Lý thuyết đồng dư và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN THỊ THÙY LINH LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN THỊ THÙY LINH LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Kiều Nga HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới Thầy Cơ khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt việc học làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Kiều Nga, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến góp ý quý báu Thầy Cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Trần Thị Thùy Linh Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận "Lý thuyết đồng dư ứng dụng" cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn TS Nguyễn Thị Kiều Nga Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực có sử dụng số tài liệu danh mục tài liệu tham khảo Em xin hồn tồn chịu trách nhiệm khóa luận Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Trần Thị Thùy Linh Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Đồng dư thức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất Các định lý Euler, Fermat, Wilson 1.2.1 Hàm Euler 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Định lý Euler, định lý Fermat, định lý Wilson Các lớp thặng dư 1.3.1 Tập hợp lớp thặng dư môđun 1.3.2 Vành lớp thặng dư 1.3.3 Hệ thặng dư Phương trình hệ phương trình đồng dư 10 1.4.1 Phương trình hệ phương trình đồng dư bậc ẩn 10 1.4.2 Định lý thặng dư Trung Hoa 13 1.4.3 Phương trình đồng dư bậc cao 15 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Ứng dụng lý thuyết đồng dư 2.1 2.2 20 Một số ứng dụng lý thuyết đồng dư Toán học 20 2.1.1 Phát dấu hiệu chia hết 20 2.1.2 Xét xem số có số phương 23 2.1.3 Tìm số dư phép chia 25 2.1.4 Chứng minh chia hết 27 2.1.5 Giải phương trình, hệ phương trình đồng dư 28 2.1.6 Ứng dụng Định lý thặng dư Trung Hoa 30 2.1.7 Bài tập áp dụng 33 Một số ứng dụng lý thuyết đồng dư thực tế 35 2.2.1 Luật mã số sách ISBN 35 2.2.2 Số nhận diện phương tiện (số VIN) 37 2.2.3 Bài toán mật mã 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Lời mở đầu Số học nội dung quan trọng toán học xuyên suốt từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông đại học Chúng ta tiếp xúc với số học bắt đầu khái niệm đơn giản số tự nhiên, số nguyên, phân số, tính chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ vấn đề đòi hỏi nhiều tư đồng dư, số nguyên tố, phương trình Diophantine, phương trình đồng dư, Đồng dư khái niệm lý thuyết số Khái niệm nhà toán học Đức Gauss (1777-1855), nhà toán học lỗi lạc nhân loại đưa Nó đuợc trình bày tác phẩm "Disquistiones Arthmeticcate" ông xuất năm 1801 ông 24 tuổi Lý thuyết đồng dư Gauss đưa có hệ thống chặt chẽ ứng dụng rộng rãi toán, bổ sung giải số vấn đề số học như: phát dấu hiệu chia hết, tìm dư phép chia, Đặc biệt lý thuyết đồng dư có ứng dụng quan trọng thực tiễn đời sống Được gợi ý, động viên giúp đỡ tận tình Cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga say mê thân, em chọn đề tài "Lý thuyết đồng dư ứng dụng" làm đề tài nghiên cứu khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức lý thuyết đồng dư Chương 2: Ứng dụng lý thuyết đồng dư Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Chương trình bày số ứng dụng lý thuyết đồng dư toán học, thực tiễn đời sống Do thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp Thầy, Cơ giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Trần Thị Thùy Linh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồng dư thức 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho a, b, m số nguyên, m > Số a gọi đồng dư với b theo môđun m a b chia cho m có số dư Kí hiệu: a ≡ b (mod m) Ngược lại kí hiệu: a ≡ b(mod m) Chú ý • a ≡ b (mod m) m|(a − b) • a ≡ b (mod m) tồn số nguyên k cho a = b+km 1.1.2 Tính chất a) Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập số nguyên Z b) Ta cộng, trừ vế nhiều đồng dư thức theo môđun, tức ≡ bi (mod m), i = 1, k thì: k k εi ≡ i=1 bi εi (mod m) với εi = ±1 với i = 1, k i=1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh c) Ta nhân vế nhiều đồng dư thức theo môđun, tức ≡ bi (mod m), i = 1, k thì: k k ≡ i=1 bi (mod m) i=1 d) Hệ - Nếu a ≡ b (mod m) a ± c ≡ b ± c (mod m) - Nếu a ≡ b (mod m) ac ≡ bc (mod m) - Nếu a ≡ b (mod m) a ≡ b + km (mod m) - Nếu a + c ≡ b (mod m) a ≡ b − c (mod m) - Nếu a ≡ b (mod m) an ≡ bn (mod m) với n số nguyên dương e) Giả sử f (x) ∈ Z[x] a ≡ b (mod m) Khi f (a) ≡ f (b) (mod m) f (a) ≡ f (a ± km) (mod m) Đặc biệt f (a) ≡ (mod m) f (a ± km) ≡ (mod m) f ) Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung nguyên tố với môđun, tức ac ≡ bc (mod m) (c, m)=1 a ≡ b (mod m) m ) d g) - Ta nhân hai vế môđun đồng dư thức với Trường hợp: ac ≡ bc (mod m) (c, m) = d a ≡ b (mod số nguyên dương, tức a ≡ b (mod m) ac ≡ bc (mod mc), ∀c ∈ Z+ - Ta chia hai vế môđun đồng dư thức với ước dương chúng, tức a ≡ b (mod m), < c, c ước chung a b m a, b, m = (mod ) c c c h) Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mk ) a ≡ b (mod [m1 , , mk ]) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh 0(mod 5) ⇒ x ≡ 2(mod 5) x ≡ −1(mod 5) • Với x ≡ 2(mod 5) Đặt x = + 5t, t ∈ Z f (2) (mod 5) Do 23t ≡ −3(mod 5) hay 3t ≡ −3(mod 5) Do (3, 5) = nên t ≡ Mà f (x) ≡ 0(mod 52 ) suy f (2).t = − −1(mod 5) Đặt t = −1 + 5t , t ∈ Z Thay vào ta x = + 5(−1 + 5t ) = −3 + 25t Do x ≡ −3(mod 25) nghiệm hệ phương trình (1) • x ≡ −1(mod 5) Đặt x = −1 + 5t, t ∈ Z f (−1) (mod 5) Do 5t ≡ 0(mod 5) tức hệ phương trình với t ∈ Z Mà f (x) ≡ 0(mod 52 ) suy f (−1).t = − Do x ≡ −1(mod 5) nghiệm hệ phương trình (2) Từ (1) (2) ta có x ≡ −3(mod 23) x ≡ −1(mod 5) nghiệm hệ phương trình 2.1.6 Ứng dụng Định lý thặng dư Trung Hoa 2.1.6.1 Chỉ tồn số nguyên thỏa mãn điều kiện Ví dụ 2.1.13 Chứng minh với số tự nhiên n, tồn n số tự nhiên liên tiếp mà số số hợp số Nhận xét Ta tạo hệ phương trình đồng dư Dựa vào Định lý thặng dư Trung Hoa, ta kết luận tồn nghiệm hệ Lời giải Giả sử p1 , p2 , , pn n số nguyên tố khác đơi Xét hệ phương trình đồng dư x ≡ −k (mod p2k )(k = 1, 2, , n) 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Theo Định lý thặng dư Trung Hoa, tồn xo ∈ N∗ cho x ≡ −k (mod p2k ), ∀k = 1, 2, , n x0 + k p2k Suy x0 + k hợp số với ∀k = 1, 2, , n Do ta có n số tự nhiên liên tiếp x0 + 1, · · · , x0 + n hợp số Ví dụ 2.1.14 Chứng minh với số nguyên dương m am ≡ am−ϕ(m) (mod m) với số nguyên a Lời giải Giả sử m = pα1 pα2 · · · pαk k Ta có - Nếu a pi từ m > m − ϕ(m) > αi suy am ≡ am−ϕ(m) (mod pαi ) ≡ 0(mod pαi i ) - Nếu (a, pi ) = từ ϕ(m) ϕ(pαi i ) suy aϕ(m) ≡ 1(mod pαi i ) Do am ≡ am−ϕ(m) (mod pαi i ) với i = 1, 2, · · · , k Vì số pα1 , pα2 , · · · pαk k đôi nguyên tố nên theo Định lí thặng dư Trung Hoa ta có am ≡ am−ϕ(m) (mod pα1 pα2 · · · pαk k ) Điều phải chứng minh Ví dụ 2.1.15 Chứng minh tồn đa thức P (x) ∈ Z[x], khơng có nghiệm ngun cho với số nguyên dương n, tồn số nguyên x cho P (x) chia hết cho n Lời giải Ta xét đa thức P (x) = (3x + 1)(2x + 1) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Với số nguyên dương n, ta biểu diễn n dạng n = 2k (2m + 1) Vì (2k , 3)= nên tồn a cho 3a ≡ (mod 2k ) Từ 3x ≡ −1(mod 2k ) ⇔ x ≡ −a(mod 2k ) Tương tự (2, 2m + 1) = nên tồn b cho 2b ≡ (mod (2m + 1)) Từ 2x ≡ −1(mod (2m + 1)) ⇔ x ≡ −b(mod (2m + 1)) Cuối cùng, (2k , 2m + 1) = nên theo Định lý thặng dư Trung Hoa, tồn số nguyên x nghiệm hệ:   x ≡ −a(mod 2k )  x ≡ −b(mod (2m + 1)) Và theo lý luận trên, P (x) = (3x + 1)(2x + 1) n 2.1.6.2 Tìm số nghiệm nguyên phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 2.1.16 Cho số nguyên dương n = pα1 pα2 pαk k , p1 , p2 , , pk số nguyên tố đơi khác Tìm số nghiệm phương trình: x2 + x ≡ 0(mod n) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Lời giải Ta có: x2 + x ≡ 0(mod n) ⇔ ⇔   x(x + 1) ≡ 0(mod pαi ) i  i = 1, k    x ≡ (mod pi αi )   x ≡ −1 (mod pi αi )     i = 1, k Theo Định lý thặng dư Trung Hoa, hệ phương trình     x ≡ (mod pαi i )    x + x ≡ 0(mod n) ⇔ ∈ {−1; 0}      i = 1, k có nghiệm (số hệ phương trình số (a1 , a2 , , ak ), ∈ {−1; 0}) Do có 2k hệ nghiệm hệ khác Suy phương trình cho có 2k nghiệm 2.1.7 Bài tập áp dụng Bài tập Trong số sau, số chi hết cho 2, 8? a) 427364 b) 800358816 Bài tập Xác định xem số sau số số phương? a) 16151613924 b) 3656973729 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Bài tập Tìm số dư phép chia a) 531 cho 12 b) 15235 − cho c) (19971998 + 19981999 + 19992000 )10 cho 111 Bài tập Tìm chữ số tận 21954 20209999 Bài tập Chứng minh với m, n ∈ N, m, n lẻ ta có 1n + 2n + · · · + mn ≡ 0(mod m) Bài tập Chứng minh rằng: a) Nếu (a, 7) = a12 − ≡ 0(mod 7) b) (a, 240) = a4 − ≡ 0(mod 240) Bài tập Chứng minh với n > số sau hợp số: 4n+1 a)23 4n+1 b) 32 + + Bài tập Cho p, q hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh rằng: pq−1 + q p−1 ≡ 1(mod pq) Bài tập Giải phương trình đồng dư sau: a) 37x ≡ 25(mod 127) b) (a + b)x ≡ a2 + b2 (mod ab) với (a, b) = c) (a + b)x ≡ a2 − b2 (mod ab) với (a, b) = d) ax ≡ 1(mod p) với p số nguyên tố (a, p) = Bài tập 10 Giải hệ phương trình đồng dư sau: 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học     3x ≡ 5(mod 7)    a) 2x ≡ 3(mod 5)      5x ≡ 1(mod 9) Trần Thị Thùy Linh     x ≡ a(mod 3)    b) x ≡ b(mod 5)      x ≡ c(mod 7) Bài tập 11 Giải phương trình đồng dư sau: a)7x4 + 19x + 25 ≡ 0(mod 27) b)9x2 + 29x + 62 ≡ 0(mod 16) Bài tập 12 Cho p số nguyên tố lẻ đa thức Q(x) = (p − 1)xp − x − Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương a cho Q(a) chia hết cho pp Bài tập 13 Cho p > số nguyên tố dạng 3k + Chứng minh tập A = {23 − 1, 33 − 1, 44 − 1, · · · , p3 − 1} hệ thặng dư thu gọn môđun p Bài tập 14 Số nguyên dương n gọi có tính chất P với số nguyên dương a, b mà a3 b + n a3 + b n Chứng minh số số ngun dương có tính chất P khơng vượt 24 2.2 Một số ứng dụng lý thuyết đồng dư thực tế 2.2.1 Luật mã số sách ISBN ISBN chữ viết tắt International Standard Book, mã số tiêu chuẩn quốc tế xác định sách Từ năm 1972, cuối sách xuất nơi giới có "Mã số sách tiêu chuẩn quốc tế - ISBN" Mã số ISBN 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh cơng cụ hữu ích để giúp nhà quản lý sách Mật mã ISBN bao gồm bốn phần Một mã nhóm (một chữ số), mã nhà xuất (hai chữ số), mã sinh (sáu chữ số) mã kiểm tra Chẳng hạn, mã ISBN sách tác giả − 07 − 136594 − Khi mã nhóm sách xuất số nước tiếng (Úc, Anh, New Zealand, Nam Phi, Mĩ) Mã xuất 07 nhận diện McGraw - Hill, mã sách 136594 kí hiệu nhà xuất sách Chữ số kiểm tra d, ≤ d ≤ 10 10 kí hiểu X, xác định công thức d ≡ −(x1 , x2 , x3 , · · · , x9 )(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) (mod 11) tức d ≡ −(x1 10 + x2 + x3 + · · · + x9 2) (mod 11) x1 , x2 , , x9 kí hiệu cho chữ số đầu mã ISBN Ví dụ sau minh họa cho kiểu mã Ví dụ 2.2.1 Sử dụng kiểu mã hóa ISBN, tính tốn mã kiểm tra d chín chữ số − 07 − 136595 Lời giải d ≡ −(x1 , x2 , x3 , · · · , x9 )(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) (mod 11) tức d ≡ −(0, 0, 7, 1, 3, 6, 5, 9, 5)(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) (mod 11) ≡ −(0.10 + 0.9 + 7.8 + 1.7 + 3.6 + 6.5 + 5.4 + 9.3 + 5.2) (mod 11) ≡ −(0 + + 56 + + 18 + 30 + 20 + 27 + 10) (mod 11) ≡ −168 ≡ (mod 11) Vì vậy, chữ số kiểm tra 3, mã ISBN − 07 − 136595 − 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 Trần Thị Thùy Linh Số nhận diện phương tiện (số VIN) Số nhận diện phương tiện, gọi số VIN (Vehicle Indentification Number), dãy mười bảy ký tự, tương tự số seri, xe Dãy số VIN chứa thông tin nhà sản xuất, dòng xe, nước sản xuất, loại động nhiều Số VIN tìm thấy nhiều nơi khác bao gồm bậu cửa xe, mặt sàn ghế người lái xe, cốp xe, vị trí phổ biến góc trái táp lơ điều khiển Từ bên ngồi, nhìn thấy số VIN qua kính chắn gió, có nhiều trường hợp mà bạn muốn kiểm tra số VIN xe Nhiều nhà đăng kí liệu cần số VIN để ghi lại chi tiết lịch sử xe, hồ sơ chủ sở hữu trước đó, tai nạn có lịch sử sửa chữa bảo hành Xem hình vẽ Hình 2.1 Mã số VIN xe Toyota Camry năm 1991 Không giống kiểu mã số kiểm tra ta bàn trường hợp trước, chữ số kiểm tra mã số VIN khơng để cuối dãy, mà đặt dãy Để tính tốn chữ số kiểm tra d9 , ta sử dụng thuật toán • Chuyển đổi chữ từ A đến Z thành số từ - tương 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh ứng Từ ta 16 chữ số d1 d2 · · · d9 · · · d17 (khuyết chữ số d9 ) • Gán trọng số 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, cho ví dụ d1 , · · · d9 , · · · , d17 cách tương ứng • Tính tốn thặng dư khơng âm nhỏ r = (d1 , d2 , · · · , d9 , · · · d17 )(8, 7, · · · , 2, 10, 9, 8, · · · , 2) (mod 11) • Chữ số kiểm tra d9 =   r ≤ r < 10  x r = 10 Ví dụ 2.2.2 Tính tốn chữ số kiểm tra số nhận diện phương tiện hình (2.1) Lời giải Thay chữ số VIN mã số tương ứng nó: VIN J T V V 2 W M 4 8 Mã số tương ứng 5 2 4 8 Dóng theo cột, vị trí có trọng số tương ứng Mã số tương ứng 5 2 Trọng số 4 8 10 Bây ta tính tốn tổng số có trọng số lấy mơđun 11 Tổng có trọng =8.1 + 7.3 + 6.2 + 5.5 + 4.5 + 3.2 + 2.2 + 10.6 + 9.4 + 8.0 + 7.1 + 6.4 + 5.4 + 4.8 + 3.8 + 2.2 ≡ 6(mod 11) Vì ≤ < 10, nên chữ số kiểm tra 6, số kiểm tra hình (2.1) 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.3 Trần Thị Thùy Linh Bài toán mật mã 2.2.3.1 Hệ mã Caesar Trong nhiều lĩnh vực truyền thống việc giữ bí mật thơng tin người gửi người nhận đặt chẳng hạn điện tín, thư tín quân Mật mã học ngành khoa học chuyên nghiên cứu thư từ bí mật Một người sử dụng mật mã biết đến sớm Julius Caesar Cách làm Caesar sau: ông dịch chữ thư gốc ba chữ phía sau: A → D, B→E, · · · , Z→C Chúng ta xem xét q trình mã hóa Caesar cách toán học Hệ mã Caesar với bảng chữ tiếng anh có 26 chữ Trước hết ta thay chữ số từ đến 25 Ký tự A B C D E F G H I J K L Mã tương ứng 10 11 12 Ký tự N O P Q R S T U V W X Y M Z Mã tương ứng 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Để mã hóa thư ta thay p giá trị f (p) ∈ {0, 25} xác định sau f (p) ≡ (p + 3)(mod 26) dịch ngược trở lại kí tự Ví dụ 2.2.3 Mã hóa thư sau "I LOVE YOU" mật mã Caesar Lời giải Bằng mật mã Caesar ta tiến hành sau: - Chuyển chữ thành số 11 14 21 24 14 20 - Thay p f (p) ta 11 14 17 24 17 23 - Thay ngược trở lại chữ ta thư bí mật sau LORYHBRX 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Người nhận thư phải tiến hành giải mã Thực chất việc giải thư mã hóa mật mã Caesar sử dụng hàm ngược: f −1 (p) = (p − 3)(mod 26) Nói cách khác ta tiến đầu chữ Chúng ta tổng quát hóa phương pháp Caesar cách thay dịch 33 chữ ta dịch k chữ cái, lúc f (p) ≡ (p + k)(mod 26) f −1 (p) ≡ (p − k)(mod 26) Các loại mật mã gọi mật mã dịch Độ an toàn khơng cao 2.2.3.2 Hệ mã Vigenère Hệ mã đặt theo tên nhà mật mã học người Pháp Blaise de Vigenère (1523 - 1596) Đối với hệ mã không gian mã rẽ (bản cần mã hóa) thơng điệp tạo thành từ bảng chữ hệ mã Caesar Các chữ đánh số từ → N với N số phần tử bảng chữ Khơng gian khóa k xác định sau: - Với số nguyên dương M , khóa có độ dài M xâu kí tự có độ dài M , k = k1 k2 · · · kM - Để mã hóa rẽ P người ta chia P thành đoạn nhỏ có độ dài M chuyển thành số thứ tự tương ứng chúng bảng chữ cái, chẳng hạn X = x1 x2 · · · xM Khi việc mã hóa giải mã thực sau: EK (x) = (x1 + k1 , x2 + k2 , · · · xM + kM )(mod N ) DY (Y ) = (y1 − k1 , y2 − k2 , · · · , yM − kM )(mod N ) Với N = 26 số phần tử bảng chữ tiếng Anh Y = y1 y2 · · · yM mã 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Ví dụ 2.2.4 Cho rẽ P ="THIS CRYPJOSYSTEM IS NOT SECMRE" Giả sử khóa có độ dài K="CIPHER" Hãy mã hóa thư mật mã Vigenère Lời giải Ta có khóa K = 15 17 tương ứng với khóa CIPHER P = 19 18 17 | 24 15 19 14 18 23 | 18 19 12 18 |13 14 19 18 | 20 17 Q trình mã hóa thực sau: P = 19 18 17 | 24 15 19 14 18 23 | 18 19 12 18 |13 14 19 18 | 20 17 K = 15 17 | 15 17 | 15 17 |2 15 17 | 15 Bảng mã: C = 21 15 23 25 | 23 21 22 14 | 20 19 19 12 | 15 22 25 19 | 22 25 19 Tra ngược theo bảng chữ tiếng có C="VPXZGI AXIVWO UBTTMJ PWIZIT WZT" Về thực chất hệ mã kết hợp nhiều mã Caesar Trong hệ mã Caesar, thay kí tự đơn lẻ hệ mã Vigenère thay M kí tự liên tiếp Với M có số khóa sử dụng N M , cụ thể với bảng chữ tiếng Anh có 26M khóa sử dụng 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Bài tập áp dụng Bài tập Mã hóa thư sau mật mã Caesar: I LOVE YOU MORE THAN I CAN SAY Bài tập Mã hóa thư sau mật mã Vigenère biết khóa có độ dài K="LIKE" Bản rẽ: P="ELEMENTARY THEORY OF NUMBERS" 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thùy Linh Kết luận Khóa luận trình bày số kiến thức đồng dư thức số ứng dụng đồng dư thức toán học thực tiễn đời sống, chẳng hạn giải phương trình đồng dư bậc cao, ứng dụng lý thuyết đồng dư để xét điều kiện đa thức chia hết Q[x], Z[x] Tuy nhiên, thời gian có hạn kiến thức hạn chế nên nhiều ứng dụng đồng dư thức chưa đề cập đến Em hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nội dung, ý nghĩa thực tiễn đồng dư thức vào toán học sống Và mong vấn đề mở để bạn sinh viên yêu thích đại số quan tâm có cách nhìn sâu hơn, rộng lý thuyết đồng dư Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Tốn, đặc biệt Cơ giáo Nguyễn Thị Kiều Nga tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 43 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Hoan, Lý thuyết số, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2004 [2] Hà Huy Khoái, Chuyên đề bồi dường học sinh giỏi trung học phổ thông, Nhà xuất giáo dục, 2003 [3] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, Nhà xuất giáo dục, 1977 [4] Nguyễn Tiến Quang, Bài tập số học, Nhà xuất giáo dục, 2001 [5] Thomas kosky, Elementary Number Theory with Applications, 2nd edition, Academic Press is an imprint of Elsevier 44 ... bội p Hệ 1.2 Một phương trình đồng dư bậc n theo môđun nguyên tố p, với n < p có khơng q n nghiệm 19 Chương Ứng dụng lý thuyết đồng dư Lý thuyết đồng dư có nhiều ứng dụng giải toán sơ cấp, thực... tuổi Lý thuyết đồng dư Gauss đưa có hệ thống chặt chẽ ứng dụng rộng rãi toán, bổ sung giải số vấn đề số học như: phát dấu hiệu chia hết, tìm dư phép chia, Đặc biệt lý thuyết đồng dư có ứng dụng. .. "Lý thuyết đồng dư ứng dụng" làm đề tài nghiên cứu khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức lý thuyết đồng dư Chương 2: Ứng dụng lý