lý thuyết đồng dư modulararithmetic

Lời dẫn Mỗi người chúng ta, sử dụng qua đồng dư lần Từ việc đơn giản cách tính đồng hồ việc sử dụng Internet hay web-browser để đọc, gửi mail hay đăng nhập vào diễn đàn, trang mạng xã hội; Vậy đồng dư gì? Đồng dư khái niệm tốn học Khái niệm đồng dư có từ thời cổ đại; xuất rõ nét tốn Hàn Tín điểm binh người Trung Quốc mà theo phương Tây gọi Định lý dư số Trung Hoa – Chinese Remainder Theorem khoảng kỷ thứ III – V sau cơng ngun sách "Tốn pháp Tơn Tử": "Tương truyền, Hàn Tín danh tướng thời Hán Sở Mỗi Hàn Tín điểm quân số, ơng cho qn lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng báo cáo số dư Từ ơng tính xác quân số đến người." Lý thuyết đồng dư đời chiếm vị trí quan trọng lý thuyết số Lý thuyết đồng dư thường dùng để giảng dạy trường trung học thường xuất toán thi học sinh giỏi Đối với Toán học sơ cấp, lý thuyết đồng dư thường dùng để giải tốn chia hết như: tìm dấu hiệu chia hết cho số nguyên nhỏ như: dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 11, ;tìm số dư phép chia số nguyên; Cao tý, lý thuyết đồng dư tản nghiên cứu nhiều nhà tốn học với đời nhiều định lý tiếng có ứng dụng thực tế cao như: định lý nhỏ Fermat, định lý Eucler, định lý dư số Trung Hoa, Ngoài ra, tin học, có vị trí khơng nhỏ như: tạo số giả ngẫu nhiên ta có số phương pháp như: D.Lehner năm 1951, D.E.Knuth; việc kiểm tra số nguyên lớn (khoảng vài chục tới vài trăm chữ số thập phân) có phải số ngun tố hay khơng với thuật tốn như: thuật toán xác suất Rabin–Miller năm 1980, thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố năm 2002; giải toán logarith rời rạc với thuật toán: Pollard’s Kangaroo, Baby-Step–Gaint-Step, PohligHellman, ; hay với định lý làm sở cho lý thuyết mã hóa như: hệ thống mã hóa thông dụng AES, Elgamal, RSA, thuật tốn trao đổi khóa Diffie–Hellman, chữ ký điện tử, hàm băm mật mã học, Qua số ví dụ trên, thấy tầm quan trọng lý thuyết đồng dư việc nghiên cứu ứng dụng vào thực tế Trong nội dung tiểu luận giới thiệu phần lý thuyết lý thuyết đồng dư số ứng dụng Mục lục Một số lý thuyết cần biết 1.1 Khái niệm chia hết 1.2 Số nguyên tố 1.3 Hệ số đếm 1.4 Thuật chia Euclid 1.5 Bài tập áp dụng Lý 2.1 2.2 2.3 5 thuyết đồng dư Định nghĩa định lý Một số tính chất Bài tập áp dụng 10 10 12 14 Hệ 3.1 3.2 3.3 thặng dư Hệ thặng dư đầy đủ Hệ thặng dư thu gọn Hệ thặng dư bình phương 3.3.1 Bậc số nguyên 3.3.2 Căn nguyên thủy 3.3.3 Thặng dư bình phương 3.3.4 Ký hiệu Legendre 3.3.5 Ký hiệu Jacobi 3.4 Bài tập áp dụng 18 18 19 20 20 20 20 20 22 23 Một số định lý tiếng 25 4.1 Định lý Wilson 25 4.2 4.3 4.4 Định lý nhỏ Fermat 25 Định lý Euler 26 Bài tập áp dụng 29 Giải phương trình đồng dư 30 5.1 Giải phương trình đồng dư tuyến tính 30 5.2 Giải hệ phương trình đồng dư Định lý dư số Trung Hoa 31 5.3 Bài tập áp dụng 33 Ứng dụng đồng dư vào thuật tốn mã hóa RSA 6.1 Giới thiệu 6.2 Mã Hóa Giải Mã 6.2.1 Mã hóa RSA 6.2.2 Giải mã RSA 6.3 Khởi tạo key cho RSA 6.4 Chứng minh tính đắn 35 35 35 35 36 36 37 Chương Một số lý thuyết cần biết 1.1 Khái niệm chia hết Định nghĩa 1.1.1 Chia hết Số nguyên a gọi chia hết cho số nguyên b (b = 0) tồn số nguyên k cho a = kb Ký hiệu: a b hay b | a Một số cách đọc: • a chia hết cho b • a bội b • b chia hết a • b ước a Ví dụ: Xét số nguyên 3, = ∗ nên ta nói chia hết cho ước Cho a số chẵn, a chia hết cho ước a 1.2 Số nguyên tố Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên tố Số nguyên p > gọi số nguyên tố p chia hết cho Ví dụ: Các số sau số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Định nghĩa 1.2.2 Hợp số Nếu số nguyên a > khơng phải số ngun tố a gọi hợp số Tức là, tồn số nguyên < m, n < a cho a = mn Ví dụ: Các số chẵn lớn hợp số Các số sau hợp số: 9, 27, 45, 81, Định lý 1.2.1 Định lý số học Mọi số tự nhiên lớn phân tích cách thành tích thừa số nguyên tố Định nghĩa 1.2.3 Ước chung lớn – UCLN Cho a, b ∈ N, số nguyên d gọi ước chung lớn a, b d | a d | b, ∀d ∈ Z d | a d | b d d Nếu d = ta nói a, b nguyên tố Ký hiệu: d = (a, b) hay d = gcd(a, b) Ví dụ: (6, 9) = (42, 56) = 14 (9, 28) = 1.3 Hệ số đếm Định nghĩa 1.3.1 Biểu diễn số theo số b Cho n, b ∈ N cho < b < n Ta biểu diễn số tự nhiên n theo b: n b i n= i=0 với < < b, i ∈ 0, n, ∈ N Ta nói cách biểu diễn số tự nhiên n biểu diễn số n theo hệ số b Ký hiệu: an an−1 a0 b hay (an an−1 a0 )b Ví dụ: (1998)10 = 1.103 + 9.102 + 9.10 + 8.100 (101110)2 = 1.25 + 0.24 + 1.23 + 1.22 + 1.21 + 0.20 1.4 Thuật chia Euclid Bổ đề 1.4.1 Cho số nguyên dương a, b cho a r, q ∈ Z, r b − (a, b) = (b, r) b Nếu a = bq + r, Chứng minh: Gọi d ước chung lớn a b Khi tồn a1 , b1 ∈ Z cho a = a1 d b = b1 d Ta có a ⇔ a − bq ⇔ a1 d − b1 dq ⇔ (a1 − b1 q)d = bq + r = r = r = r Vậy d ước r Mặt khác, (a, q) = (b, q) = (d, q) = nên d ước chung lớn b r Thuật toán 1.4.1 Thuật chia Euclid Cho a, b ∈ N, giả sử a b Khi ta thực chia liên tục sau: a = qb + r1 b = q0 r1 + r2 r1 = q1 r2 + r3 rn−2 = qn rn−1 + rn rn−1 = qn+1 rn + Và (a, b) = rn số ri cuối khác Bổ đề 1.4.2 Bổ đề Bezout Nếu d ước số chung lớn hai số nguyên a b tồn hai số nguyên x y cho ax + by = d Chứng minh: suy trực tiếp từ thuật toán Euclid 1.5 Bài tập áp dụng Chứng minh: (a) (mp + nq) | (m − n) (mq + np) | (m − n) (b) (mp |(m − n) np | (m − n) Hướng dẫn: chứng minh (mp + nq) − (mq + nq) | (m − n) Chứng minh: (a) tổng n số nguyên liên tiếp chia hết cho n (b) tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! n Tìm chữ số tận số Fermat Fn = 22 + 1, n Chứng minh: định lý 1.2.1 – định lý số học Chứng minh: số số nguyên tố vô hạn Cho số nguyên dương a, b, n Chứng minh rằng: (a) Nếu (a, n) = (b, n) = (ab, n) = (b) Nếu (a, b) = (an , bn ) = (c) Cho d | a, (a, n) = (d, n) = Cho số nguyên a, b Chứng minh: (a) (|a − b|, a) = (a, b) (b) (3a + 5b, 8a + 13b) = (a, b) Chứng minh: Cho m, n, a ∈ Z với a Chứng minh: (am − 1, an − 1) = 2(m, n) −1 Chương Lý thuyết đồng dư 2.1 Định nghĩa định lý Định nghĩa 2.1.1 Quan hệ Đồng dư Cho số nguyên dương m = 0, số nguyên a gọi đồng dư với b theo modulo m m | (a − b) Ký hiệu: a ≡ b (mod m) hay a ≡ b mod m Ví dụ: Giả sử, đồng hồ giờ, sau đồng hồ Ta ghi lại số theo ký hiệu đồng dư sau: + ≡ 17 ≡ mod 12 Định lý 2.1.1 Các mệnh đề sau tương đương: i a ≡ b mod m ii ∃k ∈ Z, a = b + km iii (a − b) ≡ mod m Chứng minh: i ⇒ ii m ước (a-b) nên tồn k ∈ Z cho a − b = km ⇔ a = b + km 10 Chương Một số định lý tiếng 4.1 Định lý Wilson Định lý 4.1.1 Số nguyên p số nguyên tố (p − 1)! ≡ −1 mod p Chứng minh: Bài tập 4.2 Định lý nhỏ Fermat Định lý 4.2.1 Fermat bé Nếu p số nguyên tố số nguyên a cho (a, p) = ap−1 ≡ mod p Chứng minh: Đặt tập A = {a, 2a, , (p − 1)a} gồm p − số nguyên với p số nguyên tố, cho (a, p) = Dễ thấy tập A hệ thặng dư theo modulo p 25 Khi đó, a · 2a · · · (p − 1)a ≡ · · · · (p − 1) mod p ⇔ ap−1 · · 2−1 · · · (p − 1) · (p − 1)−1 ≡ · 2−1 · · · (p − 1) · (p − 1)−1 mod p ⇔ ap−1 ≡ mod p Hệ 4.2.1 Nếu p số nguyên tố a số nguyên dương ap ≡ a mod p Hệ 4.2.2 Nếu p số nguyên tố a số nguyên không chia hết cho p ap−2 nghịch đảo a modulo p 4.3 Định lý Euler Định nghĩa 4.3.1 Hàm số học hàm xác định tập hợp số nguyên Định nghĩa 4.3.2 Hàm nhân tính Một hàm số học f gọi hàm nhân tính với số nguyên n, m cho (n, m) = 1, ta có f (mn) = f (n)f (m) Nếu đẳng thức với m, n hàm f gọi hàm nhân tính mạnh Định nghĩa 4.3.3 Phi hàm Euler φ(n) hàm số học có giá trị n số số nguyên không vượt n nguyên tố với n Hệ 4.3.1 Số nguyên p số nguyên tố φ(p) = p − 26 Định lý 4.3.1 Euler Nếu n số nguyên dương a số nguyên tố với n aφ(n) ≡ mod n Chứng minh: Tương tự chứng minh định lý nhỏ fermat Đặt R = {r1 , r2 , , rφ(n) } hệ thặng dư thu họn nhỏ theo modulo n Nghĩa (ri , n) = ri < n với ri ∈ R Cho số nguyên a cho (a, n) = 1, aR hệ thặng dư thu gọn Ta có: ar1 ar2 arφ(n) ≡ r1 r2 rφ(n) mod n ⇔ aφ(n) r1 r2 rφ(n) ≡ r1 r2 rφ(n) mod n ⇔ aφ(n) ≡ mod n Hệ 4.3.2 Cho số nguyên a cho (a, n) = Khi đó, aφ(n)−1 nghịch đảo a modulo n Định lý 4.3.2 Cho p số nguyên tố Khi φ(pk ) = pk − pk−1 với k số nguyên dương Chứng minh: Vì p số nguyên tố nên ta đặt d = (a, pk ) với a pk p | d nghĩa d = np với n ∈ N Ta có p np pk nên n pk−1 ta có pk−1 số khơng ngun tố với p Mà từ đến pk có pk số nguyên khác nên ta có φ(pk ) = pk − pk−1 Định lý 4.3.3 Phi hàm Euler hàm nhân tính Chứng minh: Cho số nguyên dương m, n cho (m, n) = Ta chứng minh φ(mn) = φ(m)φ(n) Gọi A = {a | (a, mn) = 1} tập hợp tất số nguyên nguyên tố với mn Khi với a ∈ A (a , mn) = ⇔ (a , m) = (a , n) = 27 Ta lập ma trận gồm m dòng n cột sau m + 2m + (n − 1)m + m + 2m + (n − 1)m + r m + r 2m + r (n − 1)m + r m 2m 3m mn Sau đó, ta bỏ hàng mà (r, m) = với r m; Khi đó, ta có φ(m) hàng Đồng thời, hàng, ta dễ thấy số lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo modulo n, tức có φ(n) số hàng Vậy ta có tất φ(m) · φ(n) số Mặt khác, số lại vừa nguyên tố với m vừa nguyên tố với n nên số số lại φ(mn) Do ta có điều phải chứng minh Định lý 4.3.4 Giả sử số nguyên dương n phân tích thành tích thừa số nguyên tố pα1 pα2 pαk k Khi φ(n) = n − p1 1− p2 − pk Chứng minh: Do Phi hàm Euler hàm nhân tính nên φ(n) = φ(pα1 )φ(pα2 ) · · · φ(pαk k ) Mặt khác, dựa vào định lý 4.3.2 ta có φ(n) = (pα1 − pα1 −1 )(pα2 − pα2 −1 ) · · · (pαk k − pαk k −1 ) = pα1 (1 − p11 )pα2 (1 − p12 ) · · · pαk k (1 − p1k ) = pα1 pα2 · · · pαk k (1 − = n(1 − )(1 p1 − )(1 p1 − ) · · · (1 p2 − 28 ) · · · (1 p2 ) pk − ) pk 4.4 Bài tập áp dụng Cho số nguyên tố lẻ p số nguyên dương a, b, n thỏa mãn (a, p) = ap ≡ bp mod pn+1 Chứng minh: a ≡ b mod pn Chứng minh định lý Wilson – Số nguyên p số nguyên tố (p − 1)! ≡ −1 mod p Chứng minh: p số nguyên tố p ước (p − 2)! − Cho n số tự nhiên Chứng minh: (n − 1)! ≡ mod (n − 1) n Trong đó, [x] số nguyên lớn không vượt x ∈ R Cho p số nguyên tố lẻ Chứng minh: 2(p − 3)! ≡ −1 mod p Cho n hợp số , n = Chứng minh: (n − 1)! ≡ mod n 29 Chương Giải phương trình đồng dư 5.1 Giải phương trình đồng dư tuyến tính Bài tốn 5.1.1 Cho số ngun dương m số nguyên a, b Tìm số nguyên x cho ax ≡ b mod m (5.1) Cách giải: Đặp d = (a, m), Nếu d | b, phương trình (3.1) vơ nghiệm Nếu d | b, chia tất hệ số phương trình (3.1) cho d Ta giải phương trình sau: ⇒ ⇔ ax ≡ b mod m · x ≡ ( db ) mod ( md ) x ≡ ( ad )−1 · ( db ) mod ( md ) ( ad ) Đặt c ≡ ( ad )−1 · ( db ) mod m d Khi đó, nghiệm phương trình (3.1) x≡c+k·( với k ∈ Z 30 m ) mod m d Chứng minh: x ≡ c + k · ( md ) mod m nghiệm phương trình (3.1) ax ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ a(c + k( md )) ac + ak( md ) a( ad )−1 ( db ) + ak( md ) b( ad )−1 ( ad ) + k( ad )m b mod m Ví dụ: Giải phương trình 12x ≡ mod 15 Ta có d = (12, 15) = mà | nên ta có ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ 12x 4x x x x ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ mod 15 mod 4−1 · mod · mod mod Vậy nghiệm phương trình cho    x ≡ mod 15 x ≡ mod 15   x ≡ 12 mod 15 5.2 Giải hệ phương trình đồng dư Định lý dư số Trung Hoa Bài tốn 5.2.1 Tìm số ngun x cho x thỏa hệ phương trình đồng dư   x ≡ r1 mod m1     x ≡ r mod m 2      x ≡ r mod m n n Trong đó, (mi , mj ) = 1, ∀i = j 31 Cách giải: Với số nguyên i ∈ 1, n Đặt M = m1 m2 mn M Mi = m i Tính yi cho Mi · yi ≡ mod mi ⇔ yi ≡ Mi−1 mod mi Khi n x≡ ri Mi yi mod m1 m2 mn i=1 nghiệm hệ phương trình cho n Chứng minh: x ≡ i=1 ri Mi yi mod m1 m2 mn nghiệm hệ phương trình cho x ≡ r1 M1 y1 + r1 M1 y1 + + rn Mn yn ≡ ri Mi yi mi |Mj , ∀i = j ≡ ri mod mi Mi yi ≡ mod mi Vậy x nghiệm hệ phương trình cho Ví dụ – Bài tốn Hàn Tín điểm binh: Có lần Hàn Tín dẫn 1500 binh sĩ giao tranh với nước Sở Lí Phong, bị tổn thất khoảng 400 – 500 qn Lúc Hàn Tín muốn biết xác qn số Bấy giờ, Hàn Tín lệnh cho binh sĩ xếp thành hàng người kết dư người, tiếp người hàng kết dư người, ông lại lệnh người hàng kết dư người Rồi từ đốn xác qn số quân Lời giải: mơ hình tốn lại thành tốn tìm số nguyên x cho 1000 x 1100 thỏa hệ phương trình đồng dư    x ≡ mod x ≡ mod   x ≡ mod 32 Đặt Tính   M = 3·5·7     M = 105 105  M =     M = 105 = = = = 105 35 21 15  −1  ≡ 35−1 ≡ 2−1 ≡ mod  y1 ≡ M1 y2 ≡ M2−1 ≡ 21−1 ≡ 1−1 ≡ mod   y1 ≡ M3−1 ≡ 15−1 ≡ 1−1 ≡ mod Khi x ≡ · 35 · + · 21 · + · 15 · ≡ 233 ≡ 23 mod 105 Kết hợp với giả thuyết ta có 1000 x 1100 ⇔ 1000 23 + 105k 1100 ⇔ < k < 11 ⇔ k = 10 Trong k ∈ Z Vậy quân số Hàn Tín x = 23 + 105 · 10 = 1073 5.3 Bài tập áp dụng Chứng minh nghiệm định lý dư số Trung Hoa theo modulo mi Tìm nghiệm phương trình x2 ≡ mod 144 Cho a, b số nguyên dương lớn 1, (a, b) = Chứng minh tồn k ∈ Z cho A = (ab − 1)n · k + hợp số với số n nguyên dương 33 Chứng minh với số tự nhiên n, tồn n số tự nhiên liên tiếp cho số có ước dạng 2k − 1, k ∈ Z Chứng minh với số nguyên dương k tùy ý tồn k số nguyên liên tiếp toàn hợp số Hướng dẫn: Xét hệ phương trình đồng dư   n ≡ −1 mod p1     n ≡ −2 mod p      n ≡ −k mod p k Trong đó, pi số nguyên tố cho pi < pj , ∀i < j 34 Chương Ứng dụng đồng dư vào thuật tốn mã hóa RSA 6.1 Giới thiệu Hệ mã RSA hệ mã sử dụng rộng rãi mã hóa bất đối xứng, chí đường cong Elliptic hay chương trình logarit rời rạc Đây thuật toán tạo chữ ký điện tử đồng thời với việc mã hóa Thuật tốn RSA Ron Rivest, Adi Shamir Len Adleman mô tả lần vào năm 1977 Học viện Cơng nghệ Massachusetts (MIT) 6.2 Mã Hóa Giải Mã Mã hóa giải mã RSA thực vành số nguyên Zn = {0, 1, , n − 1} RSA mã hóa văn thô x – đây, xem chuỗi bit đại diện x phần tử Zn với x < n Để mã hóa, ta sử dụng public-key Để giải mã, ta sử dụng private-key 6.2.1 Mã hóa RSA Cho public-key (n, e) = kpub văn thơ x, việc mã hóa thực sau: y = ekpub (x) ≡ xe mod n 35 với x, y ∈ Zn 6.2.2 Giải mã RSA Cho private-key d = kpr văn mã hóa y, việc giải mã thực sau: x = dkpr (y) ≡ y d mod n với x, y ∈ Zn 6.3 Khởi tạo key cho RSA Chọn số nguyên tố lớn p q Tính n = p · q Tính φ(n) = φ(p)φ(q) = (p − 1)(n − 1) Chọn e công khai cho (e, φ(n)) = với e ∈ {1, 2, , φ(n) − 1} Tính private-key d sau d · e ≡ mod φ(n) Vì (e, φ(n)) = nên tồn nghịch đảo e modulo φ(n), ta ln tính d Sau khởi tạo key cho RSA xong ta có Public-key kpub = (n, e) Private-key kpr = (d) Ví dụ: Alice muốn gửi thơng điệp mã hóa cho Bob Đầu tiên, Bob khởi tạo key theo bước Sau đó, Bob gửi publice-key kpub = (n, e) cho Alice Alice mã hóa thơng điệp gửi cho Bob thơng điệp mã hóa Bob giải mã thơng điệp private-key Hình bên minh họa cụ thể bước thực 36 6.4 Chứng minh tính đắn Cho thông điệp x văn thô thông điệp y văn mã hóa với public-key kpr = (d) thuật tốn RSA Chúng ta chứng minh với cách xây dựng thuật tốn dùng private-key kpub = (n, e) để giải mã thông điệp y để có lại thơng điệp x ban đầu Nghĩa là: dkpr (y) ≡ x mod n Chứng minh: Do d · e ≡ mod φ(n) nên ∃t ∈ Z, d · e = + tφ(n) Ta có dkpr (y) ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ dkpr (ekpub (x)) (xe )d xde x1+tφ(n) xφ(n)t · x mod n (6.1) Xét thông điệp x: Nếu (x, n) = áp dụng định lý Euler, ta có xtφ(n) · x ≡ (xφ(n) )t · x ≡ 1t · x ≡ 1·x ≡ x mod n 37 Nếu (x, n) = x = r · p x = s · q với r, s ∈ Z Khơng tính tổng qt, ta giả sử x = r · p, ta có (x, q) = Khi ta áp dụng định lý Euler sau xφ(n)t ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ (xφ(n) )t (xφ(p)φ(q) )t (xφ(q) )φ(p)t 1φ(p)t mod q Vậy xφ(n)t ≡ mod q, ∃u ∈ Z, xφ(n)t = + u · q Nhân thêm x vào biểu thức ta xφ(n)t · x = = = = = Vậy xφ(n)t · x ≡ x mod n 38 (1 + u · q) · x x+u·p·x x+u·p·r·q x + u · r · (p · q) x+u·r·n Tài liệu tham khảo Chuyên đề số học – Trần Nam Dũng Chuyên đề số học VMF – Diễn đàn toán học Chuyên đề số học – Nguyễn Văn Thảo Số học thuật toán – Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển Ứng dụng lý thuyết đồng dư toán chia hết – Hà Duy Nghĩa Sơ lược đồng dư – Ngô Bảo Châu A Computational Introduction to Number Theory and Algebra Discrete Mathematics and Its Applications – Kenneth H.Rosen Understanding Cryptography – Christof Paar Jan Pelzl 10 Trang web: www.wikipedia.org 11 Trang web: diendantoanhoc.net 12 Một số tài liệu Internet 39 ... thấy tầm quan trọng lý thuyết đồng dư việc nghiên cứu ứng dụng vào thực tế Trong nội dung tiểu luận giới thiệu phần lý thuyết lý thuyết đồng dư số ứng dụng Mục lục Một số lý thuyết cần biết 1.1... − 1, an − 1) = 2(m, n) −1 Chương Lý thuyết đồng dư 2.1 Định nghĩa định lý Định nghĩa 2.1.1 Quan hệ Đồng dư Cho số nguyên dư ng m = 0, số nguyên a gọi đồng dư với b theo modulo m m | (a − b)... 29 Giải phương trình đồng dư 30 5.1 Giải phương trình đồng dư tuyến tính 30 5.2 Giải hệ phương trình đồng dư Định lý dư số Trung Hoa 31 5.3