Nghiên cứu khoa học Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán Giải tích. Điểm bất động là khái niệm xuất hiện từ đầu thế kỷ XX là một nhánh của Toán học. Tiền thân là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach. Trong đó nguyên lý ánh xạ co của Banach được đánh giá là định lý điểm bất động đơn giản và được sử dụng rộng rãi nhất. Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Một khía cạnh nhỏ của ứng dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach vào giải một số dạng toán ở chương trình đại học như: Giải phương trình đại số và siêu việt, giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính, chứng minh sự hội tụ của dãy….. trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng và đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức liên quan.

Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập MỤC LỤC A MỞ ĐẦU .2 Lý chọn đề tài: .2 Mục đích nghiên cứu: 3 Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: B NỘI DUNG .4 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cơ sở lý thuyết .4 1.1.1 Không gian mêtric 1.1.2 Sự hội tụ không gian mêtric 1.1.3 Ánh xạ liên tục 1.1.4 Ánh xạ liên tục 1.1.5 Không gian mêtric đầy đủ .8 CHƯƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI BÀI TẬP 10 2.1 Ánh xạ co .10 2.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach 10 C KẾT LUẬN 22 E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN 24 SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập A.MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Không gian mêtric tồn định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ đối tượng nghiên cứu tốn Giải tích Điểm bất động khái niệm xuất từ đầu kỷ XX nhánh Toán học Tiền thân nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co Banach Trong nguyên lý ánh xạ co Banach đánh giá định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi Về sau, kết kinh điển mở rộng nhiều lớp ánh xạ không gian khác ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác tốn học Một khía cạnh nhỏ ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach vào giải số dạng tốn chương trình đại học như: Giải phương trình đại số siêu việt, giải gần hệ phương trình đại số tuyến tính, chứng minh hội tụ dãy… trừ số trường hợp đặc biệt có cơng thức giải đúng, nói chung phức tạp Do ta phải tìm cách giải gần đòi hỏi phải có trợ giúp nhiều kiến thức liên quan Chính em chọn đề tài nghiên cứu làm tiểu luận em: “Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập” nhằm giúp sinh viên giải dễ dàng dạng tập Mục đích nghiên cứu: Giúp sinh viên giải tập dựa vào áp dụng nguyên lý ánh xạ co số tập dạng: Giải phương trình đại số siêu việt, giải gần hệ phương trình đại số tuyến tính, chứng minh hội tụ dãy… tăng thêm hiểu biết cho thân chia cách giải cho bạn Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach vào dạng toán cụ thể Phương pháp nghiên cứu: - Sưu tầm , tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài tiểu luận - Trao đổi với giáo viên hướng dẫn B.NỘI DUNG SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập tùy ý khác rỗng cho trước, mêtric (hay khoảng cách) X hàm số d :X �X � � thỏa mãn ba tiên đề sau: 1) , với thuộc X; 2) , với thuộc X (tính đối xứng) 3) , với thuộc X, (bất đẳng thức tam giác) Khi tập X với mêtric d cho gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X,d) Đôi để đơn giản mêtric d xác định rõ ràng, ta kí hiệu X Bằng ngơn ngữ hình học, phần tử gọi điểm không gian X, số thực dương (hay 0) gọi khoảng cách hai điểm x y Ví dụ Giả sử M tập khác rỗng tập số thực Đặt d(x,y) = với x,yM Ta dễ dàng kiểm tra (M,d) không gian mêtric dựa vào ba tiên đề trên: i) Ta có d(x,y) = ≥ 0, với x,y X d(x,y) = � = � x=y ii) d(x,y) === d(y,x) iii) Với x, y, z X, ta có: =≤ + � d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) Vậy (M,d) khơng gian mêtric Kí hiệu = ,…,: , i= } tập hợp gồm k số thực Với x=,…,, y= (,…,) thuộc , ta đặt: d(x,y) = Khi tiên đề 1), 2) rõ ràng, ta cần kiểm tra tiên đề 3) tức chứng minh ≤ + SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập i i i i Đặt  x  y , bi  y  z + = Ta có : (x,y) = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho số hạng sau ta được: (x,y) = ≤ Từ lấy hai vế trở lại với kí hiệu cũ, ta có Vậy(,d) khơng gian mêtric ta gọi mêtric mêtric thông thường 1.1.2 Sự hội tụ không gian mêtric Định nghĩa 1.1.2: Giả sử X không gian mêtric dãy X Ta nói dãy hội tụ đến x X khoảng cách x dần đến  n � � Lúc x gọi giới hạn dãy ta kí hiệu là: = x Hay , n � � Diễn tả lại, ta có: Các tính chất 1.1.2 Cho dãy không gian mêtric X Ta có Nếu dãy hội tụ đến xX dãy dãy hội tụ đến x Giới hạn dãy hội tụ Nếu n n � � Ví dụ 1.1.2 Hội tụ Trong với mêtric thông thường, ta xét dãy sau: mà = Theo định nghĩa, dãy hội tụ điểm = khi  n � �, hay với i= 1,…,k � � với i  1,�, k SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Vậy hội tụ dãy hội tụ theo tọa độ dãy Đặc biệt, với k  hội tụ dãy số thực thông thường 1.1.3 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1.3 1) Ánh xạ f gọi liên tục  cho trước, tồn cho với x X mà 2) Ánh xạ f gọi liên tục AX f liên tục điểm xA Ví dụ 1: Cho không gian mêtric 1 Chứng minh liên tục f ( B ( f ( x))) lân cận với Giải:  � Giả sử có mêtric có mêtric 1 Vì f ( f ( x)) nên ta có: 1 Vì tập mở liên tục nên f ( B ( f ( x))) tập mở chứa 1 Do f ( B ( f ( x))) lân cận  � Giả sử  Nếu f 1 ( B ( f ( x))) lân cận tồn số  cho: B ( x) � f 1 ( B ( f ( x))) 1 Khi x ' �B ( x) � f ( B ( f ( x))) f ( x ') �B ( f ( x)) Do : p( f ( x), f ( x '))   Như vậy, d ( x, x ')   Vậy liên tục Ví dụ 2: Chứng minh hàm số thực f : � � � xác định Là khơng liên tục Giải: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Ta chứng minh không liên tục Cho dãy với: Ta có Nhưng: Vậy không liên tục 1.1.4 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ f: XY gọi liên tục X với tồn cho với d  f  x  , f  x’  d x, x’  x , x’ X mà  Định lý 1.1.4 Giả sử không gian metric Nếu compact, tất hàm liên tục liên tục Chứng minh: Giả sử không liên tục đều, chứng minh không liên tục Vì khơng liên tục đều, nên tồn cho với có cho , Chọn , tồn , cho Vì compact, nên dãy có dãy hội tụ đến điểm Vì nên dãy hội tụ Ta có khơng liên tục Thật vậy, liên tục hai dãy hai hội tụ Nhưng điều khơng thể Vậy liên tục Ví dụ 1: Chứng minh liên tục  0; �) Giải: Cho , đặt Nếu , ta có: | x  y |2 � | x  y || x  y || x  y |  SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Do x y Điều chứng tỏ liên tục  0; �) Ví dụ 2: Chứng minh không liên tục ℝ Giải: Chọn , với , chọn cho: Khi nhưng: Điều chứng tỏ không liên tục ℝ 1.1.5 Không gian mêtric đầy đủ Định nghĩa 1.1.5.1 Dãy hay dãy Cauchy  xn  không gian mêtric lim d ( xn , xm )  m , n �� X gọi dãy Nói cách khác, (  xn  dãy bản) � ( Ta có tính chất sau:  xn  dãy hội tụ  xn  dãy i Nếu ii Nếu dãy  xn  có dãy X  x  � x  cho  x  hội tụ đến nk n nk x0 xn � x0 Định nghĩa 1.1.5 Khơng gian mêtric X gọi không gian mêtric đầy đủ dãy hội tụ X Ví dụ 1.1.5 Khơng gian với mêtric thông thường không gian đầy đủ Thật vậy, cho dãy bản, với = Khi ta có: = nên dãy ℝ, với i = 1,2,…,k Nhưng từ ví dụ ví dụ 1.1.2 ta có dãy hội tụ đến , suy không gian đầy đủ Không gian không gian đầy đủ Chứng minh: Cho dãy SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Khi ta có: Với , hiển nhiên ta có Suy dãy số thực ℝ nên hội tụ Đặt với Ta cần chứng minh x(t) thuộc Lấy : ta có: Cho , với Vậy hội tụ đến , nên liên tục Do khơng gian đầy CHƯƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI BÀI TẬP 2.1 Ánh xạ co Định nghĩa 1.2.1 Cho ánh xạ f từ tập X vào Phần tử cho gọi điểm bất động ánh xạ f Bây cho X không gian mêtric f ánh xạ từ X vào X, f gọi ánh xạ co tồn số [0,1) cho với x,y ta có: Từ định nghĩa ta thấy ánh xạ co liên tục Ví dụ : Giả sử ánh xạ co Chứng minh ánh xạ co với Giải: Vì ánh xạ co nên có số cho: Ta chứng minh (*) với Cho , (*) thỏa ánh xạ co Giả sử (*) với ta chứng minh (*) với Với ta có: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Vậy quy nạp toán học (*) thỏa với Do với ta có: Nên ánh xạ co 2.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định lý 2.2: Giả sử X không gian mêtric đầy đủ f : ánh xạ co Khi f điểm bất động Chứng minh Lấy điểm tùy ý Đặt Ta chứng tỏ dãy X Vì f ánh xạ co nên : =) = (*) Với , từ (*) ta có : Khi n đủ lớn p tùy ý ta có suy dãy không gian đầy đủ X nên tồn giới hạn Cũng từ (*) ta có Cho hàm d f liên tục, ta có Hay Vậy tức là điểm bất động f Nếu : Hay ( Suy Do điểm bất động Vậy định lý chứng minh arctan x  x   Ví dụ 1: Chứng minh phương trình có nghiệm thực Giải: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập arctan x  x  Đặt f ( x)  hàm từ �vào � f ( x)  f ( y )  x  y f ánh xạ co 2(1   ) , với  điểm nằm x y f ( x)  f ( y ) � x  y theo định lý Lagrange, nên * f Do có điểm bất động x hay phương trình cho có nghiệm * x Ví dụ 2: Cho khơng gian mêtric đầy đủ cầu mở tâm , bán kính Cho ánh xạ co với số co Nếu có điểm bất động Giải: Chọn cho Thì cầu đóng chứa Với , ta có: Lúc đó: Suy ra: ánh xạ từ vào Do đầy đủ, đóng khơng gian đầy đủ , ánh xạ co ⇒ có điểm bất động Nhận xét: ánh xạ co, với không gian mêtric đầy đủ Nếu thỏa mãn: với có điểm bất động Ví dụ 4: Cho =) với n = 1, 2, 3… Chứng minh hội tụ Giải: Ta có -1 với n = 2, 3… Do với n = 3,… Dãy có dạng f : [0,1] [0,1] với f(x) = Cos x Trên đoạn [0,1] ta có f’(x) = - Sin x, Nếu f ánh xạ co SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 10 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có hội tụ tới = ) = Cos(x) Ví dụ 5: Cho với = Chứng minh {} hội tụ Giải: Ta có f : [2,3] Ta có : Suy f ánh xạ co Áp dụng nguyên lý ánh xạ co ta có hội tụ đến f(x) = x Suy = x, Giải phương trình ta x = Vậy hội tụ tới điểm x =  Giải phương trình đại số siêu việt  Xét tốn Xét phương trình: (1) Trong f(x) hàm đại số hay siêu việt Nghiệm phương trình (1) số thực thỏa mãn (1) Thay vào x vế trái ta được: f() = (2) Phương trình (1) trừ số trường hợp đặc biệt có cơng thức giải đúng, nói chung phức tạp Do phải tìm cách giải gần Trước tìm cách tính gần nghiệm thực phương trình (1) phải kiểm tra xem nghiệm thực có tồn hay khơng Ta có định lý sau đây: Định lý: Nếu hai số thực a b ( a< b) cho f (a ) f (b) trái dấu : f (a) f (b) Đòng thời f(x) liên tục đoạn [a,b] đoạn [a,b] có nghiệm phương trình (1) Nếu đạo hàm f '( x) khơng đổi dấu [a,b] khoảng phân ly nghiệm phương trình (1)  Phương pháp giải Để giải gần phương trình (1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà chất phương pháp vận dụng nguyên lý ánh xạ co Banach SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 11 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Giả sử phương trình (1) có nghiệm khoảng [a,b] ta biến đổi dạng tương đương : (3) Chọn làm giá trị xấp xỉ ban đầu tính dần nghiệm xấp xỉ theo quy tắc (4) Phương pháp gọi phương pháp lặp hàm gọi hàm lặp + Điều kiện hội tụ phương pháp lặp: Định lý: Giả sử phương pháp lặp (3) (4) thỏa mãn điều kiện sau: [a,b] khoảng phân ly nghiệm phương trình (3) Mọi tính theo (4) thuộc [a,b] Hàm có đạo hàm thỏa mãn: Khi phương pháp lặp (4) hội tụ, tức Chứng minh Sử dụng công thức Lagrange cho hàm số g(x) liên tục [a,b] có đạo hàm (a,b) Khi tồn cho : Vì nghiệm (3) nên ta có : Theo cơng thức lặp thì: Trừ vế theo vế ta : Áp dụng công thức Lagrange vào ta được: Suy Vì bất đẳng thức với n, cho n giảm dần từ n đén ta có: Vậy Từ ta có: = Vậy Hay Mặt hác Do đó: = Suy hay = Từ ta suy ra:  Ví dụ: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 12 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Đặt Dễ thấy nên Có cách đưa phương trình dạng a) b) c) , Ta kiểm tra điều kiện ánh xạ co Ta có: a) b) ;, c) ; Ví dụ 2: Giải phương trình băng phương pháp lặp với n = 6: Giải: Đặt ; Ta có Vậy khoảng tách nghiệm phương trình [1,2] Phương trinh cho đưa dạng tương đương Đặt Ta kiểm tra điiều kiện để ánh xạ co: Suy Mặt khác, với nên Do ánh xạ co nên tồn điểm cho nghiệm phương trình cho Khi ta có cơng thức lặp: Chọn ta có: Vậy nghiệm gần phương trình cho Ví dụ 3: Bằng phương pháp lặp đơn, giải phương trình sau: Giải: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 13 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Đặt ; Ta có Nên [1,2] khoảng tách nghiệm Phương trình cho đưa dạng tương đương: Đặt Ta kiểm tra điều kiện để ánh xạ co Suy , với Mặt khác , với nên Do ánh xạ co nên tồn cho nghiệm phương cho Khi ta có cơng thức lặp: Chọn Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình: phương pháp lặp đơn với bước lặp Giải: Đặt Ta có Suy [0,1] khoảng tách nghiệm Lại có: = Đặt ta kiểm tra điều kiện để ánh xạ co Suy (, với Mặt khác, với nên Do ánh xạ co nên tồn điểm cho nghiệm phương trình cho Khi ta có cơng thức lặp sau: , Chọn ta có: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 14 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Vậy phương trình cho có nghiệm  Giải gần hệ phương trình tuyến tính  Xét toán Từ hệ: với 2) Chọn xấp xỉ tùy ý nghiệm Đặt với Thì gọi dãy nghiệm xấp xỉ phương pháp lặp đơn  Phương pháp giải Định lý hội tụ Nếu dãy Sai số: Chứng minh: Xét T: Có Suy T ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co tồn cho dãy lặp ( hội tụ tới + Quy trình tính tốn: 1.Cho hệ phương trình đại số tuyến tính 2.Ẩn định sai số cho phép 3.Đưa hệ Ax  b hệ tương đương có dạng x  Bx  g 4.Kiểm tra điều kiện B Chọn x0 tùy ý 6.Tính xk 1  Bxk  g , k  0,1, 2,3 Kết luận nghiệm  Ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình phương pháp lặp đơn với ba bước lăp SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 15 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Giải: Hệ � � + �b j 1 ij 3 j 1 j 1  0,17, �bij  0,19, �bij  0, 27 B  Max( bij  0,17 Xét dãy lặp X k 1  BX k  g �x1k 1  0, 02 x1k  0, 05 x2k  0,1x3k  0, 795 �0,8 � � k 1 k k k � � X0  � 0,85 � �x2  0,11x1  0, 03 x2  0, 05 x3  0,849 �x k 1  0,11x k  0,12 x k  0, 04 x k  1,398 �1, � � � �3 Chọn �x1k  0, 02.0, 08  0, 05.0,85  0,1.1,  0, 795  0,962 �k �x2  0,11.0,8  0,85.0, 03  0, 05.1,  0,849  0,982 �x k  0,11.0, 08  0,12.0,85  0, 04.1,  1, 398  1,532 �3 tương tự �x1k  0, 978 �2 �x2  1, 002 �x  1,56 �3 �x13  0,98 �3 �x2  1, 004 �x  1,563 Và �3 sai số X  X  ( 0, 002;0, 002;0, 003) B 3 0, 27 X3  � X3  X  0,03.10 1 B  0, 27 �x1  0,89 �103 � 3 �x2  1, 004 �10 �x  1,563 �103 Vậy nghiệm gần �3 �20, x1  1, x2  2,1x3  0,9 x4  21, � 1, x1  21, x2  1,5 x3  2,5 x4  27, 46 � � �2,1x1  1,5 x2  19,8 x3  1,3 x4  28, 76 � 0,9 x  2,5 x2  1,3 x3  32,1x4  49, 72 Ví dụ 2: Giải hệ: � Giải: SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 16 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập � x1  (0 x1  1, x2  2,1x3  21, 7) � 20,9 � � x2  ( 1, x1  x2  1,5 x3  2,5 x4  27, 46) � � 21, �� �x  ( 2,1x  1,5 x  x  1,3 x  28, 76) � 19,8 � � x4  (0,9 x1  2,5 x2  1,3 x3  49, 72) � 32,1 � Hệ �b j 1 ij  0, , �b j 1 ij  0, 24 , �b j 1 ij  0, 25 , �b j 1 ij  0,15 � B  0, 25 k Xét dãy lặp X k 1  BX k  g k x1k x2k x3k 1, 04 1,3 1, 45 0, 75 0,95 1,14 0,8106 1,118 1, 2117 0, 7978 0,9977 1,1975 0,8004 1, 0005 1, 2005 0, 7999 0,9999 1,1999 x4k 1,55 1,36 1, 4077 1,3983 1, 4003 1,3999 Chọn x tùy ý X  X  (0, 0006;0, 0006;0, 0006;0, 0006) X3  X4 0, 25 X5  � 6.104  2.104  6.10 ;  0, 25 4 Vậy nghiệm hệ là: �x1  0, 7999.104 � 4 �x2  0,9999.10 � 4 �x3  1,1999.10 �x  1,3999.104 �4 �7, x1  0,5 x2  2, x3  1,9 � �2, x1  9,1x2  4, x3  9, � 1,3x1  0, x2  5,8 x3  1, Ví dụ Giải hệ phương trình � SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 17 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Giải: �10 x1  2, x1  0,5 x2  2, x3  1,9 � �� 10 x2  2, x1  0,9 x2  4, x3  9, �10 x  1,3 x  0, x  4, x  1, � Hệ �x1  0, 24 x1  0, 05 x2  0, 24 x3  0,19 � � �x2  0, 22 x1  0, 99 x2  0, 44 x3  0,97 �x  0,13 x  0, 02 x  0, 42 x  0,14 �3 3 j 1 j 1 j 1 �bij  0,53; �bij  0, 75; �bij  0,57 Suy B  0, 75 k Xét dãy lặp: X k 1  BX k  g Chọn k x0   0, 0,  tùy ý x1 x2 x3 0,19 0,2207 0,2354 0,2424 0,97 1,0703 1,0988 1,1088 -0,14 -0,1915 -0,2118 -0,2196 k x1 x2 x3 0,2454 0,2467 0,2472 0,2474 0,2475 1,1124 1,1138 1,1143 1,1145 1,1145 -0,2226 -0,2237 -0,2241 -0,2243 -0,2243 �x1  0, 2475 � �x2  1,1145 �x  0, 2243 Vậy nghiệm hệ là: �3 C.KẾT LUẬN SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 18 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Dưới hướng dẫn Thầy Nguyễn Thanh Phong em hoàn thành tiểu luận Qua tiểu luận em biết cách vận dụng nguyên lý ánh xạ co Banach vào giải tập dạng toán: Chứng minh sựu hội tụ dãy, giải phương trình đại số siêu việt, giải gần hệ phương trình tuyến tính khơng có cơng thức nghiệm Nhưng kiến thức hạn chế phải dựa vào nguồn tài liệu tham khảo mạng có sẵng Đây tiểu luận chuyên ngành không tránh khỏi sơ sài sai sót Xin góp ý cảu thầy Em xin chân thành cảm ơn! D.TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 19 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập [1] TS Nguyễn Hồng – Giáo trình không gian mêtric – Nhà xuất Đà Nẵng 2006 [2] Bài tiểu luận Lê Thị Kiều Trang [3] http://d.violet.vn/uploads/resources/558/2050690/preview.swf E.NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 20 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 21 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập F TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 22 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập G NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 23 ... tài nghiên cứu làm tiểu luận em: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập nhằm giúp sinh viên giải dễ dàng dạng tập Mục đích nghiên cứu: Giúp sinh viên giải tập dựa vào áp dụng nguyên lý ánh xạ. .. CHƯƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI BÀI TẬP 2.1 Ánh xạ co Định nghĩa 1.2.1 Cho ánh xạ f từ tập X vào Phần tử cho gọi điểm bất động ánh xạ f Bây cho X không gian mêtric f ánh xạ từ X vào X,... f(x) = Cos x Trên đoạn [0,1] ta có f’(x) = - Sin x, Nếu f ánh xạ co SVTH: Phan Ngọc Bích DT13STH01 Trang 10 Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải tập Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có