Nghiên cứu khoa học THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ

Lý thuyết thặng dư là một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết hàm số biến số phức. Bản thân nó có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và trong thực tiễn, đặc biệt là Toán học và Vật lý.Khi khảo sát hàm chỉnh hình biến số phức tại các điểm bất thường cô lập thì thặng dư là một công cụ có hiệu lực nhất. Ta có thể tính tích phân của hàm số biến số phức nhờ thặng dư. Ngoài ra, đối với hàm số thực f(x) có hội tụ và hàm lượng giác R(sin, cos), 0 2 là một hàm hữu tỉ thì các tích phân và có thể tính bởi thặng dư…

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Lý thuyết thặng dư là một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết hàm số biến số phức Bản thân nó có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và trong thực tiễn, đặc biệt là Toán học và Vật lý

Khi khảo sát hàm chỉnh hình biến số phức tại các điểm bất thường cô lập thì thặng dư là một công cụ có hiệu lực nhất Ta có thể tính tích phân của hàm số biến số phức nhờ thặng dư Ngoài ra, đối với hàm số thực f(x) có hội tụ và hàm lượng giác R(sin, cos), 0 2 là một hàm hữu tỉ thì các tích phân và có thể tính bởi thặng dư…

Thấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của thặng dư phức, với mục đích hiểu sâu hơn về ứng dụng của thặng dư để tính tích phân suy rộng, tạo tiền đề, cơ

sở cho việc học tập tiếp theo và mở rộng kiến thức bản thân trong việc tìm hiểu, nghiên cứu về thặng dư phức Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Hàm biến

phức’ tôi chọn đề tài “Ứng dụng của thặng dư để tính tích phân suy rộng ” làm đề

bài nghiên cứu khoa học cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của thặng dư phức để tính tích phân suy rộng và từ đó giải một số bài tập vận dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống các bài tập, vận dụng thặng dư phức dể tính tích phân suy rộng

4 Đối tượng nghiên cứu

- Ứng dụng của thặng dư phức để tính tích phân suy rộng

5 Phạm vi nghiên cứu

- Hệ thống bài tập ứng dụng thặng dư phức để tính tích phân suy rộng

- Các kiến thức liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại các kiến thức đã học

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Hỏi ý kiến chuyên gia.

7 Đóng góp của đề tài

B NỘI DUNG CHƯƠNG I THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ

1 Định nghĩa và cách tính

1.1 Định nghĩa

Cho hàm f z( ) giải tích trong lân cận của z 0 0 trừ tại điểm z0 Thặng dư

của hàm f z( ) tại z0 là số, kí hiệu là Res f z z ( ), 0 xác định bởi

1

2 L

i



với L là chu tuyến vây quanh z0, nằm trong lân cận nói trên

Thặng dư của hàm f z( ) tại z0 xác định bởi

s f z f z dz

i

 

(R 0 đủ lớn)

1.2 Công thức tính thặng dư

 Res f z z ( ), 0   c1 ( là hệ số của 0

1

z z trong khai triển Laurent

của hàm f z( ) tại lân cân của điểm z0) (1.2.1)

 Res f z ( ),  c1 ( là hệ số của

1

z trong khai triển Laurent của

hàm f z( ) tại lân cận của điểm ) (1.2.2)

 Nếu z0 là cực điểm cấp một thì

0

z z



(1.2.3)

 Nếu

( ) ( )

( )

z

f z

z







, ( )z , ( )z là giải tích trong lân cận z0, (z ) 00  ,

0

( ) 0z

  , '( ) 0z0  thì

0

0

( )

Re ( ),

'( )

z

s f z z

z







(1.2.4)

 Nếu z0 là cực điểm cấp m 2 thì

 

0

1

1

( 1)!

m

m m

z z

d







2 Tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng của hàm số f xác định trên [ , )a  được định nghĩa như sau:

( ) lim ( )

R

R

f x dx f x dx



 



Khi giới hạn vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng trên hội tụ về giới hạn ấy Tương tự ta cũng có tích phân suy rộng sau

R R

f x dx f x dx

 



Nếu hàm f xác định trên R, ta có khái niệm tích phân suy rộng của hàm

f trên   ,  được định nghĩa như sau:

0 '

( ) lim ( ) lim ( )

R

R



Khi hai giới hạn của vế phải tồn tại, thì ta nói tích phân suy rộng ( )

a

f x dx

 

 hội tụ về tổng hai giới hạn ấy

3 Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng

 Nếu f z( ) liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng Imz 0, giải tích trên nửa mặt phẳng trên Imz 0, trừ các điểm bất thường cô lập

1, , , z2 n

z z của nửa mặt phẳng trên Imz 0,

2

f z

z



với z đủ lớn thì

1

k

I f x dx i s f z z





 

(1.3.6.1.1)

 Nếu f z( ) giải tích trên nửa mặt phẳng trên đóng Imz 0 trừ các điểm kì dị cô lập z z1, , , z2 n của nửa mặt phẳng Imz 0,

lim ( ) 0

z f z

đều với mọi targz thì

1

k k

I f x dx i s f z z





 

(1.3.6.1.2)

3.1 Định lí

Giả sử f z( ) là một phân thức mà đa thức mẫu số có bậc lớn hơn đa thức

tử số ít nhất hai đơn vị, f z( ) có một số hữu hạn cực điểm a a1, , ,2 a n nằm trong nửa mặt phẳng trên và không có cực điểm nằm trên trục thực Khi đó ta có

1

k

f z dx i s f z a





 



Chương II: Bài Tập Vận Dụng

1 Dùng thặng dư tính tích tích phân suy rộng

Nhận dạng:

Bài toán dùng thặng dư để tính tích phân suy rộng thường có dạng

( )

f x dx



 



Cách làm:

Xét hàm f z( )f x( ), tìm các cực điểm của hàm f z( ), xét xem trong các cực điểm đó cực điểm nào nằm trong nửa mặt phẳng trên, sau đó tính thặng dư tại các cực điểm nằm trong nửa mặt phẳng trên và áp dụng công thức

1

k

f x dx i s f z z





 



để tính tích phân suy rộng

Bài toán 1: Tính tích phân suy rộng 1 2

dx x



  

Giải:

Ta thấy rằng 2

1

1 x liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng Imz 0, giải tích trên nửa mặt phẳng trên Imz 0, trừ tại điểm i của nửa mặt phẳng trên

Imz 0 Áp dụng công thức (3.2.1) ta có:

dx

i i

x  x  i 



 



Vậy 1 2

dx

x 



 







Bài toán 2: Tính tích phân suy rộng ( 2 1)( 2 4)

dx

x x



Giải:

Ta thấy rằng 2 2

1 (x 1)(x 4) liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng Imz 0 , giải tích trên nửa mặt phẳng trên Imz 0, trừ tại các điểm i và 2i của nửa mặt phẳng trên Imz 0 Áp dụng công thức (3.2.1) ta có:

dx







 





Vậy ( 2 1)( 2 4) 6

dx

x x





 





Bài toán 3: Tính tích phân suy rộng 4 1

dx I

x



 







Giải:

1 ( )

1

f z z



 có hai cực điểm đơn a e i4



 và

3 4

i

b e



 nằm trên nửa mặt phẳng trên nên theo công thức (1.3.6.1.1) ta có

z a z b

I i s f z a s f z i

z a z b

a b a b

Mặt khác ta có

4

cos3 sin 3 1

i

i





Thay (2) vào (1) ta được

Vậy 4

2

dx I

x





 





Bài toán 4: Tính tích phân suy rộng ( 2 1)2

dx I

x



 







Giải:

(z)

f

   có một cực điểm cấp hai z i nằm trong nửa mặt phẳng phía trên, do đó ta có

2 i Re ( ), 2 i lim ( ) ( )

2 i lim 2 i lim

1

2 i

z i

i











Vậy ( 2 1)2 2

dx I

x





 





C KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu, bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau:

1 Hệ thống lại các khái niệm, tính chất và những kiến thức liên quan đến thặng dư

2 Tìm hiểu sâu hơn về thặng dư và cách tính thặng dư từ đó đưa ra các dạng bài tập vận dụng thặng dư để tính tích phân, tính tích phân suy rộng, tính tích phân hàm hữu tỉ lượng giác…Ở mỗi dạng hướng dẫn cho học sinh những thủ thuật giải toán và

áp dụng công thức tính thặng dư phù hợp ở từng dạng toán

3 Xen lồng một số bài tập mức độ khó ở mỗi dạng để học sinh phát triển tư duy

và nắm vững kiến thức hơn

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hồ Công Xuân Vũ Ý, Giáo trình hàm biến phức, 2012

[2] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2006

[3] Phạm Nguyễn Hồng Ngự, Bài giảng hàm biến phức, 2012

[4] Website http://diendantoanhoc.net

E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phạm vi nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của đề tài 2

B NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I THẶNG DƯ 3

1 Định nghĩa và cách tính 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Công thức tính thặng dư 3

1.3 Các định lý cơ bản về thặng dư 5

1.3.1 Định lý ( Định lý Cauchy) 5

1.3.2 Định lý ( Định lý thặng dư toàn phần) 6

1.3.3 Định lí (Thặng dư Cauchy) 7

1.3.4 Định lý 8

1.3.5 Định lý 10

1.3.6 Tích phân suy rộng 10

1.3.6.1 Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng 11

1.3.7 Định lí 11

Chương II: Bài Tập Vận Dụng 12

1 Dạng 1: Tính thặng dư 12

2 Dạng 2: Tính tích phân bằng thặng dư 13

3 Dạng 3: Dùng thặng dư tính tích tích phân suy rộng 16

4 Dạng 4: Dùng thặng dư tính tích phân hàm hữu tỷ, hàm lượng giác 18

4.1 Dùng thặng dư để tính tích phân hàm hữu tỷ 18

4.2 Dùng thăng dư để tính tích phân hàm lượng giác 20

C KẾT LUẬN 23