chuyên đề lượng giác và các bài toán liên quan - đặng văn cường

ĐẶNG VĂN CƯỜNG Chuyên đề  CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 10,11,12 VÀLUYỆN THI ĐẠI HỌC TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:  PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN LƯNG GIÁC  TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.  HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ. NĂM 2014 t N M K O Q P A B y x z cotx sinx cosx tanx Chuyên đề Lượng Giác Trang 2 2  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com N NH  th qu: 1/ 22 sin cos 1 2/ sin tg cos 3/ cos cot g sin 4/ 2 2 1 1 tg cos 5/ 2 2 1 1 cotg sin 6/ tg .cotg 1 c cng - tr: 1/ sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa 2/ sin(a - b) = sina.cosb -sinb.cosa 3/ cos(a + b) = cosa.cosb -sina.sinb 4/ cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb 5/ tga + tgb tg(a + b) = 1- tga.tgb 6/ tga - tgb tg(a - b) = 1+ tga.tgb 7/ cotga.cotgb -1 cotg(a + b) = cotga + cotgb cotgacotgb +1 8 / cotg(a - b) = cotga - cotgb  1/ 22 sin2a 2 sin a.cosa sin a cosa 1 1 sin a cosa 2/ 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a 3/ 2 2tga tg2a 1 tg a 4/ 2 cot g a 1 cot g2a 2 cot ga c  1/ 3 sin 3a 3sin a 4 sin a 2/ 3 cos3a 4 cos a 3 cosa 3/ 3 3 3tga tg a tg3a 1 3tg a 4/ 3 2 cot g a 3cotga cot g3a 3 cotg a 1 c h bc hai: 1/ 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a 2/ 2 2 2 1 cos2a cot g a cos a 2 1 cotg a 3/ 2 1 cos2a tg a 1 cos2a 4/ 1 sin a cos a sin2a 2 tusachvang.net Chuyên đề Lượng Giác Trang 3 3  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com c h bc ba: 1/ 3 1 sin a 3 sina s in3a 4 2/ 3 1 cos a 3 cos a cos 3a 4 c biu din sin x,cos x, tgx qua tgx t 2 : 1/ 2 2t sin x 1t 2/ 2 2 1t cos x 1t 3/ 2 2t tgx 1t 4/ 2 1t cot gx 2t c bing: 1/     1 cos .cos cos cos 2 a b a b a b       2/     1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b        3/     1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b       c bii t 1/ a b a b cos a cos b 2 cos .cos 22 2/ a b a b cos a cos b 2 sin .sin 22 3/ a b a b sin a sin b 2 sin .cos 22 4/ a b a b sin a sin b 2 cos .sin 22 5/ sin(a + b) tga + tgb = cosa.cosb 6/ sin(a - b) tga - tgb = cosa.cosb 7/ sin(a + b) cotga + cotgb = sina.sinb 8/ -sin(a - b) cotga - cotgb = sina.sinb 9/ cos(a - b) tga + cotgb = cosa.sinb 10/ 2 tga cot ga sin2a tusachvang.net Chuyên đề Lượng Giác Trang 4 4  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com 11/ cos(a + b) cotga - tgb = sina.cosb 12/ cotga tga 2cotg2a  cc bit: 1/ Góc đối: 2/ Góc bù: 3/ Góc sai kém : sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot                       aa aa aa aa cotcot tantan coscos sinsin                 aa aa aa aa cotcot tantan coscos sinsin         4/ Góc phụ: aa aa aa aa tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin                                     5) Góc sai kém 2  : aa aa aa aa tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin                                     XI. B c c bit: Góc Hàm số 0 0 0 6  0 30 4  0 45 3  0 60 2  0 90 sin 0 1/ 2 2 / 2 3 / 2 1 cos 1 3 / 2 2 / 2 1/ 2 0 Tan 0 3 / 3 1 3 || cot || 3 1 3 / 3 0 c nghim: 1. 2 sin sin , 2 x a k x a k x a k             2. 2 cos cos , 2 x a k x a k x a k             3. tan tan ,x a x a k k       4. cot cot ,x a x a k k       XVI: Mt s nghic bit : sin 0x x k       kxx  2 0cos   2 2 1sin kxx   21cos kxx    2 2 1sin kxx   21cos kxx  XVII : Mt s c bit : tusachvang.net Chuyờn Lng Giỏc Trang 5 5 12 LUYN THI 0908.77 2324 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com 1/ sin cos 2sin 4 2 / sin cos 2 sin 4 x x x x x x 3/ cos sin 2 cos 4 4 / cos sin 2 cos 4 x x x x x x 4 4 2 1 5/ sin cos 1 sin 2 2 x x x 6/ 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x Vaỏn ủe 1 : BIEN ẹOI LệễẽNG GIAC : Chng minh cỏc ng thc sau : 1) 2 2 2 2 tan sin tan .sinx x x x 2) tan sin cos sin cot xx x xx 3) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin x x x 4) 2 2 2 1 cos 1 2cot 1 cos x x x 5) 22 2 22 2(cos sin ) sin 2 cot tan xx x xx 6) 2 2 2 2 1 tan 1 1 tan cos sin x x x x 7) (sin cos 1)(sin cos 1) 2sin .cosx x x x x x 8) 2 1 2cos tan cot sin .cos x xx xx 9) 2 2 2 2 sin (1 cot ) 3(1 tan )cos 2x x x x 10) cos 1 tan 1 sin cos x x xx 11) 2 2 2 4 cos (2sin cos ) 1 sinx x x x 12) 2 1 2sin 1 tan 1 2sin cos 1 tan xx x x x 13) 4 4 2 cos sin cos (1 tan )(1 tan )x x x x x 14) 2 2 1 (sin cos ) 2cot tan sin .cos xx x x x x 15) 2 22 1 1 cos tan .cot cos 1 sin x xx xx 16) sin 1 cos 2 1 cos sin sin xx x x x 17) 2 2 4 2 tan sin sin (1 tan )x x x x 18) 2 2 tan cot 1 .1 cot 1 tan xx x x 19) 2 1 cos 1 cos 4cos (1 cot ) 1 cos 1 cos xx xx xx 20) sin 1 cot 1 cos sin x x xx : Rỳt gn gn biu thc : 1) A = cos 2 x + cos 2 x.tg 2 x 2) B = sin 2 x.cotg 2 x + sin 2 x tusachvang.net Chuyên đề Lượng Giác Trang 6 6  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com 3) C = 2 2cos 1 sin cos x xx   4) D = 2 2sin 1 sin cos x xx   5) E = 22 sin (1 cot ) cos (1 tan )x x x x   6) F = 2 2 2 1 sin 2tan 1 sin x x x    7) G = 2 2 2 2 cos (1 tan ) sin (1 cot )x x x x   8) H = 11 cot cot sin sin xx xx           9) K = 2 2 2 2 2 cos (1 sin .tan cos .tan )x x x x x 10) L = 2 22 2 4tan 1 cos 3sin 1 tan x xx x     : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x: 1) A = 2(cos 6 x + sin 6 x) – 3(cos 4 x + sin 4 x) 2) B = xcos.xsin xtg 22 2 - (1 + tg 2 x) 2 3) C = tgx xcos gxcot xsin    11 22 + sinx.cosx 4) D = gxcot xcos.xsin xgcot xcosxgcot   2 22 5) E = 3(sin 8 x – cos 8 x) + 4(cos 6 x - 2sin 6 x) + 6sin 4 x 6) F = 2 22 tan 1 cot . tan 1 cot xx xx   7) G = 2(sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x.cos 2 x) 2 – sin 8 x – cos 8 x 8) H = 22 22 1 sin cos sin .cos xx xx  9) K = 4 4 2 2 (sin cos 1)(tan cot 2)x x x x    10) L = 2 2 2 2 22 tan cos cot sin sin cos x x x x xx   : Chứng minh các đẳng thức sau: 1) 00 00 1 tan(90 ) tan(180 ) 1 1 cot(360 ) cot(270 ) 1 xx xx          2) 00 00 cot(270 ) cot(360 ) 1 .1 1 tan(180 ) cot(180 ) xx xx        3) 0 0 0 6 sin15 tan30 cos15 3  4) 0 0 1 1 4 cos290 3sin250 3  5) 0 0 0 0 0 8 tan30 tan40 tan50 tan60 cos20 3     6) 2 4 6 1 cos cos cos 7 7 7 2        : Chứng minh trong tam giác ABC: 1) sinA sin sin 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C BC   2) sin2A sin2 sin2 4sinA.sin .sinB C B C   3) cos2A cos2 cos2 1 4cos .cos .cosB C A B C     4) cos cos cos 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C A B C    5) 2 2 2 sin A+sin sin 2 2cos .cos .cosB C A B C   tusachvang.net Chun đề Lượng Giác Trang 7 7  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com : Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi: BbAaAbBa sinsincoscos  : Chứng minh rằng trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau: Cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 thì tam giác đó là tam giác vuông. : Gọi A,B,C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức: 3)cotcot(cot sin 1 sin 1 sin 1  CBA CBA 9: Các góc A, B,C của tam giác ABC thoả mãn: 2 sin2 2 sin 2 sin2sinsinsin CBA CBA  Chứng minh rằng C = 120 0 . 10: Tam giác ABC thoả mãn hệ thức: 2 1coscoscos    cba CcBbAa Chứng minh tam giác này là tam giác đều. 11: Cho tam giác ABC có hệ thức sau: CB a C c B b sinsincoscos  . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. 12: Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi: BbAaAbBa sinsincoscos  Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân. Vấn đề 2 : ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC tusachvang.net Chuyên đề Lượng Giác Trang 8 8  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com  :  Đối với phương trình chỉ chứa sinx hoặc cosx thì không đặt điều kiện.  Đặt điều kiện đối với phương trình chứa tan x và cot x : - Phương trình chứa tan x thì đặt điều kiện : cos 0 , 2 x x k k        . - Phương trình chứa cot x thì đặt điều kiện : sin 0 ,x x k k      .  Đặt điều kiện đối với phương trình chứa mẫu thức. Điều kiện mẫu khác 0.  Đặt điều kiện đối với phương trình chứa căn thức. Điều kiện biểu thức bên trong căn lớn hơn bằng 0. Nếu căn dưới mẫu điều kiện lớn hơn 0.  Nếu phương trình chứa đồng thời các yếu tố trên thì đặt điều kiện cho tất cả các điều kiện đó. GII a) sin tan 0xx Điều kiện : cos 0 , 2 x x k k        b) 2cos2 3cot2 0xx Điều kiện : sin2 0 2 , . 2 k x x k x k         GII a) 1 sin tan 0 cos tan 1 x x xx     Điều kiện : cos 0 2 , tan 1 4 xk x k x xk                     b) 22 sin2 cos 0 tan 1 sin xx xx    1: Đặt điều kiện cho các phương trình lượng giác sau: a) sin tan 0xx b) 2cos2 3cot2 0xx  2: Tìm điều kiện xác định các phương trình lượng giác sau: a) 1 sin tan 0 cos tan 1 x x xx     b) 22 sin2 cos 0 tan 1 sin xx xx   tusachvang.net Chun đề Lượng Giác Trang 9 9  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com Điều kiện : sin 0 , cos 0 2 2 xk x k xk x xk                    BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm tập xác định các phương trình lượng giác sau : 1) 1 tan2 cos 0 sin2 1 xx x     2)   44 sin cos 1 tan cot sin2 2 xx xx x   3) 3 2 1 tan 1 3cot 3 2 cos xx x          4) 1 sin2 0 cot 2 x x   5) 1 tan sin2 cos2 2(2cos ) 0 cos x x x x x      6) (tan cot )sin 0 2cos 3 x x x x    7) 2 cos2 1 cot 1 sin sin2 1 tan 2 x x x x x      8) x xx xx sin22 coscot )cot(cos3    9) 3(cotgx – cosx) – 5(tgx –sinx) = 2. 10) 2 tan2 cot 8cosx x x Vấn đề 3 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. tusachvang.net Chuyên đề Lượng Giác Trang 10 10  12 LUYN THI   0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com I.  : 1. Hàm số sinx : sin: sinx y x    Tập xác định của hàm số sinyx là D  .  Hàm sin là hàm lẻ.  Hàm sin là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2.  Tập giá trị của hàm số sinyx là đoạn [-1 ;1]. 2. Hàm số cos : cos: cosx y x    Tập xác định của hàm số cosyx là D  .  Hàm cos là hàm chẵn.  Hàm cos là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2.  Tập giá trị của hàm số cosyx là đoạn [-1 ;1]. 3. Hàm số tan : Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức : sin (cos 0) cos x yx x  . Ký hiệu là : tanyx .  Tập xác định của hàm số tanyx là \, 2 D k k         .  Hàm tan là hàm lẻ.  Hàm tan là hàm số tuần hoàn chu kỳ .  Tập giá trị của hàm số tanyx là R. 4. Hàm số cot : Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức : cos (sin 0) sin x yx x  . Ký hiệu là : cotyx .  Tập xác định của hàm số cotyx là   \,D k k   .  Hàm cot là hàm lẻ.  Hàm cot là hàm số tuần hoàn chu kỳ .  Tập giá trị của hàm số cotyx là R. II.  LN NHT  TR NH NHT C  : Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác ta dựa vào miền giá trị của hàm số đó : - Hàm sinyx là đoạn [-1,1]. tusachvang.net [...]...  t  [-1 ; 1] Chun đề Lượng Giác Trang 12 tusachvang.net U N TO N 12 LUYỆN THI O N – 13 Ọ  0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com Bài tốn trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số: g (t )  2t  2t  1 với t  [-1 ;1] 2 Hàm số g (t )  2t  2t  1 liên tục trên [-1 ;1] 2 1 g ' (t )  4t  2  g ' (t )  0  4t  2  0  t     1;1 2 Ta có: g(1) = 3; g (-1 ) = -1 ; g (- ½) = - 3/2 ... giác trong các kỳ thì (trong đó có kỳ thi Đại Học) thường chúng ta tìm cách đưa về dạng tích các phương trình lượng giác cơ bản và đi giải từng phương trình ở dạng tích đó chúng ta đã biết cách giải ở trên Sau đây chúng tơi sẽ trình bày một số cách để đưa về dạng tích đó Phương pháp 1: Dùng cơng thức tổng thành tích: Chun đề Lượng Giác Trang 24 tusachvang.net U N TO N 12 LUYỆN THI O N – 25 Ọ  0908.77... 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau: 3 1) sin 2 x  2 3) tan(x+750) = 5) 3 2 cos 2 x  1 7) cos x  3 sin x 1 9) cot 4 x   0 2  2 0 6 2 3 4) cot(2x +150) = 3   1 6) cot   x   3 4  8) 3 tan x  1  0 2) cos(2 x  ) 10) 2cos(2 x  1)  1 Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau: 3     1) cos  2 x    sin... Bài 3 : Giải các phương trình lượng giác sau: 1 1) sin 2 x  2 3 3) cos 2  x  300   4 1 5) cos 2 x   1 2   2) tan 2   2 x   3  0 3  1 1 4) sin x   2 2 6) tan x  2  2 Bài 4 : Giải các phương trình lượng giác sau:   1) sin  x   2.cos x  2 tan x  0 4  3) sin x  1 4sin x cos x  1  0   2) 1 2.cos 2x    3  2sin x  0 4) cot 2 x  2 tan x  sin 2 x   0 Chun đề. ..  2 tan x  sin 2 x   0 Chun đề Lượng Giác Trang 17 tusachvang.net U N TO N 12 LUYỆN THI O N – 18 Ọ  0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác Phƣơng pháp: Đưa phương trình lượng giác về phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác a sin 2 x  b sin x  c  0 (*) Đặt t = sinx, điều kiện - 1  t  1 Phương trình (*) trở... ,k   k 2   3x      2 x  k 2 x     6 5 6 3   BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải các phương trình lượng giác 2) 3cos2x – 4sin2x = 1 4) Cosx – sinx = 0 1) sinx + cosx = 1 3) sin6x + 3 cos6x = 2 5) 7) 3sin x  cos x  2  0 3 sin x  cos x  2 6) 2 sin 2 2x  sin 4x  0 8) 2 cos3x  2 sin 3x  1 Bài 2: Giải các phương trình lượng giác 1) 4cos3x  3sin3x  5  0 3) (2sin x  cos x)(1  cos x)...  0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com Hàm y  cos x là đoạn [-1 ,1] Ngồi ra chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm số và khảo sát sự biến thiên hàm số đó trên miền xác định cụ thể và tìm GTLN, GTNN trên miền giá trị đề bài - Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác sau: a) y  2  3sin x b) y  cos2 x  2 GIẢI a) y  2  3sin x Ta có: 1  sin x... DỤNG Giải các phương trình lượng giác sau: 1) 2(cosx + sinx) – 4sinxcosx = 2 3) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 5) sin3 x + cos3x = 1 7) 2sin x  cos x   sin 2x  1  0 2) 12(sinx – cosx) – 2sinxcosx –12 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 6) 3(sinx + cosx) = 2sin2x + 3 8) sin x cos x  6sin x  cos x  1 Vấn đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Giải phương trình lượng giác trong các kỳ... x  sin x  4 4) y  1) y  cos x  2 sin x  3 2 cos x  sin x  3 6) y  2 sin 2 x  3sin x cos x  5 cos 2 x 2 Vấn đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ 1: Giải các phương trình : a) sin x  1 2 b) 2cos 2 x  3  0 c) tan3x  1 Chun đề Lượng Giác d) 3cot x  3 Trang 14 tusachvang.net U N TO N 12 LUYỆN THI O N – Ọ 15  0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:dangcuongpy2012@yahoo.com... 4 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 3 : Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : 1) sin x.cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos8 x  1 16 2) sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x     1 3) sin  x  sin  x   3  3  2 5) sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 2   1   4) sin  x   cos  x    3  3 2   6) cosx cos4x - cos5x=0 7) 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x 8) sin3x.sin x  4cos x  1 Bài 4 : Giải các phƣơng t nh lƣợng giác . ĐẶNG VĂN CƯỜNG Chuyên đề  CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 10,11,12 VÀLUYỆN THI ĐẠI HỌC TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:  PHÂN CÁC. (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác ta dựa vào miền giá trị của hàm số đó : - Hàm sinyx là đoạn [-1 ,1]. tusachvang.net Chuyên đề Lượng Giác Trang 11 11 . BỐ CỤC:  PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN LƯNG GIÁC  TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.  HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ. NĂM 2014