Nghiên cứu khoa học THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ

Lý thuyết thặng dư là một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết hàm số biến số phức. Bản thân nó có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và trong thực tiễn, đặc biệt là Toán học và Vật lý.Khi khảo sát hàm chỉnh hình biến số phức tại các điểm bất thường cô lập thì thặng dư là một công cụ có hiệu lực nhất. Ta có thể tính tích phân của hàm số biến số phức nhờ thặng dư. Ngoài ra, đối với hàm số thực f(x) có hội tụ và hàm lượng giác R(sin, cos), 0 2 là một hàm hữu tỉ thì các tích phân và có thể tính bởi thặng dư…

GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết thặng dư hướng nghiên cứu lý thuyết hàm số biến số phức Bản thân có nhiều ứng dụng khoa học, kỹ thuật thực tiễn, đặc biệt Toán học Vật lý Khi khảo sát hàm chỉnh hình biến số phức điểm bất thường lập thặng dư cơng cụ có hiệu lực Ta tính tích phân hàm số biến số phức nhờ thặng dư Ngoài ra, hàm số thực f(x) có hội tụ hàm lượng giác R(sin, cos), 0 2 hàm hữu tỉ tích phân tính thặng dư… Thấy tầm quan trọng ứng dụng thực tiễn thặng dư phức, với mục đích hiểu sâu ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng, tạo tiền đề, sở cho việc học tập mở rộng kiến thức thân việc tìm hiểu, nghiên cứu thặng dư phức Cùng với giúp đỡ giảng viên môn ‘Hàm biến phức’ chọn đề tài “Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng ” làm đề nghiên cứu khoa học cho Mục đích nghiên cứu Thơng qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâu ứng dụng thặng dư phức để tính tích phân suy rộng từ giải số tập vận dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống tập, vận dụng thặng dư phức dể tính tích phân suy rộng Đối tượng nghiên cứu - Ứng dụng thặng dư phức để tính tích phân suy rộng Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống tập ứng dụng thặng dư phức để tính tích phân suy rộng - Các kiến thức liên quan Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại kiến thức học - Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư - Hỏi ý kiến chuyên gia Đóng góp đề tài SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư B NỘI DUNG CHƯƠNG I THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ Định nghĩa cách tính 1.1 Định nghĩa Cho hàm f ( z ) giải tích lân cận z0 �0 trừ điểm z0 Thặng dư Re s  f ( z ), z0  hàm f ( z ) z0 số, kí hiệu xác định Re s  f ( z ), z0   f ( z ) dz 2 i � L với L chu tuyến vây quanh z0 , nằm lân cận nói Thặng dư hàm f ( z ) z0 xác định Re s  f ( z ), �   2 i �f ( z)dz z R ( R  đủ lớn) 1.2 Cơng thức tính thặng dư  Re s  f ( z ), z0 ��  c1 ( hệ số z  z0 khai triển Laurent hàm f ( z ) lân cân điểm z0 )  Re s  f ( z ), �  c1 (1.2.1) ( hệ số z khai triển Laurent hàm f ( z ) lân cận điểm �) (1.2.2)  Nếu z0 cực điểm cấp Re s  f ( z ), z0 ��  lim( z  z0 ) f ( z ) z � z0 (1.2.3)  Nếu f (z)   (z)  ( z ) ,  ( z ) ,  ( z ) giải tích lân cận z0 ,  (z ) �0 ,  ( z0 )  ,  '( z0 ) �0 Re s  f ( z ), z0    ( z0 )  '( z0 ) (1.2.4)  Nếu z0 cực điểm cấp m �2 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư d m 1 Re s  f ( z ), z0   lim m 1 � ( z  z0 ) m f ( z ) � � � z � z (m  1)! dz (1.2.5) Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng hàm số f xác định [a, �) định nghĩa sau: � R f ( x) dx  lim � f ( x)dx � R �� a a Khi giới hạn vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ giới hạn Tương tự ta có tích phân suy rộng sau a a �f ( x)dx  lim �f ( x)dx R �� R � Nếu hàm f xác định R , ta có khái niệm tích phân suy rộng hàm ,  f  �� định nghĩa sau: � R � R �� f ( x)dx  lim �f ( x)dx  lim � �f ( x)dx R '�� R' a Khi hai giới hạn vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng �f ( x)dx � hội tụ tổng hai giới hạn Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng  Nếu f ( z ) liên tục nửa mặt phẳng đóng Im z �0 , giải tích nửa mặt phẳng Im z  , trừ điểm bất thường cô lập z1 , z2 , , z n nửa mặt phẳng Im z  , f (z)  M z với z đủ lớn I � n � k 1 �f ( x)dx  2 i �Re s  f ( z ), zk  SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng (1.3.6.1.1) Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư  Nếu f ( z ) giải tích nửa mặt phẳng đóng Im z �0 trừ điểm kì dị lập z1 , z2 , , z n nửa mặt phẳng Im z  , lim f ( z )  z �� I với t  arg z � n � k 1 ix iz �f ( x) e dx  2 i �Re s � �f ( z ) e , zk � � (1.3.6.1.2) 3.1 Định lí Giả sử f ( z ) phân thức mà đa thức mẫu số có bậc lớn đa thức tử số hai đơn vị, f ( z ) có số hữu hạn cực điểm a1 , a2 , , an nằm nửa mặt phẳng khơng có cực điểm nằm trục thực Khi ta có � n � k 1 �f ( z)dx  2 i �Re s  f ( z ), ak  SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư Chương II: Bài Tập Vận Dụng Dùng thặng dư tính tích tích phân suy rộng Nhận dạng: Bài tốn dùng thặng dư để tính tích phân suy rộng thường có dạng � �f ( x)dx � Cách làm: Xét hàm f ( z )  f ( x) , tìm cực điểm hàm f ( z ) , xét xem cực điểm cực điểm nằm nửa mặt phẳng trên, sau tính thặng dư cực điểm nằm nửa mặt phẳng áp dụng công thức � n � k 1 �f ( x)dx  2 i �Re s  f ( z ), zk  để tính tích phân suy rộng � Bài tốn 1: Tính tích phân suy rộng dx � 1 x � Giải: Ta thấy  x liên tục nửa mặt phẳng đóng Im z �0 , giải tích nửa mặt phẳng Im z  , trừ điểm i nửa mặt phẳng Im z  Áp dụng công thức (3.2.1) ta có: � dx � 1 x � �1 � �1 �  2 iRes � , i � 2 i � �  1 x � � �2i � SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự � dx � 1 x Vậy Thặng dư ứng dụng thặng dư  � � Bài tốn 2: Tính tích phân suy rộng �( x � dx  1)( x  4) Giải: Ta thấy ( x  1)(x  4) liên tục nửa mặt phẳng đóng Im z �0 , giải tích nửa mặt phẳng Im z  , trừ điểm i 2i nửa mặt phẳng Im z  Áp dụng công thức (3.2.1) ta có: � �( x � � � � � � � dx 1  2 i � Re s � ,i � Re s � , 2i � � 2  1)( x  4) �( x  1)( x  4) � � �( x  1)( x  4) � � �  �1  2 i �   � 2 i 12i �3.2i 3.4i � � Vậy �( x � dx    1)( x  4) � Bài toán 3: Tính tích phân suy rộng I dx �x  � Giải: Hàm f ( z)   3 i i z  có hai cực điểm đơn a  e b  e nằm nửa mặt phẳng nên theo công thức (1.3.6.1.1) ta có z b � � za I  2 i  Re s  f ( z ), a   Re s  f ( z ), b    2 i � lim  lim � �z �a z  z �b z  � z b � � � za �  2 i � lim  lim lim  lim � � 2 i � z �a z  z �b z  z �a z z �b z � � � �   i �1 �  i �a b � �  � �  � �a b3 � �a b � (1) Mặt khác ta có a  ei  cos   i sin   1 b  e3i  cos 3  i sin 3  1 (2) Thay (2) vào (1) ta i  i i 4 i 34  I   (a  b)   (e  e )  2 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự � Vậy I dx �x   � Thặng dư ứng dụng thặng dư  2 Bài tốn 4: Tính tích phân suy rộng I � �( x � dx  1) 2 Giải: Hàm f (z)  1  2 ( z  1) ( z  i ) ( z  i ) có cực điểm cấp hai z  i nằm nửa mặt phẳng phía trên, ta có � I  2 i Re s  f ( z ), i   2 i lim � ( z  i) f ( z ) � � � z �i � � � 2  2 i lim �  2 i lim � z �i ( z  i ) z �i ( z  i )3 � �   2 i  4i � Vậy I �( x � dx    1) 2 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư C KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, tiểu luận đạt số kết sau: Hệ thống lại khái niệm, tính chất kiến thức liên quan đến thặng dư Tìm hiểu sâu thặng dư cách tính thặng dư từ đưa dạng tập vận dụng thặng dư để tính tích phân, tính tích phân suy rộng, tính tích phân hàm hữu tỉ lượng giác…Ở dạng hướng dẫn cho học sinh thủ thuật giải toán áp dụng cơng thức tính thặng dư phù hợp dạng toán Xen lồng số tập mức độ khó dạng để học sinh phát triển tư nắm vững kiến thức SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Công Xuân Vũ Ý, Giáo trình hàm biến phức, 2012 [2] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2006 [3] Phạm Nguyễn Hồng Ngự, Bài giảng hàm biến phức, 2012 [4] Website http://diendantoanhoc.net SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang 10 GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang 11 GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu .1 Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài .2 B NỘI DUNG CHƯƠNG I THẶNG DƯ Định nghĩa cách tính 1.1 Định nghĩa 1.2 Cơng thức tính thặng dư 1.3 Các định lý thặng dư 1.3.1 Định lý ( Định lý Cauchy) .5 1.3.2 Định lý ( Định lý thặng dư toàn phần) 1.3.3 Định lí (Thặng dư Cauchy) .7 1.3.4 Định lý 1.3.5 Định lý 10 1.3.6 Tích phân suy rộng 10 1.3.6.1 Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng .11 1.3.7 Định lí .11 Chương II: Bài Tập Vận Dụng .12 Dạng 1: Tính thặng dư 12 Dạng 2: Tính tích phân thặng dư .13 Dạng 3: Dùng thặng dư tính tích tích phân suy rộng .16 Dạng 4: Dùng thặng dư tính tích phân hàm hữu tỷ, hàm lượng giác .18 4.1 Dùng thặng dư để tính tích phân hàm hữu tỷ .18 4.2 Dùng thăng dư để tính tích phân hàm lượng giác 20 C KẾT LUẬN 23 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng ... Thặng dư ứng dụng thặng dư - Hỏi ý kiến chuyên gia Đóng góp đề tài SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư B NỘI DUNG CHƯƠNG I THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG... Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư C KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, tiểu luận đạt số kết sau: Hệ thống lại khái niệm, tính chất kiến thức liên quan đến thặng dư Tìm hiểu sâu thặng dư cách tính thặng dư. .. Ngự Thặng dư ứng dụng thặng dư MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên