chuyên đề phương trình và hệ phương trình dùng để luyện thi đại học cao đẳng - đặng văn cường

ĐẶNG VĂN CƯỜNG Chuyên đề DÙNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG. TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:  PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ  TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.  HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ. NĂM 2014 ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỤC LỤC Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 1 MỤC LỤC Trang Chƣơng 1 : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ . 2. Dạng 1 : Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 2. Dạng 2 : Phƣơng pháp đƣa về dạng tích 6. Dạng 3 : Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 9. Dạng 4 : Phƣơng pháp đổi biến khơng hồn tồn 15. Dạng 5 : Đặt ẩn phụ dựa vào tính chất đƣờng thẳng 16. Dạng 6 : Phƣơng pháp đánh giá 20. Dạng 7 : Phƣơng pháp hàm số 22. Dạng 8 : Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 24. Chƣơng 2 : HỆ PHƢƠNG TRÌNH 29. Dạng 1 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 29. Dạng 2 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại I ba ẩn 37. Dạng 3 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại II 40. Dạng 4 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại II ba ẩn 44. Dạng 5 : Hệ phƣơng trình đẳng cấp 48. Dạng 6 : Một số hệ phƣơng trình đặc biệt 49. PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH QUA CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG CÁC NĂM 54. ĐÁP ÁN 55. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 2 Chương 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG:  Hai phƣơng trình đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu chúng có cùng cặp nghiệm.  Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng:  Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phƣơng trình.  Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phƣơng trình cùng dƣơng.  Cộng, trừ hai vế của phƣơng trình với cùng biểu thức mà khơng làm thay đổi tập nghiệm của phƣơng trình.  Nhân, chia hai vế của phƣơng trình với cùng biểu thức khác 0 mà khơng làm thay đổi điều kiện phƣơng trình. 1) Lũy thừa hai vế của phƣơng trình: 1.1 )x(g)x(f)x(g)x(f 1k2 1k2    1.2         )x(g)x(f 0)x(g )x(g)x(f k2 k2 1.3 )x(g)x(f)x(g)x(f 1k21k2   1.4       )x(g)x(f 0)x(g )x(g)x(f k2k2  Thơng thƣờng nếu ta gặp phƣơng trình dạng: DCBA  , ta thƣờng bình phƣơng 2 vế.  Với phƣơng trình dạng: 3 33 CBA  , lập phƣơng hai vế phƣơng trình ta đƣa về dạng:   CBAB.A3BA 33 3  , thay 3 33 CBA  ta đƣợc: CC.B.A3BA 3  Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 3 Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: 5x2x10x1x  (*) Giải: Điều kiện xác định: 1x  . Bình phƣơng hai vế phƣơng trình, ta đƣợc: (*)  10x7x27x210x11x211x2 22   10x7x10x11x2 22   10x7x10x11x414x11x 222   1x10x11x 2   1x 9x9 1x 1x2x10x11x 01x 22               (thỏa điều kiện) Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = - 1.  Nhận xét: - Nâng lũy thừa bậc hai hay bậc ba là phương pháp hay dùng trong phép biến đổi tương đương. - Trước khi nâng lũy thừa bậc chẵn (ví dụ bậc hai) ta phải điều kiện giá trị biểu thức khơng âm, còn bậc lẻ (ví dụ bậc ba) khơng có điều kiện. AB điều kiện 0B  . - Khi giải xong phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình phải có thói qn đối chiếu tất cả điều kiện mới kết luận nghiệm. Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 3 33 2xx251x3  (*) Giải: Tập xác định D  . Lập phƣơng hai vế phƣơng trình, ta đƣợc: (*)  3x – 1 + 5 – 2x + 3   3 33 3 2xx251x3.)x25)(1x3(  2x)2x)(5x17x6(34x 3 2  018x39x29x62)10x39x29x6( 23 3 23         12 11 x 3x Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm : x = 3 và 12 11 x  tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 4 Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: 2x2x21x33x  (1) Giải: Điều kiện: 0x  (*) Bình phƣơng 2 vế của phƣơng trình ta đƣợc:    )1x2(x2x1x33x1)1(  Để giải phƣơng trình trên rõ ràng khơng khó nhƣng phức tạp!  Cách khác: Phƣơng trình trên sẽ giải dễ dàng nếu ta chuyển vế: 3xx42x21x3  Bình phƣơng 2 vế, ta đƣợc: 1xx12x42x8x6 22  So với điều kiện (*),phƣơng trình có 1 nghiệm x = 1.  Nhận xét: Nếu phương trình có dạng: )x(k)x(h)x(g)x(f  Nếu f(x) + h(x) = g(x) + k(x) thì chuyển vế biến đổi tương đương: )x(g)x(k)x(h)x(f  Sau đó bình phương hai vế, so với điều kiện, kết luận. Ví dụ 4: Giải phƣơng trình: 3x1xx1x 3x 1x 2 3    (1) Giải: Điều kiện : 1x  Nếu ta bình phƣơng hay chuyển vế sau đó bình phƣơng nhƣ các dạng trên sẽ phức tạp. Ta có nhận thấy : 1x.1xx3x. 3x 1x 2 3    Do đó: 1x1xx3x 3x 1x )1( 2 3     Bình phƣơng 2 vế, ta đƣợc:        31x 31x 02x2x 2 So với điều kiện, phƣơng trình có 2 nghiệm: 31x,31x   Nhận xét: Nếu phương trình có dạng: )x(k)x(h)x(g)x(f  Nếu f(x).h(x) = g(x).k(x) thì chuyển vế biến đổi tương đương: )x(g)x(k)x(h)x(f  Sau đó bình phương hai vế, so với điều kiện, kết luận. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các phƣơng trình sau: 1) 012315  xxx (ĐH KT QUỐC DÂN – 2000). ĐS: x = 2 2) 411222  xxx (ĐH khối D – 2005) ĐS: x = 3. 3) 3 33 3x22x1x  ĐS: x = 1; x = 2; 2 3 x  4) 03x2x1x 3 33  ĐS: x = - 2. 5) x12x3 2x3 x 2   ĐS: x = 1. 6) 2 3x 1x2x1x2x   ĐS: x = 1, x = 5. 7) 411xx11xx  ĐS: x= 5. 8) x25x6x1  ĐS: x = - 3 9) 4x 7x2 2x    ĐS: x = 8 10) 42 x7x41x1  ĐS: x = 0; 2 1 x  tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 6 A. PHÂN TÍCH NHÂN TỬ CHUNG: Ví dụ 5: Giải phƣơng trình: 3x4xx21xx23x 2  (1) Giải:  Nhận xét: - Ta nhận thấy 2 4 3 ( 1)( 3)x x x x     nên ta nhóm các hạng tử phù hợp và đặt nhân tử chung đưa về dạng tích. - Áp dụng tính chất: 0 .0 0 A AB B       . Điều kiện: 1x  )1x)(3x(x21xx23x)1(                                0x 1x 11x 03xx4 0x 11x x23x 011xx23x 2 So với điều kiện phƣơng trinh có nghiệm x = 1; x = 0. B. DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC: Ví dụ 6: Giải phƣơng trình: 4xx93x2 2  (1) Giải:  Nhận xét: Ta thấy 22 2 3 9 4 4 2.1. 3 9x x x x x x         so với hằng đẳng thức: 2 2 2 ( ) 2 .a b a ab b    thì 3, 1a x b   Điều kiện: 3x  (*) Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 7          x313x x313x x93x1)1( 2 2                                   18 975 x 1x 02x5x9 3 1 x 02x7x9 3 1 x 2 2 So với điều kiện (*) phƣơng trình có 2 nghiệm: x = 1; 18 975 x   Ví dụ 7: Giải phƣơng trình: 3 2 3 2 )2x(x33x2)2x(x932  (1) Giải:  Nhận xét: Phương trình (1) có dạng của hằng đẳng thức: 3 3 2 2 3 ( ) 3a 3aa b a b b b     Do đó ta tách theo 33 3 , 2a x b x   3 2 2 3 33 3 3 3 3 (1) ( 3 ) 3 (3 ) . 2 3 . ( 2) ( 2) 0x x x x x x          1xx32xx32x0x32x)1( 3 3 3 3 3  Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 1. C. DÙNG ĐẲNG THỨC:     01v1uuv1vu      0avbuuvabbvau  Ví dụ 8: Giải phƣơng trình: 3 2 33 2x3x12x1x  (1) Giải:          1x 0x 012x11x2x.1x12x1x)1( 333333 Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm x = - 1; x = 0. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các phƣơng trình sau: 1) 221682 22  xxxx (ĐH BÁCH KHOA HÀ NỘI – 2001). ĐS: x = 1. 2) 1210)3( 22  xxxx (ĐH DƢỢC HÀ NỘI – 1999) ĐS: x = - 3. 3) x12x3 2x3 x 2   ĐS: x = 1. 4) 4523423 222  xxxxxx ĐS: x = 1 5) 1781272 2  xxxxx (Dự bị ĐH khối D – 2006) ĐS: x=4; x=5. 6) x3xx3  ĐS: 3 110 x 3   7) 3 2 3 3 2 3 xxxx1x  ĐS: x = 1. 8) x4 3x x4 3x    ĐS: x = 1. 9) 3 2 33 4x2x211x4x2  ĐS: x = 5/2; x = 0. 10) 33 3.12321  xxxx ĐS: x = 3;x = 4. 11) 2 3 2 2 27 1 2x x x x x         Đ S: 154 25 x  12) 22 ( 2) 4 6x x x x     Đ S: 1x  13) 2 2 1 2 1x x x x      Đ S: x = 0, x = 3. 14) 2 1 2 6 2 2 3x x x x       ĐS: x = 2, x = 3 15) 2 4 4 3 7x x x    ĐS: 9 65 7 33 ; 88 xx     tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 9 A. ĐỔI BIẾN ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN: Ví dụ 9: Giải phƣơng trình: 253294123 2  xxxxx (1) Giải: Điều kiện               1 1 3 2 01 023 x x x x x (*)  Nhận xét: Ta thấy 2x5x31x.2x3 2  , nên: Đặt txx  123 ( t  0)  t 2 = 4x – 3 + 2 253 2  xx Phƣơng trình đã cho trở thành : t 2 – t – 6 = 0  t = 3 ( vì t > 0) (1)  3123  xx        03419 3 26253 2 2 xx x xxx  x = 2 (thỏa (*)) Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 2. Ví dụ 10: Giải phƣơng trình: 21xx1xx 22  (1) Giải: Điều kiện: 1x   Nhận xét: 1xx 1 1xx11xx.1xx 2 222   , do đó: Đặt t 1 1xx1xxt 22  1x1t01t2t2 t 1 t)1( 2  Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 1. Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. tusachvang.net [...]...  Kết luận: phƣơng trình có nghiệm: x  65 2  8  46 ;x  14 14 Để hiểu hơn về cách giải hệ phương trình đối xứng bậc I, bậc II mời các bạn đón đọc trong phần tiếp theo của tài liệu - các loại Hệ Phương Trình và cách giải ! Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 13 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các phƣơng trình sau: 1) x 2 ... định D = [-1 /3; 3] Ta có: f’(t) = 4t => f’(t) = 0  t = 0 Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 18 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG t f’(t ) f(t) - -1 /3 20/9 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 0 0 3 + + 20 2 Kết luận: Để phƣơng trình (3) có nghiệm  2  m  20 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1) Giải phƣơng trình: x  1  x  2  3 2) Giải phƣơng trình : 4 x  1  3 4 x  2  1 3) Giải hệ phƣơng trình: ... Giải hệ phƣơng trình:  x y  x y 2   2  x  3y2  x2  y2  4  5) Giải phƣơng trình: 1  sin x  1  cos x  1 Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH ĐS: x = 2 (Đề thi dự bị ĐH KA – 2004) Trang 19 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dạng 6:  Phương pháp: 1 Dùng hằng đẳng thức: f ( x )  0 g( x )  0  f 2 (x)  g2 (x)  0   2 Dùng. ..  y  8 y  4 Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 31 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG Loại 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm Phƣơng pháp giải chung: + Bƣớc 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bƣớc 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2  4P (*) + Bƣớc 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phƣơng trình Giải hệ tìm S, P theo... ( y  2)2  0 Hệ phƣơng trình trở thành: u  v  10 S  10 (S = u + v, P = uv)   uv  4(u  v)  m  16 P  m  24 S 2  4 P  Điều kiện S  0  24  m  1 P  0  Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 33 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG Loại 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Một số bài tốn giải bằng cách đƣa về hệ phƣơng trình Ví dụ 9: Giải phƣơng trình: 3 x  3 1... 2( x  5) x 2  2 3 3 ĐS: x   23 Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 15 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐẶT ẨN PHỤ DỰA VÀO TÍNH CHẤT ĐƯỜNG THẲNG NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG: Trong mặt phẳng Oxy, để viết phƣơng trình đƣờng thẳng có 3 dạng: 1) Phƣơng trình dạng tổng qt: (PTTQ): Qua M(x0;y0) và có vecto pháp tuyến n( A; B) :... Vậy phƣơng trình có nghiệm: x = 1/2 Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 1  1  x 2   2 1  x2 (1) (1  x)  (1  x)   3 3 3 3 Giải: Điều kiện: x  1 Khi đó VP > 0 - Nếu x  [- 1; 0] thì - Nếu x  [0; 1] thì (1  x)3  (1  x)3  0 nên phƣơng trình (1) vơ nghiệm (1  x)3  (1  x)3  0 Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 24 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ... a) Định lý Viét cho phƣơng trình bậc 2: Nếu phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: b   S  x1  x2   a    P  x x  c 1 2  a  Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 29 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ngƣợc lại, nếu 2 số x1, x2 có  x1  x2  S   x1 x2  P thì x1, x2 là nghệm của phƣơng trình X2  SX + P = 0 b) Định... 1 = x + 3 = 0 => x = - 2 (thỏa (*)) Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 17 tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1 1 11   x  3  x   (thỏa (*) nhƣng thay vào (2) khơng thỏa) 2 2 4 Kết luận: Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm: x = -2  Khi u =  Cách 2: x    Nhận xét:   3  3 x  2  1 (2)   X Y Ta đƣa phƣơng trình (1) về phƣơng trình tham số: X  1...tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ B ĐỔI BIẾN ĐƢA VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH: 1 Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình đối xứng loại I: u n  ( x )  , thay u, v vừa đặt vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc  n v  n ( x )  v  ( x )   u  n ( x )  Đặt   1 phƣơng trình và kết hợp với mối liên hệ giữa u và v hoặc u n và v n ta đƣợc phƣơng trình thứ 2, giải hệ ta đƣợc u, v . ĐẶNG VĂN CƯỜNG Chuyên đề DÙNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG. TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:  PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ  TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 2 Chương 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ . phƣơng trình có 2 nghiệm x = - 1; x = 0. tusachvang.net ĐẶNG VĂN CƯỜNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: