Lý thuyết đồng dư và ứng dụng (2018)

Em xin cam đoan khóa luận "Lý thuyết đồng dư và ứng dụng" làcông trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của TS.. Lý thuyết đồng dư được Gauss đưa ra có hệ thống chặtchẽ và được

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Kiều Nga

HÀ NỘI – 2018

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các Thầy Cô khoa Toán, trường ĐạiHọc Sư Phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt những tri thức quýbáu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt việc học và làmkhóa luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới

TS Nguyễn Thị Kiều Nga, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tậntình để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bảnkhóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược những ý kiến góp ý quý báu của các Thầy Cô và các bạn sinhviên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Trần Thị Thùy Linh

Em xin cam đoan khóa luận "Lý thuyết đồng dư và ứng dụng" làcông trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của TS NguyễnThị Kiều Nga Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận là hoàn toàntrung thực và có sử dụng một số tài liệu trong danh mục tài liệu thamkhảo Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về khóa luận của mình.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Trần Thị Thùy Linh

Lời mở đầu 1

1.1 Đồng dư thức 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất 3

1.2 Các định lý Euler, Fermat, Wilson 5

1.2.1 Hàm Euler 5

1.2.2 Tính chất 5

1.2.3 Định lý Euler, định lý Fermat, định lý Wilson 6 1.3 Các lớp thặng dư 6

1.3.1 Tập hợp các lớp thặng dư môđun 6

1.3.2 Vành các lớp thặng dư 7

1.3.3 Hệ thặng dư 8

1.4 Phương trình và hệ phương trình đồng dư 10

1.4.1 Phương trình và hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn 10

1.4.2 Định lý thặng dư Trung Hoa 13

1.4.3 Phương trình đồng dư bậc cao 15

2 Ứng dụng của lý thuyết đồng dư 20 2.1 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong Toán học 20

2.1.1 Phát hiện dấu hiệu chia hết 20

2.1.2 Xét xem một số có là số chính phương 23

2.1.3 Tìm số dư trong phép chia 25

2.1.4 Chứng minh sự chia hết 27

2.1.5 Giải phương trình, hệ phương trình đồng dư 28

2.1.6 Ứng dụng của Định lý thặng dư Trung Hoa 30

2.1.7 Bài tập áp dụng 33

2.2 Một số ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong thực tế 35 2.2.1 Luật mã số sách ISBN 35

2.2.2 Số nhận diện phương tiện (số VIN) 37

2.2.3 Bài toán mật mã 39

Lời mở đầu

Số học là một nội dung quan trọng của toán học xuyên suốt từbậc tiểu học đến trung học phổ thông và đại học Chúng ta được tiếpxúc với số học bắt đầu bằng những khái niệm đơn giản số tự nhiên,

số nguyên, phân số, tính chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏnhất cho đến những vấn đề đòi hỏi nhiều tư duy hơn như đồng dư,

số nguyên tố, phương trình Diophantine, phương trình đồng dư, Đồng dư là khái niệm cơ bản trong lý thuyết số Khái niệm này

do nhà toán học Đức Gauss (1777-1855), một trong những nhà toánhọc lỗi lạc của nhân loại đưa ra Nó đuợc trình bày trong tác phẩm

"Disquistiones Arthmeticcate" của ông xuất bản năm 1801 khi ôngmới 24 tuổi Lý thuyết đồng dư được Gauss đưa ra có hệ thống chặtchẽ và được ứng dụng rộng rãi trong toán, bổ sung giải quyết một sốvấn đề trong số học như: phát hiện dấu hiệu chia hết, tìm dư trongphép chia, Đặc biệt lý thuyết đồng dư còn có những ứng dụng quantrọng trong thực tiễn đời sống

Được sự gợi ý, động viên và giúp đỡ tận tình của Cô giáo NguyễnThị Kiều Nga cùng sự say mê của bản thân, em đã chọn đề tài "Lýthuyết đồng dư và ứng dụng" làm đề tài nghiên cứu khóa luận củamình

Nội dung khóa luận gồm hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết đồng dư.Chương 2: Ứng dụng của lý thuyết đồng dư

Chương này trình bày một số ứng dụng của lý thuyết đồng dư trongtoán học, trong thực tiễn đời sống.

Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nênkhông tránh khỏi thiếu sót Em rất mong được sự đóng góp của cácThầy, Cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Trần Thị Thùy Linh

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Đồng dư thức

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho a, b, m là các số nguyên, m > 0 Số a được gọi

là đồng dư với b theo môđun m nếu a và b chia cho m có cùng số dư

Kí hiệu: a ≡ b (mod m) Ngược lại kí hiệu: a 6≡ b(mod m)

Chú ý

• a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi m|(a − b)

• a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho a = b+km

1.1.2 Tính chất

a) Quan hệ đồng dư là quan hệ tương đương trên tập số nguyên Z.b) Ta có thể cộng, trừ từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng mộtmôđun, tức là nếu ai ≡ bi (mod m), i = 1, k thì:

c) Ta có thể nhân từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun,tức là nếu ai ≡ bi (mod m), i = 1, k thì:

- Nếu a ≡ b (mod m) thì a ± c ≡ b ± c (mod m)

- Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod m)

- Nếu a ≡ b (mod m) thì a ≡ b + km (mod m)

- Nếu a + c ≡ b (mod m) thì a ≡ b − c (mod m)

- Nếu a ≡ b (mod m) thì an ≡ bn (mod m) với n là số nguyên dương.e) Giả sử f (x) ∈ Z[x] và a ≡ b (mod m) Khi đó f (a) ≡ f (b) (modm) và f (a) ≡ f (a ± km) (mod m) Đặc biệt f (a) ≡ 0 (mod m) thì

- Ta có thể chia cả hai vế và môđun của đồng dư thức với cùng mộtước dương của chúng, tức là nếu a ≡ b (mod m), 0 < c, c là ước chungcủa a, b, m thì a

Đặc biệt: Nếu a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), , a ≡ b (mod mk)với m1, , mk đôi một nguyên tố Khi đó a ≡ b (mod m1m2 mk).i) Nếu hai số đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng cùng đồng

dư với nhau theo mọi môđun là ước của m, tức là nếu a ≡ b (mod m)

và c > 0, c|m thì a ≡ b (mod c)

k) Nếu hai số a, b đồng dư với nhau theo môđun m thì tập hợp cácước chung của a và m trùng với tập hợp các ước chung của b và m và(a, m) = (b, m)

Sau đây ta nhắc lại ba định lý nổi tiếng của số học liên quan đến đồng

b) Cho p nguyên tố, α là số tự nhiên, α > 0 thì:

ϕ(pα) = pα.(1 − 1

p)c) (Công thức tính hàm Euler) Nếu số nguyên n ≥ 2 có sự phân tíchtiêu chuẩn n = pα1

1.2.3 Định lý Euler, định lý Fermat, định lý Wilson

Định lý 1.1 (Định lý Euler) Cho m là số nguyên dương và a là sốnguyên với (a, m) = 1 Khi đó, aϕ(m) ≡ 1 (mod m)

Định lý 1.2 (Định lý Fermat) Cho p là số nguyên tố và a là sốnguyên tùy ý thì ap ≡ a (mod p)

Định lý 1.3 (Định lý Wilson) Số nguyên p > 1 là số nguyên tố khi

và chỉ khi (p − 1)! +1 chia hết cho p hay (p − 1)! ≡ −1 (mod p)

1.3 Các lớp thặng dư

1.3.1 Tập hợp các lớp thặng dư môđun

Định nghĩa 1.3 Tập thương của tập số nguyên Z trên quan hệ đồng

dư môđun m được gọi là tập các lớp thặng dư môđun m(m ∈ N∗) và

kí hiệu Zm Mỗi phần tử của Zm được gọi là một lớp thặng dư môđun

m Ứng với mỗi A ∈ Zm, tồn tại a ∈ Z, để ta có A = a Với a ∈ Zm

thì a được gọi là đại diện của lớp thặng dư a hay còn gọi là một thặng

dư môđun m

Chú ý

• b ∈ a (mod m) khi và chỉ khi b ≡ a (mod m) khi và chỉ khi b = a

• b /∈ a (mod m) khi và chỉ khi b 6≡ a (mod m) khi và chỉ khi b ∩ a = ∅.Tính chất của tập hợp các lớp thặng dư

Định nghĩa 1.4 Ta gọi ước chung lớn nhất của một lớp A với môđun

m là ước chung lớn nhất của mỗi thặng dư của A với môđun m và tacũng kí hiệu là d = (A, m) = (a, m) = (a, m) với A = a(modm)

Đặc biệt, nếu (A, m) = 1 thì A gọi là lớp thặng dư nguyên tố vớimôđun

Dễ kiểm tra được rằng các phép toán trên là phép toán hai ngôi trên

Zm

Định lý 1.4 Tập hợp Zm cùng với phép cộng và nhân xác định ởtrên là một vành giao hoán có đơn vị

Chứng minh Dễ kiểm tra được rằng phép cộng và phép nhân trong

Zm thỏa mãn các điều kiện của vành giao hoán Phần tử không của

Zm là 0 := 0, phần tử đối của a là −a, phần tử đơn vị của Zm là 1

1.3.3 Hệ thặng dư

1.3.3.1 Hệ thặng dư đầy đủ

Định nghĩa 1.5 Cho tập A = {a1, a2, , am} Giả sử ri, 0 ≤ ri ≤

m − 1 là số dư khi chia ai cho m Nếu tập số dư {r1, r2, , rm} trùngvới tập {0, 1, 2, , m − 1} thì ta nói A là một hệ thặng dư đầy đủmôđun m

– Với mọi c ∈ Z và (c, m) = 1, tập cA = {ca1, ca2, , cam} làmột hệ đầy môđun m.

– Tập A∗ = {0, 1, 2, 3, , m − 1} là một hệ thặng dư đầy đủmôđun m không âm nhỏ nhất

– Số phần tử của tập A là m

1.3.3.2 Hệ thặng dư rút gọn

Định nghĩa 1.6 Cho tập B = {b1, b2, · · · , bk} là một tập hợp gồm k

số nguyên và (bi, m) = 1 với mọi i − 1, k

Giả sử bi = qim + ri với 1 ≤ ri < m Khi đó dễ thấy (ri, m) = 1.Nếu tập {r−1, r2, · · · , rm} bằng tập K gồm tất cả các số nguyên dươngnhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m thì B được gọi là hệ thặng

dư thu gọn môđun m, gọi tắt là hệ thu gọn (môđun m)

Nhận xét Ta có thể rút ra hai nhận xét:

• Dễ thấy tập hợp B = {b1, b2, · · · , bk} gồm k số nguyên lập thànhmột hệ thu gọn khi và chỉ khi

1.4 Phương trình và hệ phương trình đồng dư

1.4.1 Phương trình và hệ phương trình đồng dư bậc nhất

một ẩn

1.4.1.1 Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Định nghĩa 1.7 Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn là một đồng

dư thức dạng ax ≡ b(mod m) (1), với a không chia hết cho m

Định lý 1.5 (Điều kiện có nghiệm và số nghiệm) Phương trình (1)

có nghiệm khi và chỉ khi UCLN d = (a, m) của a và m là ước của b.Khi (1) có nghiệm thì nó có d nghiệm

Chứng minh Ta có thể giả thiết d > 0

- Giả sử (1) có nghiệm Khi đó tồn tại x0 ∈ Z sao cho ax0 ≡ b(mod m)

Vì d|a và d|m nên d|ax0 và d|m Do đó theo tính chất của đồng dưthức ta có d|b

- Giả sử ngược lại (a, m) = d|b Giả sử a = a1d, b = b1d, m = m1d thìphương trình (1) tương đương với phương trình a1x ≡ b1(mod m1),(2), trong đó (a1, m1) = 1 Cho x chạy qua một hệ thặng dư đầy

đủ môđun m1, khi đó a1x cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy đủmôđun m1, cho nên có một hệ thặng dư duy nhất x0 trong hệ trênsao cho ta có a1x0 ≡ b1(mod m1), nghĩa là phương trình (2) có mộtnghiệm duy nhất là lớp thặng dư x0(mod m1) Vì phương trình (2)tương đương với phương trình (1) cho nên lớp x0(mod m1) cũng là tậphợp các giá trị của x nghiệm đúng phương trình (1), lớp này là hợpcủa d lớp thặng dư môđun m, đó là d nghiệm của phương trình (1)

là x0, x0 + m1, · · · , x0 + (d − 1)m1(mod m) Vậy phương trình (1) cónghiệm và có d nghiệm.

Phương pháp chung để giải:

Để xác định nghiệm ta chỉ xét phương trình ax ≡ b(mod m) (1) vớiđiều kiện a, m nguyên tố cùng nhau và ta có thể giả thiết 1 < a < m

• Xác định nghiệm bằng phép chia cho a Nếu a là ước của b thìnghiệm của phương trình (1) là x ≡ b

a(mod m) Nếu a không chiahết cho b tồn tại k với 1 ≤ k ≤ a − 1 sao cho a chia hết b + km.Khi đó (1) tương đương với phương trình

ax ≡ b + km(mod m)

và ta được nghiệm là x ≡ b + km

a (mod m) Cách này thường chỉ

sử dụng khi a tương đối nhỏ

• Sử dụng Định lí Euler Vì (a, m) = 1 nên ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m)

với m1, · · · , mk là những số nguyên lớn hơn 1 và b1, · · · , bk là những

số nguyên tùy ý

Nhận xét

Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể chứng minh được rằng:Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình (∗) có nghiệm là U CLN (mi; mj)chia hết bi − bj với i 6= j(1 ≤ i, j ≤ k)

Phương pháp chung để giải:

Vì giả thiết d = (m1, m2) là ước b1−b2 nên phương trình b1+m1t ≡

b2 (mod m2) tương đương với phương trình:

Vậy x ≡ x0 (mod m) là nghiệm của hệ hai phương trình đồng dưđang xét.

• Trường hợp 2: Hệ gồm n phương trình Đầu tiên giải hệ haiphương trình nào đó của hệ đã cho, rồi thay trong hệ hai phươngtrình nào đó của hệ đã cho, rồi thay trong hệ hai phương trình đãgiải bằng nghiệm tìm thấy, ta sẽ được một hệ gồm n − 1 phươngtrình tương đương với hệ đã cho Tiếp tục như vậy sau n − 1 bước

ta sẽ giải được nghiệm cần tìm

1.4.2 Định lý thặng dư Trung Hoa

Định lý 1.6 Cho m1, m2, · · · , mn là các số nguyên dương đôi mộtnguyên tố cùng nhau và r1, r2, · · · , rn là các số nguyên bất kì Khi đó

x ≡ rn(mod mn)

có nghiệm duy nhất môđun m = m1m2 mn

Chứng minh -Sự tồn tại nghiệm

Vì sj chia hết cho mi nếu j 6= i nên x0 ≡ sisiri ≡ ri(mod mi) với mọi

1 ≤ i ≤ n Tức là hệ phương trình đồng dư đã cho có nghiệm

- Tính duy nhất Giả sử hệ phương trình đồng dư trên có nghiệmkhác x1 Khi đó ta có x1 − x0 ≡ 0(mod mi) hay x1 − x0 chia hết cho

mi với mọi i = 1, 2, · · · , n Do m1, m2, · · · , mn là các số nguyên đôimột nguyên tố cùng nhau nên từ đó suy ra x1 − x0 chia hết cho m =

m1m2· · · mn Hay x1 ≡ x0(mod m) Định lí được chứng minh

Nhận xét Định lí thặng dư Trung Hoa khẳng định sự tồn tại duy nhấtnghiệm của hệ phương trình đồng dư bậc nhất Do đó có thể sử dụngđịnh lí để giải quyết các bài toán về sự tồn tại và đếm các số nguyênthỏa mãn một hệ các điều kiện quan hệ đồng dư, chia hết hay đếm

số nghiệm của một phương trình đồng dư Việc sử dụng hợp lí các

bộ m1, m2, · · · , mn và bộ r1, r2, · · · , rn (trong định lí) cho ta nhiều kếtquả thú vị và từ đó có thể giải được nhiều bài tập hay và khó

1.4.3 Phương trình đồng dư bậc cao

Xét phương trình f (x) ≡ 0(mod m) với f (x) ∈ Z[x] Giả sử m có sựphân tích tiêu chuẩn là m = pn11 pn22 · · · pn k

k Khi đó phương trình trêntương đương với hệ f (x) ≡ 0(mod pnii ), với i = 1, 2, · · · , k Vì vậyviệc giải phương trình trên đưa về việc giải phương trình dạng f (x) ≡0(mod pn) trong đó p là số nguyên tố và n > 1 Chú ý rằng nếu mộttrong các phương trình của hệ f (x) ≡ 0(mod pnii), với i = 1, 2, · · · , k

mà không có nghiệm thì cả hệ không có nghiệm và do đó phương trình

f (x) ≡ 0(mod m) không có nghiệm Còn nếu mỗi phương trình f (x) ≡0(mod pnii), có si nghiệm, i = 1, 2, · · · , k thì hệ f (x) ≡ 0(mod pnii), với

i = 1, 2, · · · , k hay phương trình f (x) ≡ 0(mod m) sẽ có s = s1s2· · · sknghiệm

1.4.3.1 Phương trình f (x) ≡ 0(mod pk) (trong đó p nguyên

tố và k > 1 và f (x) có bậc n)

Bổ đề 1.1 Nếu x = x0 nghiệm đúng phương trình f (x) ≡ 0(mod pk)(1)

và n > 1 thì x = x0 cũng nghiệm đúng phương trình f (x) ≡ 0(mod ps)với mọi s = 1, 2, · · · , n − 1

Điều này là hiển nhiên Như vậy có nghĩa mỗi nghiệm của phươngtrình (1) là một bộ phận của một nghiệm nào đó của phương trình

f (x) ≡ 0(mod ps) với 1 ≤ 6s < n Kết quả này cho phép ta tìm

nghiệm của phương trình (1) chỉ trong các nghiệm của phương trình

f (x) ≡ 0(mod p)

Định lý 1.7 Giả sử x ≡ x0(mod pn−1)(n > 1) là một nghiệm củaphương trình f (x) ≡ 0(mod pn−1)(2) và gọi f0(x) là đạo hàm của f (x),khi đó:

i) Nếu f0(x) không đồng dư với 0 theo (mod p) thì trong lớp thặng dư

x ≡ x0(mod pn−1) có một và chỉ một nghiệm của phương trình (1).ii) Nếu f0(x) ≡ 0(mod p) thì trong lớp thặng dư x ≡ x0(mod pn−1)hoặc có p nghiệm, hoặc không có nghiệm nào của phương trình (1)tùy theo f (x0)

pn−1 có chia hết cho p hay không

Chứng minh Đặt x = x0+ tpn với t ∈ Z, đó là các số của lớp thặng dư

x0(mod pn−1) Ta hãy xét xem trong các số này, những số nào nghiệmđúng phương trình (1) Điều này xảy ra khi và chỉ khi t nghiệm đúngphương trình f (x0 + tpn − 1) ≡ 0(mod pn)(3) Áp dụng công thứcTaylor, ta được khai triển của f (x0 + tpn−1) theo lũy thừa tăng của tlà:

f (x0+tpn−1) = f (x0)+tpn−1f0(x0)+t2p2(n−1)f

00(x0)2! +· · ·+t

kpk(n−1)f

k(x0)n!

Từ đó phương trình (3) tương đương với phương trình

f (x0) + tpn−1f0(x0) ≡ 0(mod pn)

vì các số hạng bỏ đi đều là bội của pn vì các số hạng bỏ đi đều là bộicủa pn Vì f (x0) ≡ 0(mod pn−1) nên ta có thể chia hai vế và môđuncủa phương trình này cho pn−1, ta được phương trình (3) tương đương

f (x0)

pn−1 + tf0(x0) ≡ 0(mod p) (4)i) Nếu f0(x0) không đồng dư với 0 theo mô đun p thì phương trình(4) có nghiệm duy nhất, giả sử là t ≡ t0(mod p), hay t = t0 + pu với

u ∈ Z Nó cho ta trong lớp nghiệm x ≡ x0(mod pn−1) của phươngtrình (2) một nghiệm duy nhất

x = x0 + t0pn−1+ upn, u ∈ Z

hay

x ≡ x0 + t0pn−1(mod pn)

của phương trình (1)

ii) Nếu f0(x0) ≡ 0(mod p) và f (x0)

pn−1 không đồng dư với 0 theo môđun

p thì phương trình (4) không có nghiệm, điều đó kéo theo là trong lớp

x0(mod pn−1) nghiệm của phương trình (2) không có nghiệm nào củaphương trình (1) Nếu f0(x0) ≡ 0(mod p) và f (x0)pn−1 ≡ 0(mod p)thì phương trình (4) nghiệm đúng với mọi t ∈ Z(nghĩa là (4) có pnghiệm.) Do đó mọi số của lớp x0(mod pn−1) nghiệm của (2) đềunghiệm đúng phương trình (1), nó cho ta p nghiệm của phương trình(1) là x0, x0 + pn−1, , x0 + (p − 1)pn−1(mod pn) Do đó ta có điều phảichứng minh

Hệ quả 1.1 Nếu x ≡ x0(mod p) là một nghiệm của phương trình

f (x) ≡ 0(modp) (5) mà f0(x0) không đồng dư với 0 theo môđun p, thìtrong nghiệm này có một nghiệm duy nhất của phương trình (1)

1.4.3.2 Phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố

Định nghĩa 1.9 Phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố làphương trình có dạng f (x) ≡ 0(mod p) (1) trong đó p là một sốnguyên tố và f (x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an là một đa thức bậc nvới hệ số nguyên

Định lý 1.8 Phương trình (1) hoặc nghiệm đúng với mọi x ∈ Z hoặctương đương với một phương trình có bậc không lớn hơn p − 1

Chứng minh Chia f (x) cho xp− x, giả sử ta được

Định lý 1.9 Nếu phương trình (1), với n < p có quá n nghiệm phânbiệt thì tất cả các hệ số a0, a1, · · · , an của f (x) đều là bội của p

Chứng minh Giả sử phương trình (1) có n + 1 nghiệm là

x ≡ x0, x1, · · · , xn(mod p)

Ta hãy xác định các hệ số b0, b1, · · · , bn sao cho ta có khai triển

f (x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an

= b0(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn) + b1(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1)+ · · · + bn−1(x − x1) + bn

Việc này được thực hiện bằng cách đồng nhất hóa hai vế, và ta cókết quả là mỗi bi là tổ hợp tuyến tính nguyên của các aj, j ≤ i, vàngược lại mỗi ai cũng là tổ hợp tuyến tính nguyên của các bj, j ≤ i

Ta có f (x1) = bn Vì x ≡ x1(mod p) là một nghiệm của phương trình(1) cho nên bn ≡ 0(mod p) Ta lại có f (x2) = bn−1(x2 − x1) + bn.Mặt khác vì x ≡ x2(mod p) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có

bn−1(x2−x1)+bn ≡ 0(mod p) Từ đó ta có bn−1(x2−x1) ≡ 0(mod p) Vì

x2, x1 thuộc các lớp thặng dư môđun p khác nhau nên (x2− x1, p) = 1

Do đó ta được bn−1 ≡ 0(mod p) Bằng cách lập luận như vậy vớicác giá trị f (x1), f (x2), · · · , f (xn) và f (x0), ta được tất cả các hệ số

bn, bn−1, · · · , b0 đều là bội của p Vì ai là những tổ hợp tuyến tínhnguyên của bj, j ≤ i, nên với mọi ai, i = 0, 1, · · · , n đều là bội củap

Hệ quả 1.2 Một phương trình đồng dư bậc n theo môđun nguyên tố

p, với n < p có không quá n nghiệm