Một số phương pháp và kỹ thuật đếm cơ bản trong lý thuyết tổ hợp và áp dụng

-Lê Quang Việt MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn

-Lê Quang Việt

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60460113

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

.

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp 6

1.1.1 Tập hợp 6

1.1.2 Công thức tính lực lượng của tập hợp 7

1.1.3 Công thức bao hàm và loại trừ 9

1.2 Hai quy tắc cơ bản của phép đếm 10

1.2.1 Quy tắc cộng 10

1.2.2 Quy tắc nhân 12

1.3 Hoán vị 14

1.3.1 Hoán vị không lặp 14

1.3.2 Hoán vị có lặp 16

1.4 Chỉnh hợp 17

1.4.1 Chỉnh hợp không lặp 17

1.4.2 Chỉnh hợp có lặp 19

1.5 Tổ hợp 20

1.5.1 Tổ hợp không lặp 20

1.5.2 Tổ hợp có lặp 21

1.5.3 Khai triển lũy thừa của nhị thức 22

1.5.4 Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp 23

2 Các phương pháp đếm sử dụng hàm sinh 27 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 27

2.1.1 Định nghĩa 27

2.1.2 Các phép toán trên CN 28

2.2 Phương pháp đếm bằng hàm sinh thông thường 30

2.2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 30

2.2.2 Sử dụng hàm sinh thường để giải các bài toán đếm 33 2.3 Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ 37

2.3.1 Định nghĩa hàm sinh mũ 37

2.3.2 Sử dụng hàm sinh mũ để giải các bài toán đếm 37

3 Phương pháp đếm bằng các công thức nghịch đảo 40 3.1 Công thức nghịch đảo các đồng nhất thức tổ hợp 43

3.2 Công thức nghịch đảo nhị thức 44

3.3 Công thức nghịch đảo Stirling 45

3.4 Công thức sàng 46

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Mục tiêu của Luận văn " Một số phương pháp và kĩ thuật đếm cơ bản trong

lý thuyết tổ hợp và áp dụng" nhằm trình bày một số phép đếm cơ bản nhất

và những ứng dụng của nó nhằm tạo ra được một đề tài phù hợp cho việcgiảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 Chương.Chương 1 trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản của tổ hợp và các quytắc cơ bản của phép đếm Trong chương này cũng trình bày một số ví dụ vàcác bài toán về tính lực lượng tập hợp, bài toán về khai triển nhị thức.Chương 2 trình bày các phương pháp đếm bằng hàm sinh thông thường vàphương pháp đếm bằng hàm sinh mũ cùng các ví dụ áp dụng

Chương 3 trình bày các phương pháp đếm bằng các công thức nghịch đảocác đồng nhất thức tổ hợp bao gồm công thức nghịch đảo nhị thức, nghịchđảo Stirling, công thức sàng và các ví dụ áp dụng

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc nhất đến thầy

Trong quá trình học tập tôi cũng đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sựgiảng dạy nhiệt tình của các Thầy, các Cô dạy lớp cao học toán K5B (2011-2013), tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, các Cô

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô trong BGH trường ĐH Khoa Học

-ĐH Thái Nguyên đã tạo kiều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian họccao học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc

để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn !

Hải phòng, tháng 5 năm 2013

Người viết Luận văn

Lê Quang Việt

Chương 1

Các quy tắc đếm cơ bản trong tổ hợp

Tập hợp được xác định bằng một trong hai cách sau:

- Liệt kê chúng(thường dùng để biểu thị các tập hữu hạn) Ví dụ: Tập các

số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10

A = {0, 2, 4, 6, 8}

- Chỉ ra tính chất đặc trưng của chúng Ví dụ:

B = x ∈ Z|x2 − 3x + 2 ≥ 0 Tập con

- Tất cả các phần tử của tập B đều thuộc tập A thì ta nói tập B là tập concủa tập A và viết B ⊆ A

- Trường hợp B ⊆ A và B 6= A thì B được gọi là tập con không tầm thường

(hay tập con thực sự) của tập A và viết B ⊂ A

Tập rỗng

-Tập hợp rỗng (hay tập hợp trống) là tập hợp không chứa một phần tử nào

và thường được ký hiệu là ∅

- Quy ước tập rỗng là con của bất kỳ tập nào

Hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp

Ví dụ 1.1 (Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên trường THPTChuyên - 2012) Chứng minh rằng bản báo cách thành tích cuối năm củamột lớp sau đây là sai.

"Lớp có 45 học sinh, trong đó có 30 em nam Lớp có 30 em đạt loại giỏi vàtrong số này có 16 nam Lớp có 25 em chơi thể thao và trong số này có 18 emnam và 17 em đạt loại giỏi Có 15 em nam vừa đạt loại giỏi và chơi thể thao."

Vậy bản báo cáo thành tích của lớp đó là sai

Ví dụ 1.2 (VMO 2005, Bảng B) Tìm kết quả học tập của một lớp học,người ta thấy: hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đồng thờiđạt điểm giỏi ở môn Vật Lý ; hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Vật Lýcũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Ngữ văn; hơn 23 số học sinh đạt điểmgiỏi ở môn Ngữ Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử; hơn 23 sốhọc sinh đạt điểm giỏi ở môn Lịch Sử cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở mônToán Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở cả bốnmôn nêu trên

Giải

Ký hiệuT, L, V, S lần lượt là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán,

Vật Lý, Ngữ Văn, Lịch Sử Đặt Tl = T ∩ L, Lv = L ∩ V, Vs = S ∩ V Từ giảthiết suy ra: |Tl| > 23 |T | , |Lv| > 23 |L| , |Vs| > 23|V |

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.1.3 Công thức bao hàm và loại trừ

Cho V là tập hữu hạn và V1 ⊂ V Ta sẽ có V1 = V \V1 Khi đó

Ví dụ 1.3 ([1], Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc - Nguyễn VănMậu) Một cuộc Hội thao cấp Thị xã có 4 môn thi: Cầu lông, bóng bàn,chạy và cờ tướng Có 100 vận động viên tham gia Khi tổng kết, Ban tổ chứcnhận thấy rằng: Môn cầu lông có 18 vận động viên tham gia, môn bóng bàn

có 26 vận động viên tham gia, môn chạy có 19 vận động viên tham gia, môn

cờ tướng có 24 vận động viên tham gia; trong đó 5 người tham gia cả cầulông và bóng bàn; 2 người tham gia cầu lông và chạy; 3 người tham gia cầulông và cờ tướng; 5 người tham gia bóng bàn và chạy; 4 người tham gia bóngbàn và cờ tướng; 3 người tham gia chạy và cờ tướng; 2 người tham gia đồngthời cầu lông, bóng bàn, và chạy; 3 người tham gia cầu lông, bóng bàn và cờtướng; 2 người tham gia cầu lông, chạy và cờ tướng; 4 người tham gia bóngbàn, chạy và tờ tướng; 1 người tham gia đồng thời cả 4 môn của Hội thao.Hỏi có bao nhiêu vận động viên không tham gia thi đấu một môn nào củaHội thao?

Giải

Dùng V để ký hiệu tập hợp các vận động viên tham gia hội thao

V1 tập hợp các vận động viên tham gia môn cầu lông

V2 tập hợp các vận động viên tham gia môn bóng bàn

V3 tập hợp các vận động viên tham gia môn chạy

V4 tập hợp các vận động viên tham gia môn cờ tướng

Khi đó số vận động viên không tham gia môn nào của Hội thao chính bằnglực lượng của tập V1 ∩ V2 ∩ V3 ∩ V4 :

V1 ∩ V2 ∩ V3 ∩ V4 = 100 − (18 + 26 + 19 + 24)+

+(5 + 2 + 3 + 5 + 4 + 3) − (2 + 3 + 2 + 4) + 1 = 25

Vậy có 25 người không tham gia thi đấu môn nào của Hội thao

1.2.1 Quy tắc cộng

Nội dung quy tắc: Giả sử có n hành động H1, H2, , Hn không hànhđộng nào xảy ra đồng thời Trong đó hành động Hi có mi cách thực hiện

(1 ≤ i ≤ n) Khi đó sẽ có m1+ m2+ · · · + mn cách thực hiện hành động H:hoặc H1 xảy ra, hoặc H2 xảy ra , , hoặc Hn xảy ra

Quy tắc cộng có chuyển sang ngôn ngữ tập hợp như sau: Cho n tập hợp

Tổng cộng hai trường hợp ta có24 + 36 = 60 số n thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 1.5 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A,B - 2001) Có bao nhiêu số tựnhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần ?

Giải

Gọin = a1a2a3a4 là số tự nhiên cần lập Tổng các số n có bồn chữ số ( khôngchú ý đến điều kiện không có chữ số nào lại lại đúng ba lần).

Do đó các số n thỏa mãn yêu cầu bài toán là 9000 − 324 = 8676 số

1.2.2 Quy tắc nhân

Nội dung quy tắc : Giả sử một hành động H bao gồm n giai đoạn kế tiếp

và độc lập với nhau, trong đó giai đoạn thứ i là hành động Hi, (1 ≤ i ≤ n)

Ta cũng giả sử rằng hành động Hi có mi, (1 ≤ i ≤ n) cách thực hiện Khi

đó hành động H sẽ có m1m2 mi cách thực hiện.

Quy tắc nhân ta có thể chuyển sang ngôn ngữ tập hợp như sau :Cho n tậphợp V1, V2, , Vn hữa hạn bất kì và|Vk| = mk(1 ≤ k ≤ n) Khi đó số cáchthực hiện hành động H sẽ tương ứng bằng với lực lượng của tập tích Đề cáccủa các tập đó :

|V1 × V2 × · · · × Vn| = |V1| |V2| |Vn| = m1m2 mn

Ví dụ 1.6 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố

B đến thành phố C có 4 con đường Một ô tô trở hàng từ thành phố A đến

C rồi quay lại thành phố A ( cả hai lượt đi và về ô tô đều đi qua B) Hỏi

có tất cả bao nhiêu cách đi sao cho đoạn đường lúc đi không trùng với đoạnđường về

Vậy ta có 3 × 2 = 6 con đường đi từ C về A qua B

Do đó ta sẽ có12 × 6 = 72 cách đi từ thành phố A đến thành phố C rồi quaylại thành phố A sao cho đoạn đường lúc đi không trùng với đoạn đường về

Ví dụ 1.7 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có

5 chữ số khác nhau đôi một mà bắt buộc phải có chữ số 5

+) Nếu a1 6= 5 : Có bốn vị trí chữ số 5 trong n ứng với một vị trí của 5 ta

Trong trường hợp này ta có 4 × 5 × 1 × 5 × 4 × 3 = 1200 số n

Vậy tổng hai trường hợp ta có 1200 + 360 = 1560 số n

Ví dụ 1.9 Từ các chữ sô 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

có 6 chữa số, không trùng nhau

Vậy tổng số các số tự nhiên có 6 chữa số cần lập là : P6 − P5 = 600 số.

Ví dụ 1.10 ([1], Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc - Nguyễn VănMậu) Cho tập S = {1, 2, , n} với n ≥ 1 và f là một hoán vị của tập S.Phẩn tử i của S được gọi là một điểm cố định nếu f (i) = i Gọi Pn(k) là sốhoán vị của tập S có đúng k điểm cố định Hãy chứng minh rằng

(f, i) để kí hiệu cặp gồm hoán vị f tùy ý của n phần tử với k điểm cố định

và i là điểm tùy ý trong k điểm cố định đó ( tức f (i) = i )

Thừa nhận P0(0) = 1

Để lý giải quan hệ (1.11), ta hãy tính số N cáp cặp (f,i) bằng hai cách Mộtmặt, i chạy qua k điểm cố định đã xác định, nên mỗi hoán vị trong Pn(k)

hoán vị đó có mặt trong k cặp (f,i) Bởi vậy N = k.Pn(k) Mặt khác, nếu

f (i) = i, thì trên tập gồm n − 1 phần tử còn lại ( tức các phần tử khác i) hoán vị f có k − 1 điểm cố định, nên mỗi một trong n phần tử i có mặttrongPn−1(k − 1) cặp Do đó N = n.Pn−1(k − 1), nên đẳng thức (1.11) đượcchứng minh

Tính tổng các đẳng thức ở (1.11) theo k = 1, 2, , n và dựa vào đẳng thức

Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loạii(1 ≤ i ≤ k)

xuất hiên ni luần được kí hiệu là P (n1, n2, , nk) và được tính bằng côngthức

P (n1, n2, , nk) = n!

n1!n2! nk!

Ví dụ 1.11 (Đề tuyển sinh vào trường ĐH - Khối D - 2001) Từ các chữ

số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó chữ số 4 cómặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần

bằng 0 thì 5 không có mặt và ngược lại nếu n tận cùng bằng 5 thì chữ số 0không xuất hiện Bởi vậy ai(1 ≤ i ≤ 10) chỉ có thể là một trong những chữ

Định nghĩa 1.3 Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k 0 ≤ k ≤ n

phần tử được sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập kcủa n phần tử thuộc A

Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng Akn Số chỉnh hợp chập kcủa n phần tử được tính bởi công thức

Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!

Ví dụ 1.13 Một lớp học có 25 học sinh Muốn chọn ra một lớp trưởng, mộtlớp phó và một thủ quỹ mà không cho kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cáchchọn ?

Ví dụ 1.14 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên(số nguyên không âm); mà trong mỗi số này các chữ số không lặp lại.

(1 ≤ j ≤ k)đều tương ứng với một chỉnh hợp chập k của sáu phần tử 0, 1, 2,

3, 4, 5 Ngược lại, mỗi chỉnh hợp chập k (k ≥ 2) (Ci1, Ci2, , Cik) của sáuphần tử 0, 1, 2, 3, 4, 5 tương ứng với một số tự nhiên, nếu Ci1 6= 0 Ngược lại,nếu Ci1 = 0, thì nó không tương ứng với số tự nhiên gồm k chữ số Nhưngtương ứng với một chỉnh hợp chập k – 1 (Ci2, Ci3 , Cik) của năm phần tử

Ví dụ 1.15 ( Bài toán đếm số tất cả các hàm đơn ánh từ một tập hữu hạnvào một tập hữu hạn) Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với |N | = n và

Vì tập 1, 2, 3, 5 chỉ có duy nhất một chữ số chẵn là 2, nên x = abcd với a, b,

c, d thuộc tập 1, 2, 3, 5 là số chẵn khi và chỉ khi d bằng 2

Mặt khác a, b, c có thể bằng nhau, nên y = abc là một chỉnh hợp lặp chập

hữu hạn) Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với |N | = n và |M | = m Hãyxác định các hàm f : N → M.

Định nghĩa 1.5 Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k(0 ≤ k ≤ n)

phần tử thuộc A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Nhận xét 1.1 Hai tổ hợp được coi là khác nhau khi và chỉ khi có ít nhấtmột phần tử khác nhau

Số tổ hợp chập k(0 ≤ k ≤ n) của n phần tử, được kí hiệu là



nk



và đượctính theo công thức



nk



= 10!20!30!

Tổ 3 có thể chọn 10 em trong 20 em còn lại, nên số cách thành lập tổ 3 sẽbằng số tổ hợp chập 10 của 20 phần tử, tức bằng



2010



×



3010



×



2010



×



1010

m phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A

Ta sử dụng mn
∗ để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử

Khi đó: mn
∗ = n+m−1m

Ví dụ 1.19 (Lý thuyết tổ hợp và đồ thì - Ngô Đắc Tân) Tại Việt Nam hiệnđang có bán 10 loại máy vi tính khác nhau mà ta gọi là loại máy 1, , loạimáy 10 Một cơ quan muốn mua 5 máy vi tính Hỏi cơ quan có bao nhiêu sựlựa chọn khác nhau

Giải

Giả sửa1là một máy vi tính thuộc loại máy 1;a2 là một máy vi tính thuộc loạimáy 2; , a10 là một máy vi tính thuộc loại máy 10, và A = {a1, a2, , a10}.Mỗi cách chọn 5 máy vi tính có thể coi là một tổ hợp chập 10 của 5 và tổng

số các tổ hợp được tính theo công thức



510

∗

=



10 + 5 − 15



=



145

Liệu có bao nhiêu cách chọn ra các bộ 6 (quả bóng) khác nhau.

Giải

Vì trong mỗi bộ 6 có thể có các quả bóng cùng màu và không phân biệt thứ

tự chọn, nên số cách chọn khác nhau bằng số tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần

tử (tập hợp bóng cùng màu được coi là một phần tử) và được tính bằng côngthức



=



mk



00



= 1



10



= 1



11



= 1



20



= 1



21



= 2



22



= 1



30



= 1



31



= 3



32



= 3



32



= 4



42



= 6



43



= 4



44



= 1

Định lý 1.1 Công thức khai triển nhị thức Giả sử x và y là hai phần tửbất kì của vành giao hoán K có đơn vị là 1 và n là một số nguyên dương Khiđó



Chứng minh

Sử dụng phương pháp quy nạp theo n

Với n bằng 1 thì (1.10) hiển nhiên đúng

Giả sử (1.12) đã được chứng minh và đúng với n = k Khi đó :



xiyk−i+1 +



k0



yk+1(1.11)

Do có đồng nhất thức Pascal, ta có



ki



x5+



51



x4y+



52



x3y2+



53



x2y3+



54



xy4+



55



y5

= x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5(2x + 3)5 = 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 + 810x + 243

1.5.4 Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp

Ví dụ 1.22 (Ví dụ dẫn dắt) Lớp 12A phải làm một bài kiểm tra Toán gồm

có ba bài toán Biết rằng mỗi em trong lớp đều giải được ít nhất một bài,trong lớp có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán

thứ hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 6 em giải được cả hai bài toán thứnhất và thứ ba, 5 em giải được cả hai bài thứ hai và thứ ba, 2 em giải được

cả hai bài thứ nhất và thứ hai, và có một em được 10 điểm vì đã giải được

cả ba bài toán Hỏi rằng lớp học có bao nhiều em tất cả ?

Giải

Gọi A là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ nhất

B là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ 2

C là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ 3

Ví dụ 1.23 Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không

có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau

Để giải bài toán này, cũng như nhiều bài toán tương tự, ta chứng minh định

Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 1 hiển nhiên đẳngthức (1.12) đúng.

Với n = 2, ta cũng dễ kiểm tra để thấy rằng đẳng thức (1.12) đúng

Ta giả sử (1.14) đúng cho n ≥ 2 tập hợp tùy ý

Sử dụng (1.12) cho vế phải của (1.13) ta thu được

... A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho

Nhận xét 1.1 Hai tổ hợp coi khác có nhấtmột phần tử khác

Số tổ hợp chập k(0 ≤ k ≤ n) n phần tử, kí hiệu



nk



và đượctính... trí chữ số n ứng với vị trí ta

Trong trường hợp ta có × × × × × = 1200 số n

Vậy tổng hai trường hợp ta có 1200 + 360 = 1560 số n

Ví dụ 1.9 Từ chữ sơ 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên... tập hợp sau: Cho n tập hợp

Tổng cộng hai trường hợp ta có24 + 36 = 60 số n thỏa mãn yêu cầu toán

Ví dụ 1.5 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A,B - 2001) Có số tựnhiên có chữ số cho