Chuyên đề số phức và các bài toán liên quan

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt m Mobile: 0976266202 co KIẾN THỨC CẦN NHỚ Số phức z xác định z  a  bi,  a, b    Modul số phức z : z  a2  b2 ; z  z.z  a  b2 oc uo Phép toán chia số phức : c Số phức liên hợp z xác định z  a  bi z1 z1.z2  z2 z2 Phương trình bậc hai số phức : az  bz  c  Tính deltal   b  4ac Nếu    z1,2  b   2a gb Nếu   x  yi ta biến đổi deltal thành số phương tức biểu diễn x  yi   u  vi  , u  v  x u, v nghiệm hệ  2uv  y on Dạng lượng giác số phức : z  a  bi  a b Viết z dạng z  a  b   2 a  b2  a b 2  i  kh     a b Để ý    , nên xác định góc     ;   cho   2 2  a b   a b  Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Góc  gọi acrgumen số phức z co Ta đặt r  a  b z biểu diễn dạng : z  r  cos  i sin   m a  cos  a a  b2   tan    b b sin   2  a b Công thức De-moiver : z n  r n  cos  n   i sin  n   , áp dụng biểu thức chưa số phức có bậc cao c Điểm biểu diễn số phức z  x  yi Với số phức z  x  yi xác định điểm M  x; y  mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn cho số phức z  x  yi oc uo Các toán dạng thường xoay quanh việc tìm tập hợp điểm biễn số phức z, ta phải tìm mối quan hệ x y, thông thường tập hợp điểm biễn diễn nằm đường thẳng ; đường tròn hay elip CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM SỐ PHỨC DẠNG : ĐẶT z  a  bi Được áp dụng đề yêu cầu tìm số phức z, nhiên điều kiện cho tìm z gb   a, b    phương trình bậc hai hai bậc z  A  Biến đổi điều kiện toán thành A  Bi    giải hệ điều kiện ta suy B  kh on a b, từ suy số phức z cần tìm BÀI TẬP MẪU Bài Tìm tất số phức z thỏa mãn z  z  z Lời giải: Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Giả sử z  a  bi,  a, b    Điều kiện toán tương đương với:  a  b  a  bi  2b  a   b  2ab  i  m  a  bi  co b  0; a  2b  a     1 a   ; b   b  2ab  2  1 1 Vậy có ba số phức thỏa mãn toán z1  0; z2    i; z3    i 2 2 c Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   3i  z    i  z   1  3i  Tìm phần thực phẩn Lời giải: Giả sử z  a  bi, oc uo ảo số phức z  a, b    Điều kiện toán tương đương với:   3i  a  bi     i  a  bi    1  3i   2a  3b  3ai  2bi  4a  b   4bi   6i gb 6a  4b   a  2  6a  4b     2a  2b  i     6  2a  2b  b  Vậy phần thực số phức z 2, phần ảo on Bài Tìm nghiệm phương trình sau z  z Lời giải: Giả sử phương trình có nghiệm z  a  bi thay vào phương trình ta có kh  a  bi   a  bi a  b  a  2ab  b Giải hệ ta tìm nghiệm Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan  3 ;  Đó phương trình cho có nghiệm 2   z  0, z  1, z    i 2 2002  a  bi co Bài Tìm số cặp thứ tự  a, b  với a, b   Thỏa mãn  a  bi  Lời giải: 2002   z 2002  z  z  z z 2001  1  z 2001 oc uo  z    a, b    0,  c Đặt z  a  bi suy z  a  bi theo giả thiết ta suy z 2002  z  z    z   z 2002  z  z 2003  z.z  z  1(*) Phương trình (*) có 2003 nghiệm phân biệt Vậy có 2004 cặp thứ tự  a, b  thỏa mãn yêu cầu toán gb Bài Tìm số nguyên x, y cho số phức z  x  yi thỏa mãn z  18  26i Lời giải: z  18  26i   x  yi   18  26i  x  3x yi  xy 2i  y 3i  18  26i on   x  xy    x y  y  i  18  26i  x  xy  18   26  x  xy   18  3x y  y  3 x y  y  26 kh Đặt x  ty  26  t  3t   18  3t  1  t   x  3, y   z  3i Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam m  0;0  , 1, 0 ,   Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Bài Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1, z1  z2  Tính z1  z2 Lời giải: m Giả sử z1  a1  b1i, z2  a2  b2i , theo giả thiết ta có co a12  b12  a2  b2    a1a2  b1b2    2 a a b b          2 Lời giải: Giả sử z  a  bi ,  a  bi  oc uo Bài Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  z  11i c   a1  a2    b1  b2    z1  z2   1  i  a  bi   11i  a  b  2abi  a  b   a  b  11 i a  b  a  b  a  3; b    2ab  a  b  11  a  2; b  3 gb Vậy có hai số phức thỏa mãn z1   2i; z2  2  3i DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BÂC HAI, BẬC CAO VỚI ẨN PHỨC Áp dụng bước giải phương trình bậc hai số phức z lưu ý đến biến đổi deltal on  thành số phương Đối với phương trình bậc ba hay bậc bốn: Az  Bz  Cz  D   Đề có cho biết thêm thông tin phương trình có nghiệm thuẩn ảo ta thay kh z  bi vào phương trình cho, tìm b ta tìm nghiệm phương trình, từ phân tích phương trình thành phương trình tích: trình bày sau: Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan A  Giả sử z  bi nghiệm phương trình, biến đổi dạng A  Bi    B  giải hệ điều kiện ta suy b, từ phân tích phương trình thành:  m  z  bi   Mz  Nz  P   Đề cho biết phương trình có nghiệm thực ta cho biểu thức có chứa i co không chứa i không, giải hệ điều kiện ta suy nghiệm thực: trình bày sau Giả sử z  a nghiệm thực phương trình phương trình trở thành c A  f (a)  , biến đổi dạng A  Bi    giải hệ điều kiện ta tìm a, B  phân tích phương trình thành: oc uo  z  a   Mz  Nz  P   Một số toán nâng cao giải phương trình bậc cao z, em sử dụng kỹ thuật đặt ẩn phụ, nhóm thành nhân thử chung đưa phương trình tích,… BÀI TẬP MẪU Lời giải: gb Bài Giải phương trình sau : z  1  i  z  63  16i  2 on Ta có  '  16 1  i    63  16i   1  8i  Do phương trình có nghiệm z1  1  i    8i   12i kh z2  1  i   1  8i   4i  Bài Giải phương trình sau 1  i  z    i  z   3i  Lời giải: Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan z2  22  i  1  i  22  i  1  i    i   i 1  i     i 1 i 2  i 1  i  1 i    i 1 i 2 co z1  m Ta có  '    i   1  i   3i   16 Vậy phương trình có nghiệm Bài Giải phương trình sau z  z  14 z   Lời giải: c Ta có phương trình tương đương với z1  , z   i, z3   i oc uo  z  1  z  z    Từ suy phương có nghiệm Bài Giải phương trình z  z  z    z  1 i  , biết phương trình có nghiệm thực Lời giải: gb Vì phương trình có nghiệm thực nên 2 z  z  3z    z   z  1  Do phương trình tương đương với on  z  1  z  z   i   Giải phương trình ta suy phương trình có nghiệm kh z1   , z   i, z3   i Bài Giải phương trình z  1  2i  z  1  i  z  2i  biết phương trình có nghiệm ảo Lời giải: Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Giả sử nghiệm ảo phương trình z  bi thay vào phương trình ta có  bi   1  2i  bi   1  i  bi  2i    b  b    b3  2b  b   i  m b  b    b   x  i nghiệm phương trình  b  2b  b  co Vậy phương trình tương đương với z  i  z  i   z  1  i  z       z  1  i  z   (1) 17     17  i  17     oc uo  i 1    z1  Từ suy ra:   i 1  z   c  x  17   xy  1 2   Giải (1): Ta có   1  i    2i    x  yi      x  y  8  y   17  17      17  i 2 1    17  i  17     17  i Bài Tìm tất số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực Lời giải: gb z    i  z  3z   m  i   Phương trình cho tương đương với on z  z  3z  m   z  1 i  Do phương trình có nghiệm thực  z  z  3z  m   z   z  1     z   m  m  kh Vậy m  1,5 giá trị cần tìm Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Bài Tìm giá trị thực m để phương trình z  z   m   z  m  có ba nghiệm phức 2 m phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  21 Lời giải: Phương trình tương đương với  z  1 co  z  1  z  z  m      z  z  m  (*) Yêu cầu toán tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt z2 , z3 khác 1 2 c thỏa mãn z2  z3  20 Vậy m  giá trị cần tìm oc uo  '   m  m  m      1   m   m   m  m8   36  2m  20 2   z2  z3  20  z2  z3   z2 z3  20 Bài Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức 2 Lời giải: gb A  z1  z2 Giải phương trình: z  z  10  on Ta có  '  9  9i   '  3i 2   Vậy z1,2  1  3i A  z1  z2  12  32  20 kh Bài Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z   Tính modul số phức f ( z )  z17  z15  z14  3z  z  Lời giải: Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan z  z     z  1   2i   z1   2i   z2   2i Khi đó: co Do z nghiệm phương trình z  z   nên f ( z )  z  f ( z )  m f ( z )  z17  z15  z14  3z  z   z15  z  z  3  z14  z  z  3   z  z  3  z Bài 10 Tìm hai số thực b c biết z   i nghiệm phương trình z  bz  c  Khi    c tính modul số phức: w  z1  2i  z  2i  Lời giải: 1  i  oc uo z   i nghiệm phương trình nên: b   b  2  b 1  i   c   b  c    b  i     b  c  c  z  1 i Khi phương trình trở thành: z  z     z  1  i    z2   i    Vậy w  z1  2i  z  2i   1  i  2i  11  i  2i  1    3i   i  gb  w    3i   i    3i  i  39 on Bài 11 Tìm m để phương trình z  mz  3i  có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  Lời giải: Ta có: z12  z2    z1  z2   z1 z2  , theo vi-ét ta có kh  z1  z   m từ suy : m2   6i    i   m     i  giá trị cần tìm   z1 z2  3i Bài 12 Giải phương trình z  z  z  16 z  12  10 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I  1;  , bán kính R  z   3i số ảo z i co Bài Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết w  x    y  3 i  x    y  3 i   x   y  1 i   x   y  1 i x   y  1 oc uo w  x, y    , c Lời giải: Giả sử z  x  yi m a  y  x  yi   i  a  bi    z  a  bi   Giải sử    b  x    x  1  y  2 w  x  yi   a  1   b      2    a  1   b    Rút gọn tử số ta được: x  y  x  y    x  y  1 i , w số ảo 2  x  y  x  y    x  1   y  1    2 x  y    x; y    0;1 ;  x; y    2; 3 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  , trừ hai gb điểm có tọa độ  0;1 ;  2; 3 on BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: kh z   1  i  z 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z    4i   26 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w  iz  2i  , biết số phức z thỏa mãn  i.z  2i  1 8 z   5i  z   3i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 1.4 co DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC m 1.3 Một số phức z  x  yi biểu diễn dạng lượng giác sau x x y y , sin   x  y2 c z  z  cos  i sin   ; cos  Arg  z    Với số phức oc uo Góc   [0;2 ) gọi acgumen số phức z Acgumen z ký hiệu z1  z1  cos1  i sin 1  ; z  z2  cos  i sin 2  Ta có z1 z2  z1 z  cos 1  2   i sin 1     gb z z1   cos 1  2   i sin 1     z2 z Công thức De Moivre n  cos n  i sin n  BÀI TẬP MẪU on zn  z kh Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z biết z  2  3i Lời giải: Ta có 2 2   z  2  3i   cos  i sin  3   27 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Bài Cho số phức z có acgumen 1   Tìm acgumen số phức z   i  c Lời giải:    Theo giả thiết ta có z  z  cos  i sin  Suy 3        z   i  z  cos  i sin    i   z    cos  i sin  3 3      oc uo       4 + Nếu z   Một acgumen z   i + Nếu z   Một acgumen z   i   gb + Nếu z   z   i  , nên không xác định acgumen Bài Cho số phức z có modun Biết Arg  z    , tìm acgumen 2z2 2z on   co Vậy phần thực phần ảo z m      z   cos  i sin    i      z  2  cos  +i sin    1  i    3  z  z kh z  z Lời giải: 28 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Theo giả thiết ta có z  cos  i sin  z   cos2  i sin 2   Arg  z   2 1 cos     i sin       cos      i sin       2   Vậy Arg         2z  c Ta có z  z  cos  m  1   cos  i sin   2z co 2 z   cos  i sin     + Nếu cos   Arg ( z  z )  oc uo + Nếu cos   Arg ( z  z )   + Nếu cos  không xác định acgumen z  z Ta có z  z  cos2  i sin 2  cos  i sin   cos 3     cos  i sin   2  3   Arg z  z  2 3  co s   Arg z  z    2    3   Arg z  z không xác định on  c os  gb  cos     isin Tính modun, acgumen viết z dạng lượng 7 kh Bài Cho số phức z   cos  giác Lời giải: 29 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan    8    Ta có z    cos   sin    cos   1  cos 7 7    4    2cos   8 8 sin sin    tan  4  Đặt   Arg  z   tan      8 4    cos  cos 2cos 7 Vậy z  cos 4 co 4 4 4    i sin  cos  7   z  3i   1, Arg  z  1   z i oc uo Bài Tìm số phức z cho c   m  sin Lời giải: Giả sử z  x  yi theo giả thiết ta có z  3i 2   x   y  3  x   y  1  y  2 z i Từ suy  i         z   r  cos     isin      r    , r   6     2 gb Arg  z  1   on   x   r  r  2 y   z    2i    x   y   r  kh Bài Biết z  z 3 acgumen  Viết z dạng lượng giác 1 i Lời giải: 30 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Giả sử arg  z     z  1  cos  i sin    z   cos     i sin     3 Ta có z        cos      i sin       1 i  4    co  m     i   cos  i sin  4  Từ suy    3     4 oc uo c 1   Vậy z   cos  i sin  3 2 n Bài Tìm số nguyên dương n nhỏ cho  i  1  i n số nguyên dương Lời giải: Với n  1, không thỏa mãn; ta xét với n  n   2 n cos n n   cos i  n   sin n4  sin n2  n   sin n4  sin n2      n on Do P    nên  sin    cos n4  isin n4   cos n2  isin n2 gb Khi P   i  1  i n  n   n  4k , k  * n  nên kh Khi P  k cos k  cos2k    4   2 n  cos n  cos n n  0  sin  n n   cos 0 4 k Do P     k  2l , l  *  n  8l , l  * Từ suy giá trị nhỏ n 31 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan 17 17 Bài Giải phương trình  x  i    x  i   m Lời giải: Nhận thấy x  i không nghiệm phương trình, phương trình viết lại thành gọi z    2k z  cos   17 nghiệm     2k    i sin    17 phương   , k  ,  k  16  Khi phương trình viết lại 17 z17  1  cos  isin  oc uo xi zi  z  xi  17 zx   z  x i z 1  x i  trình c Nếu co 17  xi    1  x i  gb    2k  sin    17  , k  ,  k  16 Thay z vào ta suy nghiệm x       2k   cos    17  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ on 1.1 Cho số phức z thỏa mãn z  1  Tính modul số phức z n  n z z 1.2 Tìm phần ảo số phức z biết z  2 i  1  2i  1  3i  Tìm modun số phức z  iz Cho số phức z thỏa mãn z  kh 1.3  1 i  1 i  1.4 Tìm phần thực phần ảo số phức    i    32 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan  1.5 Tìm số nguyên n thuộc đoạn 1;10 để  i n số thực 24 số thực m   i  1.6 Chứng minh    1 i   1.7 Giải phương trình z  64 2012 1.9 Tìm số phức z thỏa mãn z  số phức 1.10 Tính tổng A  1  i  2012  1  i  2012 co  i  có acgumen  z 2 2  i sin n n oc uo 1.11 Tính tổng A   z  z   z n 1 biết z  cos c  z i  1.8 Giải phương trình    z i  CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SỐ PHỨC Lời giải: gb Bài1 Chứng minh z  2z  i   iz Giả sử số phức z  a  bi theo giả thiết ta có on 4a   2b  1 2a   2b  1 i 2z  i   2  iz   b     b   a2 kh 2z  i Vậy 1  iz 4a   2b  1 2  b a  b  Ta có 2  a2 2   4a   2b  1    b   a  a  b  (đúng) Ta có đpcm 33 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Bài Cho số phức z khác không thỏa mãn điều kiện z   z Lời giải: 3 c 1 1 1 1    z  z3   3 z    z    z      z   z z z z z z    co 1 1   Ta có  z    z    z   , mặt khác ta có z1  z2  z1  z Vậy nên z z z   m z  Chứng minh : z3 oc uo 1  Đặt a   z   , ta z  a3   3a   a   a  1   a  Ta có điều phải chứng minh Bài Cho số phức z thỏa mãn z  z gb Lời giải:  a  a   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z Theo giả thiết ta có 2 1  1 z2  z  a  z   z   z    z   2 z z  z  z z on a    z   2    z  z  2  z 1 0 kh Từ suy z  z z  zz  a   a  4a a   a  4a  ;  z   2   34 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan  a  a  a  a    z  ;  2   m Đẳng thức xảy z   z co a  a2  a  a  ; z  Vậy max z  2 Bài Chứng minh với số phức z ta có z   Lời giải: z   oc uo Ta chứng minh phản chứng, giả sử: z   c z 1  Đặt z  a  bi  z  a  b  2abi Lúc ta có :  a  1  b2    a  b   4a   2 Và 1  a  b2   4a 2b    a  b    a  b   (1) (2) Cộng theo vế bất dẳng thức (1) (2) suy 2 gb a  b    2a  1  , vô lý Vậy ta có đpcm on Bài Chứng minh với số phức z thỏa mãn z  Ta có 7  z 1  1 z  z2  kh Lời giải: Đặt t   z   0; 2   t  1  z   z   Re  z   Re  z   t2   1 z  z2  35 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  2t Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan Xét hàm số f (t )  t   2t , t   0;2 Ta suy m  7  7 7 f   f (t )  f      Từ ta có đpcm  2  6 Re  z  ký hiệu phần thực số phức z 1   z 2 Bài Cho hai số phức z1 , z2 có z1  z2  Chứng minh c z1   z   z1 z   co Bài Cho số phức z có phần thực lớn Chứng minh Bài Giả sử n  số nguyên số phức z có z  Chứng minh oc uo n  z   z    z n   z n 1  2n BÀI TẬP TỔNG HỢP 1.1 Cho phương trình : a b    a, b  , z    có nghiệm i Xác định z 3 z 2 1.2 gb tham số a, b tìm nghiệm lại phương trình Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình : z  iz   i   z1  z2  Tìm n nguyên dương cho 27 z1n  64 z2 n  Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình : z  1  2i  z   i   z1  z2  Tìm số on 1.3 nguyên dương n bé cho z1n  z2 n số thực dương Tìm số phức z có modun lớn thỏa mãn : kh 1.4 z 3i  z 2i n     n  405 i i i i 1.5 Tìm số nguyên dương n biết : 1.6  1 Giải phương trình :  i  z    i     z 36 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan 1.7 a b 1 i   1 a, b  , z    có z1  nghiệm z z 1 Cho phương trình : phương trình Tìm nghiệm lại phương trình tìm số nguyên dương n nhỏ m n z  cho   số thực dương  z2  2012 1.8 Tìm phần thực phần ảo số phức :  1  i   1  i   1  i    1  i  1.9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11z10  10iz  10iz  11  Chứng minh z  co z1 z z3    Tính giá trị z2 z3 z1 c 1.10 Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  oc uo biểu thức A  z1  12 z2  2012 z3 2 1.11 Tìm số phức z thỏa mãn z  z.z  z  z  z  1.12 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z   Tính giá trị biểu thức  z1  1 2012   z2  1 2012 1.13 Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Tính giá trị biểu thức 4 gb  z1   z2       z2   z1  1 i  1.14 Cho z     1 i  Chứng minh z k  z k 1  z k   z k 3  với số nguyên dương on k 2013 n n 1.15 Chứng minh a  bi   c  di  a  b   c  d  kh 1.16 Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính giá trị biểu thức 2  z1  z2  2012 z1  z2 1.17 Cho  ,  hai số phức liên hợp cho  số thực     Tính  2 37 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan z 200 1.18 Tìm số phức z thỏa mãn phương trình  z  z  7i 2 m 1.19 Tìm số thực m để phương trình z  z   m   z  m  có ba nghiệm phức phân biệt a, b, c thỏa mãn a  b  c  21 2 1.21 Tìm phần thực phần ảo số phức z biết c   1    P   z2     z3     z4   z   z   z   co 1.20 Cho z nghiệm phương trình z  z   Tính giá trị biểu thức sau iz  1  3i  z  z 1 i oc uo 1.22 Tìm tất số phức z thỏa mãn z3  z 1.23 Cho số nguyên dương m  số phức c có modun Chứng minh phương m   ix  trình    c có nghiệm thực   ix  1.24 Gọi M N hai điểm biểu diễn hai số phức z1  3  6i, z  2i z1 Chứng gb minh tam giác OMN vuông O 1.25 Gọi M , N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2  thỏa mãn z12  z 2  z1 z2 Chứng minh tam giác OMN   on 1.26 Cho bốn điểm A, B , C , D theo thứ tự điểm biểu diễn bốn số phức   i;     i;1  3i;3  i Chứng minh chúng nằm đường tròn kh 1.27 Cho hai số phức z1, z2 có modul Chứng minh w  1.28 Tìm phần thực, phần ảo số phức z  1  i  n biết số nguyên n thỏa mãn log  n  3  log  n    n n 1.29 Chứng minh a  bi   c  di  a  b   c  d  38 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam z1  z2 số thực  z1 z Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức toán liên quan 1.30 Giải phương trình z  1  i  z  3iz   i  1.32 Tìm số thực x , y thỏa mãn 1   x    y  i  y  xi 1  i  m 1.31 Giải phương trình z  z   1.33 Tìm m để phương trình z   m  1 z  2m   có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa co mãn z1  z2  10 1.34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2012 , a b phần thực phần ảo số phức z z z   z z 1.35 Tìm số phức z thỏa mãn z  c az 2012  bz oc uo 1.36 Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn điều kiện z  z  16i  Tính giá trị z z  11z  12 biểu thức A  z 1  2i  z  1  2i  z  1.37 Tìm số phức z thỏa mãn   z  2i z  z  3   gb 1.38 Cho số phức z    i Chứng minh với số thực a , b , c ta có 2  a  bz  cz  a  bz 2  cz   Dấu đẳng thức xảy ? on 1 z  z2 số thực Chứng minh z  1.39 Cho z số phức thực thỏa mãn 1 z  z2 1.40 Cho số phức z có modul chứng minh  1 z  1 z2  kh 1.41 Cho hai số phức x , y thỏa mãn x  y Chứng minh x y  x 1.42 Cho f ( x)  x  ax  bx  cx  d đa thức hệ số thực thỏa mãn f (i)  Chứng minh a  b  c  d  39 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Chuyên đề: Số phức toán liên quan 40 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam [...]... download thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan   CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MODUL CỦA SỐ PHỨC m 1.5  z13  z25  0  4  2  z1 z2  1 co Phương pháp: Đặt z  a  bi , ta tìm được hệ điều kiện giữa a, b giải ra tìm được a và b từ đó suy ra số phức cần tìm c BÀI TẬP MẪU Bài 1 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau oc uo z  1  2i  z  2  i và z  i... thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan  2  zz 3 0 1 i Dạng 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC m 1.57  3 zz 3 zz Tìm số phức z thỏa mãn     1 i 2i   Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình thông thường( Xem chuyên đề hệ phương trình) co vào giải hệ nghiệm phức, bài toán dạng này dễ hơn giải hệ hữu tỷ hay vô tỷ chỉ có khác là nó có nghiệm phức BÀI... 2   co 3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Tìm các số phức z  0 sao cho z  1 là số thực z oc uo 1.1 2 1.2 2 Tìm tất cả các số phức z sao cho z  1, z  z  1 1.3 Tìm các số phức z sao cho 4 z 2  8 z  8 1.4 Tìm tất cả các số phưc z sao cho z 3  z 1.5 Tìm tất cả các số phức z sao cho  z  2  z  i  là số thực 1.6 Tìm tất cả các số phức z sao cho z  1.7  1  i 3   1  i 3  Tìm tất cả các số nguyên n... www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 1.12 Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z 2 là số thuần ảo 1.13 Tìm số phức z thỏa mãn z   2  i   10 và zz  25 1.14 Tìm số phức z , biết z  1.15 Cho phương trình z 2   2  i  z  3  5i  0 , không giải phương trình hãy tính modul của m 5i 3  1  0 z co số phức w  z12  z2 2 z14  z24 1.16... thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan Xét hàm số f (t )  t  7  2t 2 , t   0;2 Ta suy ra m  7  7 7 7 f   f (t )  f      3 Từ đó ta có đpcm 2 6  2  6 ở đây Re  z  là ký hiệu phần thực của số phức z 1 1 1   z 2 2 Bài 7 Cho hai số phức z1 , z2 có z1  z2  1 Chứng minh rằng c z1  1  z 2  1  z1 z 2  1  2 co Bài 6 Cho số phức. .. download thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 1.6 Cho số phức z thỏa mãn z  100 1.7 Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1  z2  z2  z1 , z2  0    z1  z2  3 z1 4 1 1 A   z  z2      z1 z2  4 co 4 1 1  z   1  2i 1  z2  Tìm hai số phức z1 , z2  0 thỏa mãn   z  1  1  3i  2 z1 2 2 c 1.8 Tính m hai z  2  4i  15 Tìm số phức z có phần... University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan   Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I 3; 3 , bán kinh R  4  3 co acgumen bằng z2 có z2 m Bài 3 Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết số phức Lời giải: c Giả sử z  x  yi Khi đó oc uo z  2  x  2   yi  ...  i sin n  BÀI TẬP MẪU on zn  z kh Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng z 2  2  2 3i Lời giải: Ta có 2 2   z 2  2  2 3i  4  cos  i sin  3 3   27 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan Bài 2 Cho số phức z có acgumen... Noi, Viet Nam thì Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan  1.5 Tìm số nguyên n thuộc đoạn 1;10 để 1  i 3 n là số thực 24 là một số thực m   3 i  1.6 Chứng minh    1 i   1.7 Giải phương trình z 6  64 2012 1.9 Tìm số phức z thỏa mãn z  4 và số phức 1.10 Tính tổng A  1  i  2012  1  i  2012 co  1 3... Số phức và các bài toán liên quan 2 1.25 Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z 2  z  z   1.26 Tính modul của số phức z, biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i 5i 3 1  0 z 1.29 Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z 2 là số thuần ảo 1.28 Tìm số phức z biết z  2 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 co c 1.31 2 oc uo 1.30 z 8 Tìm số phức z thỏa mãn z  z  z 4 z  3  7i  z  2i Tìm số phức z thỏa mãn