Tài liệu Lý thuyết thặng dư và ứng dụng ppt

Lý thuyết thặng dư ứng dụng Chương Lý thuyết thặng dư ứng dụng Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006 Tr 412-514 Từ khoá: Lý thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm ngun, Hàm phân hình, Bài toán cousin Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác khơng chấp thuận nhà xuất tác giả Chu.o.ng ´ L´ thuyˆt th˘ng du v` u.ng y e a a ´ dung 6.1 ´ ’ y Co so l´ thuyˆt th˘ng du 423 e a -i 6.1.1 D.nh ngh˜ th˘ng du 423 ıa a 6.1.2 6.1.3 - ´ a ’ ’ y Dinh l´ co ban cua l´ thuyˆt th˘ng du 436 y e 6.1.4 6.2 Phu.o.ng ph´p t´ th˘ng du 425 a ınh a ´ T´ t´ phˆn theo chu tuyˆn d´ng 444 ınh ıch a e o ´ ’ y Mˆt sˆ u.ng dung cua l´ thuyˆt th˘ng du 448 o o´ e a ´ 6.2.1 Phu.o.ng ph´p t´ t´ phˆn 448 a ınh ıch a 2π 6.2.2 T´ t´ phˆn dang I = ınh ıch a R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ 451 +∞ 6.2.3 R(x)dx 454 T´ phˆn dang I = ıch a −∞ 6.2.4 eiax R(x)dx 459 T´ phˆn dang I = ıch a R ´ ’ y e a 6.1 Co so l´ thuyˆt th˘ng du 6.2.5 423 R(x)xαdx 463 T´ phˆn dang I = ıch a R+ 6.2.6 6.2.7 6.3 Mˆt sˆ v´ du kh´c 478 o o ı a ´ ’ ˜ ’ T` tˆng cua chuˆ i 490 ım o o H`m nguyˆn v` h`m phˆn h` a e a a a ınh 495 6.3.1 6.3.2 6.4 6.1 6.1.1 ´ H`m phˆn h` a a ınh B`i to´n Cousin th´ nhˆt a a u a ’ m˘t ph˘ng ph´.c 495 a a u H`m nguyˆn B`i to´n Cousin th´ hai m˘t a e a a u a c 503 ’ ph˘ng ph´ a u B`i tˆp a a 513 ´ ’ y Co so l´ thuyˆt th˘ng du e a - Dinh ngh˜ th˘ng du ıa a ’ o a e u o Tru.´.c ph´t biˆu dinh ngh˜ vˆ th˘ng du ta ch´.ng minh mˆt dinh l´ do.n ıa ` a e y ’ gian sau dˆy a - ’ ’ a ’ Dinh l´ 6.1.1 Gia su h`m f chınh h` v`nh tr`n y ınh a o V = {z ∈ C : r < |z − a| < R} o ı a Khi d´ t´ch phˆn I(ρ) = f (z)dz, r N (R) c´c h`m Un (z) chınh h`nh v` khˆng triˆt tiˆu e a a ı a o e e ’ o ’ u a a ı h`nh tr`n {|z| < R} V` d´ ca ln Un (z) c˜ng l` h`m chınh h`nh ı o a i ϕR (z) hˆi tu dˆu ˜ ´ ` e e o o o o ` e h` tr`n {|z| < R} Theo diˆu kiˆn 2) chuˆ i dˆi v´ ınh o ’ ’ o a a ’ o o ı ı o u o Do d´ tˆng cua n´ l` h`m chınh h`nh h`nh tr`n {|z| < R} T` d´ suy ` r˘ng t´ vˆ han a ıch o N (R) Un (z) · eϕR (z) Un (z) = P (z) = n n=1 (6.70) ´ Chu.o.ng L´ thuyˆt th˘ng du v` u.ng dung y e a a´ 508 ’ c˜ng l` h`m chınh h`nh h` tr`n {|z| < R} V` R l` t`y y nˆn t´ch vˆ u a a ı ınh o ı a u ´ e ı o ’ han l` h`m chınh h` C, ngh˜a l` t´ vˆ han (6.69) l` h`m nguyˆn ınh ı a ıch o a a e a a ng minh 3) ta s˜ ´p dung cˆng th´.c (6.70) V` ϕn (z) chınh h`nh ’ ’ e u ı ea o u ı c) Dˆ ch´ ´ h` tr`n {|z| < R} nˆn eϕR (z) khˆng triˆt tiˆu h`nh tr`n ˆy Do ınh o e o e e ı o a ng diˆm m` ’ ’ e e o ınh o ı o u e a d´ h` tr`n {|z| < R} t´ch vˆ han chı triˆt tiˆu tai nh˜ a sˆ Un (z) triˆt tiˆu, n = 1, 2, , n(R) V` R l` t`y y, nˆn t` d´ suy c´c th` o a u ´ e e ı a u ´ e u o ’ ` ’ e a y diˆu kh˘ng dinh cua dinh l´ ’ o e ı a a a o Tru.´.c chuyˆn sang tr`nh b`y c´ch d˘t b`i to´n Cousin th´ hai v` l`.i a a a u ’ ’ o giai cua n´ ta ch´.ng minh u ’ e ´ ’ ’ Bˆ dˆ 6.3.1 Gia su a = v` p ∈ N Khi d´ dˆi v´.i h`m o ` o o o a a   − z e(z/a)+ (z/a)2 +···+ p−1 (z/a)p−1 , z a u(z) = 1 − z/a, h` tr`n ınh o p (6.71) p=1 |z| < |a| ta c´ u.´.c lu.o.ng o o | ln U (z)| 2|z/a| ´ ’ o nˆu nh´nh liˆn tuc cua lˆgarit du.o.c chon cho ln U (0) = e a e ’ ’ Ch´.ng minh Gia su p u o Khi d´ z z z z p−1 + + + ··· + a a a p−1 a z z z z − + − ··· + + ··· + a a a p−1 a z p z p+1 − − a p+1 a ln U (z) = ln − z a =− p =− p−1 6.3 H`m nguyˆn v` h`m phˆn h`nh a e a a a ı Khi |z| < 509 |a| ta c´ o | ln U (z)| z z p + + a p p+1 a z z z p + 1+ + a a a z p z p · = a 1− z a a z ´ a o o o Nhu vˆy, dˆi v´.i p ta c´ | ln U (z)| a o Tru.`.ng ho.p p = du.o.c x´t tu.o.ng tu e p |z| < ∞ |a| ∞ Nhˆn x´t ∀ an n=1 , an = ∀ n : lim an = ∞ ∃ pn n=1 pn ∈ N : a e R pn ’ a a o o o e ı hˆi tu v´.i moi R > D˜y pn nhu vˆy luˆn luˆn c´ thˆ t`m o o |an | n ’ ’ du.o.c, ch˘ng han, c´ thˆ d˘t pn = n v` d´ v´.i |an | > 2R ta c´ a o o o a o e a R |an | n n R n ˜ v` d´ chuˆ i a o o hˆi tu o an ’ ’ e e a a u a a Bˆy gi` ta chuyˆn sang x´t b`i to´n Cousin th´ hai m˘t ph˘ng a o ph´.c u ∞ ’ ´ ’ ’ a e o a a o e a o Gia su cho tˆp d´ng c´c diˆm cˆ lˆp an n=1 C v` sˆ nguyˆn pn i mˆ i n B`i to´n Cousin th´ hai gˆm viˆc x´c dinh h`m nguyˆn trˆn ˜ ` ´ o o a e e a a u o e a dˆi v´ o i cˆp tu.o.ng u.ng l` pn ’ ’ ´ a e e o ´ C c´ khˆng diˆm tai c´c diˆm an v´ a o o a ˜ ’ ’ a a a y a e L`.i giai cua b`i to´n n`y du.o.c diˆn dat dinh l´ sau dˆy o ∞ - ’ ’ ’ Dinh l´ 6.3.6 (Weierstrass) Gia su an n=1 ⊂ C l` d˜y diˆm r`.i rac y a a e o ’ ´ o ` a o e o o e bˆt k` cua C, lim an = ∞ Khi d´ tˆn tai h`m nguyˆn f c´ khˆng - diˆm tai a y ’ ’ ’ ´ ’ ` ´ ’ a e a u e a a a ’ o e a moi diˆm an (v` c˜ng chı tai c´c diˆm ˆy) v` cˆp cua khˆng diˆm an b˘ng ´.c ` ´ ´ a sˆ c´c sˆ hang b˘ng an d˜y cho tru o o a o a ’ ’ ’ Ch´.ng minh Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ xem an = ∀ n (v` thay cho u ı o o a o e ’ ’ ´ ’ o a a ’ o e f ta c´ thˆ x´t h`m nguyˆn f (z)/z m , d´ m l` cˆp cua khˆng diˆm cua o e e a e ´ Chu.o.ng L´ thuyˆt th˘ng du v` u.ng dung y e a a´ 510 ´ ´ f tai z = 0) v` c´c sˆ an du.o.c d´nh sˆ nhu sau a a o o a < |a1| |a2| |a3| ··· |an | ., lim an = ∞ ’ a Hiˆn nhiˆn r˘ng ∀ R > ∃N (R) ∈ N : |an| > 2R ∀ n > N (R) Ta d˘t e e ` a  (1 − z/a )e(z/an )+ ( azn )2 +···+ pn1−1 ( azn )pn −1 , p 2 n n Un = 1 − z/an , pn = 1, ’ o a o o o e ınh o d´ h`m Un (z) khˆng c´ khˆng diˆm h` tr`n {|z| < R} ∀ n > ` e e y ` ı e o a a e a N (R) Nhu vˆy diˆu kiˆn 1) dinh l´ vˆ t´ch vˆ han c´c h`m nguyˆn ’ a a o o du.o.c thoa m˜n Ngo`i ra, v´.i n > N (R) ta c´ | ln Un (z)| z an pn Ap dung dinh l´ o y n ∈ Z Chuˆ i o n an u o v`.a ch´.ng minh ta c´ u sin z = eg(z) z 1− n z z ez/nπ + e−z/nπ nπ nπ hay l` a g(z) sin z = e z n z2 1− 2 · n π ` T` d´ suy r˘ng dao h`m lˆga c´ dang u o a o a o cos z = g (z) + − sin z z n 2z · z2 2π2 1− 2 n n π ’ ` ´ a a o e a a u o ’ Bˆy gi` b˘ng c´ch so s´nh v´.i khai triˆn ctg z th`nh phˆn th´.c tˆi gian a o a ´ ´ a ` tiˆt tru.´.c ta kˆt luˆn r˘ng g (z) = ∀ z ∈ C ⇒ g(z) ≡ const T` d´ e u o o e a ta c´ o (1 − z 2/(n2 π 2)), sin z = cz c = const n ` ´ ´ ’ B˘ng c´ch chia ca hai vˆ cho z v` dˆn z dˆn 0, qua gi´.i han ta c´ c = a a e a ` a e o o a Nhu vˆy (1 − z 2/n2 π ) sin z = z n ´ Chu.o.ng L´ thuyˆt th˘ng du v` u.ng dung y e a a´ 512 - ’ ’ Dinh l´ 6.3.7 Gia su y A = i∈I , B = bj j∈J , A∩B =∅ ’ ´ a o e o a e o a ’ a a u l` nh˜.ng tˆp ho.p d´ng c´c diˆm cˆ lˆp cua C v` pi , qj l` nh˜.ng sˆ nguyˆn a u ’ ’ e du.o.ng t`y ´ Khi d´ tˆn tai h`m phˆn h`nh f o trˆn C c´ khˆng - diˆm tai o ` a o a ı e u y o o ’ ´ ´ o a a o e o a a ´ ´ v´.i cˆp tu.o.ng u.ng pi v` c´ cu.c diˆm tai bj v´.i cˆp tu.o.ng u.ng qj (B`i hai tˆng qu´t) ’ o a to´n Cousin th´ a u ’ ’ ´ ’ ’ Ch´.ng minh Gia su f l` h`m nguyˆn c´ khˆng diˆm cˆp p tai diˆm v` u e a e a a a e o o ’ ’ ´ e a e a ϕ(z) c˜ng l` h`m nguyˆn c´ khˆng diˆm cˆp qj tai diˆm bj Ta x´t h`m u a a e o o e H(z) = f (z) · ϕ(z) ’ ’ e e ’ y Hiˆn nhiˆn h`m H(z) thoa m˜n c´c diˆu kiˆn cua dinh l´ e e a a a ` T` dinh l´ Weierstrass ta c´ u y o - ´ ’ Dinh l´ 6.3.8 Hai l´.p h`m chınh h`nh sau dˆy l` dˆng nhˆt v´.i nhau: y o a a a ` o a o ı p c´c h`m chınh h`nh khˆng c´ diˆm bˆt thu.`.ng kh´c C ngo`i ’ a ´ ’ ı o o e o a a (I) L´ a a o c diˆm ’ e cu ’ ˜ ’ e e o a e (II) L´.p c´c h`m biˆu diˆn du.o.c du.´.i dang thu.o.ng cua hai h`m nguyˆn o a a ´ Ch´.ng minh M˜i tˆn t` (I) dˆn (II) du.o.c ch´.ng minh nhu sau Ta du.ng u u e u u e c diˆm cua f (z) (v´.i cˆp b˘ng ’ ’ ´ ` ’ h`m nguyˆn F (z) c´ khˆng diˆm tai c´c cu a e o o e a e o a a ’ ´p cua cu.c diˆm cua f (z)) Khi d´ h`m ’ ’ cˆ a e o a F (z) · f (z) = H(z) l` mˆt h`m nguyˆn T` d´ suy a o a e u o f (z) = H(z) · F (z) ˜ ` ` e a o a o a o Nhu vˆy mˆ i h`m l´.p (I) dˆu n˘m l´.p (II) (II) dˆn (I) Hiˆn nhiˆn c´c h`m thuˆc l´.p (II) khˆng thˆ c´ ’ ’ ´ e e e a a o o o e o M˜i tˆn t` u e u `.ng h˜.u han kh´c ngo`i c´c cu.c diˆm Do d´ mˆ i h`m l´.p ’ ’ ˜ ´ e a e o o a o u a a a c´c diˆm bˆt thu o a ` a e ` o (II) dˆu n˘m l´.p (I) 6.4 B`i tˆp a a 513 ` ˆ BAI TAP 6.4 B`i tˆp a a ’ ’ a ’ ’ e ’ Gia su h`m f chınh h`nh v` g(z) = f (z n ) d´ n ∈ N Gia su thˆm o ı a c diˆm cua h`m g(z) Ch´.ng minh r˘ng ’ ` ` ’ a a e u a r˘ng z0 l` cu a 2πi ’ ’ u a e 1) zk = z0εk , εn = e n , k = 1, 2, , n − c˜ng l` cu.c diˆm cua g(z); 2) Res(g; zk ) = εk Res(g; z0) n ` ’ ’ Gia su f (z) = g(az), a = Ch´.ng minh r˘ng u a Res(f ; z0 a) = Res(g(z), z0) a m n ´ ’ ’ ’ o a a u o e a Gia su f (z) = z g(z ), d´ m v` n l` nh˜.ng sˆ nguyˆn thoa m˜n ng minh r˘ng: ` ` a e e u diˆu kiˆn m 0, m < n Ch´ Res[f ; z0e2kπi/n ] = e2kπi(m+1)/n Res[f ; z0] T´ t´ phˆn ınh ıch a 2π dx , − 2a cos x + a2 I= a ∈ C, a = ±1 ’ o Tra l`.i:   2π    − a2   2π   I = a2 −  0       ´ nˆu |a| < 1; e ´ nˆu |a| > 1; e ´ (gi´ tri ch´ a ınh), nˆu |a| = 1; a = ±1 e ` (khi a = ±1 gi´ tri ch´ khˆng tˆn tai) a ınh o o ` ’ a Ch´.ng to r˘ng −π < a < π th` u ı ∞ a shax dx = tg · shπx 2 ´ Chu.o.ng L´ thuyˆt th˘ng du v` u.ng dung y e a a´ 514 ’ a a Ch´.ng minh c´c d˘ng th´.c sau dˆy u u a 1 π x1−p(1 − x)p dx = (1 + p − 2p ) 1+x sin πp x2 π dx = √ · 3 x(1 − x2 ) 2 √ √ 3x − − x2 dx = π − x 1 x2(1 − x) 2π √ dx = √ − 1+x 3 ...Chương Lý thuyết thặng dư ứng dụng Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006 Tr 412-514 Từ khố: Lý thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm... thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm ngun, Hàm phân hình, Bài tốn cousin Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép,