Lý thuyết đồng dư trên vành các số nguyên Gaus : Khóa luận tốt nghiệp toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS Chuyên ngành: Đại số Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Ths.VĂN NAM NGUYỄN THỊ THƯƠNG Huế, năm 2011 i Mục Lục Lời nói đầu 1 1 Vành các số nguyên Gauss 2 1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Vành các số nguyên Gauss . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Mệnh đề 1.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Các ước của đơn vị trong Z[i] . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Các phần tử nguyên tố của Z[i] . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Lý thuyết đồng dư 12 2.1 Khái niệm đồng dư thức và các tính chất cơ bản . . . . . . 12 2.1.1 Khái niệm đồng dư thức: . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Hệ thặng dư đầy đủ trong Z[i] . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Tính chất nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Hệ thức Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Định lý Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Định lý Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Phương trình đồng dư 28 3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Một số phương trình có dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . 46 3.4.1 Phương trình x 2 + 1 ≡ 0 (mod π) . . . . . . . . 46 ii 3.4.2 Phương trình αx 2 + βx + γ ≡ (mod π) . . . . 47 3.4.3 Phương trình x 2 ≡ 1 + i (mod q) . . . . . . . . 48 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 51 iii Lời nói đầu Lý thuyết đồng dư là một nội dung rất quan trọng của lý thuyết số. Nó là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán số học và một số bài toán trong các lĩnh vực khác. Trong chương trình phổ thông và đại học, chúng ta chỉ được tìm hiểu lý thuyết đồng dư trên vành các số nguyên Z. Trong khi đó, lý thuyết đồng dư có thể khái quát lên các miền nguyên. Chính vì thế, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Văn Nam, tôi chọn đề tài: "Lý thuyết đồng dư trên vành các số nguyên Gauss". Số nguyên Gauss là một số phức mà phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Các số nguyên Gauss cùng với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức cảm sinh tạo thành một vành, gọi là vành các số nguyên Gauss ký hiệu là Z[i]. Trong vành các số nguyên Gauss, ta có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành các số nguyên Z như: chia hết, phần tử nguyên tố, đồng dư thức, phương trình đồng dư. Với đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu ba nội dung chính tương ứng với ba chương: Chương 1: Giới thiệu về vành các số nguyên Gauss, nhóm các phần tử ước của đơn vị, các phần tử nguyên tố trong Z[i]. Chương 2: Xây dựng định nghĩa đồng dư thức trên Z[i], các tính chất cơ bản, hệ thặng dư đầy đủ, hàm Euler, tính chất nhân, công thức tính, hệ thức Gauss, định lý Euler, định lý Fermat. Chương 3: Xây dựng định nghĩa phương trình đồng dư, phương trình bậc nhất, bậc hai và một số phương trình đồng dư có dạng đặc biệt. Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận này không tránh khỏi có một số sai sót. Rất mong sự nhận xét, góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn chỉnh hơn. 1 Chương 1 VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS Z[i] 1.1 Định nghĩa và tính chất 1.1.1 Vành các số nguyên Gauss Xét: Z[i] = {m + ni | m, n ∈ Z} ⊂ C Khi đó ta có: + Z ⊂ Z[i] nên Z[i] = ∅ + ∀α = a + bi, β = c + di ∈ Z[i] (a, b, c, d ∈ Z) −α = −a − bi ∈ Z[i] α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ∈ Z[i] αβ = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ∈ Z[i] Do đó Z[i] là một vành con sinh bởi Z và số phức i của trường số phức, được gọi là vành các số nguyên Gauss. Z[i] là một vành khác {0}, giao hoán, có đơn vị và không có ước của không. Suy ra Z[i] là một miền nguyên có đơn vị. 1.1.2 Mệnh đề 1.1.2. Z[i] là miền nguyên Euclide 2 Chứng minh: Xét ánh xạ: N : Z[i] ∗ = Z[i]\{0} −→ N α = m + ni −→ N(α) = αα = m 2 + n 2 i) ∀α, β ∈ Z[i] ∗ , ta có N(αβ) = αβαβ = αβαβ = ααββ = N(α)N(β) Vì 1 ≤ N(α) nên N(β) ≤ N(α)N(β) = N(αβ). ii) ∀α = a + bi ∈ Z[i], ∀β = c + di ∈ Z[i] ∗ (a, b, c, d ∈ Z) αβ −1 = a + bi c + di = (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) = (ac + bd) + (bc − ad)i c 2 + d 2 = ac + bd c 2 + d 2 + bc − ad c 2 + d 2 i Đặt u = ac + bd c 2 + d 2 , v = bc − ad c 2 + d 2 . Khi đó u, v ∈ Q ( do a, b, c, d ∈ Z ). Chọn m, n ∈ Z sao cho |m − u| ≤ 1 2 , |n − v| ≤ 1 2 . Đặt s = m − u , t = n − v ⇒ u = m − s , v = n − t. Ta có αβ −1 = u + vi = (m − s) + (n − t)i = (m + ni) − (s + ti). Đặt γ = m + ni , θ = −(s + ti)β . Khi đó −(s + ti) = θβ −1 . Suy ra αβ −1 = γ + θβ −1 ⇔ α = γβ + θ Do đó θ = α − γβ. Mà α, β, γ ∈ Z[i] nên θ ∈ Z[i]. Mặt khác N(θ) = N(−θ) = N[(s + ti)β] = N(s + ti)N(β) = (s 2 + t 2 )N(β) và s 2 +t 2 = |m−u| 2 +|n −v| 2 ≤ 1 4 + 1 4 = 1 2 nên N(θ) ≤ 1 2 N(β) < N(β). Vậy ∀α ∈ Z[i], ∀β ∈ Z[i] ∗ , ∃ γ, θ ∈ Z[i] sao cho α = γβ + θ với θ = 0 hay θ = 0 và N(θ) < N(β). Từ i) và ii) ta suy ra Z[i] là miền nguyên Euclide. ✷ 3 1.2 Các ước của đơn vị trong Z[i] Định nghĩa 1.2.1. Số nguyên Gauss α được gọi là chia hết cho số nguyên Gauss β khác 0 nếu tồn tại số nguyên Gauss γ sao cho α = βγ. Khi đó, β được gọi là ước của α, ký hiệu β | α. Giả sử ε ∈ Z[i] ∗ là một ước của đơn vị (tức ε | 1). Khi đó ε | α, ∀ α ∈ Z[i] (vì 1 | α, ∀ α ∈ Z[i]). Mệnh đề 1.2.2. ε là ước của đơn vị trong Z[i] ⇔ N(ε) = 1 Chứng minh: (⇒) Giả sử ε | 1. Khi đó tồn tại µ ∈ Z[i] ∗ sao cho εµ = 1. Suy ra N(ε)N(µ) = N(εµ) = N(1) = 1 Cho nên N(ε) | 1. Mà N(ε) ∈ N nên N(ε) = 1. (⇐) Giả sử N(ε) = 1 và ε = a + bi. Khi đó N(ε) = a 2 + b 2 = (a + bi)(a − bi) = 1 Do đó a+bi | 1 hay ε | 1. ✷ Giả sử ε = m + ni | 1. Khi đó N(ε) = 1 ⇔ m 2 + n 2 = 1. Do đó:    m = ±1 n = 0 hoặc    m = 0 n = ±1 Suy ra các ước của đơn vị trong Z[i] là ±1, ±i. Các phần tử này ổn định với phép nhân cảm sinh nên lập thành một nhóm, ta ký hiệu là U = {1 ; −1 ; i ; −i}. 1.3 Các phần tử nguyên tố của Z[i] Ta có Z[i] là một miền nguyên Euclide nên là một miền nguyên Gauss. Do đó, mọi phần tử bất khả quy của Z[i] cũng là phần tử nguyên tố. 4 Giả sử π ∈ Z[i] ∗ \ U là phần tử nguyên tố. Khi đó π chỉ chia hết cho những số nguyên Gauss liên kết với 1 và những số nguyên Gauss liên kết với chính nó. Vì vậy, nếu π là phần tử nguyên tố của Z[i] thì π có đúng tám ước: ±1, ±i, ±π, ±iπ Nếu π là một phần tử nguyên tố của Z[i] thì các số nguyên Gauss liên kết với π cũng là các phần tử nguyên tố của Z[i]. Mệnh đề 1.3.1. Cho α, β, γ ∈ Z[i] ∗ . i) Nếu (α, β) ∼ 1 và α | βγ thì α | γ. ii) Cho π là một phần tử nguyên tố của Z[i]. Nếu π | αβ thì π | α hoặc π | β. Chứng minh: i) Giả sử (α, β) ∼ 1. Khi đó (αγ, βγ) ∼ γ. Mặt khác α | αγ, α | βγ do đó α | (αγ, βγ). Suy ra α | γ. ii) Giả sử π  α và π  β. Khi đó (π, α) ∼ 1, (π, β) ∼ 1. Cho nên (π, αβ) ∼ 1 (Mâu thuẫn với π | αβ). Vậy π | α hoăc π | β. ✷ Mệnh đề 1.3.2. i) Xét α ∈ Z[i] ∗ . Nếu N(α) là số nguyên tố trong Z thì α là phần tử nguyên tố của Z[i]. ii) Xét p là số nguyên tố trong Z. Khi đó, p là phần tử nguyên tố của Z[i] nếu và chỉ nếu p = N(α), ∀α ∈ Z[i]. iii) Nếu q là một số nguyên tố trong Z có dạng q=4k+3, (k ∈ Z) thì q là một phần tử nguyên tố của Z[i]. Chứng minh: i) Giả sử α không phải là phần tử nguyên tố của Z[i]. Ta có N(α) là số nguyên tố trong Z nên α ∈ Z[i] ∗ \U. Khi đó vì α không phải là phần tử nguyên tố của Z[i] nên: ∃ β, γ ∈ Z[i] ∗ \U : α = βγ với N(β) > 1, N(γ) > 1 5 Do đó N(α) = N(βγ) = N(β)N(γ) Suy ra N(α) không nguyên tố trong Z (Trái với giả thiết). Vậy α là phần tử nguyên tố của Z[i]. ii) (⇒) Giả sử p là số nguyên tố của Z[i]. Khi đó nếu tồn tại α ∈ Z[i] sao cho p = N(α) = αα thì α, α là các số nguyên tố của Z[i] (vì N(α) = N(α) = p là số nguyên tố trong Z). Suy ra p không phải là số nguyên tố của Z[i] (Mâu thuẫn). Vậy p = N(α), ∀α ∈ Z[i]. (⇐) Giả sử p = N(α), ∀α ∈ Z[i]. Khi đó nếu p không phải là số nguyên tố trong Z[i] thì tồn tại α, β thuộc Z[i] ∗ \U sao cho p = αβ. Ta có p 2 = N(p) = N(αβ) = N(α)N(β) Mà p nguyên tố nên N(α) = N(β) = p (Mâu thuẫn với p = N(α), ∀α ∈ Z[i]). Vậy p là số nguyên tố trong Z[i]. iii) Giả sử q là số nguyên tố trong Z có dạng 4k + 3 (k ∈ Z). Khi đó nếu tồn tại α = m+ni ∈ Z[i] sao cho q = N(α) thì q = m 2 +n 2 hay 4k + 3 = m 2 + n 2 . Nếu m chẵn m = 2l (l ∈ Z) thì m 2 = 4l 2 ≡ 0 (mod 4). Nếu m lẻ m = 2t + 1 (t ∈ Z) thì m 2 = 4t 2 + 4t + 1 ≡ 1 (mod 4). Tương tự nếu n chẵn thì n 2 ≡ 0 (mod 4), n lẻ thì n 2 ≡ 1 (mod 4). Do đó: m 2 + n 2 ≡ 0 (mod 4) nếu m, n chẵn. m 2 + n 2 ≡ 1 (mod 4) nếu m chẵn, n lẻ hoặc m lẻ, n chẵn. m 2 + n 2 ≡ 2 (mod 4) nếu m, n lẻ. 6 Mà 4k + 3 ≡ 3 (mod 4). Mâu thuẫn với 4k + 3 = m 2 + n 2 . Vậy q = N(α), ∀α ∈ Z[i]. Theo ii) ta suy ra q là một số nguyên tố trong Z[i]. ✷ Bổ đề 1.3.3. Xét p là một số nguyên tố dương trong Z, khi đó: p = a 2 + b 2 (a, b ∈ Z) ⇔ p = 2 hoặc p ≡ 1 (mod 4) Chứng minh: Ta có p = 2 = 1 2 + 1 2 Xét p > 2 (⇒) Giả sử p = a 2 + b 2 (a, b ∈ Z). Khi đó vì p lẻ nên a 2 lẻ, b 2 chẵn hoặc là a 2 chẵn, b 2 lẻ. Nếu a 2 lẻ , b 2 chẵn thì a lẻ, b chẵn. Do đó a 2 + b 2 ≡ 1 (mod 4). Nếu a 2 chẵn, b 2 lẻ thì a chẵn, b lẻ. Do đó a 2 + b 2 ≡ 1 (mod 4). Vậy p ≡ 1 (mod 4). (⇐) Giả sử p ≡ 1 (mod 4). Khi đó nếu p = a 2 + b 2 , ∀ a, b ∈ Z tức p = N(α), ∀α ∈ Z[i] thì theo ii) mệnh đề 1.3.2 ta có p là một phần tử nguyên tố của Z[i]. Mặt khác vì p ≡ 1 (mod 4) nên ( −1 p ) = (−1) p−1 2 = 1. Do đó tồn tại x ∈ Z sao cho x 2 ≡ −1 (mod p) ⇔ x 2 + 1 ≡ 0 (mod p) hay p | x 2 + 1 ⇔ p | (x + i)(x − i) Mà p là một phần tử nguyên tố của Z[i] nên p | x + i hoặc p | x − i. Vô lý vì x p + 1 p i , x p − 1 p i không phải là các số nguyên Gauss. Vậy tồn tại a, b ∈ Z sao cho p = a 2 + b 2 . ✷ Như vậy, nếu p = 2 và p = 4n + 1 (n ∈ N) là các số nguyên tố trong Z thì theo bổ đề 1.3.3 tồn tại a + bi ∈ Z[i] sao cho N(a + bi) = p. Do đó theo ii) mệnh đề 1.3.2 ta suy ra p không phải là phần tử nguyên tố của Z[i]. 7 [...]... Trên vành các số nguyên Gauss Z[i], các phần tử nguyên tố gồm:  1 + i       q q là số nguyên tố lẻ trong Z có dạng 4n+3 π ∼ a + bi sao cho N (a + bi) = a2 + b2 =p        với p là số nguyên tố lẻ trong Z có dạng 4n+1 Mệnh đề 1.3.6 i) Mọi số nguyên Gauss khác 0 và khác các phần tử khả nghịch đều chia hết cho một phần tử nguyên tố của Z[i] ii) Mọi số nguyên Gauss khác 0 và khác các phần... nhau và n1 , n2 , , nr là các số nguyên dư ng 11 Chương 2 LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ 2.1 Khái niệm đồng dư thức và các tính chất cơ bản 2.1.1 Khái niệm đồng dư thức: Định nghĩa 2.1.1.1 Cho µ ∈ Z[i]∗ và α, β ∈ Z[i] Khi đó, nếu µ | α − β thì ta nói rằng α đồng dư với β theo môđulô µ Khi α đồng dư với β theo môđulô µ thì ta ký hiệu: α ≡ β (mod µ) và gọi đó là một đồng dư thức Ví dụ 2.1.1.2 15 ≡ 1 5 + 2i ≡ 3 (mod... cho π) Do đó z là số nguyên tố trong Z Giả sử π là ước của hai số nguyên tố dư ng p, p của Z Khi đó π | p, π | p nên π | xp + yp = 1 ( Do (p, p ) = 1) Vô lý vì π là số nguyên tố của Z[i] Vậy π là ước của đúng một số nguyên tố dư ng trong Z Mệnh đề 1.3.4 Bất kỳ phần tử nguyên tố nào của Z[i] đều là ước của đúng một số nguyên tố dư ng trong Z Sau đây, chúng ta sẽ xác định các phần tử nguyên tố của Z[i]... tử nguyên tố của Z[i] * Trường hợp 2: p = 4n + 3 (n ∈ N) Theo iii) mệnh đề 1.3.2 ta có p là một số nguyên tố của Z[i] * Trường hợp 3: p = 4n + 1 (n ∈ N) Ta có p không phải là một phần tử nguyên tố của Z[i] và p = a2 + b2 , a, b ∈ Z (theo bổ đề 1.3.3) nên a + bi và các liên kết của nó là các phần tử nguyên tố của Z[i] Từ các kết quả trên, ta suy ra các phần tử nguyên tố của Z[i] l : Mệnh đề 1.3.5 Trên. .. Định lý 2.6.2 Với mọi α ∈ Z[i]∗ ta c : ϕ(β) = N (α) (**) β|α Chứng minh: Với α ∼ 1 ta có (**) đúng Với α 1, vì Z[i] là miền nguyên Gauss nên α có dạng nhân tử hóa n n n duy nhất thành các phần tử nguyên tố l : α = π1 1 π2 2 πr r trong đó π1 , π2 , , πr là các phần tử nguyên tố của Z[i] đôi một không liên kết với nhau và n1 , n2 , , nr là các số nguyên dư ng Vì ϕ có tính chất nhân nên ta c : r... xác định tập tất cả các giá trị của ẩn là các số nguyên Gauss nghiệm đúng nó Nếu x0 nghiệm đúng (3.1) và x1 ≡ x0 (mod µ) thì x1 cũng nghiệm đúng (3.1) Do đó, tập các giá trị là các số nguyên Gauss nghiệm đúng (3.1) được phân hoạch thành những lớp thặng dư theo các môđulô µ, mỗi lớp như vậy được gọi là một nghiệm của (3.1) Như vậy, giải (3.1) có nghĩa là giải phương trình đại s : (αn )µ xn + (αn−1 )µ... phần tử nguyên tố của Z[i] Khi đó π | ππ = N (π) Cho nên tồn tại những số nguyên dư ng chia hết cho π Gọi z là số nguyên dư ng nhỏ nhất trong những số đó Giả sử z không phải là số nguyên tố trong Z Khi đó ∃ z1 > 1, z2 > 1 (z1 , z2 ∈ N∗ ) sao cho z = z1 z2 Ta có z1 < z và z2 < z Mặt khác π | z hay π | z1 z2 Theo ii) mệnh đề 1.3.1 ta có π | z1 hoặc π | z2 (Mâu thuẫn với giả thiết z là số nguyên dư ng... là các phần tử nguyên tố của Z[i] 2 Nhận xét 1.3.7 Ta có Z[i] là miền nguyên Gauss nên mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều có một dạng nhân tử hóa duy nhất thành các phần tử nguyên tố Do đó với mọi α ∈ Z[i]∗ \U ta có thể đặt α dư i dạng: n n n α = π 1 1 π2 2 π r r trong đó π1 , π2 , , πr là những phần tử nguyên tố của Z[i] đôi một không liên kết với nhau và n1 , n2 , , nr là các số nguyên. .. bằng phương pháp phân tích các số nguyên tố dư ng của Z Xét π = m + ni là một phần tử nguyên tố trong Z[i] Khi đó theo mệnh đề 1.3.4 tồn tại số nguyên tố dư ng p trong Z sao cho π | p - Nếu p là phần tử nguyên tố của Z[i] thì π liên kết với p - Nếu p không phải là phần tử nguyên tố của Z[i] thì p = πλ với λ ∈ Z[i]∗ \U Khi đó ta có p2 = N (p) = N (πλ) = N (π)N (λ) Mà p là số nguyên tố trong Z và N (π)... α2 ) = ϕ(α1 )ϕ(α2 ) Chứng minh: Gọi ∗ Gα1 = {γ1 ∈ Hα1 : (γ1 , α1 ) ∼ 1} ∗ Gα2 = {γ2 ∈ Hα2 : (γ2 , α2 ) ∼ 1} ∗ Gα = {γ ∈ Hα : (γ, α) ∼ 1} ∗ ∗ ∗ trong đó, Hα1 , Hα2 , Hα lần lượt là các hệ thặng dư thu gọn theo môđulô α1 , α2 , α (α = α1 α2 ) Vì Hα là một hệ thặng dư đầy đủ theo môđulô α nên: ∀(γ1 , γ2 ) ∈ Gα1 × Gα2 , ∃β ∈ Hα : β ≡ α1 γ2 + α2 γ1 (mod α) Xét tương ứng: f: Gα1 × Gα2 −→ Gα (γ1 , γ2 ) −→