Lý thuyết thặng dư và áp dụng

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên khố luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Trúc Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp "Lý thuyết thặng dư áp dụng” hồn thành, khơng trùng với khóa luận khác Trong trình làm khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Trúc Mục lục Mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Tích phân hàm biến phức 1.3 Khai triển chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình 11 1.4 Khai triển chuỗi luỹ thừa số hàm sơ cấp 13 1.5 Thêm ví dụ áp dụng 13 Chương THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH 15 2.1 Khơng điểm cực điểm 15 2.2 Thặng dư cách tính .18 2.3 Thặng dư thương 21 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ 25 3.1 Tích phân xác định hàm hữu tỷ sine cosine 25 3.2 Tích phân với cận vơ tận 27 3.3 Tổng chuỗi vô hạn 33 Phụ lục 40 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Lý chọn đề tài Một nguyên lý lý thuyết Hàm biến phức, ẩn chứa công trình Riemann, nói hàm chỉnh hình đặc trưng cách cốt yếu điểm kỳ dị chúng Chúng ta có phân loại điểm kỳ dị theo ba mức độ sau: + Điểm kỳ dị bỏ + Cực điểm + Điểm kỳ dị cốt yếu Loại thứ không ảnh hưởng đến đặc tính hàm thác triển chỉnh hình điểm kỳ dị bỏ Đối với loại kỳ dị thứ ba, hàm xét dao động tăng mạnh dạng luỹ thừa hiểu biết hồn chỉnh dáng điệu khơng dễ dàng Đối với loại thứ hai điều phần dễ dàng kết nối với việc tính tốn thặng dư cực điểm Lý thuyết thặng dư công cụ quan trọng để nghiên cứu chất điểm kỳ dị Những ứng dụng ban đầu lý thuyết thặng dư dùng để tính lớp rộng tích phân mà đơi ta giải sử dụng phương pháp thông thường, đặc biệt mà hàm dấu tích phân có số điểm bất thường Ngồi ra, biết tính tổng chuỗi hội tụ không đơn giản, nhờ ứng dụng lý thuyết thặng dư mà công việc trở nên dễ dàng Bởi tầm quan trọng lý thuyết thặng dư hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài: “Lý thuyết thặng dư áp dụng” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Sư phạm Toán học Cấu trúc đề tài bố cục thành ba chương Chương Tác giả trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, tích phân hàm biến phức khai triển chuỗi lũy thừa số hàm sơ cấp Chương Chương dành cho việc trình bày số kiến thức quan trọng lý thuyết thặng dư Phần đầu chương, đưa định nghĩa tính chất cực điểm Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm thặng dư số cách tính thặng dư hàm cực điểm Công thức thặng dư đưa cuối chương nhằm phục vụ cho việc trình bày ứng dụng thặng dư chương Chương Chúng trình bày ba ứng dụng lý thuyết thặng dư: Tính tích phân Riemann, tính tích phân suy rộng tính tổng số chuỗi vơ hạn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề thặng dư cực điểm - Nghiên cứu ứng dụng thặng dư vấn đề sau: Tính tích phân Riemann, tính tích phân suy rộng tính tổng số chuỗi hội tụ Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu thặng dư cực điểm - Nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết thặng dư Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1 Cho D tập mở mặt phẳng phức C f hàm nhận giá trị phức D Hàm f gọi chỉnh hình (hay C-khả vi) điểm z0 ∈ D tồn giới hạn f (z0 + h) − f (z0) lim , h→0 h h ∈ C h ƒ= cho z0 + h ∈ D Giới hạn gọi đạo hàm hàm f điểm z0 kí hiệu f r(z0) Biểu thức f (z0 + h) − f (z0) h gọi thương vi phân hàm f điểm z0 Định nghĩa 1.1.2 Hàm f gọi chỉnh hình D chỉnh hình điểm z ∈ D Nếu M ⊂ C tập đóng ta nói f chỉnh hình M f chỉnh hình tập mở chứa M Ví dụ 1.1.3 Hàm f (z) = z chỉnh hình tập mở C f r(z) = Thật vậy, với z ∈ C có (z + h) − = f r(z) = lim f (z + h) − = lim h→0 f (z ) h zh h→ Ví dụ 1.1.4 Hàm f (z) = z¯ khơng chỉnh hình Thật vậy, có f (z + h) − f (z ) h = z + h z¯ h − = h h Khi cho h → theo trục thực biểu thức có giới hạn 1, cịn cho h → theo trục ảo biểu thức có giới hạn -1 Như biểu thức giới hạn h → Hàm f chỉnh hình z0 ∈ D tồn số phức a cho f (z0 + h) − f (z0) = ah + hϕ(h), ϕ(h) hàm xác định với h đủ bé lim ϕ(h) = Dĩ nhiên, r h→0 thấy f (z0) = a Cũng từ công thức nhận Mệnh đề 1.1.5 Nếu hàm f chỉnh hình z0 liên tục điểm Lập luận hàm biến thực dễ dàng chứng minh phép tính hàm chỉnh hình Mệnh đề 1.1.6 Nếu f g hàm chỉnh hình D (i) f ± g chỉnh hình D (f ± g)r = f r ± gr ; (ii) f.g chỉnh hình D (f.g)r = f r.g + f.gr f r.g − f.g r (iii) Nếu g(z0) ƒ= f chỉnh hình z f r = g g g Hơn nữa, f : D → U g : U → C hàm chỉnh hình g ◦ f r hàm chỉnh hình D ta có (g ◦ f ) (z) = gr (f (z)) f r(z) Từ ví dụ 1.1.4, thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả vi thông thường hàm hai biến thực Thực vậy, hàm f (z) = z¯ tương ứng ánh xạ hàm hai biến thực F : (x, y) ›→ (x, −y) Hàm khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm điểm ánh xạ tuyến tính cho định thức Jacobian nó, ma trận 2x2 đạo hàm riêng hàm toạ độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn đạo hàm thực không bảo đảm tính khả vi phức Để hàm f khả vi phức, điều kiện khả vi hàm hai biến thực cần đến điều kiện Cauchy-Riemann Định lý 1.1.7[1] (Điều kiện Cauchy-Riemann) Điều kiện cần đủ để hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi phức điểm z = x + iy hàm u(x, y) v(x, y) khả vi thực (x, y) , đồng thời thoả mãn điều kiện ¸R (cos µθ, sin ηθ) dθ = ¸ =1 |z| + 1/z η µ z z R µ , dz − 1/zη iz 2i Việc tính tốn tích phân dẫn đến việc tính thặng dư hàm R cực điểm nằm đường trịn {|z| = 1} Ví dụ 3.1.1 Tính tích phân 2π I = dθ ¸ (a > 1) , a+ cosθ Theo công thức đổi biến ta nhận I = ¸ dz ¸ |z|=1 · z + z −1 iz a+ = i |z| =1 dz z2 + 2az + Phân tích mẫu số hàm dấu tích phân sau , z + 2az + = (z − r1) (z − r2) ; r1, r2 = −a ± a2 − Điều kiện a > đảm bảo a + cosθ ƒ= Ta có r1 nghiệm nằm r2 nghiệm nằm ngồi đường trịn đơn vị Thế thì, tích phân cần tính z− √ 2π r1 = 4π lim I = res · 2πi (z − r1)(z − z=r1 i a −1 = r2 ) z→r1 (z − r1)(z − r2) Ví dụ 3.1.2 Tính tích phân 2π I = ¸ cos3θ dθ − 4cosθ Theo công thức đổi biến nhận ¸2π ¸ cos3θ dz + 1/z dθ = ¸ 5− 4cosθ z3 /2 |z|=1 ¸ = z6 +1 dz − (z + 1/z) /2 iz z6 + i |z| =1 = − |z| =1 z2 (2z2 z2 − (1 ¸ dz = − 5z + 2) |z| =1 0z − 4z2 − 4) z6 + z2 dz (2z − 1) (z − 2) 2i 2i Trong hình trịn đơn vị, hàm dấu tích phân có cực điểm cấp hai Theo Định lý tổng thặng dư, chúng z1 = cực điểm đơn z2 = ta có I= 2πi re s z + z2 (2z − 1) (z − 2) z=0 + res z=1/2 z6 + z2 (2z − 1) (z − 2) Thặng dư hàm f cực điểm z = z6 + d z + res (z − 0)2 = lim z=0 z2 (2z − 1) (z z2 (2z2 − 5z + 2) z→0 − 2) dz d z + 8z − 25z6 + 12z5 − 4z + = = lim lim z→ z→0 2z2 − 5z (2z2 − 5z + 2) dz +2 = Thặng dư hàm f z = z6 + res z− = lim z2 (2z − 1) (z − 2) z= z→ 2 z6 + z2 (2z − 1) (z − 2) z6 + 1 65 =− = z (z − 2) 48 2lim z→ Do đó, nhận giá trị tích phân cần tìm ¸ z6 + 65 dz = I= − 3.2 2i C −5 (2πi) z (2z − 1) (z − 2) 2i Tích phân với cận vơ tận Tích phân với cận vơ tận có dạng ∞ ¸ −∞ f (x)dx − 48 5π = 48 tính việc sử dụng thặng dư Có hai nghĩa mà tích phân gọi hội tụ: (i) Nếu tồn giới hạn tích phân xác định R ¸f (x)dx −r r R dần vơ cách độc lập, tích phân gọi hội tụ theo nghĩa thông thường Điều có nghĩa với s > cho trước tồn M > cho tích phân nhỏ s r ≥ M R ≥ M Điều tương đương với hội tụ hai tích phân với cận vơ tận ∞ ¸f (x)dx f (x)dx ¸ −∞ (ii) Nếu tồn giới hạn tích phân đối xứng lim ¸ r f (x)dx, r→∞−r tích phân gọi hội tụ theo nghĩa giá trị Sự hội tụ theo nghĩa giá trị yếu hội tụ theo nghĩa thơng thường ∞ Tích phân ¸ −∞ ∞ f (x)dx gọi hội tụ tuyệt đối tích |f (x)| phân ¸ dx −∞ hội tụ Dĩ nhiên, tích phân hội tụ tuyệt đối hội tụ Chúng ta có tiêu chuẩn so sánh hội tụ tích phân tương tự hội tụ chuỗi Định lý 3.2.1 Giả sử f g hàm liên tục đường thẳng R với g(t) ≥ |f (t)| ≤ g(t) với t ∈ R Khi đó, hội tụ tích phân hàm g R kéo theo hội tụ tích phân hàm f R ¸ ¸∞ f (t)dt ≤ ∞ g(t)dt −∞ −∞ Chứng minh Chúng ta chứng minh tồn tích phân với cận ∞ vơ tận ¸ f (t)dt Sự tồn tích phân f (t)dt lập luận hồn ¸ tồn −∞ tương tự ∞ Cho {xk} dãy tăng số dương hội tụ đến vô cùng, với x0 = k=1 Với k ≥ 1, đặt x k f (t)dt, bk = ¸ ak = xk− xk ¸ g(t)dt xk−1 Khi đó, theo giả thiết |f (t)| ≤ g(t), suy |ak| ≤ bk Hơn với số ngun dương n, có xn ¸f (t)dt = n ¸ g(t)dt a k, xn k=1 = n k=1 b k Điều suy ra, hội tụ tích phân vơ tận hàm g kéo theo hội tụ n n chuỗi bk Từ suy hội tụ tuyệt đối ak dương chuỗi k=1 k=1 bất đẳng thức ∞ ∞ b k ak k= k=1≤ xn Điều cho thấy h(xn) f (t)dt dãy {h(xn)} có giới hạn = ¸ với dãy {xn} hội tụ tới vơ Do đó, tồn tích phân ∞ ¸f (t)dt = L ¸∞ ∞ f (t)dt ≤ |L| ≤ bk = k=1 ¸∞ g(t)dt Q −∞ −∞ ∞ Thơng thường tích phân ¸ f (x)dx hạn chế hàm chỉnh −∞ hình tập mở chứa nửa mặt phẳng đóng {z : Im(z) ≥ 0} nửa mặt phẳng đóng {z : Im(z) ≤ 0} trừ số điểm kỳ dị Nếu hàm khơng có điểm kỳ dị trục thực giảm đủ nhanh z → ∞, tích phân xấp xỉ tích phân của f quanh chu tuyến nằm nửa mặt phẳng Các tích phân tính thặng dư Định lý 3.2.2 Cho H nửa mặt phẳng đóng Giả sử f hàm chỉnh hình tập mở chứa H trừ điểm kỳ dị {z1, z2, , zm} ⊂ H\R Nếu tồn số dương R, C p > cho |f (z)| ≤ C |z| −p |z| > R, t hì ∞ ¸ −∞ m f (x)dx = σ (H) 2πi j=1 z=zj res f σ (H) = nửa mặt phẳng trên, σ (H) = −1 H nửa mặt phẳng Chứng minh Gọi γr chu tuyến đóng gồm đoạn [−r, r] trục thực nửa đường tròn {|z| = r} nằm nửa mặt phẳng Ta có tích phân hàm f γr tính sau ¸f r (z)dz = γr f (x)dx f reit it ire dt + ¸ ¸ −r Vì |f (z)| ≤ C |z| −r π −p r Hình 3.1 |z| > R nên r > R f reit ireit ≤ Cr1−p π ¸ it it 1−p f re ire dt ≤ πCr Bởi p > 1, nên vế phải bất đẳng thức dần đến r → ∞ Từ đó, suy r f (x)dx ∞ lim ¸ f (z)dz = = ¸ f (x) dx r→∞ lim ¸ r→∞ γr −r −∞ Từ định lý thặng dư, nhận f (z)dz = ¸ 2πi γr Vậy ¸ ∞ m f (x)dx = 2πi m j=1 z=zj res f Đối với nửa mặt phẳng dưới, cách l ập j=1 z=zj −∞ luận tương tự có ∞ ¸ res f f (x)dx =2πi − m z=zj j=1 63 res f Q −∞ Ví dụ 3.2.3 Tính tích phân ¸∞ −∞ x2 dx + x4 64 z2 Chúng ta áp dụng Định lý 3.2.2 hàm f (z) = = z−2 z z− −2 + 1+ C ố1 đ ị n− h R R >− , c h| ú z n g| t a c ó | f ( z ) | ≤ củ a đị nh lý đư ợc n ế u | z | > R Đ i ề u k i ệ n t − Hàm f (z) có hoả mãn với p = 2, C = − R−4 điểm đơn bậc bốn −1 Các giá cực trị 2π i π +k ζk ; k = 0, = e ζ nằm nửa mặt phẳng Trong cực điểm Chúng có ζ ta có res f = z=ζ z2 = (1 z )r + z=ζ 4ζ0 = ζ43 4 √ Tùy theo trường hợp hàm dấu tính tích phân mà cần chọn chu tuyến γr thích hợp để có đánh giá mong muốn tích f (z)dz Để thấy rõ điều xét phân ¸ ví dụ sau γr Ví dụ 3.2.4 Chứng minh I = ¸ −∞ eax dx = π sin ; < a < πa 1+ ex az Chứng minh Đặt f (z) = e l c h ữ ζ4 Hoàn toàn tương tự, res f = z=ζ4 ζ i Do đóζtích phân cần tính I = + ) =4 2πi =π √ 2πi( 4 2 ∞ r h ì n h v x é t c γ + ez n h ậ t n ằ m n a m ặ t p h ẳ n g t r ê n h u tu y ế n c nh nằm trục thực, cạnh có phương trình z = x + 2πi; −r ≤ x ≤ r Mẫu số biểu thức hàm f triệt tiêu điểm z = πi nằm hình chữ nhật γr Để tính thặng H 2π nh 3.2 dư hàm f điểm đó, lập luận sau Trước hết, lưu ý −r O r (z − πi)f (z) z − z = − πi z πi = eaz az e 1+ e −πi e ez ... đơn giản, nhờ ứng dụng lý thuyết thặng dư mà công việc trở nên dễ dàng Bởi tầm quan trọng lý thuyết thặng dư hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài: ? ?Lý thuyết thặng dư áp dụng? ?? để hoàn thành... tốn thặng dư cực điểm Lý thuyết thặng dư công cụ quan trọng để nghiên cứu chất điểm kỳ dị Những ứng dụng ban đầu lý thuyết thặng dư dùng để tính lớp rộng tích phân mà ta giải sử dụng phương pháp... dụ áp dụng 13 Chương THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH 15 2.1 Khơng điểm cực điểm 15 2.2 Thặng dư cách tính .18 2.3 Thặng dư thương 21 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ 25