ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO ĐỂ GIẢI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bản chất của giới hạn dãy số là khi n càng lớn thì các số hạng của dãy càng gần nhau “co lại theo nghĩa khoảng cách”. Việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” để chứng minh một dãy số có giới hạn sẽ trở nên hiệu quả và dễ dàng cho nhiều lớp bài toán dạng x f x n n 1  ( ). Qua các bài thi từ cấp tỉnh, khu vực và Quốc gia trong năm học 2014 – 2015, tôi nhận thấy ngoài các cách giải thông thường thì việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” sẽ trở nên nhẹ nhàng và hiệu quả. Bài viết sau đây sẽ cho thấy được điều này.

Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO ĐỂ GIẢI TỐN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Lời nói đầu: Bản chất giới hạn dãy số n lớn số hạng dãy gần “co lại theo nghĩa khoảng cách” Việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” để chứng minh dãy số có giới hạn trở nên hiệu dễ dàng cho nhiều lớp toán dạng xn1  f ( xn ) Qua thi từ cấp tỉnh, khu vực Quốc gia năm học 2014 – 2015, nhận thấy ngồi cách giải thơng thường việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” trở nên nhẹ nhàng hiệu Bài viết sau cho thấy điều II Nội dung: Kiến thức chuẩn bị: 1.1 Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c  (a; b) thỏa mãn: f(b)–f(a)=f’(c)(b – a) 1.2 Tiêu chuẩn Cauchy hội hội dãy số: a) Định nghĩa dãy Cauchy: Dãy số  un  gọi dãy Cauchy (dãy bản)   cho trước, có số tự nhiên N cho m, n  N , ta có um  un   b) Định lý: Dãy số  un  hội tụ  un  dãy Chứng minh: i) Điều kiện cần: Giả sử lim un  a Khi với số   cho trước, ln tồn số tự  Từ suy m, n  N , ta có um  un  um  a  a  un  um  a  un  a   Suy  un  dãy nhiên N cho, n  N , ta có un  a  ii) Điều kiện đủ: Giả sử  un  dãy Trước tiên ta chứng minh dãy  un  bị chặn Thật với   1, tồn N cho m, n  N , ta có um  un  , cố định m  N  , ta có un  uN 1   un  M ,n * Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số Như vậy, dãy  un  bị chặn Theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass, tồn   dãy unk hội tụ, giả sử lim unk  a Khi với   cho trước, tồn số tự nhiên N1 , cho nk  N1  unk  a   Mặt khác  un  dãy bản, nên tồn số tự nhiên N , cho  m, n  N2  um  un  Chọn N  max  N1 , N2  lấy nk  N n  N , ta có un  a  un  unk  unk  a  un  unk  unk  a      Vậy lim un  a Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, xét hội tụ dãy  un  , 1   , n  * n Lời giải: Ta thấy với n bất kỳ, đặt m  2n , với un   u2 n  un  1 1   n  n 1 n  nn nn Như vậy,  un  dãy bản, suy  un  khơng hội tụ Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, xét hội tụ dãy  un  , 1   , n  * 2 n Lời giải: Giả sử m  n bất kỳ, ta có: với un   um  un   n  1   n  2  m2 1 1 1 1           n n 1 n 1 n  m 1 m n m n n   1 Như vậy, cho trước   bé tùy ý, chọn số tự nhiên N     1,   đó: m, n  N um  un   hay  un  dãy Vậy dãy  un  hội tụ Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số Nguyên lý ánh xạ co: a) Định nghĩa: Cho I khoảng đóng, hàm số f : I  I gọi hàm số co I tồn số thực q,  q  cho f ( x )  f ( y)  q x  y , x, y  I b) Tính chất: Cho I khoảng đóng bị chặn, f hàm số co I dãy số xn xác định xn1  f ( xn ) hội tụ Giới hạn dãy số nghiệm I phương trình x  f ( x ) Chứng minh: Với m  n , áp dụng định nghĩa hàm số co ta có: xm  xn  f  xm1   f  xn1   q xm1  xn1  q f  xm2   f  xn2   q2 xm2  xn2   qn xmn  x0 (*) Suy ra: xn  x0  xn  xn1  xn1  xn2   x1  x0  qn1 x1  x0  qn2 x1  x0   q0 x1  x0  q n 1 q n 2 qn  1   1 x1  x0  x1  x0  x1  x0 q 1 1 q Suy dãy  xn  bị chặn Mặt khác, q  xmn  x0 bị chặn nên lim qn xmn  x0  Tức   cho trước, N  cho m, n  N , ta có qn xmn  x0   Suy xm  xn  qn xmn  x0   hay  xn  dãy Chứng minh f có điểm bất động Thật vậy, giả sử f có hai điểm bất động L1 , L2 , tức L1  f (L1 ), L2  f (L2 ) Do f ánh xạ co nên f (L1 )  f (L2 )  q L1  L2  L1  L2  q L1  L2 q  nên L1  L2 c) Áp dụng: Ví dụ Đề thi Olympic cấp tỉnh 2015: (Toán 11) Đề bài: Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:   x1     xn1   xn  1, n  1,2,3, Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Tạ Ngọc Bảo – THPT chun Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số Lới giải: Xét hàm số f  x    x  khoảng  2;3 Ta có f '  x   x   x   1, x  (2;3) Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   2;3 Do f '  c   nên tồn số q  cho f '  c   q f  x   f  y   q x  y hay f  x  ánh xạ co, theo tính chất dãy số cho hội tụ Cách giải khác: Phân tích: Đây tốn vể dãy số, đa số học sinh làm câu Dễ thấy dãy số tăng ( x2   17  x1  ), Giả sử dãy có giới hạn giới hạn phải thỏa mãn phương trình: x   8x   x  Ta dự đoán dãy cho bị chặn số Lời giải: Ta có: xn  2, n  1,2, Ta lại có: x1  2, x  Theo nguyên lý quy nạp suy xn  3, n  1,2, Do  xn  3, n  1,2, Bằng quy nạp ta chứng minh  xn  dãy tăng bị chặn nên hội tụ Đặt li mx n  x , đó: x2   8x   x2    8x   x    x 3 (VN )   8x   Vậy li mx n  Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số Ví dụ Đề thi HSG Tỉnh năm 2015: Đề bài: Cho daỹ số (un ) xác định công thức: u1   Hãy tiń h lim un  a 1 3  * u  u  ,  n    n1  n u  n    Lời giải: Dễ dàng dự đoán dãy số dương giảm 1 3 Đặt f  x    x   , x   0;3 3 x  Ta có f '  x   2   , x   0;3 x3 Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   0;3 Do f '  c   nên tồn số q  cho f '  c   q f  x   f  y   q x  y hay f  x  ánh xạ co, theo tính chất dãy số cho hội tụ Ví dụ Đề thi HSG Quốc gia năm 2015: Cho a số thực không âm dãy số (un ) xác định bởi: n2 u1  3, un1  un  un2  , với ( n  ) 4n  a a) Với a  , chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) Với a  0;1 , chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Lời giải: 1 un  a) Với a  ta có u1  3, un1  un  1 x  khoảng  0;3 Xét hàm số f  x   x  1 x  , x   0;3 Ta có f '  x    x2  Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   0;3 Do f '  c   nên tồn số q  cho f '  c   q Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số f  x   f  y   q x  y hay f  x  ánh xạ co, theo tính chất dãy số cho hội tụ n2 n2 b) Với a  0;1 , ta có   Do đó: 4n  4n  a n2 1 un  un2   un1  un  un  4n  Xét hai dãy  xn   yn  sau:  y1   x1    ,  1 n2 x  x  x  y  y  yn2  n 1 n n n 1 n    4n   Ta có yn  un  xn ,n * Theo câu a) ta có lim xn  , ta cần phải chứng minh lim yn  n2 Xét hàm số f  x   x  x  3, x   0;3 , n tham số 4n  Ta có f '  x   n2 x   , x   0;3 , n 4n  x  Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   0;3 Do f '  c   nên tồn số q  cho f '  c   q f  x   f  y   q x  y hay f  x  ánh xạ co, theo tính chất dãy số cho hội tụ Mặt khác f hàm liên tục, gọi lim yn  L , chuyển qua giới hạn ta được: 1 L L L   L  Vậy lim yn  Áp dụng định lý giới hạn kẹp, ta suy lim un  d) Bài tập đề nghị: Bài 1: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực {xn} xác định bởi: x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với n = 1, 2, 3, … Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vơ Tạ Ngọc Bảo – THPT chun Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số xn Bài 2: Cho dãy số {xn} xác định x0  xn1  với n=0, 1,… Chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn  x1  2015  Bài 3: Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:  x  3  n1  xn x 1 n n  1 Chứng minh dãy số (xn) bị chặn Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn tìm giới hạn u1   Bài 4: Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  , n  n   u  n  Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn u1  a  1;   Bài 5: Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2 un1   un  , n   Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn III Kết luận: Từ phân tích trên, ta thấy tính hiệu việc giải tốn tìm giới hạn dãy số thông qua việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” Trong trình bồi dưỡng cho học sinh đội tuyển, người thầy trang bị đầy đủ kiến thức việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” cho học sinh giúp em có cách nhìn nhận tốn góc độ khác việc tìm lời giải Tài liệu viết khoảng thời gian ngắn, khơng tránh khỏi sai sót, kính mong quý đồng nghiệp em học sinh góp ý để viết có tính hữu dụng cao Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số IV Tài liệu tham khảo: Nguyễn Tài Chung (2013), chuyên khảo dãy số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Nam Dũng (2013), Gặp gỡ toán học 2013, ĐH KHTN TP HCM Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ, lời giải bình luận đề thi VMO 2015 Internet Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh ...  1,2,3, Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số Lới giải: Xét hàm số f  x  ... 2, 3, … Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn dãy số xn Bài 2: Cho dãy số {xn} xác... n   Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn III Kết luận: Từ phân tích trên, ta thấy tính hiệu việc giải tốn tìm giới hạn dãy số thông qua việc sử dụng nguyên lý ánh xạ co Trong