Boi duong HSG - Ly thuyet dong du

Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006. Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. I) Lí thuyết về đồng d : 1) Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c 0) mà có cùng số d thì ta nói a đồng d với b theo môđun c; kí hiệu là a b (mod c). Nh vậy: a b (mod c) a b chia hết cho c. Hệ thức có dạng: a b (mod c) gọi là một đồng d thức, a gọi là vế trái của đồng d thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun. 2) Một số tính chất: Kí hiệu a; b; c; d; m; là các số nguyên dơng (Z + ), ta luôn có: a) Tính chất 1: * a a (mod m); * a b (mod m) b a (mod m); * a b (mod m) và b c (mod m) thì a c(mod m); b) Tính chất 2: Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì: * a c b d (mod m); * ac bd (mod m); * Nếu d là một ớc chung của a; b; m thì: a d b d (mod m d ); c) Tính chất 3: Nếu a b (mod m) và c Z + thì ac bc (mod mc). 3) Một số kiến thức liên quan: Trong khi làm bài tập sử dụng đồng d thức, ta nên chú ý tới các tính chất hay dùng sau đây: * Với mọi a, b Z + (a b) và n là số tự nhiên: a n b n M a b; * Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có một và chỉ một số chia hết cho n; * Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n 1) đem chia cho n thì phải có hai số khi chia cho n có cùng số d; (Theo nguyên lí Đirichlet); * Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia A cho 10 m ; =========================================================== áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. 1 Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006. II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng d : Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia Phơng pháp: Muốn tìm số d trong phép chia số A cho m, ta phải tìm đợc số x (0 x < m) sao cho A x (mod m). Ví dụ: Tìm số d trong phép chia số 1993 2000 cho số 3 ? Giải Ta có: 1993 1 (mod 3) 1993 2000 1 2000 (mod 3) 1 (mod 3) Vậy: số 1993 2000 khi chia cho 3 thì d 1. Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số A hợp lý để đợc một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là f(A) sao cho A f(A) (mod m). Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ? Giải Xét số tự nhiên có n + 1 chữ số: A = n n-1 1 0 a a .a a Ta có: A = n n-1 1 0 a a .a a r (mod 3) (1) a n .10 n + a n-1 .10 n-1 + + a 1 .10 1 + a 0 r (mod 3) (a n . 99 .9 + a n ) + (a n-1 . 99 .9+ a n-1 ) + + (a 1 .9 + a 1 )+ a 0 r (mod 3) (a n . 99 .9 + a n-1 . 99 .9 + + a 1 .9) + (a n + a n-1 + + a 1 + a 0 ) r (mod 3) Nhận xét: a n . 99 .9 + a n-1 . 99 .9 + + a 1 .9 0 (mod 3) Nên: (a n + a n-1 + + a 1 + a 0 ) r (mod 3) (2) Vậy: A = n n-1 1 0 a a .a a a n + a n-1 + + a 1 + a 0 (mod 3) Hay: A = n n-1 1 0 a a .a a khi chia cho 3 có cùng số d khi chia tổng các chữ số của A cho 3. Từ đó: A chia hết cho 3 tổng các chữ số của A chia hết cho 3. =========================================================== áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. 2 Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006. Dạng 3: chứng minh sự chia hết Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta đi chứng minh A 0 (mod m). Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 ? Giải Nhận xét: 2222 3 (mod 7) (1) Từ đó: 2222 4 3 4 (mod 7) hay 2222 4 81 (mod 7) Mà 81 4 (mod 7) 2222 4 4 (mod 7) (2) Nhân vế với vế (1) và (2) ta đợc 2222 5 3.4 (mod 7) Hay là: 2222 5 5 (mod 7) 2222 5555 5 1111 (mod 7) (3) Tơng tự ta có: 5555 2222 2 1111 (mod 7) (4) Cộng vế với vế (3) và (4) ta có: A 2 1111 + 5 1111 (mod 7) (5) Mặt khác: 2 1111 + 5 1111 = (2 + 5).M = 7.M 0 (mod 7) (6) Từ (5) và (6) ta đợc: A 0 (mod 7) Vậy: A = 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 4 2n+1 + 3 n+2 luôn chia hết cho 13 ? Giải Nhận xét 1: 4 2 = 16 3 (mod 13) (4 2 ) n 3 n (mod 13) 4 2n 3 n (mod 13) Mà 4 4 (mod 13) 4 2n+1 4.3 n (mod 13) Hay 4 2n+1 4.3 n (mod 13) (1) Nhận xét 2: 3 2 = 9 - 4 (mod 13) mà 3 n 3 n (mod 13) Từ đó 3 2 .3 n - 4.3 n (mod 13), hay là: 3 n+2 - 4.3 n (mod 13) (2) Từ (1) và (2), cộng vế với vế, ta đợc B 0 (mod 13). Nghĩa là B = 4 2n+1 + 3 n+2 luôn chia hết cho 13 với mọi n N. =========================================================== áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. 3 Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1: Đa thức A = n n n 2 + n 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n 1) 2 ? Giải Nhận xét 1: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B. Với n > 2, ta biến đổi A nh sau: A = n n n 2 + n 1 = n 2 (n n-2 - 1) + (n - 1) = n 2 (n - 1)(n n-3 + n n-4 + + 1) + (n - 1) = (n 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) Nhận xét 2: n 1 (mod n 1) n k 1 (mod n 1), kN Từ đó: n n-1 + n n-2 + + n 2 n 2 (mod n 1) Nên: n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1 n 1 (mod n 1) Hay: n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1 0 (mod n 1) (1) Nên: (n 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) 0 (mod (n 1) 2 ) Hay: A = (n 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) chia hết cho (n 1) 2 . Vậy: A = n n n 2 + n 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n 1) 2 . Dạng 4: tìm các chữ số tận cùng của một số lớn Phơng pháp: Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia A cho 10 m . Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 4 3 2 ? Giải Ta có: A = 4 3 2 = 2 81 = 2 4.20 + 1 = 2.(2 4 ) 20 = 2.16 20 Nhận xét: 16 6 (mod 10) 16 20 6 20 (mod 10) Từ đó: 16 20 6 (mod 10), mà 2 2 (mod 10) Nên: 2.16 20 6.2 (mod 10) 2.16 20 2 (mod 10) Vậy A chia cho 10 d 2 hay là A có chữ số tận cùng là 2. Ví dụ 2: Tìm sáu chữ số tận cùng của số B = 5 21 ? Giải Nhận xét: B = 5 15 = 5 3.5 = 125 5 (-3) 5 (mod 2 6 ) Hay 5 15 13 (mod 2 6 ) 5 15 .5 6 13.5 6 (mod 2 6 .5 6 ) Hay là: B = 5 21 13.15625 (mod 10 6 ) B 203125 (mod 10 6 ) Vậy B chia cho 10 6 d 203125, nên B có 6 chữ số tận cùng là 203125. =========================================================== áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. 4 Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006. III) Bài tập rèn kĩ năng vận dụng: Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia Bài 1: Tìm số d trong phép chia số A = 1532 5 1 khi chia cho 9 ? (ĐS: 4) Bài 2: Cho số nguyên n > 1. Tìm d trong phép chia: A = 19n n + 5n 2 + 1890n + 2006 cho B = n 2 2n + 1 ? Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ Bài 3: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số tự nhiên 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ? Bài 4: Tìm dấu hiệu chia hết cho 21 của một số tự nhiên có 3 chữ số ? ĐS: a 2b + 4c chia hết cho 21. Dạng 3: chứng minh sự chia hết Bài 5: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: 3 n + 1 chia hết cho 10 3 n+4 + 1 chia hết cho 10 ? Bài 6: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng: a) A = 2 4n 1 chia hết cho 15; b) B = 2 5n 1 chia hết cho 31; c) C = 5 2 2 + 1 chia hết cho 641; d) D = 6 2n + 19 n 2 n+1 chia hết cho 17; e) E = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19; f) F = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 chia hết cho 59. Bài 7: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n > 0, ta luôn có: 5 2n-1 .2 n+1 + 3 n+1 .2 2n-1 chia hết cho 38 ? Bài 8: Chứng minh rằng: a) A = 69 119 220 + 220 69 119 + 119 220 69 chia hết cho 102 ? b) B = 1930 1975 1890 + 1945 + 1 chia hết cho 7 ? Bài 9: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: Số M = 21 2n+1 + 17 2n+1 + 15 không chia hết cho 19 ? Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có: A = n n + 5n 2 11n + 5 chia hết cho (n 1) 2 ? Bài 11: Cho a; b là các số nguyên. Chứng minh rằng: 2a + 11b chia hết cho 19 5a + 18b chia hết cho 19 ? Dạng 4: tìm chữ số tận cùng của một số lớn Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của số: A = 9 9 9 ? (ĐS: 1) Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 14 14 14 ? (ĐS: 6) Bài 14: Tìm 4 chữ số cuối cùng của số C = ( ) ( ) 1976 1974 1975 1973 1976 - 1974 1976 + 1974 ? (ĐS: 0000) =========================================================== áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. 5 . nh sau: A = n n n 2 + n 1 = n 2 (n n-2 - 1) + (n - 1) = n 2 (n - 1)(n n-3 + n n-4 + + 1) + (n - 1) = (n 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) Nhận xét 2:. 99 .9 + a n ) + (a n-1 . 99 .9+ a n-1 ) + + (a 1 .9 + a 1 )+ a 0 r (mod 3) (a n . 99 .9 + a n-1 . 99 .9 + + a 1 .9) + (a n + a n-1 + + a 1 + a 0 )