Lý thuyết đồng dư và một số ứng dung

Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên là một nội dung khá quan trọng trong phần số học.. Năm học 2009-2010, tôi được sự phân công của các đồng chí trong tổ và đã làm chuyên đề cụm vấn

I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cách lôgic và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác Số học là một phần không thể thiếu và nó chiếm một vai trò khá quan trọng trong bộ môn này

Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên là một nội dung khá quan trọng trong phần số học Hơn nữa, đây cũng là mảng rất khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, trao đổi và học hỏi ở bạn bè, đồng chí đồng nghiệp và đã tìm ra

chìa khoá để giải quyết vấn đề này Đó là lý thuyết đồng dư Năm học

2009-2010, tôi được sự phân công của các đồng chí trong tổ và đã làm chuyên đề cụm vấn đề này được nhiều đồng nghiệp quan tâm và chia sẽ Vì vậy tôi đã

chọn “ Lý thuyết đồng dư và một số ứng dung” làm sáng kiến kinh nghiệm

nhằm trao đổi với bạn bè đồng nghiệp nhiều hơn về lĩnh vực này

II- CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở lý luận.

Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên vành số nguyên Là một nội dung được suy luận một cách lôgic, chặt chẽ Trên cơ sở

lý thuyết đồng dư được hai nhà bác là Ơle và Fécma đã đưa ra 2 định lý rất nổi tiếng và cố tính ứng dụng rất cao

2 Cơ sở thực tiễn

Lý thuyết đồng dư sẽ cho ta phương pháp đồng dư, đố là một động tác có tính chất kỷ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyết vấn đề chia hết trong vành

số nguyên

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Trao đổi qua đồng nghiệp

B NỘI DUNG

I- ĐỒNG DƯ THỨC

1 Định nghĩa và các điều kiện:

a Định nghĩa:

Cho m N*; a,b  Z Nếu a và b khi chia cho m có cùng số dư ta nói: a

và b đồng dư theo môđun m

Kí hiệu: a  b (mod m)

Hệ thức: a  b (mod m) gọi là đồng dư thức

Ví dụ: 19  3 (mod 8); -25  3 (mod 4)

b Các điều kiện tương đương:

1- a  b (mod m)

2- (a - b) m

3- t  Zsao cho: a = b + m.t

2 Các tính chất

a Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp Z có nghĩa là:

1- a  a (mod m)

2- a  b (mod m) => b  a (mod m)

3- a  b (mod m); b  c (mod m) => a  c (mod m)

b Ta có thế cộng từng vế một với nhau theo cùng một môđun

Cụ thể:

ai bi (mod m) i = => (mod m)

3 Các hệ quả

a a  b (mod m) => a  c  b  c (mod m)

b a + c  b (mod m) => a  b - c (mod m)

c a  b (mod m) => a + k.m  b (mod m)

d

e a  b (mod m) => an  bn (mod m) n  N

f Cho f(x) = an xn + an-1 xn-1 + +a1x + a0 a i Z Nếu   (mod m) thì ta cũng có f( ) f( ) (mod m)

Đặc biệt: f( )  0 (mod m) thì ta cũng có: f( + k.m)  0 (mod m)

Z

k 



g

h

c Ta có thế nhân từng vế với nhau

nhiều đồng dư thức theo cùng một

môđun

Cụ thể: ai bi (mod m);i = => (mod m);

a b (mod m) => a.c b.c (mod m)

Ta có thể chia cả hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của chúng nguyên tố với môđun

Cụ thể là:

a.c b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a b (mod m)

1 Ta có thể nhân cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với

cùng một số nguyên dương

Cụ thể là:

a b (mod m) => a.c b.c (mod m.c)

2 Ta có thể chia cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với

cùng một ước dương của chúng

Cụ thể là:

k Nếu 2 số a và b đồng dư với nhau thêo nhiều môđun thì chúng đồng dư với nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của môđun ấy

Cụ thể là:

a  b (mod mi), i = 1 ,n => a  b (mod m)

Trong đó: m = BCNN(m1, m2 … mn)

l Nếu a và b đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng cũng đồng dư với nhau theo môđun là ước dương của m

Cụ thể là:

a  b (mod m); 0 < ∂  Ư(m) => a  b (mod ∂ )

u Nếu: a  b (mod m) thì: ƯCLN( a; m) = ƯCLN( b; m)

II- ĐỊNH LÝ ƠLE VÀ ĐỊNH LÝ FÉCMA

a Hàm số Ơle- µ(m)

Cho hàm số µ(m) được xác định như sau:

- m = 1 ta có: µ(m) = 1

- m > 1 thì µ(m)là các số tự nhiên không vượt quá m – 1 và nguyên tố với m

b Công thức tính µ(m)

b.1 m = pα ( p là số nguyên tố, α là số tự nhiên khác 0)

Ta có:

µ(m) = µ(pα) = pα (1 1p )

n p p p

p   

3 1

3

2 2

1 (pi là các số nguyên tố, α1 là số tự nhiên khác 0)

Ta có: µ(m) = m (1

1

1

p

 )(1

2

1

p

 )(1

3

1

p

 )…(1

n

p

1

 )

c

2

Định lý Ơle

Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với

m

Khi ấy ta có:

(mod m)

III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1 Tìm số dư trong phép chia

Ví dụ1: Tìm số dư trong phép chia: 29455 – 3 chia cho 9

Giải: Ta có: 2945  2 (mod 9)

=> 29455 – 3  25 – 3 (mod 9)

Mà 25 – 3  2 (mod 9)

Vậy số dư của 29455 – 3 chia cho 9 là 2

Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia 109345 chia cho 14

- Định lý Fécma 1

Cho p là một số tự nhiên khác và a là một số nguyên

không chia hết cho m

Khi ấy ta có:

ap - 1

1 (mod p)

- Định lý Fécma 2

Cho p là một số nguyên tố, a là một số nguyên bât kỳ Khi ấy ta có:

ap - 1

a (mod p)

Ta có: 109  -3 (mod 14)

=> 109345  (-3)345 (mod 14)

Ta lại có: ( -3; 14 ) = 1

7

1 1 )(

2

1 1 (

14   

Nên: (-3)6  1 (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle)

=> (-3)345  (-3)3 (mod 14)

Mặt khác: (-3)3 = -27  1 (mod 14)

Vậy số dư trong phép chia 109345 chia cho 14 là 1

Ví dụ 2:Tìm số dư trong phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111

Giải: Ta có: 1998  0 (mod 111)

=> 1997  -1 (mod 111) và 1999  1 (mod 111)

Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000  2 (mod 111)

(19971998 + 19981999 +19992000 )10  210 (mod 111)

Mặt khác ta có: 210 = 1024  25 (mod 111)

Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư là 25

2 Chứng minh chia hết

Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 – 3 chia hết cho 13

Giải

Ta có: 33 = 27  1 (mod 13)

=> 3100 = 3.399  3.1 (mod 13)

=> 3100- 3  0 (mod 13) Vậy 3100-3 chia hết cho 13

Ví dụ 2: Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31 voíư mọi n là số tự nhiên

Ta có: 62  5 (mod 31) => 62n  5n (mod 31)

Mặt khác: 6  - 52 (mod 31)

Nên: 62n + 1  -5n + 2 (mod 31)

Vậy 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31

Ví dụ 3: Chứng minh 2 34 1 3 11







n

với n là số tự nhiên Giải: Ta có: µ(11) = 10; µ(10) = )

5

1 1 )(

2

1 1 (

Áp dụng ĐL Ơle ta có: (3; 10) = 1 => 3 µ(10)  1 (mod 10)

<=> 34  1 (mod 10) => 34n + 1  3 (mod 10)

Đặt 34n + 1 = 10.k + 3 với k  N

Khi đó ta có: 2 3 4 1 3 2 10 1 3





 

n

Áp dụng định lý Ơle ta có: (2; 11) = 1

<=> 210  1 (mod 11) => 210.k +3  23 (mod 11)

=> 210.k +3 + 3  23 +3 (mod 11) <=> 2 34 1 3





n

 0 (mod 11) Vậy 2 34n1  3  11

3 Tìm chữ số tận cùng

Ví dụ 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 20092010

Giải: Ta có: 20092010  92010 (mod 100)

Áp dụng định lý Ơle ta có: (9; 100) =1

Nên: 9 µ(100)  1 (mod 100) Mà µ(100) = ) 40

5

1 1 )(

2

1 1 (

100   

Hay: 940

 1 (mod 100) => 92010

 910 (mod 100)

Mà 910 = 3486784401  1 (mod 100)

Vậy 2 chữ số tận cùng của 20092010 là 01

Ví dụ 2: Tìm 3 chữ số tận cùng của 21954

Giải: Ta thấy (2; 1000) = 2 nên chưa thể áp dụng trực tiếp định lý Ơle được

Ta xét 21951 chia cho 125

Áp dụng định lý Ơle ta có: (2; 125) = 1

Nên: 2 µ(125)  1 (mod 125) Mà µ(125) = ) 25

5

1 1 (

125  

Hay: 225  1 (mod 125) => 21951  2 (mod 125)

=> 21951 23  2.23 (mod 125.23) <=> 21954  16 (mod 1000)

Vậy 3 chữ số tận cùng của 21954 là 016

Ví dụ 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của 9 9 9

Giải:

Áp dụng định lý Ơle ta có: (9; 100) = 1; µ(100) = 40;

=> 940  1 (mod 100) (*)

Mặt khác ta có: 92  1 (mod 40) => 99  9 (mod 40)

Đặt 99 = 40.k + 9 với k  N (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 9 9 9  99 (mod 100)

Mà: 99 = 387420489  89 (mod 100)

Vậy 2 chữ số tận cùng của 9 9 9 là 89

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I- KẾT LUẬN

Lý thuyết đồng dư là một mảng kiến thức khá rộng và tương đối phức tạp Tuy nhiên khả năng ứng dụng của nó thì rất rộng và có tính ưu việt cao Nó

phục vụ rất nhiều trong quá trình giảng dạy môn Toán THCS Hơn nữa từ lý thuyết đồng dư mở sẽ cho ta các lĩnh vực khác Ví dụ như: Phương trình vô định, Lý thuyết chia hết trong vành đa thức Z(x), Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi không thể đưa ra hết được

“Lý thuyết đồng dư và một số ứng dụng” là một điều tôi đang nung nấu và hoàn thiện hơn nưa Trong sáng kiến này chắc chắn còn nhiều vấn đề chưa đầy đủ Vì vậy tôi kính mong quý vị, bạn bè đồng nghiệp góp ý chia sẽ để càng hoàn thiện hơn

II- Ý KIẾN KIẾN NGHỊ

Trong nhiều năm qua, cùng với sự quan tâm giúp đỡ của các cơ quan về nhiều mặt cho ngành giáo dục và cùng với sự phát triển nhanh của công nghệ thong tin Các sáng kiến kinh nghiệm của nhiều giáo viên cũng ngày càng có chất lượng Tuy nhiên khả năng trao đổi, phạm vi ứng dụng chưa được rộng rải và nhiều ý tưởng hay chưa đến với tất cả mọi giáo viên và học sinh nhằm biến các ý tưởng đó thành hiện thực Vì vậy tôi kính mong Phòng GD-ĐT, Tổ chuyên môn phòng nên tạo điều kiện để các sáng kiến, ý tưởng hay có thể đến với tất cả các giáo viên và học sinh, bằng cách có thể in ấn, đưa lên trang Web nội bộ của phòng để các ý tưởng đó trở thành hiện thực và có ý nghĩa hơn