CHUYÊN đề lý THUYẾT ĐỒNG dư

CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ • ĐỒNG   DƯ THỨC: a) Định nghĩa: • Cho số nguyên dương m Hai số nguyên a b gọi đồng dư với theo mơđun m chúng có số dư phép chia cho m, ký hiệu bởi: a ≡ b (mod m) Đọc a đồng dư b mơđun m • Ngồi định nghĩa cịn có cách hiểu sau: Cho m số nguyên dương Hai số nguyên a b gọi đồng dư với theo môđun m hiệu a-b chia hết cho m Kí hiệu: a ≡ b (mod m) • Nếu a-b khơng chia hết cho m ta viết a b (mod m) • Ví dụ: ≡ -1 (mod 4) Vì 3-(-1)= ⋮ ≡ 17 (mod 6) 18 ≡ (mod 6) b) T ính chất: • • • • a  ≡ a (mod m) với a Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) Nếu a1 ≡ b1 (mod m) a2 ≡ b2 (mod m) a1 ± a2 ≡ b1 ± b2 (mod m) hay a ≡ b (mod m) a ± x ≡ b ± x (mod m) với x số nguyên tùy ý • Nếu a1 ≡ b1 (mod m) a2 ≡ b2 (mod m) a1.a2 ≡ b1.b2 (mod m) hay: • Nếu a ≡ b (mod m) a.x ≡ b.x (mod m) với x số nguyên tùy ý • Nếu a ≡ b (mod m) ≡ (mod m) với n số nguyên dương 2 Bài tập ví dụ: Bài •   tập 1: a) Chứng minh số : A= – B = + bội số b) Tìm số dư phép chia: cho Giải c) Ta có ≡ -1 (mod 7) => ≡ (mod 7)  -1 ≡ - (mod 7)  -1 ≡ (mod 7) => ( -1 ) ⋮ => A= – bội số • Từ ≡ (mod 7) => ≡ (mod 7) mà ≡ -1 (mod 7)  ≡ -1 (mod 7) => +1 ≡ -1 + (mod 7)  +1 ≡ (mod 7) => ( +1) ⋮ B = + bội số b) Ta có : ≡ (mod 3) => ≡ (mod 3) Hay số dư cần tìm Bài tập 2: Tìm số dư phép chia sau: •a)   – chia cho b) chia cho 41 c) chia cho 17 Bài tập 2: Tìm số dư phép chia sau: •a)   – chia cho Ta có ≡ (mod 9)  -1 ≡ 31(mod 9) ≡ (mod 9) => Số dư b) chia cho 41 •Ta có : 51200 ≡ 32(mod 41)  => 51200 ≡ -9(mod 41)  ≡ 81 ≡ 40 ≡ -1 (mod 41)  ≡ (mod 41) Do = = => = ≡ (mod 41) => Số dư •     c) chia cho 17 Ta có : 1035125 ≡ 12 ≡ -5 (mod 17) ) ≡ (mod 17) Ta có:1035125 ≡ 12 ≡ -5 (mod 17) ≡ 25 ≡ (mod 17) => ≡ 64 ≡ -4 (mod 17) => ≡ 16 ≡ -1 (mod 17)  ≡ ≡ 1(mod 17) Vì 5642 = 16.352+10 = 16.352+8+2 Ta có: ≡ 1(mod 17) =>≡ (mod 17)  ≡ (mod 17)  ≡ -8 ≡ 9(mod 17) => Số dư Bài tập 4: Tìm số dư phép chia: cho 13 Bài tập 5: Tìm số dư phép chia: + cho 12 Bài tập 6: Tìm số dư : + + chia cho chia cho   3 Phương trình đồng dư ẩn PT đồng dư bậc ẩn:ax ≡ b (mod m) (1) Có nghiệm d = (a,m) ước b Khi phương trình có d nghiệm Trường hợp : d=1 ta có hai cách giải (1) - Cách 1: Nếu a ⋮ b x ≡ b/a ( mod m) Nếu a không chia hết cho b (a,m) =1 nên tồn u, v ∈ Z để : au+mv =1  a(ub) +m(vb) = b  a(ub) ≡ b (mod m) • Từ nghiệm (1) x ≡ ub (mod m) Bài tập 3: Giải phương trình đồng dư sau: a) 3x ≡ (mod 8) (3,8) = => 3u + 8v =1, Chọn u=3, v=-1 ta có: 3.3 - 8=1 => 3.(3.7) -8.7 = => x ≡ 21 ≡ 5(mod 8) b) 7x ≡ (mod 13) Tương tự 7.2-13 = => 7( 2.6) – 13 = => x ≡ 12 ≡ -1 (mod 13) ... 9(mod 17) => Số dư Bài tập 4: Tìm số dư phép chia: cho 13 Bài tập 5: Tìm số dư phép chia: + cho 12 Bài tập 6: Tìm số dư : + + chia cho chia cho   3 Phương trình đồng dư ẩn PT đồng dư bậc ẩn:ax... b) Ta có : ≡ (mod 3) => ≡ (mod 3) Hay số dư cần tìm Bài tập 2: Tìm số dư phép chia sau: •a)   – chia cho b) chia cho 41 c) chia cho 17 Bài tập 2: Tìm số dư phép chia sau: •a)   – chia cho Ta có... ≡ 31(mod 9) ≡ (mod 9) => Số dư b) chia cho 41 •Ta có : 51200 ≡ 32(mod 41)  => 51200 ≡ -9(mod 41)  ≡ 81 ≡ 40 ≡ -1 (mod 41)  ≡ (mod 41) Do = = => = ≡ (mod 41) => Số dư •     c) chia cho 17 Ta