Lý thuyết đồng dư và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN NGỌC LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2011 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng dư nhà toán học lỗi lạc Gauss (1777-1855) viết “Disquisitiones Arithmeticae” ơng cịn sinh viên 24 tuổi Có thể nói, lý thuyết đồng dư cơng cụ mạnh để giải toán toán học nói chung số học nói riêng Ngày nay, lý thuyết đồng dư có vai trị quan trọng mật mã khố cơng khai, vấn đề có ý nghĩa thực tiễn cao Để phát triển khoa học máy tính, nhà tin học toán học phải sử dụng nhiều cơng cụ tốn học (số học, tốn rời rạc, đại số tuyến tính,…) đặc biệt số học số nguyên, có lý thuyết đồng dư Với lý nói trên, luận văn trình bày số vấn đề lý thuyết đồng dư ứng dụng Nội dung luận văn gồm ba chương: Chƣơng 1: Trình bày số kiến thức sở bao gồm: Định nghĩa tính chất đồng dư thức; khái niệm tập hợp lớp thặng dư mơđun tính chất m; m vành lớp thặng dư; hệ thặng dư đầy đủ hệ thặng dư thu gọn môđun m; hàm số số học Euler tính chất; Định lý Euler, Định lý Fermat bé; điều kiện có nghiệm phương trình đồng dư bậc Trong chương chúng tơi trình bày phần chứng minh vài tính chất điển hình chứng minh tương đối khó, số tính chất cịn lại xem chứng minh   Chƣơng 2: Giới thiệu khái niệm tính chất nguyên thủy; vấn đề tồn nguyên thủy; khái niệm số số g số nguyên a theo môđun m Chúng ta biết rằng, tập hợp phần tử khả nghịch * m vành m lớp số ngun mơđun m nhóm nhân cấp  (m) ,  hàm số số học Euler Trong luận văn này, xét với giá trị m nhóm nhân nói nhóm cyclic Ta thấy * m nhóm cyclic m lấy giá trị 2, 4, p , p , với p số nguyên tố lẻ  số tự nhiên khác không Ta vận dụng kết vào việc giải phương trình đồng dư nhị thức Chƣơng 3: Trình bày khái niệm tính chất số số g số nguyên a theo môđun m; Định nghĩa thặng dư bậc n môđun p; tiêu chuẩn thặng dư bậc n; số thặng dư bậc n; điều kiện có nghiệm phương trình đồng dư nhị thức Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang tận tình bảo, động viên khích lệ, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn, Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu Trong trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, cố gắng nhiều, song chắn cịn nhiều thiếu sót, mong góp ý, bảo thầy cô, bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa tính chất đồng dƣ thức 1.1.1 Định nghĩa Cho m số tự nhiên, m  , a, b số nguyên Ta nói a đồng dư với b theo môđun m phép chia a b cho m ta số dư Khi ta kí hiệu là: a  b (mod m) gọi đồng dư thức 1.1.2 Định lý Các mệnh đề sau tương đương (i) a  b (mod m) (ii) m | a – b (iii) Có số nguyên t cho a  b  mt Chứng minh (i)  (ii) Vì a  b (mod m) nên chia a b cho m ta số dư, nghĩa tồn số tự nhiên r,  r  m số nguyên qa , qb cho a  mqa  r , b  mqb  r , từ suy a  b  m(qa  qb ) , hay m | (a – b) ■ (ii)  (iii) Vì m | (a – b) nên tồn t  cho a  b  mt , hay a  b  mt ■ (iii)  (i) Giả sử chia a cho m ta thương qa số dư r tức a  mqa  r ,  r  m Vì a  b  mt nên ta có b  mt  mqa  r hay b  m(qa  t )  r với  r  m Điều chứng tỏ chia b cho m ta số dư r Vậy a  b (mod m) ■ 1.1.3 Mệnh đề (i) Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương (ii) Ta cộng hay trừ vế nhiều đồng dư thức theo môđun m với nhau, cụ thể ta có  bi (mod m), i = 1, , k ta có k k i 1 i 1   i    ibi (mod m) , với  i  ±1 (iii) Ta nhân vế nhiều đồng dư thức theo môđun m với nhau, cụ thể  bi (mod m), i = 1, , k ta có k k i 1 i 1    bi (mod m) (iv) Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung nguyên tố với môđun m, cụ thể  | a,  | b ( , m)  từ đồng dư thức a  b (mod m) , ta có a   b  (mod m) (v) Ta nhân hai vế đồng dư thức môđun với số nguyên dương, chia hai vế môđun cho số nguyên dương ước chung chúng, cụ thể a  b (mod m) với số ngun dương c, ta có ac  bc (mod mc) với  nguyên dương,  | (a, b, m) ta có a   b  (mod m  ) (vi) Nếu hai số đồng dư với theo nhiều mơđun chúng đồng dư với theo môđun bội chung nhỏ môđun cho, cụ thể a  b (mod mi ) , i = 1, 2, , k m   m1, m2 , , mk  ta có a  b (mod m) (vii) Nếu hai số đồng dư với theo mơđun m chúng đồng dư với theo môđun ước m, cụ thể ta có a  b (mod m)  | m,   , ta có a  b (mod  ) (viii) Nếu hai số a b đồng dư với theo mơđun m tập hợp ước chung a m trùng với tập hợp ước chung b m nói riêng ta có (a, m) = (b, m) Chứng minh Mệnh đề xem   1.2 Các lớp thặng dƣ Cho m số tự nhiên, m  Ta biết quan hệ thặng dư theo môđun m quan hệ tương đương vành số nguyên xác định nguyên , chia lớp cho ta tập hợp thương tập hợp số quan hệ đồng dư môđun m 1.2.1 Định nghĩa Cho m số tự nhiên, m  Tập hợp thương tập hợp số nguyên quan hệ đồng dư theo môđun m gọi tập hợp lớp thặng dư môđun m kí hiệu m Mỗi phần tử m gọi lớp thặng dư môđun m Nếu A m a  A ta cịn kí hiệu A  a (mod m) đơn giản A  a Vậy a  b a  b (mod m) 1.2.2 Mệnh đề Tập hợp m gồm m phần tử Chứng minh Xét phần tử 0, 1, , m  phần tử đôi phân biệt m, ta tập hợp tất m Thật i  j ,  i, j  m  ta  i  j  m  i j (mod m) nghĩa i  j Mặt khác x  m ln tồn i với  i  m  cho i  x (mod m), nghĩa x  i Vậy ta m    0, 1, , m-1 Card( m) = m ■ 1.2.3 Mệnh đề Mỗi lớp thặng dư môđun m hợp k (  k  ) lớp thặng dư môđun km (đôi phân biệt) Chứng minh Giả sử A  a  m, Xét lớp thặng dư môđun km sau đây: A0  a, A1  a  m, , Ak-1  a  (k  1)m Đó lớp mơđun km đơi phân biệt Thật với i  j ,  i, j  k  ta có  (a  im)  (a  jm)  km , nên Ai  A j , ta có đẳng thức A Ai i  0, , k 1 Thật vậy, giả sử x  A , x  a (mod m) , nghĩa có t  cho x = a + mt Chia t cho k, giả sử ta t = kq + i,  i  k  1, từ x = a + (mk)q + mi hay x = a + mi + (mk)q  a + mi (mod km), nghĩa x  Ai Ngược lại, giả sử x  Ai , với  i  k  1, ta x  a  mi (mod mk ) , từ x  a  mi (mod m) hay x  a (mod m) , nghĩa x  A ■ Ta gọi ước chung lớn d lớp thặng dư A với m ước chung lớn thặng dư A với m kí hiệu (A, m) Vậy ta có d = (A, m) =( a, m ) = (a, m) với A  a  m Đặc biệt (A, m) = A gọi lớp thặng dư nguyên tố với môđun m 1.3 Vành lớp thặng dƣ 1.3.1 Phép toán Zm Trong m ta định nghĩa phép cộng phép nhân sau: Giả sử a, b m, ta đặt a  b  a  b a.b  ab Dễ kiểm tra phép tốn hồn tồn xác định 1.3.2 Định lý Tập hợp m với hai phép toán cộng nhân vừa xác định vành giao hốn có đơn vị Chứng minh Dễ dàng kiểm tra phép cộng phép nhân mãn tiên đề vành giao hoán Phần tử không m m thỏa , phần tử đối a ( a ), phần tử đơn vị E  ■ 1.3.3 Định lý Lớp thặng dư môđun m, A, phần tử khả nghịch vành m A lớp nguyên tố với môđun m Chứng minh Thật A phần tử khả nghịch vành B m cho AB  E  (mod m) m có nghĩa có A  a, B  b a.b  cho ta đồng dư thức Giả sử ab  (mod m) Như (ba, m) = (1, m) = 1, từ ta có ( A, m)  (a, m)  Ngược lại, giả sử ( A, m)  A  a , (a, m)  tất có b, n ab  mn  1, hay ab  (mod m), nghĩa ab  a.b  Đặt B  b ta có AB  E , nghĩa A khả nghịch ■ Tập hợp tất phần tử khả nghịch dàng chứng minh * m m p Ta dễ với phép nhân nhóm Đặc biệt p số nguyên tố tất phần tử khác khơng * m kí hiệu p khả nghịch trường 1.3.4 Định lý Giả sử A, B  m, A khả nghịch, thì: Khi X chạy qua tất lớp thặng dư vành m AX + B chạy qua tất phần tử vành m m X chạy qua tất phần tử khả nghịch vành AX chạy qua tất phần tử khả nghịch vành m Cụ thể ta có m   AX  B / X  m  * m Chứng minh Vì A khả nghịch nên với X , X '  X = X’, từ  AX  B / X  phân biệt m, ta m Với ý với A, X  m m m  ta có AX    AX / X    tập hợp m phần tử đôi luận tương tự ta đẳng thức cần chứng minh * m * m ta có AX + B = AX’ + B   AX  B / X  * m   AX / X  * m  ■ * m lý 10 1.4 Hệ thặng dƣ đầy đủ hệ thặng dƣ thu gọn môđun m 1.4.1 Định nghĩa Một phận H vành số nguyên hệ thặng dư đầy đủ môđun m H thỏa mãn điều kiện sau: i) Nếu a, b  H a  b a ii) Với x  b (mod m) ; tất có a  H cho a  x (mod m) 1.4.2 Mệnh đề i) Mỗi hệ thặng dư đầy đủ môđun m gồm m số; ii) Mọi hệ H gồm m số nguyên đôi không đồng dư với theo môđun m lập thành hệ thặng dư đầy đủ môđun m; iii) Cho (a, m) = 1, b số nguyên tùy ý x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ mơđun m, ax  b chạy qua hệ thặng dư đầy đủ môđun m 1.4.3 Định nghĩa Một phận K vành số nguyên hệ thặng dư thu gọn môđun m K thỏa mãn điều kiện sau: i) a  K (a, m) = 1; ii) Nếu a, b  K a  b a iii) Với x  b (mod m) ; mà ( x, m)  , tồn a  K cho a  x (mod m) 1.4.4 Mệnh đề i) Mỗi hệ thặng dư thu gọn môđun m gồm  (m) số  hàm số số học Euler; ii) Mọi hệ K gồm  (m) số nguyên, nguyên tố với m đôi không đồng dư với theo môđun m lập thành hệ thặng dư thu gọn môđun m; iii) Cho (a, m) = x chạy qua hệ thặng dư thu gọn mơđun m ax chạy qua hệ thặng dư thu gọn môđun m 1.5 Hàm số số học Euler 1.5.1 Định nghĩa Cho m số tự nhiên khác Hàm số  (m) xác định Định nghĩa tương đương sau đây: 15 Thật vậy, giả sử với k (1  k  a  1) mà b + km khơng chia hết cho a Khi theo Ngun lý DiRichlet phải tồn hai số k1, k2 (0  k1  k2  a  1) cho b  k1m b  k2m chia cho a có số dư, tức (k1  k2 )m  k1m  k2m chia hết cho a Nhưng (a, m) = nên k1  k2 chia hết cho a Điều vơ lý < | k1  k2 | < a ■ Khi phương trình cho tương đương với phương trình ax  b + km (mod m) ta nghiệm x b  km (mod m) a Ví dụ Giải phương trình 5x  (mod 7) Lời giải Phương trình cho tương đương với 5x   4.7 (mod 7) ta nghiệm x 30 (mod 7) hay x  (mod 7) Phƣơng pháp Xác định nghiệm cách vận dụng Định lý Euler Vì (a, m) = nên theo Định lý Euler ta có a (m)  (mod m) Từ ta suy a (m)b  b (mod m) hay a ba (m)1   b (mod m)   x  ba ( m) 1 (mod m) nghiệm phương trình cho Suy 16 CHƢƠNG CĂN NGUYÊN THUỶ 2.1 Khái niệm tính chất ngun thủy theo mơđun m 2.1.1 Định nghĩa Cho m số tự nhiên khác không, a số nguyên dương nguyên tố với m Số tự nhiên   nhỏ cho a  (mod m) gọi số mũ a theo mơđun m Kí hiệu  m (a) Khi ta cịn nói a thuộc vào số mũ  theo môđun m Người ta cịn gọi số mũ a theo mơđun m bậc a mơđun m kí hiệu ordma Hiển nhiên ta có  m (a)   (m) với  hàm số số học Euler trình bày chương 2.1.2 Định nghĩa Số nguyên g gọi nguyên thủy môđun m số mũ theo mơđun m  (m) 2.1.3 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo mơđun m số lớp với a theo môđun m thuộc vào số mũ  nói riêng a ngun thủy mơđun m số lớp với a theo mơđun m nguyên thủy môđun m Chứng minh Thật từ a  b (mod m) ta có a k  bk (mod m) với k , ta có  m (a)   m (b) ■ 2.1.4 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo mơđun m số a0  1, a, a , , a 1 đôi không đồng dư với theo môđun m, g ngun thủy mơđun m số g  1, g , , g (m)1 hợp thành hệ thặng dư thu gọn môđun m 17 Chứng minh Thật có a k  al (mod m) với  k  l    có al k  (mod m) (vì ( a k , m)  ), k = l ■ 2.1.5 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo mơđun m a  (mod m)   (mod  ) Chứng minh Giả sử    q  r ,  r <  , ta có a = a q +r  a r (mod m) Do a  (mod m) a r  (mod m) đồng dư thức xảy r = 0, tức  chi hết cho  hay   (mod  ) ■ 2.1.6 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo mơđun m a  a (mod m)    (mod  ) Chứng minh Giả sử    , ta a  a (mod m) a   (mod m) Đồng dư thức xảy  -   (mod  ) , tức    (mod  ) ■ 2.1.7 Hệ Số mũ a theo môđun m ước  (m) 2.1.8 Mệnh đề Nếu theo môđun m, số mũ a  ( ordm (a)   ), s  số nguyên dương số mũ a s theo môđun m ord m (a s )  ( , s) Chứng minh Đặt v = ( , s) ,   1v, s  s1v với (1, s1)  1, u  ordm (a s ) s 1 Ta có (a )   (a s1v ) v  (a ) s1  (mod m) , u | 1 (*) Mặt khác (a s )u  (a su )  (mod m) nên  | su tức 1v | s1vu, 1 | s1u, (1, s1)  nên 1 | u (**) Từ (*) (**) suy u  1   v    Vậy ord m (a s )  ■ ( , s) ( , s) 18 2.1.9 Hệ Nếu a thuộc vào số mũ  theo môđun m, s số tự nhiên nguyên tố với  , a s thuộc vào số mũ  theo mơđun m Chứng minh Thật ta có ord m (a s )   (theo Mệnh đề 2.1.8) ( , s) =  (vì ( , s)  1) ■ 2.1.10 Hệ Nếu g nguyên thủy mơđun m, g s ngun thủy môđun m (s,  (m))  Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.1.8 cho nguyên thủy g ta có ord m ( g s )   (m) Từ suy g s nguyên thủy mô đun m ( (m), s) (s,  (m))  ■ 2.1.11 Mệnh đề Nếu số nguyên dương m có ngun thủy có tất  ( (m)) nguyên thủy không đồng dư với Chứng minh Thật g nguyên thủy g , g , , g ( m) hệ thặng dư thu gọn môđun m Theo Hệ 2.1.10 số nguyên thủy môđun m số số s thỏa mãn (s,  (m))  có  ( (m)) số s Vậy có  ( (m)) nguyên thủy ■ 2.1.12 Mệnh đề Nếu theo môđun m số mũ a 1 , số mũ b  với (1,  )  số mũ tích ab   1 Chứng minh Thật ta có (ab)  a b  (a ) (b )  (mod m) suy 2  bội số mũ ab Giả sử ta có (ab) '  (mod m) ta (ab) '  (mod m) từ ta có b '  (mod m) suy  |  '1 , (1, )  nên  |  ' 19 Tương tự ta chứng minh 1 |  '  ' bội  Từ suy  số mũ ab theo môđun m ■ 2.1.13 Hệ Nếu theo môđun m số mũ b1, b2 , , br 1,  , ,  r đơi ngun tố số mũ tích b1b2 br tích số mũ 1  r 2.2 Vấn đề tồn nguyên thủy 2.2.1 Bổ đề Nếu p số ngun tố có ngun thủy mơđun p Chứng minh Thật với p  điều khẳng định hiển nhiên ta có 1 (2)  11  (mod 2) nên nguyên thủy môđun Giả sử p số nguyên tố lẻ  ( p)  p  có dạng phân tích tiêu chuẩn q11 q2 qk k Vì phương trình đồng dư x p 1 qi  (mod p) p 1 có khơng q p  nghiệm , < p – với qi , qi qi tồn , (ai , p)  cho Lấy bi = p 1 q i i p 1 qi (mod p) Ta chứng minh số mũ theo môđun p bi q i i i Thật vậy, theo Định lý Fecma ta có bi qi = p 1  (mod p) , số mũ  i bi ước q i i ,  i có dạng q i i với  i  i 20 Nhưng với   i , ta có bi qi  p 1 i   = qi (mod p), nên i  i nghĩa  i = q i i Như số b1, b2 , , bk thuộc vào số mũ theo môđun p q11 , q2 , , qk k đôi nguyên tố g  b1b2 bk thuộc vào số mũ q11 q22 qk k  p    ( p) theo mô đun p, nghĩa g ngun thủy mơđun p Vậy có ngun thủy mơđun p ■ 2.2.2 Bổ đề Có nguyên thủy mô đun Chứng minh Thật 1 ngun thủy mơđun số mũ 1 (   (4) , (1)2   (mod 4) ) ■ 2.2.3 Bổ đề Nếu p số ngun tố lẻ có nguyên thủy mô đun p với số tự nhiên   Chứng minh Giả sử g ngun thủy mơđun p , ta giả thiết g p 1 (mod p ) Thật khơng g1  g  p nguyên thủy có tính chất g1 p 1  ( g  p) p 1  g p 1  p( p  1) g p 2 (mod p ) Từ g p 1  (mod p ) ta g1 p 1   pg p 2 (mod p ) Nhưng ( g p 2 , p)  nên g1 p 1 (mod p ) Vậy ta giả thiết nguyên thủy g môđun p thỏa mãn điều kiện g p 1 (mod p ) Ta chứng minh g nguyên thủy mô đun p với   21 Thật g p 1 (mod p ) nên g p 1 = + pu với (u, p) =1 Do  với   g p ( p 1)   p  1u ' , với (u’, p) =1 Nghĩa ta có   g p ( p 1)  (mod p  1) g p ( p 1)  1 Từ ta g p    ( p ) g  ( p 1) (mod p   )   g ( p )  (mod p ) với  |  ( p ) , (mod p ) Vậy g nguyên thủy môđun p ■ 2.2.4 Bổ đề Nếu p số nguyên tố lẻ có ngun thủy mơđun p với số tự nhiên   Chứng minh Ta có  ( p )   (2 p ) số lẻ x thỏa mãn hai đồng dư thức x  (mod p ) x  (mod p ) thỏa mãn đồng dư thức lại Thật x  (mod p ) mà x lẻ nên x  (mod 2) từ kết hợp với (2, p ) = ta suy x  (mod p ) Ngược lại x  (mod p ) theo tính chất đồng dư thức ta có x  (mod p ) Bây ta giả sử g ngun thủy mơđun p , hai số g , g  p nguyên thủy lẻ, theo chứng minh ngun thủy mơđun p ■ 2.2.5 Bổ đề Khơng có ngun thủy môđun 2 với   Chứng minh Thật với số nguyên lẻ x ta có x  2k  , k  suy x2  ( 2k + )2  4k (k  1)   (mod 8) , tức x2  (mod 23 ) 22 với   , ta có  2 x2  3  ( x )2  (mod 2 ) Ta lại có  (2 )  2 1  2 2 khơng có nguyên thủy môđun 2 với   ■ 2.2.6 Bổ đề Nếu m có nhiều ước ngun tố lẻ khơng có ngun thủy mơđun m Chứng minh Giả sử m có dạng m  2 p11 p  p k  k , với   0, i  i  1, 2, , k , k  ( p i nguyên tố lẻ), a số nguyên tố với m , a nguyên tố với p i i , i  1, 2, , k ta có a pi i 1 ( pi 1)  (mod pi i ) ,   1 i  1, 2, , k ta ln có a  (a )2  (mod 2 ) với   Nhưng k  nên 2 pi i 1( pi  1) ước  (m) , từ ta đồng dư thức 1  ( m)  ( m)  a2  (mod p i ) , i = 1, 2, , k a  (mod 2 ) i  ( m)  (mod m) Vậy nghĩa khơng có ngun thủy Do ta có a mơđun m ■ 2.2.7 Bổ đề Nếu m  2 p  , với   2,   p số ngun tố lẻ khơng có ngun thủy mơđun m Chứng minh Với a nguyên tố với m trường hợp ta có  1 a2  1  (mod 2 ) a p ( p  1)  (mod p  ) 23 Nhưng 2 1 p  1( p  1) ước  (m) , từ ta 1  ( m)  ( m)  đồng dư thức a  (mod p ) a  (mod 2 ) Do ta có  ( m) a2  (mod m) Vậy nghĩa khơng có ngun thủy mơđun m ■ Từ Bổ đề ta có Định lý sau 2.2.8 Định lý Các số 2, 4, p , p , với p số nguyên tố lẻ,  số tự nhiên khác khơng, số có ngun thủy Từ khái niệm, tính chất, tồn nguyên thủy tính chất tập hợp phần tử khả nghịch 2.2.9 Hệ Nhóm nhân * m * m vành m ta có kết sau nhóm cyclic m lấy giá trị 2, 4, p , p , với p số nguyên tố lẻ  số tự nhiên khác không 24 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐỒNG DƢ NHỊ THỨC 3.1 Chỉ số số g số nguyên a theo môđun m 3.1.1 Định nghĩa Cho a số nguyên nguyên tố với m , g nguyên thủy môđun m Số tự nhiên  gọi số số g a theo môđun m ta có đồng dư thức a  g  (mod m) Kí hiệu số số g a ind g a   ( m xác định) Người ta viết ind a   (khi không cần ý đến số g g xác định trước) 3.1.2 Định lý (i) Các số (với số g) số a theo mô đun m hợp thành lớp thặng dư môđun  (m) ; (ii) Các số lớp thặng dư mơđun m có tập hợp số Chứng minh (i) Giả sử g nguyên thủy môđun m a số nguyên tố với m , tồn số số g a theo môđun m chẳng hạn  a  g  (mod m) Giả sử  ' số tự nhiên tùy ý ta có ind g a   ' a  g  ' (mod m) Từ suy g   g  ' (mod m) , điều đạt    ' (mod  (m)) Vậy tập hợp số số g a lớp thặng dư  (mod  ( m)) ■ (ii) Giả sử a  b (mod m) (a, m) = (b, m) = 1, g ngun thủy mơđun m, ta có a  g  (mod m) b  g  (mod m) 25 tập hợp số a trùng với tập hợp số b, ta có điều phải chứng minh ■ 3.1.3 Mệnh đề Chỉ số (của số g) tích nhiều số tổng số thừa số (sai khác bội  (m) ) Chứng minh Giả sử ta có ind a1   , , ind a k   k , ta a1  g 1 (mod m), , a k  g k (mod m) từ ta ind (a1 a a k )  ind a1  ind a   ind a k (mod  (m)) ■ 3.1.4 Hệ (i) ind a n  n ind a (mod (m)) (ii) ind b  ind b - ind a (mod (m)) (Với a | b) a 3.2 Phƣơng trình nhị thức Trong phần này, ta xét phương trình đồng dư xn  a (mod p) (2) với (a, p) = 1, n  * , p số nguyên tố 3.2.1 Định nghĩa Nếu (a, p) = phương trình (2) có nghiệm ta nói a thặng dư bậc n môđun p 3.2.2 Định lí Phương trình (2) có nghiệm d = (n, p – 1) ước số a ( d ind a ) Trong trường hợp có nghiệm có d nghiệm Chứng minh Phương trình (2) tương đương với phương trình n ind x  ind a (mod p  1) (3) Phương trình (3) phương trình bậc với ẩn indx Phương trình có nghiệm d = (n, p – 1) ước inda có d nghiệm, ta điều cần chứng minh ■ 26 3.2.3 Định lý Số a thặng dư bậc n môđun p p 1 a d  (mod p) , d = (n, p – 1) Chứng minh Theo chứng minh ta có a thặng dư bậc n môđun p ind a  (mod d ) (4) Hệ thức (4) tương đương với p 1 ind a  (mod p  1) d (5) Hệ thức (5) tương đương với p 1 a d  (mod p) ■ 3.2.4 Định lý Trong hệ thặng dư thu gọn mơđun p, có p 1 thặng dư d bậc n (d = (n, p – 1)) Chứng minh Ta biết a thặng dư bậc n môđun p ind a  (mod d ) Khi a chạy qua hệ thặng dư thu gọn mơđun p inda chạy qua hệ thặng dư đầy đủ môđun p – 1, có d, tương ứng có p 1 giá trị bội d p 1 giá trị thặng dư bậc n môđun p ■ d 3.2.5 Ví dụ giải phƣơng trình nhị thức Ví dụ Giải phương trình x12  (mod 29) Lời giải Ta có (12, 28) = 4, ind = Vì khơng chia hết nên Phương trình khơng có nghiệm Ví dụ Giải phương trình x8  (mod 29) Lời giải.Phương trình cho tương đương với 8ind x  ind (mod 28) 27 Vì ind7 = 12 , nên ta 8ind x  12 (mod 28)  ind x  (mod7)  ind x   7.1 (mod7)  ind x  10 (mod7)  ind x  (mod7) hay ind x  5, 12, 19, 26 (mod 28) Từ suy nghiệm phương trình x  3, 7, 26, 22 (mod 29) 3.2.6 Chú ý Để xác định số số xác định số biết số nó, ta tra bảng   28 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn bao gồm: - Hệ thống hoá kiến thức liên quan đến lý thuyết đồng dư - Trình bày chi tiết nguyên thủy: Khái niệm, tính chất, vấn đề tồn nguyên thủy Cụ thể số 2, 4, p , p (với p số nguyên tố lẻ,  số tự nhiên khác không) số có nguyên thủy - Từ khái niệm tồn nguyên thủy suy kết là: Nếu m lấy giá trị 2, 4, p , p (với p số nguyên tố lẻ  số tự nhiên khác khơng) tập hợp phần tử khả nghịch m với phép nhân nhóm cyclic cấp  (m) - Trình bày khái niệm số số g số nguyên a theo môđun m, từ vận dụng vào việc giải phương trình đồng dư nhị thức 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, Lập trình Giảng dạy Tốn học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học, NXB Giáo dục [3] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [6] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số học, NXB Giáo dục TIẾNG ANH [8] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [9] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company, New Delhi [10] M B Nathason (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [11] S G Telang, Number Theory, Tata McGraw-Hill Company, New Delhi ... lý thuyết đồng dư Với lý nói trên, luận văn trình bày số vấn đề lý thuyết đồng dư ứng dụng Nội dung luận văn gồm ba chương: Chƣơng 1: Trình bày số kiến thức sở bao gồm: Định nghĩa tính chất đồng. ..2 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng dư nhà toán học lỗi lạc Gauss (1777-1855) viết “Disquisitiones Arithmeticae” ơng cịn sinh viên 24 tuổi Có thể nói, lý thuyết đồng dư cơng cụ mạnh để giải... chất đồng dư thức; khái niệm tập hợp lớp thặng dư mơđun tính chất m; m vành lớp thặng dư; hệ thặng dư đầy đủ hệ thặng dư thu gọn môđun m; hàm số số học Euler tính chất; Định lý Euler, Định lý Fermat