Lí thuyết thặng dư và ứng dụng

Bài 1: Tính tích phân của hàm biến phức trên đờng cong đóng 12Lời nói đầu Lý thuyết thặng d là một trong những hớng nghiên cứu của lý thuyết hàm số biến số phức.. Khi khảo sát hàm chỉnh

Bài 1: Tính tích phân của hàm biến phức trên đờng cong đóng 12

Lời nói đầu

Lý thuyết thặng d là một trong những hớng nghiên cứu của lý thuyết hàm

số biến số phức Bản thân nó có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật vàtrong thực tiễn, đặc biệt là Toán học và Vật lý

Khi khảo sát hàm chỉnh hình biến số phức tại các điểm bất thờng cô lậpthì thặng d là một công cụ có hiệu lực nhất Ta có thể tính tích phân của hàm số

biến số phức nhờ thặng d Ngoài ra, đối với hàm số thực f(x) có 





dx x

Với mục đích hiểu sâu hơn về lý thuyết thặng d, ứng dụng của thặng d tạotiền đề, cơ sở cho việc học tập tiếp theo và bớc đầu tập dợt nghiên cứu khoa học.Trong luận văn này tác giả chỉ đề cập đến nội dung cơ bản về lý thuyết thặng d

và một số ứng dụng của nó trong giải tích

Luận văn này đợc chia làm hai phầnPhần A

Trình bày nội dung lý thuyết về thặng d Khái niệm, các định lý cơ bản vàcách tính

Phần B

Trình bày một số ứng dụng của thặng d

Tính tích phân của hàm biến phức trên một đờng cong đóng

Tính tích phân suy rộng của hàm biến thực dạng 





dx x

R

trong đó R là hàm hữu tỉ đối với sin và cos

Luận văn đợc hoàn thành tại khoa Toán –Trờng Đại Học Vinh dới sự ớng dẫn của Th.s Trần Văn Tự, sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa, bạn

h-bè và gia đình

Vì năng lực có hạn và hạn chế về thời gian nên khoá luận khó tránh khỏisai sót về nội dung và hình thức, nên tác giả rất mong đợc sự góp ý, chỉ bảo củacác thầy, cô giáo trong và ngoài khoa cùng các bạn

Nhân dịp này cho phép tác giả đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thạc sỹTrần Văn Tự đã trực tiếp giao đề tài, hớng dẫn và tận tình giúp đỡ trong suốt quátrình viết và hoàn thành khoá luận

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn : Ban chủ nhiệm khoa Toán, cácthầy cô giáo trong khoa Toán nói chung, tổ Giải tích nói riêng, cùng toàn thể lớp40E4 Toán và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và hoàn thành khoá luận

Vinh, ngày 25 tháng 04 năm 2004.

Tác giả

Chuỗi (1.1) hội tụ đều trong mọi miền đóng P  U có biên  là đờng congJoođan kín, trơn từng khúc bao z0 Do  là đờng cong tuỳ ý nên có thể lấy

 = { z C : z – z0 = },  > 0, đủ nhỏ:   U, khi đó chuỗi (1.1) cũnghội tụ đều trên , nên lấy tích phân từng số hạng dọc theo  ta có:

z f





) (



dz z

Trong đó : a-1 là hệ số đầu tiên trong phần chính của chuỗi Lorăng

i z

z f

(với  - hớng cùng chiều kim đồng hồ của )

hay : ( ) 1

2

1 ) ), ( (

Nếu z =  thì Res(f (z),z)  a1

1.2.Các định lý cơ bản về thặng d.

1.2.1.Định lý 1: (Định lý Côsi về thặng d) Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G

trừ một số điểm bất thờng cô lập aj (j = 1,n) thì :

j

a z f s i

dz z f

1

) ), ( ( Re 2

) (

Trong đó :  là đờng cong Joocđan kín, trơn từng khúc nằm hoàn toàntrong G, chứa tất cả các điểm {aj}, j = 1,n

j- , j- đờng tròn j có hớng ngợc chiều kim đồng

hồ, thì hàm f(z) giải tích trong G* là một miền đa liên

Theo định lý tích phân Cosi đối với miền đa liên, ta có

z f dz

z

f

0 ) ( )

( )

z f dz

z

j

n j

) ( )

( )

(

) ), ( ( Re

z f s

z



b.Nếu z0 là cực điểm cấp n của hàm f(z) thì :

1 01

0

) ( ) [(

)!

1 (

1 )

), ( ( Re

z

z f z z d Lim n

z z f s

a z f

Nhân cả hai vế của đẳng thức này với (z – z0), rồi cho qua giới hạn khi

z z0 ta đợc :

( 0) ( ) 1 Re ( ( ), 0)

0

z z f s a

z f z z Lim

z

b.Giả sử z0 là cực điểm bội n của hàm f(z) Khi đó khai triển Lorăng củahàm f(z) tại lân cận thủng của điểm z0 là :

) ( ) ( )

0

1 1

0

) 1 ( 0

a z

z

a z

z

a z

) z z [(

d

n 0 1

)!

1 (

1 )

), ( ( Re

z

z f z z d Lim n

z z f s

Hệ quả: Nếu hàm

) (

) ( )

z

z z

) ( ) ),

z

z z

a z f

Chứng minh:

Trên mặt phẳng phức C, vẽ đờng tròn  = {z  C : z =R}, R> 0 đủ lớnsao cho  aj  {zC : z < R }, j = 1,2,… ,n

a z f s dz

z f

) ), ( ( Re )

( 2

f

2

1 )

), ( (

1 ) ), ( ( Re ) ), ( ( Re

1

dz z f i dz

z f i z

f s a

z f s

n j

j

1.3.Cách tính thặng d.

Có nhiều cách tính thặng d, vận dụng định nghĩa và định lý thặng d tại cáccực điểm ta có thể tính thặng d của hàm f(z) tại các điểm bất thờng cô lập theohai cách sau :

1.3.1.Cách 1: Dựa vào định nghĩa.

Muốn tìm thặng d của hàm f(z) tại cực điểm z0 nào đó ta sẽ khai triểnhàm f(z) thành chuỗi Lorăng trong lân cận thủng của điểm z0

2 (

5 2

2 2

z z

tại z = 2

b

z

1 sin d

f  không chỉnh hình tại z = 0 và z =  khai triển Lorăng của

hàm f(z) trong hình vành khăn: 0 < z < 

)!

2 ( ) 1 ( )!

2 ( ) 1 ( 1 cos )

0 0

2 3

z n

z z

z

z z

n

n n

2

1 ) ), ( (

b.Hàm

z z

f( )  sin1 chỉnh hình trong hình vành khăn : 0 < z <  , có khai triển

0

1 2 0

1 )!

1 2 (

) 1 ( )!

1 2 (

1 ) 1 ( )!

1 2 (

) 2 / 1 ( ) 1 (

1 sin )

n

n

z n

n z

n z

z f

Ta có : a1  1 ứng với n = 0 vậy:

1 ) 0 ), ( (

c.Hàm

) 1 )(

2 (

5 2 )

z z z

i z z

z z

z

z z z

2

1 1

2 2

1 ) 1 )(

2 (

5 2 )

1 )

2 ( ) 2 (

1 2

1

i z

i z

i z

z i

i z

2

2 1

1 2 1

2

2 1

1 2

1 2

1 ( 2

1 2

2 ) 1 ( 2

1 2

1

n n

n n

i

z i

i

z i

i z

n

i i

i

1 )

2 (

1 )

1 ( 2

1 2

) (

1 2

1 )

1 )(

2 (

5 2 )

2

i i

z i i z i z

i z

i z

i i z

i z

z

z z

1 2 1 2

1

1 2 1

i

i z i

i

i z i i z i

2

1

n n

i

i z i

i

i z i

i z i

1 )

2 (

1 ) 1 (

n

n n

n

i i

i z i





z z

f có hai cực điểm đơn z1 = i, z2 = - i

Khai triển Lorăng của hàm f(z) tại z1 = i

i i

z

i i z i z

i z

z

f

2 ) (

1 2

1 1 2 1

n

i 2 i z i

4

1 ) i z ( 2 i

i 2 i z 1

1 i 2

1 ) i z

(

i 2

1 ) ( 2

1

n n

i

i z i

i z

Tơng tự:

2 ) ), ( (

z f s

z



Nếu z0 là cực điểm bội n của hàm f(z) thì:

1 0 1

0

) ( ) (

lim )!

1 (

1 )

), ( ( Re

z

z f z z d n

z z f s

) (

) ( )

(

z

z z

) z ( ) z ), z

f có một cực điểm đơn z = 2 áp dụng công thức :

) ( ) ( )

), ( (

0

z f z z Lim z

z f s

2 ( )

2 ), ( (

Lim z

f s

z z

Vậy Res(f(z), 2 )  4

b.Hàm ( ) 31 5

z z z

f



 có một cực điểm đơn z1 = -1, z2 = 1 và một cực điểm bội

3 là z3 = 0

¸p dông c«ng thøc tÝnh thÆng d t¹i c¸c cùc ®iÓm, ta cã :

//

2 0

//

2 3 3

1 2

1 ) 1 (

1 )!

1 3 (

1 ) 0 ), ( (

f s

z z

1 ) 1 (

2 2 2

1 )

1 (

) 1 )(

2 ( 2 ) 1 ( 2 2

1 )

1 (

2 2

1

3 2 2 0

4 2

2 2

2 /

2 2

z

z z z z

Lim z

z Lim

z z

VËy : Res(f(z), 0 )  1

2

1 ) 1 (

1 )

1 )(

1 (

1 ).

1 ( )

1 ), ( (

1 3

f

s

z z

VËy:

2

1 ) 1 ), ( (

T¬ng tù :

2

1 ) 1 ), ( (

c

z z

cã sin(0) = 0, (0) = 1, ’(0) = cos(0) = 1

¸p dông c«ng thøc :

) (

) ( ) ), ( ( Re

0 /

0 0

z

z z

z f s

) 0 ( ) 0 ), z ( (

s





I ( ) ,  đờng cong đóng ta làm nh sau:

Bớc 1: Tìm các cực điểm của hàm dới dấu tích phân

Bớc 2 : Xét xem các cực điểm nào của f(z) bị bao trong 

Bớc 3: áp dụng định lý Cosi về thặng d :

f z dz i s f z a a j j n

n j

j) , , 1 , ),

( ( Re 2

zdz

I , : z = 2

b  C

dz z

I

4

1

2 C là đờng cong đóngGiải:

a.Hàm dới dấu tích phân

1 )

f có hai cực điểm đơn z1 = -1, z2 = 1 đều

j

a z f s i

dz z f I

1

) ), ( ( Re 2

1 )(

1 ( ).

1 ( )

1 ), ( ( Re

z

z z

Lim z

f s

z z

Tơng tự :

2

1 ) 1 ), ( (

1 2 1 2

4

2

0 nếu z1, z2 nằm trong và ngoài C-/2 nếu z1 nằm trong C

/2 nếu z2 nằm trong C

Hàm số

4

1 )





z z

f có hai cực điểm đơn z1 = -2i, z2 = 2i

Vì C là đờng cong đóng bất kỳ nên ta xét các trờng hợp:

Trờng hợp 1 : z1 = -2i nằm trong C, z2 = 2i nằm ngoài C Khi đó áp dụng công





n ịn

j

a z f s i

dz z

f

1

) ), ( ( Re 2

z

Lim i

z

Lim i

z i z i z Lim i

z f s

i z i

z i

1 2

1 2

1 )

2 )(

2 (

1 )

2 ( )

2 ), ( (

Re

2 2

4

Trờng hợp 2: z2 = 2i nằm trong C, z1 = -2i nằm ngoài C Lập luận tơng tự ta tính

đợc:

i i z Lim )

i ), z ( ( s Re i z

dz

I

i z

1 2

1 2

Trờng hợp 3 : z1 = -2i, z2 = 2i đều nằm trong C Khi đó ta áp dụng công thức :

dz z f

1

) ), ( ( Re 2

C

2 2

2 4

1 4

4

1 4

z

z I

) 1 ( ) 1 (

) 1 (

2

3 2

 : elip x2 + 4y2 = 4

Gi¶i:

a.Hµm díi dÊu tÝch ph©n    



dz z

z

z z

f

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( )

3 2

1 ( 1 ) ( 1 )

) 1 ( ) 1 ( )!

1 2 (

1 )

1 ), ( (

Lim z

f s

z

2

3 2 2

2 1

/ 3 2

) 1 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 1

) 1 (

z Lim z

z Lim

z z

2

2 2 2

2

) 1 ))(

1 ( 6 6 (

z z Lim

z

10 )

1 (

) 1 )(

1 6 5 (

2

2 2 2

z

) 1 (

) 1 ( )

1 ( ) 1 (

) 1 ( ).

1 ( )

1 ), ( (

3 2

1 2

3 2

z

z z

Lim z

f s

z z

VËy I  2 iRes(f(z),  1 )  Res(f(z), 1 )  2 i( 10  2 )  24 i

b.Hµm díi dÊu tÝch ph©n

) 2 )(

1 (

2 )

z z

2 )

2 )(

1 (

2 )

1 ( )

1 ), ( ( Re

z

z z

Lim z

f s

z z

4 1

2 )

2 )(

1 (

2 ) 2 ( )

2 ), ( ( Re

z

z z

Lim z

f s

z z

VËy: I = 2i (-2 + 4) = 4i

VÝ dô 3 : Dïng thÆng d tÝnh c¸c tÝch ph©n sau :

a  

z z

dz I

1 4

 4

2 1 )( 2 )( 3 ) (

z z z z

zdz I

Giải:

a z =  là 0 - điểm cấp 4 của hàm

1

1 )





z z

f nên có khai triển Lorăng của

4 ( ) ( 1 ) 1

1 ) (

n n

z z





z z

2

2 2

z f s

z f s i

2 )(

1 (

Hàm dới dấu tích phân có các cực điểm đơn : z1 = -i, z2 = i, z3 = -2, z4 = -3

áp dụng kết quả định lý tổng thặng d toàn phần ta có:

0 ) ), ( ( Re ) ), ( ( Re

z f s i

0 ) ), ( ( Re 2 ) ), ( ( Re 2

j

z z f s i

VËy : I = 0

0 ).

z

n f ( z ) e dz

Bµi 2 øng dông thÆng d vµo gi¶i tÝch

ThÆng d cã nhiÒu øng dông vµo gi¶i tÝch, trong tiÕt nµy ta xÐt øng dôngthÆng d:

-TÝnh tÝch ph©n suy réng cña hµm biÕn thùc

z

e z

n f z e dz

E

MBD

n(2.1)

R R

z

i e e e

2 sin 

2

) (

R M dz e z f

n

R n

n BE

z i

n f z e dz

LËp luËn t¬ng tù ta cã :

0 )

z i n

z i

n f z e dz Lim f z e dz Lim

n







 1) (

R

M z

R

RM Rd

) z ( f dz ) z ( f

0

1 )

R (

j

a z f s i

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

R

)a),z(fsRei2dz)z(fdx)x(fdz)

Do đó khi cho đẳng thức trên qua giới hạn khi R   ta có :

j C

R R

R R D

R f z dz Lim f x dx Lim f z dz i s f z a Lim

) ), ( ( Re 2

) ( )

( )

j R

j

a z f s i

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

)

f( ) , với

) (

) ( ) (

x Q

x P x

f  là hàm hữu tỉ

Trên miền D có biên : [-R, R]  CR

Với [-R, R]  R và CR = {z  C : z = R, Im z > 0}

Giả sử f(x) liên tục trên R, f(x) = f(z), x  [-R, R]

và f(z) chỉnh hình trên nửa mặt phẳng trên trừ hữu hạn điểm bất thờng côlập a1, a2,… ,an

Khi đó theo định lý Cosi về thặng d ta có:

j C

R

R D

a z f s i

dz z f dx x f dz z f

) ), ( ( Re 2

) ( )

( )

j C

R R

R R D

R f z dz Lim f x dx Lim f z dz i s f z a Lim

) ), ( ( Re 2

) ( )

( )

j

a z f s i

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

f( ) tức là hàm f(x) thoả mãn

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

)

Tính đợc I

2.2.2.Các ví dụ.

1 )

(

x x

1 )

(

z z

2

) (

1 )

( ) (

) ( )!

1 2 (

1 ) ), ( (

z f

s

i z i

z

i i i

z

Lim i

z

i z Lim

i z i

1 8

2 )

(

2 )

(

) ( 2

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

x f s i x





x x

f cã x4 + 1 kh«ng cã nghiÖm thùc vµ bËc cña mÉu sè b»ng bËc

cña tö sè +4 nªn tÝch ph©n cÇn tÝnh héi tô

Th¸c triÓn cña f(x) lªn mÆt ph¼ng phøc lµ hµm

1

1 )





z z

2

z    thuéc nöa mÆt ph¼ng trªn Theo c«ng thøc tÝnh thÆng d t¹i cùc ®iÓm ta cã:

) 1 ( 2 2 1

2

2 2

2 4

1 4

1 )

z z

2

2 2

2 4

1 4

1 4

1 1

0 0

z

f

s

z z z

j

a z f s i

1 ( 2 2

1 )

1 ( 2 2

i

V× hµm

1

1 )





x x

2 2 2

2

1 1 2

1 1





x

dx x

dx I

VËy

2 2

x

x

4 5

x

x x

6 7

1 2 4 2

x x

x x

f

4 5

1 2 )

Th¸c triÓn cña f(x) lªn mÆt ph¼ng phøc lµ hµm dz

z z

z z

f

4 5

1 2 )

) 4 )(

(

1 2 )

4 )(

)(

(

) 1 2 )(

( )

), ( (

2

2 2 1

1 1

z z z z z

z z z Lim z

z f s

z z z

z

i

i i

i i

i z

z z

z

6

1 2 ) 4 )(

(

1 2 )

4 )(

(

1 2

2 2

1 2 1

i i

i z

z z

z z

z f s

12

1 4 ) 1 ) 2 )((

2 2 (

1 2 2 )

1 )(

(

1 2 )

), ( (

3 4 3

3 3

j

a z f s i

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

)

4 5

1 2

3 1

2

x x

1 4 6

1 2

i i

b, Hµm

6 7

1 )

x x x

b»ng bËc cña tö sè +2 nªn tÝch ph©n cÇn tÝnh héi tô

Th¸c triÓn cña f(x) lªn mÆt ph¼ng phøc lµ hµm

6 7

1 )

z z z f

(

1 )

6 )(

)(

(

) 1 )(

( )

), ( (

2

2 2

2 1

2 1 1

z z z z

z z z z Lim z

z f

s

z z z

z

10

1 ) 6 )(

(

1 )

6 )(

(

1

2

2 2

1 2 1

i i z

z z

z z

T¬ng tù ta cã:

i

i i

i i

i i

z z z

z z z

z f s

6 10

5 6 ) 1 ) 6 )((

6 6 (

1 6 ) 6 ( )

1 )(

(

1 )

), ( (

2 2

3 4 3

3

2 3 3

j

a z f s i

dx x f

1

) ), ( ( Re 2

10

5 6 10

1 2 ) ), ( ( Re ) ), ( ( Re 2 6 7

1

3 1

z z f s z

z f s i dx x x

x x

dx x

x

c 



 0 2 2 1

cos

dx x

x

Giải:

Xét ( ) 2 2

a z

e z

f

z i

dz e z g dz z

(R  )Với R > a , theo định lý Cosi về thặng d ta có :

e dx

a x

e dz

2 2 2

2 2

e ai z

e Lim ai

z ai z

e ai z Lim ai

z f s

ai i z

i ai z

z i ai

)(

(

) ( )

), ( (

z i R

R

x

i

ae aie

i ai z f s i dz a z

e dx

2 2 2

R a

z

e

) (

0

2 2



a x

e dx

a x

e Lim

R

R

x i x

ae

dx a x

e

2 2

Vì vế phải là một số thực nên phần ảo của vế trái bằng 0

Do đó:

x dx

a x

x x

1 cos

2

1 cos

x dx

a x x

) 1 ( 2

2 cos )

1 ( 2 )

1 ( 2

2 cos 1 )

1

(

sin

dx x

x x

dx dx

x

x dx

x x

1 ) 1

2

1 4

0 2 0

2 2 2

2

1

sin 1

1 1

sin 1 1

cos

dx x

x dx

x

dx x

x dx

x x

1

sin

0 x dx

x arctgx

Theo c©u (b) ta cã :

) 1 ( 4 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 0 1

1 2

1 sin 

1 ) sin , (cos  

2

0

) ( 1 1

2

1

;

1 2

1 )

sin , (cos

z z

dz z f i iz

dz z

z i z z R d

i d R

1 2

0

) ), ( ( Re 2

1 )

sin ,

1 2

1 sin 

1 ) sin , (cos  

và

z

z R

z

f( )  ( )

3.Tìm cực điểm của f(z) thuộc đờng tròn z =1

4.áp dụng kết quả định lý Cosi về thặng d ta tính đợc I

Do đó: 4 1

2 1

2

1 2

1 cos

z

Khi   [0, 2] thì z  { z  C : z = 1}, ta có :

1 4

2 cos

dz i

iz

dz z z

z d

1 )

f có hai cực điểm đơn z1,2   2  3, nhng

chỉ có z1   2  3 thuộc đờng tròn {z  C : z < 1}

Theo công thức tính thặng d tại cực điểm ta có :

3 2

1 3 2 3 2

1 1

1 )

)(

( )

1

1 1

1 1

z

f

s

z z z

z

Theo định lý Cosi về thặng d suy ra :

3 3 2

1 2 ) 1 ), ( ( Re 2

1 cos 2

Ta có :

a z a az

z a

z z a a

2 1

2

1 2 1

1 cos

2 1

1

2 2 2

2

Khi   [0, 2] thì z  {z = 1, z  C}, nên :

dz i

iz

dz a z a az

z a

1 )

( 2 2 có hai cực điểm đơn z1 = a và z2 = 1/ a nhng chỉ có

z1 thuộc z1  {z < 1, z  C} (vì a < 1)

Ta có :

1 ) 1 (

1 1

) (

) ), ( (

Lim a a z a z

a z Lim

a z f

s

a z a

R

1 2

0

) ), ( ( Re 2

) sin ,



ta cã :

2 2

2

0

2 1

1 2 ) ), ( ( Re 2 cos

1 2

1 sin 

Ta cã :

) 1 3 ( 2

1 1

2

1 2 3

1 2 1 cos

2

3

sin

2 2

z z

z i

2 2

1 2

1

) 1 3 ( 2

1 cos

z z

z iz

dz z

z i

z d

1 )

z z

2

5 3

;

0 2,31

1 )

1 3 (

) 1 (

) 0 ), ( (

0 2

z z z

z z Lim z

f

s

z z

) (

1 )

)(

(

) 1 )(

( )

), ( (

Re

3

2

3 2

2 2 2

2

z Lim z

z z z z

z z z Lim z

z f

s

z z z

3 2 1

2 1 2 3 2

2 2

4 2

2

2 2 2

) (

) (

.

1 ) (

) ( 1

) (

) ( 2 ) ( 1

1

z z a z

z

z z Lim a z

z

z z z z

z Lim

3

3 2 2

2 2

2

) 1 ( 4

1 1

2

2 1

1 1

1

1 1 1

1 1

a a

a a

a

a a

a

a

a a

5 3 2

5 3 2

5 3

2

5 3 1 )

(

1 3 2 2

R

1 2

0

) ), ( ( Re 2

) sin ,



ta cã :

Re ( ( ), 0 ) Re ( ( ), )2

cos 2 3

sin

2 2

0

z z f s z

f s

2 2

4 1

2 1

1 )

z a

z i

iz

dz a z az

z d

) 2 (

4 )

cos 1

(

a z az

z z

2 2

, 1

2 1

z

z Lim

a ) z z ( ) z z (

z ) z z ( Lim

2 2

2 1

2 1

1 1

1 2 1

8

) a ( )

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] TrÇn Anh B¶o- Lý thuyÕt thÆng d

Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc-Hµ Néi - 1976

[2] Tr¬ng V¨n Th¬ng – Hµm sè biÕn sè phøc

Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc-Hµ Néi - 1999

[3] NguyÔn V¨n Khuª - Lª MËu H¶i – Hµm biÕn phøc

Nhµ xuÊt b¶n §HQG-Hµ Néi - 1997

[4] §Ëu ThÕ CÊp – Bµi tËp hµm sè biÕn sè phøc

Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc-Hµ Néi – 2000

[5] §inh V¨n Phiªu – Lª MËu H¶i – NguyÔn Thu Nga –

NguyÔn Huy Lîi Bµi tËp hµm sè biÕn sè phøc

Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc -1984