Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trường q(√− 3)

Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI VÀ VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA NÓ 1.1 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các tính chất VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA √ TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q( d) 12 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Các tính chất 12 1.2.3 Xác định phần tử cụ thể Z A 16 NHÓM NHÂN CÁC ƯỚC ĐƠN VỊ CỦA VÀNH Z A 20 1.3.1 Định nghĩa 20 1.3.2 Các tính chất 20 √ Xác định nhóm nhân U A trường K = Q( d) trường 1.2 1.3 TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI 1.3.3 đại số bậc hai ảo 22 LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ √ CỦA TRƯỜNG Q( −3) 26 2.1 ĐỒNG DƯ THỨC 26 2.1.1 26 Định nghĩa 2.1.2 Một số tính chất đồng dư thức 27 2.1.3 Mệnh đề 28 2.2 CÁC LỚP THẶNG DƯ - HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ - HỆ THẶNG DƯ THU GỌN 30 2.2.1 Định nghĩa 30 2.2.2 Ước chung lớn lớp thặng dư với modun 30 2.2.3 Vành lớp thặng dư 31 2.2.4 Hệ thặng dư đầy đủ modun µ 32 2.2.5 Một số tính chất 34 2.2.6 Chú ý 36 2.2.7 Hệ thặng dư thu gọn modun µ 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Đại số với đề tài " Lý thuyết đồng dư √ vành số nguyên đại số trường Q( −3) " kết q trình cố gắng khơng ngừng thân giúp đỡ, động viên Thầy Cô, bạn bè người thân Qua trang viết này, tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Cô giáo - Ths.Nguyễn Thị Hải trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, động viên quý báu Thầy Cô, bạn bè, bạn sinh viên lớp K55 Đại học Sư phạm Tốn giúp đỡ tơi q trình học tập thực Khóa luận tốt nghiệp Sơn La, tháng 05 năm 2018 Đinh Thị Thu Uyên MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN Lý thuyết đồng dư nội dung quan trọng lý thuyết số Nó cơng cụ để giải nhiều toán số học số tốn lĩnh vực khác Trong chương trình phổ thông đại học, cao đẳng, tìm hiểu lý thuyết đồng dư vành số nguyên Z Trong đó, lý thuyết đồng dư khái quát lên miền nguyên Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu nội dung kể trên, chọn √ " Lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số trường Q( −3) " để nghiên cứu kiến thức tài liệu đề cập tới, số tài liệu nói sơ qua, khơng chi tiết trình bày tiếng Anh 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khóa luận tìm hiểu lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số √ trường Q( −3) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Trường đại số bậc hai vành phần tử nguyên đại số Nghiên cứu lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số trường √ đại số Q( −3) NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Các định nghĩa, tính chất vành phần tử nguyên trường đại số bậc √ hai lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số trường Q( −3) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức Dịch trọn vẹn chương tiếng anh tài liệu [4] CẤU TRÚC KHĨA LUẬN Từ mục đích nhiêm vụ nghiên cứu đặt ra, bố cục khóa luận xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Trường đại số bậc hai vành phần tử ngun Trong chương tơi nghiên cứu trường đại số bậc hai đặc trưng Sau nghiên cứu vành phần tử nguyên đại số trường đại số bậc hai tương ứng Cuối nghiên cứu nhóm nhân ước đơn vị đồng thời xác định nhóm nhân ước đơn vị trường đại số bậc hai ảo Chương 2: Lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số √ trường Q( −3) Chương nội dung khóa luận, tơi trình bày đồng dư thức lớp thặng dư, hệ thặng dư đầy đủ, hệ thặng dư thu gọn đặc trưng NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA KHĨA LUẬN Khóa luận trình bày số vấn đề lý thuyết đồng dư √ vành số nguyên đại số trường Q( −3) mà tài liệu nói sơ qua, khơng chi tiết trình bày tiếng Anh Chương TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI VÀ VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA NÓ 1.1 1.1.1 TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 (Số đại số bậc hai) Số phức α gọi số đại số bậc hai α nghiệm đa thức bậc hai Q[ x ] không nghiệm đa thức bậc nhỏ hai Q[ x ] Định nghĩa 1.2 (Trường đại số bậc hai) Giả sử α số bậc hai Khi tập hợp: Q(α) = { a + bα với a,b ∈ Q} trường trường số phức C Các phần tử Q(α) số đại số có bậc nhỏ hai Trường Q(α) gọi trường đại số bậc hai Vì trường A số đại số trường trường số phức C Q(α) ⊂ A nên Q(α) trường trường A số đại số 1.1.2 Các tính chất Từ định nghĩa ta có số tính chất sau: Mệnh đề 1.3 Giả sử α số đại số bậc hai f ( x ) đa thức tối tiểu Khi ta có: Q[ x ] / < f ( x ) > ∼ = Q( α ) Chứng minh Xét ánh xạ: ϕ : Q[ x ] → Q( α ) g( x ) → ϕ [ g( x )] = g(α) Với phần tử tùy ý β ∈ Q(α) ta có: β = a + bα với a, b ∈ Q Thế có đa thức g( x ) = a + bx ∈ Q[ x ] thỏa mãn ϕ [ g1 ( x ) + g2 ( x )] = ϕ [ g1 ( x )] + ϕ [ g2 ( x )] ϕ [ g1 ( x ) g2 ( x )] = ϕ [ g1 ( x )] ϕ [ g2 ( x )] Hơn Kerϕ=< f ( x ) > Thật vậy: Giả sử g( x ) ∈ Q[ x ] ta có: q( x ) ∈ Q[ x ] r ( x ) = a0 + a1 x ∈ Q[ x ] cho g ( x ) = f ( x ) q ( x ) + r ( x ) Và giả sử ϕ [ g( x )] = 0, ta có: g(α) = mà f (α) = nên r (α) = Nếu r ( x ) = bậc α nhỏ hai, trái với giả thiết Vậy r ( x ) = suy g( x ) ∈< f ( x ) > Đảo lại, giả sử g( x ) ∈< f ( x ) > Nghĩa g( x ) = f ( x )q( x ) với q( x ) ∈ Q[ x ] Khi g(α) = f (α)q(α) = Do g( x ) ∈ Kerϕ Áp dụng Định lý đồng cấu ta Q[ x ] / < f ( x ) > ∼ = Q( α ) Mệnh đề 1.4 Giả sử α số đại số bậc hai Khi phần tử K = Q(α) biểu diễn dạng a + bα với a, b ∈ Q Từ suy K = Q(α) không gian vectơ hai chiều Q Chứng minh Từ định nghĩa trường đại số bậc hai ta suy phần tử K = Q(α) (trường bé trường đại số phức C chứa trường số hữu tỉ Q α) biểu diễn dạng a + bα với a, b ∈ Q Giả sử x = a + bα = a + b α hai cách biểu diễn phần tử x ∈ K với a, b, a , b ∈ Q Khi ta có: a − a = (b − b)α Rõ ràng b − b = b − b = α = a−a ∈ Q vô lý Vậy b = b kéo b −b theo a − a = 0, nghĩa a = a Như K = Q(α) không gian vectơ hai chiều Q với sở chẳng hạn {1, α} Mệnh đề 1.5 Giả sử K trường trường số phức C mở rộng bậc hai trường số hữu tỉ Q α ∈ K \ Q Khi ta có: K = Q( α ) Chứng minh Rõ ràng Q(α) ⊂ K coi Q không gian vectơ trường Q(α) ta có: K : Q( α ) Q( α ) : Q = K : Q (1.1) Từ (1.1) với Q(α) : Q = K : Q = suy K : Q(α) = nên K = Q(α) Vậy ta có điều cần chứng minh Định lý 1.6 Giả sử K trường trường số phức C Khi K trường đại số bậc hai K = Q( α ) với α nghiệm đa thức x2 − d, d số ngun hữu tỉ khác khơng có nhân tử bình phương Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử K trường đại số bậc hai Khi có phần tử θ ∈ K \ Q cho θ nghiệm đa thức x2 + px + q, nghĩa θ + pθ + q = p p2 − 4q − = Khi theo Mệnh đề 1.5 ta có K = Q(θ ) suy θ + p Đặt θ + = β, ta có β ∈ K \ Q Lại theo Mệnh đề 1.5 ta có K = Q( β) β r nghiệm đa thức x2 − với r = p2 − 4q Đặt 2β = γ ta có γ ∈ K \ Q nên K = Q(γ) γ nghiệm đa thức x − r ∈ Z[ x ] Giả sử r = n2 d với d ∈ Z, hiển nhiên d = γ ∈ / Q d khơng có nhân tử bình phương khác Khi đặt α2 − d = γ = α, ta có α ∈ K \ Q nên K = Q(α) n γ2 γ2 − n2 d γ2 − r − d = = = n2 n2 n2 Nghĩa α nghiệm đa thức x2 − d ∈ Z[ x ] Nói cách khác K = Q(α), α nghiệm đa thức x2 − d với d số nguyên hữu tỉ khác khơng có nhân tử bình phương khác Điều kiện đủ: Giả sử K = Q(α), α nghiệm đa thức x2 − d với d số nguyên hữu tỉ khác khơng có nhân tử bình phương khác Ta phải chứng minh K trường đại số bậc hai Ta thấy x2 − d đa thức bất khả quy Thật vậy: Giả sử ngược lại x2 − d (∗) đa thức bất khả quy Q[ x ] Khi bậc (∗) nên (∗) phải có nghiệm hữu tỉ, chẳng hạn nghiệm r với r, s ∈ Z, s > 0, (r, s) = s Từ suy r2 = ds2 Do (r, s) = nên ta có d r2 Mà d = nên suy r = 1, mâu thuẫn với giả thiết d khơng có nhân tử bình phương khác Vậy x2 − d đa thức bất khả quy Q[ x ] đa thức tối tiểu α Do bậc α 2, nghĩa K = Q(α) trường đại số bậc hai Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.7 1.7.1 Qua chứng minh Định lý 1.6 ta thấy K trường đại số bậc hai √ K = Q( d), với d số nguyên hữu tỉ khác khơng có nhân tử bình phương Khi d = ta có đa thức x2 − khơng cịn đa thức bất khả quy Q[ x ] √ 1.7.2 Mọi α ∈ K = Q( d) biểu diễn dạng √ α = a + b d với a, b ∈ Q 1.7.3 Ánh xạ √ √ δ : Q( d ) → Q( d ) √ √ α = a + b d → δ(α) = a − b d √ song ánh tự đồng cấu trường K = Q( d) √ √ √ Thật vậy, với α1 = a1 + b1 d, α2 = a2 + b2 d ∈ Q( d) ta có: √ √ α1 = α2 ⇔ a1 + b1 d = a2 + b2 d    a1 = a2 ⇔  b = b √ √ ⇔ a1 − b1 d = a2 − b2 d ⇔ δ ( α1 ) = δ ( α2 ) 10 2.1.3 Mệnh đề Mệnh đề 2.10 Với hai số nguyên hữu tỷ m n ta có: m ≡ n(mod µ) ⇔ m ≡ n mod N (µ) d µ = a + bξ ∈ Z A d = ( a, b) Chứng minh ∗ Trước hết ta chứng minh nhận xét sau: Giả sử α ∈ Z A Khi αµ ∈ Z ⇔ α = p µ, p, q ∈ Z, ( p, q) = q q \ d = ( a, b) Thật vậy: Giả sử αµ ∈ Z Đặt αµ = k ∈ Z αµµ = kµ hay αN (µ) = kµ suy k µ N (µ) p k = với p, q ∈ Z, ( p, q) = ta được: Đặt N (µ) q α= α= Vì α ∈ Z A nên p p p p µ = [( a − b) − bp] = ( a − b) − bp q q q q p p ( a − b) ∈ Z b ∈ Z ( p, q) = nên suy q \ a q q q \ b hay q \ d = ( a, b) Khi ấy, rõ ràng α ∈ Z A αµ = p p p µµ = N (µ) = ( a2 − ab + b2 ) ∈ Z q q q Vậy αµ ∈ Z ∗ Bây ta chứng minh Mệnh đề 2.10 : Giả sử m ≡ n (mod µ) suy tồn α ∈ Z A cho m = n + αµ αµ = m − n ∈ Z Theo nhận xét ta có α = p µ với p, q ∈ Z, ( p, q) = q \ d = ( a, b) q Do p p pd N (µ) m = n + µµ = n + N (µ) = n + q q q d Vì q \ d nên pd N (µ) ∈ Z ta có m ≡ n mod q d 28 Đảo lại, giả sử m ≡ n mod N (µ) d suy tồn c ∈ Z cho N (µ) d c µ Ta có a = b + µµ = b + c µ d d a=b+c α=c a − b − bϕ µ =c =c d d a−b b − ϕ d d Nên a = b + αµ với α ∈ Z A nghĩa a ≡ b (mod µ) 29 ∈ ZA 2.2 CÁC LỚP THẶNG DƯ - HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ - HỆ THẶNG DƯ THU GỌN Giả sử = µ ∈ Z A Do quan hệ đồng dư modun µ quan hệ tương đương Z A tập Z A chia thành lớp đồng dư theo modun µ lớp rời đôi Tập hợp tất lớp tương đương gọi tập thương tập Z A quan hệ đồng dư theo modun µ 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.11 Cho = µ ∈ Z A Ta gọi tập thương tập Z A quan hệ đồng dư theo modun µ tập lớp thặng dư modun µ ký hiệu Z A µ Mỗi phần tử Z A gọi lớp thặng dư modun µ µ Nếu X ∈ Z A α số nguyên thuộc X ta ký hiệu X = α Số α µ gọi thặng dư modun µ 2.2.2 Ước chung lớn lớp thặng dư với modun Mệnh đề 2.12 Ước chung lớn thặng dư lớp thặng dư modun µ, với modun µ phụ thuộc vào lớp Nghĩa là, α, β hai thặng dư tùy ý lớp X(mod µ) (α, µ) = ( β, µ) Định nghĩa 2.13 Ta gọi ước chung lớn lớp X (mod µ) với modun µ ước chung lớn thặng dư X với mmodun µ ∗ Ký hiệu: ( X, µ) = (α, µ) = (α, µ) với α ∈ X 30 ∗ Nếu ( X, µ) ∈ U A X gọi lớp thặng dư nguyên tố với modun 2.2.3 Vành lớp thặng dư Định lý 2.14 Tập lớp Z A lớp thặng đư modun µ vành giao hốn, có đơn vị với µ hai phép tốn Z A xác định sau: µ α+β=α+β ∀α, β ∈ Z A µ α·β=α·β Chứng minh Dễ dàng kiểm tra phép cộng phép nhân định nghĩa phép tốn hai ngơi Z A , hai phép toán thỏa mãn tiên đề vành µ giao hốn, phần tử không Z A 0, phần tử đối α −α phần tử đơn µ vị Mệnh đề 2.15 Lớp thặng dư X (mod µ) phần tử khả nghịch vành Z A µ X lớp nguyên tố với modun µ Chứng minh Giả sử X = α phần tử khả nghịch Z A µ Khi tồn Y = β ∈ Z A cho X · Y = hay α · β = suy αβ = µ αβ ≡ 1(mod µ) (αβ, µ) = (1, µ) ∈ U A Vậy X lớp nguyên tố với modun µ Ngược lại, giả sử X = α lớp ngun tố với modun µ, (α, µ) ∈ U A ⇒ ∃ β, γ ∈ Z A cho αβ + µγ = Vậy αβ ≡ 1(mod µ) hay αβ = αβ = Nghĩa là, ∃Y = β ∈ Z A cho XY = α · β = nên X phần tử khả nghịch µ Z A µ µ∗ ∗ Ký hiệu: Z A tập hợp phần tử khả nghịch Z A µ 31 2.2.4 Hệ thặng dư đầy đủ modun µ Định nghĩa 2.16 Tập hợp số nguyên thuộc Z A lấy tất lớp thặng dư modun µ, lớp lấy số gọi hệ thặng dư đầy đủ modun µ (hệ TDĐĐ (mod µ)) ∗ Từ định nghĩa suy ra: Hệ H gồm số nguyên thuộc Z A hệ TDĐĐ (mod µ) điều kiện sau thỏa mãn: i, ∀α, β ∈ H : α ≡ β(mod µ) ⇒ α = β 2i, ∀γ ∈ Z A : ∃α ∈ H cho γ ≡ α(mod µ) Định lý 2.17 Cho µ = a + bξ ∈ Z A , a, b > 0, d = ( a, b) Khi hệ H= x + yξ ≤ x ≤ d − 1; ≤ N (µ) −1 d hệ TDĐĐ modun µ Chứng minh ∗ Giả sử α = x + yξ β = x + y ξ thuộc H cho α ≡ β(mod µ) N (µ) Nghĩa x, y, x , y ∈ Z, ≤ x, x ≤ d − 1; ≤ y, y ≤ − d α − β = ( x − x )+ (y − y )ξ µ   ( x − x )b − (y − y ) a a2 − ab + b Từ ta có :   ( x − x )(b − a) − (y − y )b a2 − ab + b2 suy tồn t, u ∈ Z cho: ( x − x )b − (y − y ) a = ( a2 − ab + b2 )t ( x − x )(b − a) − (y − y )b = ( a2 − ab + b2 )u ( x − x )( a2 − ab + b2 ) = ( a2 − ab + b2 )(tb − ua) nên x − x = tb − ua d 32 (II.1) Vì d = ( a, b) | x − x | < d nên suy x = x Với x = x hệ ( I I.1) cho ta: (y − y ) a = ( a2 − ab + b2 )t1 với t1 = −t ∈ Z (y − y )b = ( a2 − ab + b2 )u1 với u1 = −u ∈ Z Từ d = ( a, b) suy tồn r, s ∈ Z cho ar + bs = d nên (y − y )( ar + bs) = ( a2 − ab + b2 )(t1 r + u1 s) a2 − ab + b2 N (µ) (t1 r + u1 s) hay y − y d d N (µ) Lại |y − y | < nên suy y = y d suy y − y = Vậy ∀α, β ∈ H mà α ≡ β(mod µ) α = β ∗ Giả sử γ = m + nξ ∈ Z A số nguyên tùy ý Ta chứng minh tồn α = x + yξ ∈ H cho γ ≡ α(mod µ) Tức ∃ β = e + f ξ ∈ Z A cho γ − α = µβ Ta thấy cặp số nguyên α, β ∈ Z A cần tìm phải thỏa mãn hệ     m − x = ae − b f (II.2)    n − y = a f + be − b f Ở x, y, e, f ∈ Z; ≤ y ≤ N (µ) − d Ta thấy ln tồn x0 ∈ Z với ≤ x0 ≤ d − cho x0 ≡ m(mod d), nghĩa m = x0 + dq với q ∈ Z Thay x = x0 vào đẳng thức thứ hệ ( I I.2) ta m − x0 = ae − b f Với ( a, b) = d \ m − x0 phương trình hai ẩn Z ln có nghiệm    e = e0 + b t với e0 ∈ Z d   f = f + a t với f ∈ Z 0 d 33 Từ ta có a b a n − y = a f + t + b e0 + t − b f + t d d d a2 − ab + b2 = a f + be0 − b f + t d N (µ) = a f + be0 − b f + t d Suy y ≡ n − a f − be0 + b f mod N (µ) d Ta thấy ln tồn y0 ∈ Z với ≤ y0 ≤ y0 ≡ n − a f − be0 + b f mod N (µ) d N (µ) − cho d Vậy chọn α = x0 + y0 ξ có α ∈ H γ ≡ α(mod µ) Vậy H hệ TDĐĐ (mod µ) 2.2.5 Một số tính chất Tính chất 2.18 Mỗi hệ TDĐĐ (mod µ) gồm N (µ) phần tử Chứng minh Giả sử H hệ gồm N (µ) số ngun thuộc Z A đơi khơng đồng dư với theo modun µ Ta thấy phần tử H thuộc lớp khác theo modun µ Hơn nữa, theo Định lý 2.17 tập Z A có N (µ) phần tử nên theo ngun lý µ Đirichlê ta có phần tử H đại diện đủ cho lớp Z A suy H µ hệ TDĐĐ (mod µ) Tính chất 2.19 Cho = µ, η ∈ Z A Giả sử K hệ TDĐĐ (mod µ) L hệ TDĐĐ (mod η) H = {α + µβ | α ∈ K, β ∈ L} hệ TDĐĐ (mod µη ) 34 Chứng minh Rõ ràng H gồm N (µ) · N (η ) = N (µ · η ) số nguyên thuộc Z A đôi không đồng dư với theo modun µη Thật vậy, α + µβ ≡ α + µβ (mod µη ) với α, α ∈ K β, β ∈ L α + µβ ≡ α + µβ (mod µ) ⇒ α ≡ α (mod µ) ⇒ α = α (do α, α ∈ K ) Từ α = α ta có µβ ≡ µβ (mod µη ) ⇒ β ≡ β (mod η ) ⇒ β = β (do β, β ∈ L) theo Tính chất 2.18 ta có H hệ TDĐĐ (mod µ) Tính chất 2.20 Tập H số nguyên thuộc Z A tạo thành hệ TDĐĐ (mod µ) α ∈ Z A biểu diễn dạng α = βµ + γ với γ ∈ H Chứng minh ∗ Điều kiện cần: Hiển nhiên ∗ Điều kiện đủ: Giả sử ∀α ∈ Z A biểu diễn dạng α = βµ + γ với γ ∈ H (II.3) Ta chứng minh H hệ TDĐĐ (mod µ) Thật vậy: Giả sử γ1 , γ2 ∈ H γ1 = γ2 Nếu γ2 ≡ γ2 (mod µ) γ1 = γ2 + θµ với = θ ∈ Z A nên γ1 biểu diễn dạng ( I I.3) theo cách: γ1 = γ1 + 0µ γ1 = γ2 + θµ 35 điều mâu thuẫn với giả thiết tính dạng biểu diễn Như từ γ1 = γ2 ta suy γ1 khơng đồng dư γ2 theo modun µ với γ1 , γ2 ∈ H Từ giả thiết ta có ∀α ∈ Z A α = βµ + γ với γ ∈ H Nghĩa tồn γ ∈ H cho α ≡ γ(mod µ) Tính chất 2.21 Giả sử = µ ∈ Z A H hệ TDĐĐ (mod µ) Khi η ∈ Z∗A (µ, η ) = tập K = {ηα + γ | α ∈ H } γ ∈ Z A cố định hệ TDĐĐ (mod µ) Chứng minh Vì H hệ TDĐĐ (mod µ) nên H có N (µ) phần tử Do γ cố định thuộc Z A nên K có N (µ) phần tử Giả sử α1 , α2 ∈ K cho ηα1 + γ ≡ ηα2 + γ(mod µ) ⇒ ηα1 ≡ ηα2 (mod µ) ⇒ α1 ≡ α2 (mod µ) (do (µ, η ) = 1) ⇒ α1 = α2 (do H TDĐĐ) Vậy K hệ TDĐĐ (mod µ) 2.2.6 Chú ý Chú ý 2.22 Nếu µ = p + qξ với p, q ∈ Z; ( p, q) = 1, 2, · · · , p2 − pq + q2 lập thành hệ TDĐĐ (mod µ) Chú ý 2.23 Nếu µ = m số nguyên hữu tỷ m2 số nguyên x + yξ với x, y = 0, 1, · · · , m − lập thành hệ TDĐĐ (mod µ) 36 2.2.7 Hệ thặng dư thu gọn modun µ Định nghĩa 2.24 Tập số nguyên thuộc Z A lấy tất lớp thặng dư modun µ nguyên tố với µ, lớp số gọi hệ thặng dư thu gọn modun µ (hệ TDTG ( mod µ )) ∗ Từ định nghĩa suy ra: Hệ K gồm số nguyên thuộc Z A hệ TDTG (mod µ) điều kiện sau thỏa mãn: i, ∀ α ∈ K : (α, µ) = 2i, ∀ α, β ∈ K : α ≡ β(mod µ) ⇒ α = β 3i, ∀ γ ∈ Z A : (γ, µ) = tồn α ∈ K cho γ ≡ α(mod µ) Nhận xét 2.25 Nếu H hệ TDĐĐ (mod µ) K = {α ∈ H | (α, µ) = 1} hệ TDTG µ∗ (mod µ) Z A = {α | α ∈ K } Mệnh đề 2.26 Cho µ1 , µ2 ∈ Z∗A với (µ1 , µ2 ) = K1 hệ TDTG (mod µ1 ), K2 hệ TDTG (mod µ2 ) K = {µ2 α + µ1 β | α ∈ K1 , β ∈ K2 } hệ TDTG (mod µ1 µ2 ) Chứng minh ∗ Với ∀ µ2 α + µ1 β ∈ K ta có: (µ2 α + µ1 β, µ1 ) = (µ2 α, µ1 ) = (α, µ1 ) = (µ2 α + µ1 β, µ2 ) = (µ1 β, µ2 ) = ( β, µ2 ) = Suy (µ2 α + µ1 β, µ1 µ2 ) = Chứng tỏ phần tử K nguyên tố với µ1 µ2 ∗ Với ∀ µ2 α + µ1 β; µ2 α + µ1 β ∈ K cho: 37 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ µ2 α + µ1 β ≡ µ2 α + µ1 β (mod µ1 µ2 )    µ2 α + µ1 β ≡ µ2 α + µ1 β (mod µ1 )   µ α + µ β ≡ µ α + µ β (mod µ ) 2 1    µ2 α ≡ µ2 α (mod µ1 ) (do (µ1 , µ2 ) = 1)   µ β ≡ µ β (mod µ ) 1    α ≡ α (mod µ1 )   β ≡ β (mod µ )    α=α   β=β (do α, α ∈ K1 ; β, β ∈ K2 ) Dó µ2 α + µ1 β = µ2 α + µ1 β ∗ Giả sử γ ∈ Z A với (γ, µ1 µ2 ) = ta chứng minh tồn µ2 α + µ1 β ∈ K cho µ2 α + µ1 β(mod µ1 µ2 ) Thật vậy: Từ (γ, µ1 µ2 ) = ta có (γ, µ1 ) = (γ, µ2 ) = Vì (µ1 , µ2 ) = nên tồn α ∈ K1 ; β ∈ K2 cho:    γ ≡ µ2 α(mod µ1 ) ⇒   γ ≡ µ β(mod µ )    γ ≡ µ2 α + µ1 β(mod µ1 )   γ ≡ µ α + µ β(mod µ ) 2 ⇒ γ ≡ µ2 α + µ1 β(mod µ1 µ2 ) Nhận xét 2.27 Nếu H hệ TDTG (mod µ) α ∈ Z∗A mà (α, µ) = K = {αγ | γ ∈ H } hệ TDTG (mod µ) 38 Ví dụ 2.28 Tìm hệ TDĐĐ (mod 3) Ta có µ = = 0ξ + N (µ) = 32 = nên H có phần tử Xét lớp thặng dư modun 3 ∗ Nếu = {0, 1, 2} H = { x + yξ | x, y ∈ {0, 1, 2}} x = y = ⇒ x + yξ = x = y = ⇒ x + yξ = + ξ x = y = ⇒ x + yξ = + 2ξ   x =  y =   x =  y =   x =  y =   x =  y =   x =  y =   x = ⇒ x + yξ = ξ ⇒ x + yξ = ⇒ x + yξ = 2ξ ⇒ x + yξ = ⇒ x + yξ = + 2ξ ⇒ x + yξ = + ξ  y = Vậy H = {0, 1, 2, ξ, 2ξ, + ξ, + 2ξ, + 2ξ, + ξ } hệ TDĐĐ (mod 3) Khi K = {1 + 2ξ, 2ξ } 39 ∗ Nếu = {−1, 0, 1} H = { x + yξ | x, y ∈ {−1, 0, 1}} Thực tương tự trên, ta H = {0, −1, 1, −1 − ξ, −1 + ξ, −ξ, − ξ, + ξ } 40 KẾT LUẬN Bước đầu khóa luận nêu cách rõ ràng định nghĩa, tính chất xác định cụ thể vành số nguyên đại số trường đại số bậc hai √ Q( d) Trên sở khóa luận trình bày cách chi tiết lý thuyết đồng √ dư vành số nguyên đại số trường Q( −3) Trong khn khổ khóa luận, cịn số vấn đề đặt nghiên cứu mà chưa đề cập tới được, chẳng hạn hệ thặng dư đầy đủ nhỏ nhất, hệ thặng dư đầy đủ có giá trị tuyệt đối nhỏ theo modun µ, Hi vọng vấn đề trình bày khóa luận vấn đề đặt nhận quan tâm từ phía thầy giáo bạn sinh viên khoa 41 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Huy Hiền ( 1997 ), Bài tập đại số đại cương, Nxb Giáo dục [2] Ngô Thúc Lanh ( 1986 ),Đại số số học, tập 3, Nxb Giáo dục [3] Hồng Xn Sính (2001), Số đại số, tập 1, Nxb Giáo dục [4] David Hilbert - Legh Wilber Reid ( 1910 ), The elements of the theory of Algebraie numbers, The Macmillan company 42 ... lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số √ trường Q( ? ?3) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Trường đại số bậc hai vành phần tử nguyên đại số Nghiên cứu lý thuyết đồng dư vành số nguyên đại số trường √ đại số. .. cụ thể vành số nguyên đại số trường đại số bậc hai √ Q( d) Trên sở khóa luận trình bày cách chi tiết lý thuyết đồng √ dư vành số nguyên đại số trường Q( ? ?3) Trong khn khổ khóa luận, cịn số vấn... √ √ ∗ Nếu K = Q( ? ?3) U A = ±1; ± ± i 2 ∗ Các trường hợp cịn lại U A = {±1} 25 Chương LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ √ CỦA TRƯỜNG Q( ? ?3) 2.1 2.1.1 ĐỒNG DƯ THỨC Định nghĩa