - w ( || 0 (O)||) thì nghiệm không của ( 1 1 ) là Ổn định đều • Nếu nghiệm không của ( Ĩ I ) ỉ à Ổn định đều, và w(s) > 0, V> 0, thì nghiệm không của ị 1 1 ) là ổn định tiệm cận đều • Nếu nghiệm không của (1.1) là Ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = 00 thì nghiệm s— >oo không của ( 1 1 ) là ổn định tiệm cận toàn cục đều Đinh lý 1.2.3 [Định lí Razumikhin] G iả s ử f : M + X cé) —'Ỷ... cận của hệ có trễ hằng số Định lý 2.1.1 Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2 ỉ), hệ là Ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng và xác định dương p > 0, Q > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn s= (A + B) TP + P(A + B) + TQ t(A + B)TPB XBTP(A + B) -T Q < 0 (2.2) Chứng minh Giả sử rằng (A +B) là một ma trận ổn định, và ma trận s không có giá trị riêng trên trục ảo Xét hệ trễ thời... hệ (2.9) là ổn định mũ với bậc ổn định a Ví dụ 2.1.1 Xét cấc hệ trễ thời gian là Ổn định mũ với bậc Ổn định a như sau 1 1 tr o n g đ ỏ A= 1 1 to 1 t{t) = {A + aỉ )z ( t ) + B e aTz{t - t ) , 0 >^1 — -0.5 0.1 0.3 0 (2.15) g ia n X đ ê d u y tr ì s ự Ổn đ ịn h c ủ a h ệ Áp dụng điều kiện (2.10) của Định lý 2.1.2 chúng ta cho bậc của ổn định mũ a = 0.1 Bằng cách sử dụng gói công cụ bất đẳng thức ma trận... vế của (2.25) với X và sử dụng Bổ đề Schur ta có s ể T (t)P + Pỉ ể ( t ) + 2hPAx(r)A [(r)p + y/ < 0 Theo Định lý 2.2.1 và Chú ý 2.2.1, hệ (2.21) là ổn định mũ Hệ quả đãđược chứng minh □ V í d ụ 2.2.1 Xét hệ tuyến tính không chắc chắn (2.21), trong đó ,, " ■ Ị í 0.03 sin/, t e l = [ 2 k j ũ , ( 2 k + 1 )ttU = 0, 1,2, ĩ , Ẽ « * \! '" (i -,')•*-(? Dễ thấy hệ không có trễ nên x(t) = A x(t), là ổn định ... chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ 14 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ số 14 2.2 Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến th iên 18 LỜI NÓI ĐẨU I Lý chọn đề tài Trễ. .. chuẩn ổn định mũ hệ có trễ số trễ biến thiên, ví dụ minh họa II Mục đích nghiên cứu • Hiểu rõ toán ổn định hệ điều khiển có trễ • Bước đầu tìm hiểu số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển với trễ. .. chuẩn ổn định mũ hệ điều khiển có trễ Khóa luận gồm chương • Chương 1: Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa Đưa khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định