Khóa luận tốt nghiệp toán học Định lý Osofsky cho vành nửa đơn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      NGUYỄN THỊ LÝ TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Bộ môn : Giải tích KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GV hướng dẫn THS.LƯƠNG HÀ Huế, tháng 5 năm 2011 1 MỤC LỤC Lời mở đầu 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . 4 1.2 Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 10 2.1 Định nghĩa toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Các tính chất của toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 27 3.1 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Dạng phân tích cực của một toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 2 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học. Trong chương trình học của chúng em, bộ môn Giải tích hàm đã được đưa vào và trở thành một học phần quan trọng ở học kì hai năm thứ ba và học kì một năm thứ tư. Việc nghiên cứu các tính chất của các toán tử tuyến tính liên tục là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích hàm. Đặc biệt là các toán tử tự liên hiệp có một số tính chất giống với các số thực và toán tử dương có một số tính chất giống với các số dương. Chính vì những tính chất đặc biệt đó, khoá luận này của em đi sâu nghiên cứu về lớp các toán tử dương trong không gian Hilbert. Khóa luận này nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống các tính chất của toán tử dương trong không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục. Nội dung nghiên cứu của em tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích và thú vị cho độc giả. Nội dung khoá luận gồm ba chương: Chương I: Một số kiến thức chẩn bị. Chương II: Toán tử dương trong không gian Hilbert. Chương III: Dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục. Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khoá luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm góp ý của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Huế, ngày 8 tháng 5 năm 2011 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Toán tử liên hợp). Cho X, Y là hai không gian Hilbert, A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục. Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A ∗ : Y −→ X được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A nếu Ax, y = x, A ∗ y, ∀x ∈ X, y ∈ Y. Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tự liên hợp). Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X). A gọi là tự liên hợp nếu x, Ay = Ax, y, ∀x, y ∈ X Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian Hilbert phức và A ∈ L(X). Điều kiện cần và đủ để A tự liên hợp là Ax, x ∈ R với mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử chiếu). Cho X là một không gian vectơ trên trường K (R hoặc C) và X = M ⊕N trong đó M, N là các không gian con của X. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈ M và z ∈ N. Ánh xạ P : X −→ X x −→ y được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con M, kí hiệu P M . ∗ Nếu X một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của X 4 thì mọi vectơ x ∈ X đều có thể biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng: x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Lúc đó ánh xạ P được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con đóng M. Kí hiệu P M . Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử đẳng cự). Cho X, Y là hai không gian Hilbert và toán tử tuyến tính T : X −→ Y sao cho T x = x với mọi x ∈ X. Lúc đó T được gọi là toán tử đẳng cự. Định nghĩa 1.1.6 (Toán tử unita). Nếu T là toán tử đẳng cự và toàn ánh thì T được gọi là một toán tử unita. Định lý 1.1.7. Cho X, Y là hai không gian Hilbert và T : X −→ Y là một toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau tương đương: (i) T là toán tử đẳng cự ; (ii) T liên tục và T ∗ .T = I X (I X là toán tử đồng nhất trong X); (iii) T bảo toàn tích vô hướng : T x 1 , T x 2  = x 1 , x 2  với mọi x 1 , x 2 ∈ X. Định lý 1.1.8. Cho X, Y là hai không gian Hilbert và U : X −→ Y là một toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau tương đương: (i) U là một toán tử unita; (ii) U là một phép đẳng cấu của X lên Y ; (iii) U liên tục và U ∗ U = I X , U ∗ U = I Y (I X , I Y là các toán tử đồng nhất lần lượt trong X và trong Y ); (iv) U liên tục và U ∗ = U −1 . Định nghĩa 1.1.9. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó: (a) Tập hợp A −1 (0) = {x ∈ X : Ax = 0} được gọi là không gian con không của A và kí hiệu là N(A); 5 (b) Tập hợp A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X} được gọi là miền giá trị của A và kí hiệu là R(A). Định lý 1.1.10. Nếu A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y thì X = N(A) ⊕R(A ∗ ) và Y = N(A ∗ ) ⊕ R(A) trong đó A ∗ là toán tử liên hợp của A. Định nghĩa 1.1.11 (Toán tử đẳng cự bộ phận). Giả sử X và Y là hai không gian Hilbert. Một toán tử tuyến tính V : X −→ Y được gọi là toán tử đẳng cự bộ phận nếu X = M ⊕N trong đó M và N là những không gian con đóng trực giao với nhau, sao cho: (i) V x = 0 khi x ∈ N, (ii) V x = x khi x ∈ M. Nhận xét: Rõ ràng N(V ) = N. Nếu đặt L = R(V ) thì L = V (X) = V (M). Không gian con M ⊂ X được gọi là miền gốc, còn L ⊂ Y được gọi là miền ảnh của toán tử đẳng cự bộ phận V. Định nghĩa 1.1.12 (Toán tử chuẩn tắc). Toán tử tuyến tính liên tục N trong không gian Hilbert X được gọi là một toán tử chuẩn tắc nếu N giao hoán với toán tử liên hợp N ∗ của nó, tức là N ∗ N = NN ∗ . Vậy các toán tử tự liên hợp, toán tử unita trong không gian Hilbert X đều là những toán tử chuẩn tắc. Định nghĩa 1.1.13. Cho X là không gian định chuẩn phức. A ∈ L(X) và λ ∈ C . Nếu tồn tại x = 0 trong X sao cho Ax = λx thì λ được gọi là một giá trị riêng của toán tử A và x là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ. λ ∈ C là giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược liên tục (A−λI) −1 . Tập các giá trị phổ gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là σ(A). Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ(A). 6 Định lý 1.1.14. Cho X là một không gian Banach phức. Khi đó σ(T ) = ∅ với mọi T ∈ L(X). Định lý 1.1.15. Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp. Khi đó σ(T ) ⊂ R. Định nghĩa 1.1.16. Cho X là một không gian Banach và T ∈ L(X), khi đó số thực r(T ) := max{|λ| : λ ∈ σ(T )} gọi là bán kính phổ của toán tử T. Định lý 1.1.17. Nếu X là một không gian Banach phức và T ∈ L(X) thì r(T ) = lim n→∞ T n  1 n . Hệ quả 1.1.18. Nếu X là một không gian Hilbert phức và T : X −→ X là một toán tử chuẩn tắc thì r(T ) = T . 1.2 Một số định lý Định lý 1.2.1. Giả sử toán tử A ∈ L(X, Y ) có toán tử ngược A −1 : Y −→ X liên tục. Khi đó (∀x ∈ X)Ax ≥ mx với mọi m ≤ A −1  −1 . (1.2.1) Ngược lại, giả sử A là toàn ánh và tồn tại m > 0 để (1.2.1) thỏa mãn thì A −1 tồn tại, liên tục và A −1  ≤ m −1 . Định lý 1.2.2 (Nguyên lý bị chặn đều). Giả sử X là một không gian Banach, Y là một không gian định chuẩn. Cho (A α ) α∈I là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Nếu họ (A α ) α∈I bị chặn điểm trên X thì sẽ bị chặn đều. Định lý 1.2.3 (Định lý Banach). Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục. Khi đó A là một phép đồng phôi tuyến tính. Định lý 1.2.4 (Suy rộng hàm liên tục ). Cho X là một không gian định chuẩn và Y là một không gian Banach. Cho X o là không gian con trù mật của 7 X và cho T o : X o → Y là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó có duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho T |X o = T o . Toán tử này thu được từ T o được gọi là "suy rộng của T o bởi tính liên tục". Định nghĩa 1.2.5 (Đại số). Một đại số X trên trường K (gọi tắt là đại số X) là một không gian vectơ trên trường K, mà trên đó tồn tại một phép toán hai ngôi, kí hiệu là (·) gọi là phép nhân, thoả mãn các điều kiện sau đây: (i) x(y + z) = xy + xz, (ii) (x + y)z = xz + yz, (iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy), với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K. Định nghĩa 1.2.6 (Đại số con). Một tập con của đại số X được gọi là đại số con của đại số X nếu nó là một không gian vectơ con đóng kín đối với phép nhân trên X. Định nghĩa 1.2.7 (Đồng cấu đại số). Một đồng cấu đại số từ đại số X vào đại số Y là một ánh xạ h : X −→ Y sao cho (i) h(x + y) = h(x) + h(y), (ii) h(x)h(y) = h(xy), (iii) h(rx) = rh(x), với mọi x, y ∈ X, r ∈ K. Định lý 1.2.8. Cho X là một không gian tôpô compact. Ta kí hiệu C(X) := {f : X −→ C : f liên tục}. Khi đó C(X) là một không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi f := sup x∈X |f(x)|. Định nghĩa 1.2.9. Cho X là một không gian Banach và một hàm f : X −→ C. Ta kí hiệu f là hàm đi từ X vào C thỏa mãn f(x) = f(x), với mọi x ∈ X. 8 Định lý 1.2.10 (Stone-Weierstrass, xem [2], Định lý 8.1, tr 145). Cho Ω là một không gian tôpô compact. Giả sử rằng A là một đại số con của C(Ω) sao cho: (i) Hàm hằng 1 A ∈ A, (ii) A tách các điểm của Ω, nghĩa là nếu ω 1 và ω 2 là những phần tử khác nhau thuộc Ω thì tồn tại hàm f ∈ A sao cho f(ω 1 ) = f(ω 2 ), (iii) Với mọi f ∈ A thì f ∈ A. Khi đó A trù mật trong C(Ω). 9 CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong phần còn lại, ta luôn xét các không gian trên trường K = C. 2.1 Định nghĩa toán tử dương Định nghĩa 2.1.1. Cho X là một không gian Hilbert, toán tử A ∈ L(X) được gọi là dương nếu Ax, x ≥ 0 với mọi x ∈ X. Khi đó ta kí hiệu: A ≥ 0. Nhận xét: Theo Định lý 1.1.3 ta suy ra nếu A là một toán tử dương thì A là tự liên hợp. Ví dụ 2.1.2. Giả sử K(t, s) là hàm thuộc không gian L 2 ([a, b] × [a, b]) và K(t, s) ≥ 0 hầu khắp nơi trên hình vuông {a ≤ t, s ≤ b}. Khi đó toán tử tích phân A trong L 2 [a, b] xác định bởi K(t, s) là dương Ax(t) =  [a,b] K(t, s)x(s)ds, x ∈ L 2 [a, b] Ta có thể kiểm chứng A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mọi x ∈ L 2 [a, b], ta có Ax, x =  [a,b]  [a,b] K(t, s)x(s)x(s)dsdt =  [a,b]  [a,b] K(t, s)|x(s)| 2 dsdt ≥ 0. 10 [...]... thay toán tử Am bằng toán tử B ta suy ra toán tử B không có toán tử ngược liên tục Mà B = −(A − M I) nên M ∈ σ(A) Cũng theo chứng minh ở trên ta suy ra với mọi > 0 thì toán tử B + I có toán tử ngược liên tục với (B + I)−1 = ((M + )I − A)−1 = −(A − (M + )I)−1 vì vậy M + ∈ σ(A) với mọi > 0 Mà σ(A) ⊂ R, m− ∈ σ(A) và M + ∈ σ(A) / / / với mọi > 0 nên σ(A) ⊂ [m, M ] 15 Định lý 2.2.7 Cho A ∈ L(X) là một toán. .. L2 ([a, b]) Vậy B 2 = A Theo Định lý 2.2.16 ta suy ra căn bậc hai dương của toán tử A là B Hệ quả 2.2.20 Cho A, B là các toán tử dương trong không gian Hilbert X Lúc đó nếu A2 = B 2 thì A = B 25 Chứng minh Đặt S = A2 = B 2 , khi đó vì A, B là các toán tử dương nên A, B là hai căn bậc hai dương của S, vì vậy theo Định lý 2.2.16 ta suy ra A = B Hệ quả 2.2.21 Cho A, B là các toán tử dương Lúc đó nếu AB... Do đó điều kiện của Định lý Stone-Weierstrass được thỏa mãn Vậy Xo = C(σ(T )) Vậy theo Định lý 1.2.4 ta có thể mở rộng ánh xạ Ψo thành ánh xạ tuyến tính liên tục Ψ : C(σ(T )) → L(X) và thỏa mãn Ψ|Xo = Ψo Ta ký hiệu Ψ(f ) := f (T ) với f ∈ C(σ(T )) Chúng ta sẽ tóm tắt những tính chất của Ψ trong định lý sau: Định lý 3.1.10 Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp... toán tử dương trong C2 Nhưng lại ta có ma trận biểu diễn của toán tử AB là AB =   12 7   Vậy AB = (AB)t Do đó AB không phải là toán tử dương 5 3 Hệ quả 2.2.13 Cho A, B là các toán tử tự liên hợp và A ≤ B Nếu C là toán tử dương giao hoán với cả A và B thì AC ≤ BC Chứng minh Ta có B ≥ A suy ra B − A ≥ 0 Mà C ≥ 0 và C giao hoán với cả A và B Vậy theo Định lý 2.2.11 thì (B − A)C ≥ 0 hay AC ≤ BC Định. .. tự liên hợp B thỏa mãn B 2 = A Định lý 2.2.16 Cho A là một toán tử dương trong không gian Hilbert X Khi đó, A có một căn bậc hai dương duy nhất Hơn nữa, B giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với A Chú ý: Toán tử B được gọi là căn bậc hai dương của toán tử dương A và √ 1 thường được kí hiệu là A 2 hay A Chứng minh Cũng như chứng minh trong Định lý 2.2.11 ở đây ta có thể giả... của A Ví dụ 2.2.18 Tìm toán tử căn bậc hai của toán tử A được cho như sau: A : C2 → C2 (x1 , x2 ) −→ (10x1 + 5x2 , 5x1 + 5x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ C Tương tự ví dụ 2.2.12 ta có A là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác ta có   10 5  Ta có A = At và det A = 25 ma trận biểu diễn của toán tử A là  5 5 24 Vậy A là toán tử dương Giả sử toán  tự liên hợp B là toán tử căn bậc hai của toán tử A Và gọi tử ... Vậy X = R(Am− ) hay Am− là toàn ánh Vậy từ (2.2.3) và Định lý 1.2.1 ta suy ra tồn tại toán tử A−1 liên tục Do đó m − ∈ σ(A), / m− với mọi > 0 Xét toán tử B = M I − A Ta có các toán tử I và A là các toán tử tuyến tính liên tục nên toán tử B cũng là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, Bx, x = M x − Ax, x = M x 2 − Ax, x ≥ 0 với mọi x ∈ X, vì vậy B là toán tử dương inf Bx, x = inf (M − Ax, x ) = M − sup... luôn có ∞ an |ξn |2 ≥ 0 với mọi x ∈ Ax, x = 2 n=1 nên A là một toán tử dương trong 2.2 2 Các tính chất của toán tử dương Trong mục này ta xét các toán tử trong không gian Hilbert X Định lý 2.2.1 Nếu A ∈ L(X) thì các toán tử A∗ A và AA∗ là dương Chứng minh Ta có A và A∗ là các toán tử tuyến tính liên tục nên các toán tử A∗ A và AA∗ cũng là các toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, với mọi x ∈ X, A ∈ L(X)... 0, với mọi n = 0, 1, 2, và các toán tử này giao hoán với nhau nên theo Định lý 2.2.11 thì Sn − Sn+1 ≥ 0 Từ (2.2.9) và Định lý 2.2.10 ta suy ra dãy (Sn )n hội tụ theo điểm đến một 1 1 2 toán tử dương S Lấy x ∈ X tùy ý Trong đẳng thức Sn+1 x = Cx + Sn x 2 2 1 1 2 cho n → ∞ ta được Sx = Cx + S , với mọi x ∈ X Vậy S là nghiệm của 2 2 phương trình (2.2.8) Do đó B = I − S là toán tử phải tìm Mặt khác giả... AA∗ x, x = A∗ x, A∗ x = A∗ x 2 ≥0 2 ≥ 0 Do đó A∗ A và AA∗ là các toán tử dương Định lý 2.2.2 Nếu A là toán tử dương và B ∈ L(X) thì toán tử B ∗ AB là dương Chứng minh Ta có B ∗ AB là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác với mọi x ∈ X, ta có B ∗ ABx, x = ABx, Bx = Ay, y ≥ 0 (với y = Bx) Do đó B ∗ AB là toán tử dương Tính chất 2.2.3 Nếu A là toán tử dương thì với mọi x, y ∈ X | Ax, y |2 ≤ Ax, x Ay, y Chứng