CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ

Lượng giác đóng vai trò quan trọng trong toán dãy số: không những là một dạng toán khó mà còn là một phương pháp giải. Phương pháp mà ta sẽ đề cập trong phần này chính là phương pháp lượng giác hóa các bài toán. Tuy vậy, khác với các phần toán dãy số trước, phương pháp này không hề có cơ sở hay định lý rõ ràng nào, mà cần nhiều sự khéo léo cũng như tất cả kiến thức giải tích và lượng giác. Do vậy, thông qua từng bài toán, ta sẽ tìm được lối đi riêng cho bản thân.

Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TÓAN DÃY SỐ Đặng Hồng Vinh – THPT Trần Hưng Đạo Lượng giác đóng vai trò quan trọng tóan dãy số: khơng dạng tóan khó mà phương pháp giải Phương pháp mà ta đề cập phần phương pháp lượng giác hóa tóan Tuy vậy, khác với phần tóan dãy số trước, phương pháp khơng có sở hay định lý rõ ràng nào, mà cần nhiều khéo léo tất kiến thức giải tích lượng giác Do vậy, thơng qua tóan, ta tìm lối riêng cho thân CÁC BÀI TÓAN CHỌN LỌC: Bài 1: ( Tổng quát 3, Olympic 30/4/2005 ) Cho hai dãy {an},{bn} sau: a < b cho trước a1  ab a2  an  ; b1  b.a1 a1  b1 ; b2  a2 b1 an 1  bn 1 ; bn  an bn1 a.Tìm lim bn n  b.Tìm lim an n  Nhận xét: Bài tốn giấu tính lượng giác khéo Ta quan sát thật kĩ, a< b nên ta đặt a a sin   Vậy nên chọn sin hay cos? b b Ta thử đặt: cos   - Nếu sin   a a  b b  sin   1 : a1   b 2 b1  a1 b  b2   sin   1 sin   Ta giải tiếp Vậy ta không đặt với sin - Nếu cos   b  cos   1 a   b cos2 : a1  b 2 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh b1  b cos   b cos  ! Vậy ta tiến hành giải Giải: a.Đặt cos   a b   0     2    a1  b cos Ta có  b  b cos   a1  b1 b       a2    cos  cos   b cos cos 22     b  a b  b cos  cos   b cos  cos   2 22 22 Bằng quy nạp ta dễ dàng có:   b.sin  cos n     an  b.cos cos n 1 cos n   2  2n.sin n     b.sin   bn  b.cos cos n 1 cos n   2  2n.sin n   b Vậy: bn  2n.sin  lim bn   sin b sin   n  b.Ta có: an  bn cos n  n  b sin  n  lim an  2n  b sin    2n lim cos n   n  b sin   Chú ý: Với a=2005, b=2006 ta có Olympic 30/4/2005 Bài 2: ( Kỳ thi quốc gia lần XXXI-1993 ) Cho a0 = 2,b0 = Lập hai dãy số{an},{bn}với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau: 2a b an 1  n n ; bn1  an1 bn an  bn Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh Chứng minh dãy {an},{bn} có giới hạn n   Tìm giới hạn Nhận xét: Dễ thấy dãy {an} dãy trung bình điều hòa, {bn} dãy tựa trung bình nhân Để chứng minh hai dãy giới hạn thiết phải tìm cơng thức tổng qt Trong trường hợp này, lượng giác hóa biện pháp tối ưu Giải: Ta ý: a0   a1  1  , b0  1  cos 2a0 b0 2    1   a0  b0  cos  cos a0 b0 b1  a1b0   cos Từ đó, quy nạp, ta chứng minh rằng:       an   cos cos cos n1 cos n  2.3 3   1 1       bn   cos cos cos n1 cos n  n  2.3 3   Lưu ý rằng: cos Ta có: an   2.3 cos 2n.sin sin   .cos 2  n 1  n 1 ; bn  cos  cos sin 2n.3  n sin   n  2n.3  2n.sin n  sin 2n.3 (2)  Từ (1), (2) tồn lim an lim bn n  n  Ngòai ra: lim an  lim n  n  2n.sin sin   cos lim bn  lim an lim cos n  n  n   n   sin n  n 3    3 3 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh Vậy hai dãy { an },{ bn }có giới hạn chung 3 Bài 3: Cho dãy {un} xác định bởi: un  2n    (n+1 dấu căn) Tìm lim un n  Giải: Đây toán đơn giản quen thuộc Ta chứng minh:  1 2n1 Rõ ràng với n = (1) hiển nhiên     2cos Giả sử n = k, nghĩa là: vk  2cos Xét: vk 1   vk   2cos   2.2cos 2 k 2  2cos  2k 1  2k 1  2k  Vậy (1) n = k+1, suy (1) với n Ta có: un  2n    2n  2cos  2n 1.sin  n2  2n1   2n 2.sin n 2  Từ ta có: lim un  lim 2n  2.sin n n  n  2  lim  n   sin 2n   2n   lim un  n   Bài 4: (Olympic 30/4/2003) u1   Cho dãy{un}định bởi:  un   u  n     un    Tính u2003 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh Nhận xét: Bài giải theo hai hướng: Hướng (hướng bản): Ta đưa dạng: un 1  aun  b cuu  d Sau thực hiên tuyến tính hóa, dùng phương trình sai phân tính cơng thức tổng qt Hướng 2: Ta ý quan sát công thức xác định dãy giống với công thức lượng giác mà ta biết? Câu trả lời : tg  a  b   tga  tgb  tga.tgb Vậy ta giải theo cách Giải: u1   Ta có:  u n    * un 1    un   Ta biết: tg  tg    1  2tg     tg       tg  Từ (*) ta có: un 1  un  tg  un tg  tg   1  1  Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) u1  suy   Suy ra: un  tg    n  1  8 3      Vậy: u2003  tg   2002   tg       8 3 3 4   Bài 5: (Bài tóan đề nghị Olympic 30/4/2008) u  e   Cho dãy {un} sau: u2  e  un 1un 1  un  n   Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh a.Chứng minh rằng:  un  e; n   e b Lập dãy số {vn} biết:   u1 u2 un  n Tìm lim n  Nhận xét: Trước hết ta trả lời cho câu hỏi: Có thể tiến hành lượng giác hóa cho tóan hay khơng? Để trả lời, ta cần quan sát thật kĩ điều kiện: 3 e e2 e e e e cos cos   Vậy ta tiến hành giải Giải: a Ta chứng minh un  0, n   Thật u1  0, u2  Giả sử un  0, n  k uk  Vậy un  0, n   uk 1 Ta có uk 1  Ta lại có: e e e e  e2  e Giả sử un  e cos n cos cos  2 , n  k n  cos u e Ta có un 1  n   e  n 1 cos un 1 e cos un  e Vậy cos n n 1 , n   cos n6  e hàm đồng biến  Ta lại có  e e  đpcm b Ta có:  u1 u2 un  e n 1  2 n   cos  cos   cos  n 6  Đến áp dụng cơng thức tính tổng 1, chương I, ta có:  e n sin   sin   12  n 1 12 sin    12  e n sin  cos  n 1 12 sin n 12 12 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo 1 Mặt khác ta có: n sin 1 Mà lim n  n sin    GV: Đặng Hồng Vinh cos  n  1  12 n.sin 12  lim n  12 n sin sin  n 12  n sin 12  12 0  12 Vậy lim  e  n  Bài 6: (Tạp chí tóan học tuổi trẻ năm 2005) Dãy {hn} cho điều kiện h1    hn2 hn 1  2 ; n  n Đặt Sn   hi ; n   Hãy chứng minh rằng: lim Sn  1, 03 n  i 1 Nhận xét: Bài tóan khơng lượng giác hóa vào bế tắc Thật vậy, phương pháp sai phân khơng thể giải tóan có nhiều Bây ta ý đại lượng  hn2 , điều cho ta cảm giác gần giống công thức  sin x hay  co s2 x ! Vậy ta tiến hành giải Giải: Ta có: h1      sin  sin  h2  sin 2 3.2 3.2 Ta chứng minh rằng: hn  sin Giả sử rằng: sin hk  sin   sin hk 1   3.2n  3.2k  k 3.2   cos  3.2k  sin  3.2k 1   Mặt khác: sin x  x; x   0;   2 n Nên: Sn   hi  i 1      sin   sin n     n 3.2 3.2 3.2 3.2    3.2 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh Do Sn dãy tăng nên lim Sn  n     1, 03 3.2  đpcm Bài 7: Cho dãy {un} {vn} sau:  u0    u    u n  n 1 v0     vn2  vn 1   Chứng minh rằng: 2n2.un    2n2.vn Nhận xét: Với dãy {un} ta thấy có biểu thức  un2 , ta nghĩ đến lượng giác hóa sin, cos Còn dãy {vn}? Câu trả lời nằm biểu thức  vn2 v0  , cho ta suy nghĩ nên sử dụng hàm tg cotg Giải:     sin , u1   cos  sin 2 2 Ta có: u0  Vậy: un     cos n1  sin n 2 2 Tương tự: v0   tg  tg  tg  22   2n 1  cos 2n 1 tg 2n 1 1   tg   2n  2n 1   Bằng cách xét: f  x   sin x  x , g  x   tgx  x; x   0;   2   Ta suy ra: sin x  x  tgx; x   0;   2 Khi đó: sin  n2   n2  tg  n2  2n2.un    2n2.vn  đpcm Bài 8: (Kỳ thi quốc gia lầnXXV-1987) Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu u1   1987 Chuyên đề Lượng giác tốn dãy số (BDHSG), 2015-2016 cơng sai  3974 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh Tính giá trị: S   cos  u1  u2  u1987  tổng  chứa tất số hạng ứng với tất cách khác để lấy dấu cộng hay trừ trước số u1 , u2 , , u1987 Nhận xét: Ta thấy số 1987 cố ý cho trùng với năm thi Điều chứng tỏ tổng quát hóa tóan Đơi việc khiến tóan dễ dàng khơng che giấu tóan ngun thủy Giải: Ta chứng minh từ tóan tổng quát Bài tóan thực chất là: u j  (kí hiệu dãy)  cos  u1  u2  u1987   2n. cos u j n n j 1 Ta chứng minh quy nạp: Với n = 1: cos u1  cos  u1   2cos u1 Với n = 2: cos  u1  u2   cos  u1  u2   cos  u2  u1   cos  u1  u2   2cos u1 cos u2  2cos  u1  cos u2  4cos u1.cos u2 Giả sử tóan với n, đó: n 1 n   2n 1  cos u j   2n. cos u j  cos un 1 j 1  j 1    cos  u1  u2  u1987  cos un1   cos  u1  u2  u1987  1987 Trở lại tóan ta có: S  21987  cos u j j 1 Do {uj} cấp số cộng nên: u1987  u1  1985d   1987  1985   2.1987 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 ...      8 3 3 4   Bài 5: (Bài tóan đề nghị Olympic 30/4/2008) u  e   Cho dãy {un} sau: u2  e  un 1un 1  un  n   Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường...   3 3 Chuyên đề Lượng giác toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 Trường THPT Trần Hưng Đạo GV: Đặng Hồng Vinh Vậy hai dãy { an },{ bn }có giới hạn chung 3 Bài 3: Cho dãy {un} xác định bởi: un ... 30/4/2005 Bài 2: ( Kỳ thi quốc gia lần XXXI-1993 ) Cho a0 = 2,b0 = Lập hai dãy số{ an},{bn}với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau: 2a b an 1  n n ; bn1  an1 bn an  bn Chuyên đề Lượng giác toán dãy số